Bài toán cực trị số phức trong ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021

MỤC LỤC : Đề mục I II III Nội dung Trang Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Những điểm Nội dung Thực trạng vấn đề Các giải pháp giải vấn đề Kết luận, kiến nghị I ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài: 2-3 3-4 4-18 18-19 Bài toán liên quan đến cực trị Số phức nội dung quan trọng đề thi tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định lý, quy tắc, công thức học lớp dưới, phương pháp giải mà sách giáo khoa Giải tích 12 khơng có đưa Hiện tốn tìm điều kiện tốn cực trị thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan,khó khăn lớn áp lực thời gian, học sinh phải vận dụng kiến thức kỹ để tìm đáp án khoảng thời gian tương đối ngắn, học sinh có nhiều cách làm,khơng cần trình bày lời giải tìm đáp án toán cách nhanh Với mong muốn giúp học sinh tìm đáp án toán cực trị Số phức cách nhanh để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiên Vì tơi chọn đề tài: "Bài tốn cực trị Số phức ơn thi tốt nghiệp THPT năm 2021 ” 2- Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài xây dựng hệ thống tập nhằm định hướng hình thành phát triển cho học sinh lực, kỹ sau đây: - Năng lực tư duy, lực tính tốn - Kỹ vận dụng kiến thức giải tích lớp 12 - Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Rèn luyện, bổ xung , định hướng học sinh vào chủ đề, chủ điểm mà đề thi minh họa đưa - Tạo thêm kênh tập để học sinh thảo luận trao đổi Qua nâng cao kiến thức để áp dụng kỳ thi 3- Đối tượng nghiên cứu: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học tốn nói chung dạy học phân mơn Giải tích 12 trường THPT Lê Hồng Phong để từ thấy tầm quan trọng việc xây dựng hệ thống tập việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Trên sở tài liệu phân phối chương trình mơn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao tài liệu Dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh để xây dựng hệ thống tập theo mục đích đặt - Đưa dạng tốn tổng qt tìm tham số thỏa điều kiện tốn cực trị chương trình Tốn THPT hành, phân tích đưa cơng thức giải nhanh Sau lấy ví dụ minh họa cụ thể 4- Những điểm mới: 4.1 Điểm đề tài Sau có đề minh họa năm 2021 Bộ Giáo dục & Đào tạo, nhận thấy câu hỏi phần VD-VDC địi hỏi học sinh cần có nhiều tập, tài liệu để làm quen rèn luyện nhằm phù hợp với đối tượng học sinh giỏi học sinh lớp chuyên chọn Nguyên nhân khách quan: - Do hệ thống kiến thức vừa dài lại vừa khó trong phân phối thời lượng lại ngắn Nguyên nhân chủ quan: - Khả tự học học sinh thấp, số lượng câu hỏi Sách giáo khoa phần hạn chế 4.2 Sáng kiến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh tự tin việc giải câu hỏi mức độ điểm, 10 điểm đề thi Tốt nghiệp Từ học sinh khơng cịn áp lực với toán mức độ vận dụng - vận dụng cao, em làm có hiệu 4.3 Giải pháp đề tài - Người giáo viên lên lớp phải có chuẩn bị chu đáo, cơng phu tình lường trước Muốn làm điều địi hỏi phải bắt tay giải tốn trước tránh cho tính ỷ lại hay chép máy móc - Học sinh tiếp cận với vấn đề cách tự nhiên, đặt vấn đề cần giải qua ví dụ định hướng suy luận giáo viên Từ rèn luyện kỹ quan sát phân tích, tìm tịi nghiên cứu em II NỘI DUNG Thực