Thuật toán phân rã giải bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 12/2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên - 12/2015 Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI 1.3 HÀM LỒI, HÀM LÕM VÀ HÀM TỰA LÕM 12 QUI HOẠCH LÕM VỚI RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH 16 2.1 CỰC ĐẠI HÀM LỒI, CỰC TIỂU HÀM LÕM 16 2.2 BÀI TOÁN QUI HOẠCH LÕM 19 2.3 THUẬT TOÁN XẤP XỈ NGOÀI GIẢI QUI HOẠCH LÕM 21 2.3.1 Ý tưởng phương pháp 21 2.3.2 Trường hợp ràng buộc tuyến tính 22 VÍ DỤ MINH HỌA 25 2.4 BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM 28 3.1 NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TOÁN 28 3.2 Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN 29 3.3 THUẬT TOÁN PHÂN RÃ 30 3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Bài toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đóng gọi toán qui hoạch lõm (Concave Programming Problem) Đây toán tối ưu toàn cục, tính phổ biến nhiều toán tối ưu toàn cục quy dựa nhiều phép giải Đơn giản nghiên cứu nhiều toán qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, đề tài cao học đề cập tới Sách tham khảo [2], [5] nêu nhiều kết lý thuyết phương pháp giải lớp toán Các tài liệu tham khảo [3], [4] chủ yếu đề cập tới toán qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính mô hình toán phân bố sản xuất thường gặp Sau học chuyên đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn: "Thuật toán phân rã giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm" Mục đích luận văn tìm hiểu toán qui hoạch lõm, chủ yếu toán với ràng buộc tuyến tính thuật toán xấp xỉ giải toán Đặc biệt ý tới thuật toán phân rã giải mô hình toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Luận văn viết dựa tài liệu tham khảo [1]- [5] Các kết cần đạt được: hiểu trình bày số nội dung sau: a) Hàm lõm toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện b Thuật toán xấp xỉ giải toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính c) Bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm thuật toán phân rã giải toán, dựa kỹ thuật xấp xỉ Cấu trúc luận văn gồm chương • Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, cách xác định tập đỉnh đa diện lồi hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm số tính chất hàm • Chương "Bài toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính" trình bày tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm nói chung không cực tiểu toàn cục cực tiểu hãm lõm có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Giới thiệu toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Trình bày phương pháp xấp xỉ giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ số minh họa thuật toán giải • Chương "Bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm" trình bày phương pháp nêu [4] giải số toán qui hoạch tuyến lõm cấu trúc riêng có tên toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa ý tưởng phân rã (chia nhỏ) toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến số toán vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật toán xấp xỉ ngoài, toán vận tải giải theo thuật toán vị qui hoạch tuyến tính Cuối chương xét ví dụ số minh họa thuật toán Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong quí thầy cô bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức liên quan đến tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lõm tính chất chúng Trong chương trình bày cách tính đỉnh đa diện lồi, nhận cách thêm ràng buộc vào đa diện lồi khác mà ta biết tập đỉnh Nội dụng chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3] [5] 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ R gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C, ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] • Ta để ý tới tập lồi đặc biệt sau đây: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a = α ∈ R c) Các nửa không gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x α}, H − = {x ∈ Rn : aT x α} d) Các nửa không gian mở K + = {x ∈ Rn : aT x > α}, K − = {x ∈ Rn : aT x < α} • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi C, D lồi ⇒ C D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn C ± D = {x ± y =: x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ⊂ Rm D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, kí hiệu aff E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, kí hiệu conv E Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, kí hiệu dim M, thứ nguyên (số chiều) không gian song song với b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, kí hiệu dim C, thứ nguyên (số chiều) bao afin aff C Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi có thêm tính chất λx ∈ K, ∀x ∈ K, ∀λ > Định lí 1.1 Hai tập lồi ∅ = C, D ⊂ Rn điểm chung (C ∩ D = ∅ ) tách siêu phẳng, nghĩa có vectơ a ∈ Rn , a = số α cho aT x α aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , nghĩa đoạn thẳng thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, điểm thuộc C mà điểm đoạn thẳng với hai đầu mút khác thuộc C Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện đoạn thẳng, cạnh vô hạn diện nửa hay đường thẳng Tất nhiên tập ∅ thân C diện C Một diện khác C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: diện thực khối lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh (hữu hạn) mặt Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tuyến tính Một tập lồi đa diện không giới nội Một tập lồi đa diện giới nội gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường R2 (tam giác, hình thang, hình vuông, hình chữ nhật, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện Đối với đa diện lồi (tức tập lồi đa diện bị chặn) ta có định lý biểu diễn sau: Định lí 1.2 Cho D đa diện lồi khác rỗng V tập đỉnh D Khi đó, x ∈ D có biểu diễn: x= λv v với λv v∈V 1.2 λv = v∈V XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI Mục đề cập tới toán sau thường gặp thực thi thuật toán xấp xỉ giải qui hoạch lõm Bài toán A Cho tập lồi đa diện bị chặn M ⊂ Rn xác định hệ ràng buộc tuyến tính có dạng: hi (x) = Ai x + bi 0, i = 1, , m, Ai vectơ hàng n - chiều, bi số, m n Giả sử ta biết U - tập đỉnh M, nghĩa ta có biểu diễn M = conv U (Định lý 1.2) Ta giả thiết U = ∅ (Đa diện lồi M có đỉnh) Cho hàm afin h0 (x) = A0 x + b0 với A0 vectơ hàng n - chiều khác 0, b0 số thực Đặt: N = M ∩ {x ∈ Rn : h0 (x) 0} (1.1) Rõ ràng N đa diện lồi Bài toán đặt là: Hãy xác định tập đỉnh V N ? (Bài toán tương tự đặt giải trọn vẹn cho