trạng 1.1 Về phía giáo viên Sử dụng tương đối tốt kĩ tình tốn phân dạng câu hỏi mức độ nghiên cứu Tuy nhiên toán phần nhiều nội dung nên việc giải tốn cịn gặp nhiều khó khăn bao qt dạng câu hỏi Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo hạn chế 1.2 Về phía học sinh Đa số học sinh chưa chủ động trình học tập tự luyện, em chưa nhận dạng đầy đủ dạng tốn, ngại khó Điều kiện học tập cịn khó khăn em tập tiếp cận với kiến thức liên quan NỘI DUNG ĐỀ TÀI Dưới số tập phần mà thiết kế tổ chức dạy học đơn vị công tác: z  z1  z  z2 P  z  z3 Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; C  z3  điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 Khi từ giả thiết z  z1  z  z2 suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  đoạn AB Ta có: P  z  z3  CM nhỏ M hình chiếu C lên  � Pmin  d  C ;   z  2i  z  Bài toán 1: Cho số phức z thoả mãn Gọi z số phức thoả mãn   i  z  nhỏ Khi đó: A  z  B  z  C  z  D z  Lời giải Gọi M  x; y  ; A  0;  ; B  2;0  điểm biểu diễn số phức z; 2i; 2 Từ giả thiết � MA  MB � M � : x  y  đường trung trực đoạn AB � � P    i  z     i  �z  � �  i �  i z   i  z   i Ta có : Gọi N  2; 1 � P  5.MN Do Pmin � MN � M hình chiếu N lên  Khi MN : x  y   Tọa độ điểm M � x � � �� �x  y  �y  � x  y   � nghiệm hệ phương trình � 1 �z  i � z  2 Vậy  z 1 z 4i  z i z  a  bi  a; b �� Bài toán 2: Cho số phức z thoả mãn Gọi số phức thoả mãn z   3i nhỏ Giá trị biểu thức T  2a  3b là: A T  4 C T  B T  Lời giải D T  Đặt M  z  ; A  4;1 ; B  0; 1 điểm biểu diễn số phức z;  i; i Khi từ giả thiết suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  AB  qua I  2;0  r uuu r n  AB   4; 2  có VTPT �  : 2x  y   Gọi N  1; 3 Ta có: điểm biểu diễn số phức  3i z   3i  MN Do z   3i nhỏ � MN nhỏ � M hình chiếu vng góc N lên  Khi MN : x  y   x  y   �x  � �� � x  y   � �y  2 M Tọa độ điểm nghiệm hệ phương trình � M  3; 2  � z   2i Vậy T  2a  3b    z  z0  R P  z  z1 Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN, GTLN Phương pháp: Đặt M  z  ; I  z0  ; E  z1  điểm biểu diễn số z  z0  R � IM  R � M phức z; z0 ; z1 Khi từ giả thiết thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: P  z  z1  ME lớn � MEmax Pmin � MEmin P  IE  R Khi đó: Pmax  IE  R iz   2i  Bài toán 3: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z 1  i B Pmin  13  A Pmin  C Pmin  D Pmin  10 Lời giải Ta có: iz   2i  � i z  3i   � z   3i  � Tập hợp điểm M biểu diễn I 2; 3 số phức z đường tròn tâm  bán kính R  Gọi E  1;1 P  EI  R  điểm biểu diễn số phức  i � P  EM Do z   3i  Bài toán 4: Cho số phức z thoả mãn Giá trị lớn P  z 1 i là: A 13  D 13  C B Lời giải Gọi Do M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng toạ độ z   3i  � M I 2;3 nằm đường tròn tâm   , bán kính R  P  z   i   x  1    y  i   x  1   y  1  AM Pmax  AI  R  13  với A  1;1 Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn z  z1  z  z2 Tìm GTNN P  z  z3  z  z4 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; H  z3  ; K  z4  điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 ; z4 Khi từ giả thiết ta có: z  z1  z  z2 suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  AB Gọi I trung điểm HK Ta có: MI  MH  MK HK HK  � P  MH  MK  2MI  Do Pmin � MI � M