trường hợp tập lồi đa diện không bị chặn Tuy nhiên ta không đề cập tới đây) Để giải vấn đề đặt ra, ta ký hiệu: U − = {u ∈ U : h0 (u) < 0} (1.2) U + = {u ∈ U : h0 (u) > 0} (1.3) H = {x ∈ Rn : h(x) = 0} Các mệnh đề sau tạo sở lý luận cho việc giải toán đặt Mệnh đề 1.1 Nếu U + = ∅ N = M, nghĩa V = U Chứng minh Theo giả thiết U + = ∅ nên h0 (u) với u ∈ U Với x ∈ M ta có biểu diễn: x= λu u, λu 0, u∈U λu = u∈U Suy h0 (x) = λu h0 (u) u∈U nghĩa x ∈ N Do M ⊆ N Bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên Vậy M = N V = U Mệnh đề 1.2 Giả sử U − = ∅ Khi đó: a) Nếu U + = U N = ∅, nghĩa V = ∅ b) Nếu U + = U V = U \U + Hình 1.1: Mệnh đề 1.1: U + = ∅ Chứng minh a) U = U + có nghĩa h0 (u) > với u ∈ U Từ trên, với x ∈ M , ta có: h0 (x) = λu h0 (u) > u∈U (Bất đẳng thức có λu > 0) Vậy N = ∅ V = ∅ b) U − = ∅ có nghĩa h0 (u) M , nghĩa M ⊂ {x : h0 (x) 0∀u ∈ U Vì theo Định lý 1.2, h0 (x) 0∀x ∈ 0} Từ suy ra: N = M ∩ {x : h0 (x) = 0} = N ∩ H = ∅ (do U \(U + ∪ U − ) = U \U + = ∅) Chứng tỏ trường hợp N diện M, đỉnh N đỉnh M Vì ta có V = U \U + Hình 1.2: Mệnh đề 1.2: U − = ∅ Mệnh đề 1.3 Giả sử U + = ∅ U − = ∅ Khi đó: a) V ∩ U = U \U + 26 Hình 2.4: Tập ràng buộc toán Ví dụ 2.1 Bước x1 = (10, 0); f (x1 ) = −300 γ1 = max{−14, 0, −18, 6} = > i1 = V1− = {(0, 0); (0, 10)}, V1+ = {(10, 0)} V2 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} f = {0, −200, −48, −165} Bước x2 = (0, 10); f (x2 ) = −200 γ2 = max{−24, 0, 12, −14} = 12 > i2 = V2− = {(0, 0); (4, 0)}, V2+ = {(0, 10)} V3 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} f = {0, −200, −48, −165} Bước x3 = (7, 3); f (x3 ) = −165 γ3 = max{−17, 0, −9, 0} = Dừng thuật toán: x3 = (7, 3) lời giải tối ưu với giá trị mục tiêu f (x3 ) = −165 Ví dụ 2.2 Tìm cực tiểu hàm lõm bậc hai (5 biến) f (x) = −(x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ) + 2x1 + 4x2 + 8x3 + 14x4 + 18x5 ràng buộc tuyến tính: −x1 − 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 − 85 27 −7x1 + 9x2 − 5x3 + 33x4 − 11x5 − 500 2x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5 − 150 1, 3x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 − 300 x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, Tập ràng buộc nằm đơn hình S1 = {x ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 300, xj 0; j = 1, 2, 3, 4, 5} Áp dụng thuật toán xấp xỉ ngoài, ta nhận lời giải tối ưu: x∗ = (0, 190, 0, 0, 110) f (x∗ ) = −45460 Tóm lại, chương trình bày tính chất cực trị liên quan tới hàm lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm (cực đại địa phương hàm lồi) nói chung không cực tiểu (cực đại) toàn cục cực tiểu hàm lõm (cực đại hàm lồi) có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Giới thiệu toán toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Đó toán điển hình tối ưu toàn cục toán khó có nhiều cực tiểu địa phương Trình bày phương pháp xấp xỉ giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ minh họa phương pháp giải trình 28 Chương BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM Chương giới thiệu phương pháp phân rã nêu [4] giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa việc rút gọn toán ban đầu dãy toán cỡ nhỏ tìm cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, xử lý thuật toán qui hoạch lõm Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật toán trình bày 3.1 NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TOÁN Xét toán tối ưu sau thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất vận tải, ký hiệu toán (P): m m (P ) n cij xij → fi (xi ) + i=1 với điều kiện: (3.1) i=1 j=1 n xij = xi ; i = 1, , m (3.2) xij = bj ; j = 1, , n (3.3) j=1 m i=1 xij 0; i = 1, , m; j = 1, , n (3.4) 29 x = (x1 , , xm )T ∈ X đó: n m m X = {x ∈ R : bj ; xi xi = i=1 0; i = 1, , m} j=1 Có thể giải thích ý nghĩa mô hình toán (3.1) - (3.4) sau: Giả sử có m nhà máy giao nhiệm vụ sản xuất loại hàng (xi măng chẳng hạn) có n hộ có nhu cầu tiêu thụ loại hàng Các ký hiệu dùng mô hình gồm có: • xi biểu thị khối lượng sản xuất hàng nhà máy thứ i (i = 1, , m) • xij số lượng hàng chuyển từ nhà máy thứ i tới hộ tiêu thụ thứ j • bj nhu cầu tiêu thụ hàng biết hộ tiêu thụ thứ j (j = 1, , n) • cij cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ nhà máy i tới hộ tiêu thụ j • fi (xi ) chi phí sản xuất xi đơn vị hàng nhà máy i Bài toán đặt nên giao cho nhà máy sản xuất đơn vị hàng tổ chức vận chuyển lượng hàng sản xuất từ nhà máy đến hộ tiêu thụ tổng chi phí sản xuất vận chuyển nhỏ nhất? Mô hình toán (P) thường gọi toán phân bố sản xuất: lập kế hoạch sản xuất, đồng thời lập phương án phấn phối sản phẩm tới hộ tiêu thụ Ở hàm chi phí sản xuất giả thiết lõm, nghĩa số lượng sản xuất nhiều chi phí sản xuất tính đơn vị giảm 3.2 Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN Với giả thiết đó, mặt toán học, mô hình (3.1) - (3.4) toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (3.1) với ràng buộc tuyến tính (3.2) - (3.4) Hiện có nhiều thuật toán hữu hạn giải toán qui hoạch lõm Tuy nhiên, qui hoạch lõm thuộc lớp toán tối ưu toàn cục phức tạp khó giải nên thuật toán 30 có giải tốt toán có kích thước vừa phải Tuy nhiên, toán (P) có đặc điểm số biến xi gắn với mục tiêu phi tuyến lõm toán m, số tương đối nhỏ so với số lượng biến tuyến tính ( m × n) Điểu gợi ý cho thấy toán (P) giải hiệu cách áp dụng kỹ thuật phân rã qui hoạch toán học Theo kỹ thuật này, toán ban đầu phân rã (chia nhỏ) thành dãy toán qui hoạch lõm phụ với kích thướng nhỏ (m biến lõm), toán phụ giải hiệu thuật toán, chẳng hạn theo thuật toán xấp xỉ Nói cách ngắn gọn, ý tưởng phương pháp phân rã sau: Khi x (vectơ sản xuất) tạm cố định, toán (P) trở thành toán vận tải thông thường Giải toán vận tải ta nhận phương án vận chuyển tối ưu vectơ sản xuất chọn Sau dùng tiêu chuẩn tối ưu, ta kiểm tra xem vectơ sản xuất x chon tối ưu chưa Nếu chưa, ta xác định vectơ sản xuất cách giải toán qui hoạch lõm phụ ta lại giải toán vận tải tương ứng với vectơ sản xuất Cứ tiếp tục làm Sau số hữu hạn vòng lặp, ta nhận lời giải tối ưu toán (P) ban đầu Mục mô tả chi tiết thuật toán phân rã mục cuối chương trình ví dụ minh họa cho thuật toán giải 3.3 THUẬT TOÁN PHÂN RÃ Thuật toán giải dựa ý tưởng phân rã nêu mục trước toán đưa toán qui hoạch lõm Rm+1 Để làm điều này, ta đặt m f (x) = fi (xi ) i=1 m n cij xij : xij thỏa mãn (3.2) − (3.4)} g(x) = min{ i=1 j=1 m = max{ n bi vj } : ui + vj xi ui + i=1 j=1 cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} 31 với đẳng thức cuối suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Giả sử M = {(u, v) ∈ Rm+n : ui + vj cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} ¨ tập điểm cực biên (đỉnh) tập lồi đối ngẫu qui hoạch ký hiệu M tuyến tính ta có: n m ¨} bj vj : (u, v) ∈ M xi ui + g(x) = max{ (3.5) j=1 i=1 Vì thế, g(x) hàm lõm tuyến tính khúc theo x ∈ X Bài toán (P) diễn đạt lại thành: min{f (x) + g(x) : x ∈ X} Chú ý tới (3.5) đưa thêm vào biến phụ t, ta thấy toán (P) tương đương với toán sau đây: (CP) f (x) + t → với điều kiện: n m −t+ vj bj ui xi + ¨ 0∀(u, v) ∈ M (3.6) j=1 i=1 (3.7) x∈X ¨ hữu hạn nên toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Do tập M phụ thuộc biến (t, x) ∈ Rm+1 Như vậy, thay cho việc giải toán (P) ta giải toán (CP) Tuy nhiên, để giải (CP) ta không cần biết tất ràng buộc (3.6) toán Thuật toán nêu sau tiến hành theo phương pháp xấp xỉ giới thiệu chương trước cho phép vòng lặp trình giải tạo ràng buộc (3.6) một, cần Cụ thể, giả sử: D = {(t, x) : g(x) t; x ∈ X} n (bj × cij ) t0 = j=1 i m 32 Có thể thấy D tập hợp tất cặp (t, x) thỏa mãn ràng buộc (3.6) (3.7) t0 cận lớn giá cước phí vận chuyển hàm mục tiêu (3.1) vectơ sản xuất chấp nhận được, nghĩa là: t0 (3.8) g(x)∀x ∈ X Về bản, thuật toán xây dựng dãy tập lồi đa diện S1 , S2 , cho: S1 = {(t, x) : x ∈ X; t t0 } (theo (3.8), S1 ⊃ D), Sk+1 nhận từ cách thêm vào Sk vào ràng buộc (3.6) D Vì Sk ⊃ Sk+1 ⊃ D Mỗi tập lồi đa diện Sk có hướng lùi xa e1 = (1, 0, , 0) ∈ Rm+1 Lúc đầu S1 có m đỉnh: = (t0 , 0, , B, , 0); i = 1, , m B = n j=1 bj Ở vòng lặp k, biết tập đỉnh Sk nên ta tính tập đỉnh Sk+1 cách sử dụng kỹ thuật sinh đỉnh giới thiệu Chương Ở vòng lặp k-1, toán nới lỏng: min{f (x) + t : (t, x) ∈ Sk } (3.9) giải đơn giản nhờ tính so sánh giá trị hàm f (x) + t đỉnh Sk Điều làm hàm f (x) + t bị chặn nửa đường thẳng song song với hướng lùi xa e1 Giả sử (tk , xk ) đỉnh Sk đạt cực tiểu (3.9) Nếu (tk , xk ) ∈ D, nghĩa g(xk ) tk (tk , xk ) lời giải (CP) D ⊂ Sk Nếu trái lại, tập lồi đa diện Sk+1 tạo cách thêm vào Sk ràng buộc mới: m −t + n ui xi + i=1 vj bj j=1 chọn cho (tk , xk ) không thuộc Sk+1 Theo cách này, vòng lặp k thuật toán dừng cho lời giải tối 33 ưu toán (CP) tập lồi đa diện Sk+1 sinh thuật toán thực tiếp vòng lặp k+1 Nói cách xác, mô tả bước thuật toán phân rã sau THUẬT TOÁN Khởi sự: Giải toán qui hoạch lõm m (Q1 ) fi (xi ) + t : x ∈ X; t min{ t0 } i=1 để xác định vectơ sản xuất ban đầu (t1 , x1 ) Đặt số vòng lặp k = Vòng lặp k Giải toán vận tải m n cij xij → (Tk ) i=1 j=1 với điều kiện: n xij = xki ; i = 1, , m j=1 m xij = bj ; j = 1, , n i=1 xij 0; i = 1, , m; j = 1, , n Giả sử {xkij } lời giải (phương án vận chuyển) tối ưu (Tk ) {uki , vjk } hệ thống vị tương ứng a) Nếu m n cij xkij gk = tk i=1 j=1 (tiêu chuẩn tối ưu), dừng thuật toán: {xki , xkij } nghiệm tối ưu (P) Lưu ý gk = g(xk ) theo định nghĩa g(x) b) Trái lại, ta có: m n uki xki gk = i=1 vjk bkj > tk + j=1 34 (đẳng thức vế trái suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính) Thêm vào (Qk ) ràng buộc mới: n m uki xi −t + vjk bj + j=1 i=1 (từ bất đẳng thức trước cho thấy (tk , xk ) vi phạm ràng buộc này) Giải toán phụ mới: m fi (xi ) + t → (Qk+1 ) i=1 với điều kiện: x ∈ X, t t0 n m usi xi −t + vjs bj + 0, s = 1, , k j=1 i=1 Giả sử (tk+1 , xk+1 ) lời giải tối ưu (Qk+1 ) Chuyển sang vòng lặp k+1 Mệnh đề 3.1 Thuật toán nêu dừng sau số hữu hạn vòng lặp Chứng minh Ký hiệu Sk tập ràng buộc (Qk ), nghĩa tập cặp (t, x) nghiệm m n usi xi −t + i=1 vjs bj + 0; s = 1, , k − j=1 x ∈ X, x t0 Khi đó, Sk+1 tập thực Sk , rõ (tk , xk ) ∈ Sk \Sk+1 Vì ¨ phần tử trùng dãy {(u1 , v ), , (uk , v k ), } ⊂ M ¨ hữu hạn nên thuật toán kéo dài vô hạn thuật toán sinh Vì tập M 3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN Mục trình bày số ví dụ cụ số cỡ nhỏ để minh họa cho thuật toán nêu trên: 35 Ví dụ 3.1 Giải toán (P) với m = 3, n =5: b = (62, 65, 51, 10, 15)  66 68 81     C = 40 20 34 83 27   90 22 82 17   0 xi = i=1, 2, fi (xi ) =  di + ci xi xi > c = 1, 8, 4, , d = 88 39 Kết tính toán tóm tắt sau: Nghiệm tối ưu (Q1 ): (t1 , x1 ) = 3636 303 0 Vòng lặp 1: Giá trị mục tiêu tối ưu (T1 ) : g1 = 9000 > t1 Các vị tương ứng với x1 : u1 = −46 −64 ,v = 66 68 81 Ràng buộc 1: −t − 46x2 − 64x3 + 9000 Nghiệm tối ưu (Q2 ): (t2 , x2 ) = 363 119, 1875 83, 8125 Vòng lặp 2: Giá trị mục tiêu tối ưu (T2 ) : g2 = 5535, 25 > t2 Các vị tương ứng với x2 : u2 = −106 −140 −102 , v = 112 124 174 119 110 Ràng buộc 2: −t − 106x1 − 140x2 − 102x3 + 26718 Nghiệm tối ưu (Q3 ): (t3 , x3 ) = 3636 104, 51, 46, Vòng lặp 3: Giá trị mục tiêu tối ưu (T3 ) : g3 = 4651, 44407 > t3 Các vị tương ứng với x3 : u3 = −60 −94 −92 , 36 v = 66 114 128 109 64 Ràng buộc 3: −t − 60x1 − 94x2 − 92x3 + 20080 Nghiệm tối ưu (Q4 ): (t4 , x4 ) = 3636 73, 176 54, 824 75 Vòng lặp 4: Giá trị mục tiêu tối ưu (T4 ) : g4 = 3773, 647 > t4 Các vị tương ứng với x4 : u4 = −48 −46 −44 , v = 54 66 80 61 52 Ràng buộc 4: −t − 48x1 − 46x2 − 44x3 + 13108 Nghiệm tối ưu (Q5 ): (t5 , x5 ) = 3766 77 51 75 Vòng lặp 5: Giá trị mục tiêu tối ưu (T5 ) : g5 = 3766 = t5 Dừng thuật toán Nghiệm tối ưu toán: • Vectơ sản xuất: x1 = 77, x2 = 51, x3 = 75 • Phương án vận chuyển: • Chi phí tổng cộng (sản xuất + vận chuyển) nhỏ 4805,8 Như vậy, thuật toán phân rã trình bày gồm hai việc giải toán qui hoạch lõm (Qk ), xem kẽ với giải toán vận tải (Tk ) Các toán (Qk ) giải theo thuật toán xấp xỉ (Chương 2) bàn toán (Tk ) 37 giải theo thuật toán vị quen thuộc qui hoạch tuyến tính Thực tế tính toán giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm cho thấy cước phí vận chuyển đáng kể so với chi phí sản xuất nhà máy nghiệm tối ưu toán (P) nhận theo thuật toán phân rã thường trùng với lời giải đạt cực tiểu cước phí vận chuyển (mỗi hộ tiêu thụ cung cấp hàng từ nhà máy gần nhất) Cụ thể là: xopt ij =   bj i = i(j) j=1, , n  0 i = i(j) n xopt i xopt ij ; i = 1, , m = j=1 i(j) số dòng cho ci(j)j = ckj ; j = 1, , n k m Mặt khác, chi phí sản xuất tốn nhiều so với cước phí vận chuyển lời giải tối ưu toán có nhiều số i với xopt = (hàng hóa sản i xuất nhà máy có chi phí tương đối rẻ so với nhà máy khác) Ví dụ 3.1 xét không thuộc trường hợp kể trên, chi phí sản xuất cước phí vận chuyển có cạnh tranh lẫn Cũng từ kinh nghiệm tính toán cho thấy công việc chủ yếu tốn nhiều công sức tính toán giải toán qui hoạch lõm (Qk ) Còn toán vận tải (Tk ) giải tương đối dễ dàng Số ràng buộc thêm vào, tức số vòng lặp cần thực để nhận lời giải tối ưu (P) thường vào khoảng m+n, tổng số ¨ ) Vì thế, ràng buộc toán (CP) lớn (số số phần tử M phần lớn trường hợp số ràng buộc (3.6) dùng đến giải (P) theo thuật toán phân rã Ưu điểm thuật toán phân rã so với cách tiếp cận trực tiếp đáng kể toán có m (số nhà máy) nhỏ nhiều so với n (số hộ tiêu thụ) Tóm lại, chương đề cập tới lớp toán qui hoạch lõm có cấu trúc đặc 38 thù, gọi toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Bài toán thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất kinh doanh hãng hay công ty Trong chương trình bày phương pháp phân rã toán Phương pháp dựa việc giải toán ban đầu thông qua việc giải toán qui hoạch lõm cỡ nhỏ toán vận tải tương ứng Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật toán giải trình bày 39 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính số trường hợp riêng toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Đây toán thuộc lớp tối ưu toàn cục đáng quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày nội dung sau: • Kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm số tính chất chúng Cách xác định tập đỉnh đa diện lồi • Tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm: cực tiểu địa phương hàm lõm nói chung không cực tiểu toàn cục cực tiểu hàm lõm có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Bài toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Phương pháp xấp xỉ giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng • Phương pháp giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm, dựa ý tưởng phân rã toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến số toán vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật toán xấp xỉ ngoài, toán vận tải theo thuật toán vị qui hoạch tuyến tính Luận văn đề cập tới phương pháp xấp xỉ giải qui hoạch lõm toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Hy vọng tương lai, tác giả luận văn có dịp tìm hiểu thêm phương pháp thuật toán khác qui hoạch lõm ứng dụng chúng 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hóa Nhà xuất Giao thông vận tải [2] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu (Bài giảng lớp cao học) Viện Toán học, Hà Nội Tiếng Anh [3] Thieu T V., (1984), A finite method for globally minimizing concave functions over unbounded polyhedral convex sets and its applications, Acta math Vietnamica, Vol 9, pp 173 - 191 [4] Thieu T V (1987), Solving the lay - out planning problem with concave cost, Essays on Nonlinear Analysis and Optimization Problems, pp 101 - 110 [5] Hoang Tuy (1998), Convex analysis and global optimization Kluwer Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht ... Hàm lõm toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện b Thuật toán xấp xỉ giải toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính c) Bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm thuật toán phân rã giải toán, dựa kỹ thuật. .. hiểu toán qui hoạch lõm, chủ yếu toán với ràng buộc tuyến tính thuật toán xấp xỉ giải toán Đặc biệt ý tới thuật toán phân rã giải mô hình toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Luận văn viết dựa... tuyến lõm cấu trúc riêng có tên toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa ý tưởng phân rã (chia nhỏ) toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến số toán vận tải tương ứng Bài toán