hình chiểu I lên  Khi Pmin  M I  HK 2 z   4i  z  2i Bài toán 5: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z i  z 4i A Pmin  46 B Pmin  56 C Pmin  36 D Pmin  48 Lời giải: Gọi M  x; y  ; A  2;  ; B  0;  điểm biểu diễn số phức z; 2  4i 2i z   4i  z  2i � M � : x  y   HK 2 2  MH  MK  MI  H 0;1 ; K 4; 1 � P  z  i  z   i Gọi    2 (với I  2;0  trung điểm HK ) Do Pmin � IM � M hình chiếu vng góc I lên  HK 2 � P  IM   46 HK  , IM  d  I ;    2 z   3i  z   i Bài toán 6: Cho số phức z thoả mãn Giá trị nhỏ biểu thức P  z   4i  z  2i A Pmin  là: B Pmin  C Pmin  16 D Pmin  25 Lời giải: Gọi M  x; y  ; A  1; 3 ; B  1; 1 điểm biểu diễn số phức z;1  3i; 1  i z   3i  z   i � M � : x  y   HK 2 2  MH  MK  MI  H 2; 4  , K  0; 2  � P  z   4i  z   i (với Gọi  I  1; 3 trung điểm HK ) Do Pmin � IM � M hình chiếu vng góc I lên  Pmin  � d  I;  � � � Khi HK 8 z  z0  R Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  z  z1  z  z2 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; I  z0  điểm biểu diễn số phức z; z1; z2 ; z0 z  z0  R � IM  R � Tập hợp điểm biểu diễn M số phức Khi từ giả thiết z đường trịn tâm I bán kính R Gọi E trung điểm AB Ta có: P  2ME  AB 2 , Pmax �EM max Pmax   EI  R   Khi : M M Pmin �EM M M1 AB AB 2 Pmin   EI  R   ; z   2i  Bài toán 7: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn biểu 2 thức P  z   3i  z  5i A Pmax  96 B Pmax  66 C Pmax  152 D Pmax  132 Lời giải: Gọi M  x; y  ; I  1; 2  z   2i  � M Gọi A  2;3 ; B  0;5  điểm biểu diễn số phức z  2i thuộc đường trịn tâm I , bán kính R  điểm biểu diễn số phức  3i 5i AB 2  MH  P  z   3i  z  5i  MA  MB (với H  1;  trung điểm 2 2 AB ) 10 Pmax � HM max � HM  HI  R  � Pmax  2.82   132 z 3i  Bài toán 8: Cho số phức z thoả mãn 13 Gọi z  a  bi  a; b �� số phức thoả mãn biểu thức P  z   i  z  3i đạt giá trị nhỏ Tính T  a  b A T B T C T 13 D T Lời giải: Gọi M  x; y  ; I  3; 1 z 3i  trình: điểm biểu diễn số phức z  i 13 13 R I 3;    � M thuộc đường trịn tâm có phương , bán kính  x  3   y  1  13  C Đặt A  2;1 ; B  0;3 điểm biểu diễn số phức  i 3i AB P  z   i  z  3i  MA  MB  MH  2 2 2 (với H  1;  trung điểm AB ) 11 Do Pmin �HM M M0 Phương trình đường thẳng HI : 3x  y   � � 1� M �2; � � x  y   � � � � � � � � 5� � 13 2 M �4;  � x   y   �     � M � �, HM ngắn � � Toạ độ thoả mãn hệ � 1� M �M � 2; �� a  2; b  � T  � � 2 nên Bài toán 9: Cho số phức z thoả mãn z   4i  Gọi M , m GTLN, GTNN biểu thức A Q  43 P  z   z i B Q  33 Tính Q  M  m C Q  13 D Q  46 Lời giải Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z   4i  � M � C  :  x  3   y    2 z  x  yi  x; y �� I 3; , có tâm   , bán kính R  P  z   z  i   x    y  x   y  1  x  y  � d : x  y   P  2 2 C Do số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện nên d   có điểm chung ۣ d  I ; d  R ۣ 23  P 5 � 23  P �10 ۣ  13 P 33 � M  Pmax  33 ; � m  Pmin  13 Vậy Q  M  m  46 12 Dạng 5: Cho hai số phức z1; z2 thoả mãn z1  w1  R1 z2  w  R2 w1 ; w số phức biết Tìm GTNN, GTLN biểu thức P  z1  z2 Phương pháp: Đặt M  z1  ; N  z2  ; I  w1  ; K  w  z1  w1  R1 � M thuộc đường trịn tâm I bán kính R1 z2  w  R2 � N thuộc đường tròn tâm K bán kính R2 Ta có: P  MN Dựa vào vị trí tương đối hai đường trịn để tìm MN max ; MN z1  3i   Bài toán 10: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A 313  16 T  2iz1  z2 iz2   2i  C 313  B 313 D 313  Lời giải ; iz2   2i  �  3 z2    3i  12   B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ  1 Ta có z1  3i   � 2iz1   10i   1 Gọi điểm biểu diễn số phức 2iz1 , A   suy điểm điểm B A nằm đường tròn tâm nằm đường tròn tâm I  6;3 13 I1  6; 10  bán kính R1  ; bán kính R2  12 Ta có T  2iz1  3z2  AB �I1 I  R1  R2  122  132   12  313  16 Vậy max T  313  16 Bài toán 11: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn trị lớn biểu thức A  34 z1  z2 z1   3i  z2   2i  Giá B  10 C D Lời giải Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 z2 +) +) z1   3i  � A z2   2i  � z2    2i   � z2    2i   � z2    2i   � B đường tròn tâm Vì thuộc đường trịn tâm I  2;3 , bán kính R1  J  1;   IJ  34   R1  R2 , bán kính R2  nên hai đường tròn  I ; R1   J ; R2  � P  z1  z2  AB � Pmax  IJ  R1  R2   34 Vậy giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 Bài toán 12: Cho số phức z thỏa mãn w   3i  Giá trị nhỏ A 13   34 z   i  1, biểu thức B 13  số phức w thỏa mãn zw C 17  Lời giải Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z w +) z 1 i  � A thuộc thuộc đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R1  14 D 17  w   3i  � w    3i   � w    3i   � w    3i   � B +) đường trịn tâm Vì J  2;  3 IJ  17   R1  R2 , bán kính R2  nên hai đường trịn  I ; R1   J ; R2  � P  z  w  AB � Pmin  IJ  R1  R2  17  Vậy giá trị nhỏ biểu thức z- w 17  Bài toán 13: Xét số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2 z1   C  Lời giải Đặt z3  2 z2 , suy P  z1  z2  z1  (2 z2 )  z1  z3 z2   Và Gọi z3 iz2   �  iz3   � z3  4i  2 vào A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z1 gz3  4i  � A gz1   � B iz2   Giá trị nhỏ B  A  thuộc thuộc đường tròn tâm I (0; 4), R3  thuộc đường tròn tâm J (4; 0), R1  � �Pmin  IJ  R1  R3   � P  z1  z3  AB � � �Pmax  IJ  R1  R3   15 D  z z R z  w  z2  w Dạng 6: Cho hai số phức z1; z2 thoả mãn , z0 ; w 1; w số phức biết Tìm GTNN P  z1  z2 Phương pháp: Đặt z1  z0  R � M M  z1  ; N  z2  ; I  z0  ; A  w1  ; B  w  thuộc đường trịn tâm I bán kính R z2  w  z2  w � N thuộc đường trung trực  đoạn AB P  d  I;   R Ta có: P  MN , đó: Bài tốn 14: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A z1  z2 B z1   z2   3i  z2   6i C D Lời giải Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn M  x; y x  5 thoả mãn phương trình:  z1    y  25  1 tập hợp điểm đường tròn tâm I  5;  , R  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điểm N  x; y  x  1   y  3 2 z2   3i  z2   6i thỏa mãn phương trình   x  3   y   � x  y  35    2 16 tập hợp Khi z1  z2 khoảng cách từ điểm thuộc d : x  y  35  tới điểm C : x  5 thuộc đường tròn    � z1  z2  y  25  MN  d  I , d   R  75 5  100 Bài toán 15: Cho hai số phức z, z �thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z 5 5 z�   3i  z�   6i z  z� A B C 10 D 10 Lời giải Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức ; y�  z  x  yi , N  x�  y� i số phức z  x� z   � x   yi  �  x    y  52 Ta có Vậy M C : x  5 thuộc đường tròn    z�   3i  z�   6i  y  52 �  x�  1   y�  3 i   x�     y�  6 i �  x�  1   y�     x�  3   y �   � x�  y�  35 Vậy N 2 thuộc đường thẳng  : x  y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  17 z  z � MN điểm biểu diễn Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho ba điểm  I , M , N  ta có MN �IN  IM  IN  R �IN  R  5   6.0   d  I,   R  82  5  Dấu đạt M �M ; N  N Bài toán 16: Cho hai số phức u v thoả mãn hệ thức  1 i v 1 i  lượt a Giá trị biểu thức b  u  4i   u  Gọi giá trị lớn nhỏ biểu thức A 17 B T   a  5b  P  u  2iv lần C 12 22 D 14 Lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức u , M Ta có N , B  1; 4   u  4i   u  � u   u  4i   � MA  MB  � MA  MB  AB hay quỹ tích điểm Gọi A  4;  M đoạn thẳng điểm biểu diễn số phức  1 i v 1 i  tích điểm Dễ thấy N � 1 i v  AB 2iv , I  2;0  1 i  � v  i  � 2iv   2i � IN  1 i hay quỹ đường trịn tâm I bán kính P  u  2iv  MN Ta có hình vẽ Dễ thấy Pmax  MN max  BD   a 18 4 14 Pmin  MN  HK  IH   IB sin      b 5 Do T  a  5b  22 Bài toán 17: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  2 z2   i  z   i Tìm giá trị nhỏ z1  iz2 A C B 2 11 D Lời giải Giả sử số phức z1  a  bi (a , b ��; i  1) z1   i  2 �  a     b  1  2 Gọi điểm M biểu diễn số phức z1 Suy M thuộc đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  2 Giả sử số phức z2  x  yi ( x, y ��; i  1) z2   i  z2   i �  x  5   y  1   x      y  2 2 � 10 x  25  y   14 x  49  y  � x  y  24  � x  y   Điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z2 Suy M thuộc đường thẳng 1 : x  y   Điểm M   y ; x  biểu diễn số phức iz2 Ta thấy M ảnh điểm M qua phép quay tâm O , góc quay 90 Suy M thuộc đường thẳng  : x  y   Khi đó: z1  iz2  M1 M Do z1  iz2 nhỏ � M 1M nhỏ Suy ra:  z1  iz2   d  I ;    R  1 2  2 III.KẾT LUẬN Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Việc phân loại dạng toán đem lại hiệu cao việc học tập rèn luyện học sinh 19 Học sinh nắm dạng bản, rèn luyện nhiều kĩ làm tập ứng dụng Áp dụng ôn tập câu vận dụng - vận dụng cao trình ơn thi tốt nghiệp năm 2020- 2021 Qua điều tra nhận thấy rằng: Sau áp dụng việc phân dạng học sinh học tập tiến Kiến nghị, đề xuất Sau thực nghiệm đề tài xin đưa số kiến nghị sau: Cần phát huy tốt việc phân loại dạng tập để học sinh học tập dễ dàng hứng thú Cần cung cấp cho học sinh làm quen nhiều với dạng toán nâng cao Do khả thời gian có hạn, kết sáng kiến dừng lại bước đầu, nhiều vấn đề chưa sâu, khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong góp ý để hồn thiện đề tài Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng năm 2021 (Ký ghi rõ họ tên) Trần Lưu Giang 20 IV Tài liệu tam khảo [1] Giải tích 12 [2] Đề minh họa mơn tốn 2020 [3] Đề minh họa mơn tốn 2021 [4] Đề minh thi mơn toán 2020 21 22 ... án toán cách nhanh Với mong muốn giúp học sinh tìm đáp án toán cực trị Số phức cách nhanh để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiên Vì tơi chọn đề tài: "Bài tốn cực trị Số phức ơn thi tốt nghiệp. .. biểu diễn I 2; 3 số phức z đường tròn tâm  bán kính R  Gọi E  1;1 P  EI  R  điểm biểu diễn số phức  i � P  EM Do z   3i  Bài toán 4: Cho số phức z thoả mãn Giá trị lớn P  z 1... z2 Bài toán 12: Cho số phức z thỏa mãn w   3i  Giá trị nhỏ A 13   34 z   i  1, biểu thức B 13  số phức w thỏa mãn zw C 17  Lời giải Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức