Lượng giác hóa bài toán

I. đặt vấn đề ở trờng phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán học là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trờng phổ thông. Trong chơng trình toán ở trờng THPT, các bài toán rất phong phú và đa dạng cả về nội dung lẫn phơng pháp giải. Vì vậy việc bồi dỡng cho học sinh một phơng pháp giải có hiệu quả là một việc rất bổ ích và cần thiết. Việc biến bài toán đại số thành bài toán lợng giác hay Phơng pháp lợng giác hoá các bài toán đại số là một phơng pháp còn cha đợc sử dụng rộng rãi khi giải bài tập toán ở trờng THPT, đó không phải thích hợp cho mọi bài toán đại số nhng số lợng bài tập có thể áp dụng phơng pháp này cũng không phải là ít. Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu để có cách truyền thụ thích hợp cho học sinh. Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán đại số bằng ph- ơng pháp lợng giác cho học sinh tôi chọn đề tài Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT qua chuyên đề chứng minh đẳng thức đại số bằng phơng pháp lợng giác. II. Mục tiêu của đề tài Đa ra phơng pháp chung để giải bài toán đại số bằng phơng pháp lợng giác, cơ sở của phơng pháp này, các ví dụ minh hoạ về chứng minh đẳng thức đại số bằng phơng pháp lợng giác nhằm khắc sâu kiến thức cơ bản và hình thành kỹ năng chứng minh đẳng thức đại số bằng phơng pháp lợng giác. III. Nội dung 1. Phơng pháp lợng giác hoá các bài toán chứng minh đẳng thức đại số. * Để lợng giác hoá các bài toán ta dựa trên các mệnh đề sau: Mệnh đề I: Nếu 1 x 1 thì có một số a với - 2 a 2 sao cho sin a = x và một số b với 0 b sao cho cos b = x. Mệnh đề II: Nếu 0 x 1 thì có một số a và một số b với 0 a 2 ; 0 b 2 sao cho x = sina và x = cosb. Mệnh đề III: Với mỗi số thực x có một số a với - 2 < a < 2 sao cho x = tg a. Mệnh đề IV: Nếu các số thực x và y thoả mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1 thì có một số a với 0 a 2 sao cho x = cosa và y = sina. * Phơng pháp giải: Ta thực hiện các bớc sau: B ớc 1: Lợng giác hoá đẳng thức. Bớc 1: Thực hiện việc chứng minh đẳng thức lợng giác. * Chú ý: Các em học sinh cần ôn lại các phơng pháp chứng minh đẳng thức l- ợng giác, các kiến thức cơ bản về lợng giác để có thể nhanh chóng tiếp cận đợc phơng pháp này. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho x y. Chứng minh x + y +x - y= 2222 yxxyxx ++ Giải: Đẳng thức hiển nhiên đúng với x = y = 0. Giả sử x 0. Chia hai vế đẳng thức cần chứng minh cho x ta đợc: 2 x y 11 x y 1 x y 1 +=++ + 2 x y 11 Do x y ta có: x y 1 nên 1 x y 1. Đặt x y = cos a với a [0; ] đẳng thức cuối sẽ là 1 + cos a+1 cos a=1 + sin a+1 sin a Bởi vì các biểu thức trong các dấu giá trị tuyệt đối luôn không âm (-1 sina, cosa 1) nên đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Ví dụ 2: Cho x 2 + y 2 = 1 u 2 + v 2 = 1 xu + yv = 0 Chứng minh: a) x 2 + u 2 = 1 b) y 2 + v 2 = 1 c) xy + uv = 0 Giải: áp dụng mệnh đề IV, tồn tại x = cos a ; y = sin a với 0 a 2 và u = cosb và v = sinb với 0 b 2. Từ giả thiết: xu + yv = 0 cos a cos b + sin a sin b = cos(a b) = 0 (*) a) ta có: x 2 + u 2 = cos 2 a + cos 2 b = 2 1 (1 + cos 2a) + 2 1 (1 + cos 2b) = 1 + 2 1 (cos 2a + cos 2b) = 1 + cos(a + b) cos(a b). Theo (*) vế phải đẳng thức cuối cùng bằng 1 (đpcm). b) y 2 + v 2 = sin 2 a + sin 2 b = 2 1 (1 cos 2a) + 2 1 (1 cos 2b) = 1 cos(a + b) cos(a b) = 1 (đpcm). c) Tơng tự ta có: xy + uv = cos a sin a + cos b sin b = = 2 1 (sin 2a + sin 2b) = sin(a + b) cos(a b) = 0 (đpcm). Ví dụ 3: Cho x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1 (x > 0, y > 0, z > 0) Chứng minh: 1 + xyz = x )z1)(y1( 22 + y )z1)(x1( 22 + z )y1)(x1( 22 Giải: Từ giả thiết ta có ngay 0 < x, y, z < 0 áp dụng mệnh đề II, đặt x = cos a; y = cosb; z = cos c với a, b, c 2 ;0 . Chứng minh đẳng thức đã cho tơng đơng với chứng minh: 1 + cosa cosb cosc = cosa sinb sinc + cosb sina sinc + cosc sina sinb. Từ giả thiết ta có: Cos 2 a + cos 2 b + cos 2 c + 2cos a cosb cosc = 1 (cosc + cosacossb) 2 cos 2 acos 2 b + cos 2 a + cos 2 b 1 = 0 (cosc +cosacossb) 2 + cos 2 asin 2 b sin 2 b = 0 (cosc + cosacossb) 2 sin 2 asin 2 b = 0 (cosc + cosacosb sinasinb)(cosc + cosacosb + sinasinb) = 0 [cosc + cos(a + b)][cosc + cos(a b)] = 0 4cos 2 cba ++ cos 2 cba + cos 2 cba + cos 2 acb + = 0 (*) Do điều kiện 0 < a,b,c < 2 suy ra 2 cba + 2 ; 2 cba + 2 và 2 acb + 2 . Thành thử: cos 2 cba + cos 2 cba + cos 2 acb + 0 Từ (*) suy ra: cos 2 cba ++ = 0 a + b + c = cos(a + b + c) = -1 = cos(a + b) cosc sinc sin(a + b) sinc = = cosa cosb cosc sina sinb cosc sina sinc cosb sinb sinc cosa 1 + cosa cosb cosc = sina sinb cosc + sina sinc cosb + sinb sinc cosa (đpcm). Ví dụ 4: Cho xy, yz, zx -1. Chứng minh zx1 xz . yz1 zy . xy1 yx zx1 xz yz1 zy xy1 yx + + + = + + + + + Giải: áp dụng mệnh đề III, đặt x = tga; y = tgb; z = tgc với - 2 < a, b, c < 2 , và áp dụng tg của hiệu hai góc ta có: tgatgb1 tgbtga xy1 yx + = + = tg(a b); Tơng tự ta có: yz1 zy + = tg(b c); zx1 zz + = tg(c a) Lu ý rằng (a b) + (b c) + (c a) = 0 ta đợc: tg(a b) + tg(b c) + tg(c a) = tg(a b). tg(b c) . tg(c a) Biến đổi ngợc lại với các phép biến đổi bên trên ta đợc điều cần phải chứng minh. Ví dụ 5: Cho z1 z1 y1 y1 x1 x1 + + + + + = z1 z1 . y1 y1 . x1 x1 + + + (1) Với x, y, z 1. Chứng minh : a) 2 2 22 z1 z1 )y1)(x1( )xy1)(yx(2 + = ++ + b) 222 22 z1 z2 )y1)(x1( )yx()xy1( + = ++ + Giải: a) Đặt x = tga ; y = tgb ; z = tgc với - 2 < a, b, c < 2 và a, b, c 2 (vì x, y, z 1) Ta có: tga. 4 tg1 tga 4 tg tga1 tga1 x1 x1 = + = + = tg(a + 2 ) Tơng tự: ) 4 b(tg y1 y1 + + ; ) 4 c(tg z1 z1 + + Từ đẳng thức đã cho ta có: Tg(a + 2 ) + tg(b + 2 ) + tg(c + 2 ) = tg(a + 2 ) tg(b + 2 ) tg(c + 2 ) Đặt A = a + 4 ; B = b + 4 ; C = c + 4 ; đẳng thức cuối có dạng: tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC tgA + tgB = (1 tgA tgB) tg(-C) tg(-C) = tgAtgB1 tgBtgA + = tg(A + B) A + B = -C + k A + B + C = k a + b + c = 4 + l (2) Vậy điều kiện (1) tơng đơng với đẳng thức (2) Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ctg1 ctg1 )btg1)(atg1( )tgatgb1)(tgbtga(2 2 2 22 + = ++ + 2(sina cosb + sinb cosa)(cosa cosb sina sinb) = cos 2 c sin 2 c 2sin(a + b) cos(a + b) = cos2c sin(2a + 2b) = cos 2c (3) Bởi vì: a + b + a = 4 + l đẳng thức (3) hiển nhiên đúng (đpcm). b) Tơng tự nh câu a), sau khi thay x = tga, y = tgb, z = tgc rồi biến đổi lợng giác, đẳng thức cần chứng minh dẫn đến cos(2a + 2b) = sin 2c Do (2) đẳng thức hiển nhiên đúng (đpcm). Ví dụ 6: Nếu a + b + c abc = 1 ab bc ca. CMR: abc )c1)(b1)(a1( c c1 b b1 a a1 222222 = + + Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg với , , 2 ; 2 . tg + tg + tg - tg. tg . tg = 1 - tg.tg-tg.tg-tg.tg (1) Xét 2 trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu 1 - tg.tg - tg.tg - tg.tg = 0, ta đợc: tg.tg + tg.tg + tg.tg = 1 + + = 2 + k tg + tg + tg = tg.tg.tg + + = l Trờng hợp 2: Nếu 1 - tg.tg - tg.tg - tg.tg 0, ta đợc: 1)(tg1 tg.tgtg.tgtg.tg tg.tg.tgtgtgtg )1( =++= ++ ++ + =+++ =++ k 2 222k 4 tg2.tg2 - tg2.tg2 - tg2.tg2 = 1 mâu thuẫn cotg2 + cotg2 + cotg2 = cotg2.cotg2.cotg2 (2) Nhận xét rằng: c c1 2gcot, b b1 2gcot, a a1 2gcot 222 = = = (3) Thay (3) vào (2) suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 7: Cho xyz = x + y +z; và x 2 , y 2 , z 2 3 1 . Chứng minh: a. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 z31 zz3 . y31 yy3 . x31 xx3 z31 zz3 y31 yy3 x31 xx3 = + + b. x(y 2 -1)(z 2 -1)+y(z 2 -1)(x 2 -1)+z(x 2 -1)(y 2 -1)=2xyz Giải a. Đặt x=tga; y=tgb; z=tgc với a, b, c ( 2 ; 2 ); a, b, c 6 điều kiện đã cho tơng đơng với: tga + tgb + tgc = tga tgb tgc (1). Theo bài 1.12 (1) a + b + c = k Chú ý là atg31 atgtga3 a3tg 2 3 = btg31 btgtgb3 b3tg 2 3 = và ctg31 ctgtgc3 c3tg 2 3 = Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với tg3a + tg3b + tg3c = tg3a.tg3b.tg3c Đẳng thức này đúng (do a+b+c = k thì 3a+3b+3c=l) b. Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với: tga(tg 2 b-1)(tg 2 c-1) + tgb(tg 2 c-1)(tg 2 a-1)+tgc(tg 2 a-1)(tg 2 b-1)=2tgatgbtgc sin2acos2bcos2c+cos2asin2bcos2c+cos2acos2bsin2c= sin2asin2bsin2c (2) Từ a + b + c = k sin(2a + 2b + 2c) = 0 (3) Từ (3) khai triển theo công thức cộng suy ra (2) (đpcm) Ví dụ 8: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh x+y+z-3xyz=x(y 2 +z 2 )+y(z 2 +x 2 )+z(x 2 +y 2 ) Giải Đặt x = tga; y = tgb; z = tgc a,b,c 2 ; 2 Từ điều kiện đã cho ta đợc: tgatgb + tgbtgc + tgctga = 1 a + b + c = 2 + k 2a + 2b + 2c = + 2k sin (2a + 2b + 2c) = 0 sin2a cos2b cos2c + sin2b cos 2ac os2c + sin2c cos2a cos2b - sin2a sin2b sin2c = 0 Vì 2 < a,b,c < 2 nên cos 2 a cos 2 b cos 2 c ta đợc: ++ ccosbcosacos b2cosa2cosc2sin ccosbcosacos c2cos2cosb2sin ccosbcosacos c2cosb2cosa2sin 222222222 0 ccosbcosacos c2sinb2sina2sin 222 = Mặt khác ta có tgx2 xcos xcosxsin2 xcos x2sin 22 == xtg1 xcos xsinxcos xcos x2cos 2 2 22 2 = = Cho nên đẳng thức trên có thể viết thành: tga(1-tg 2 b)(1-tg 2 c)+tgb(1-tg 2 a)(1-tg 2 c)+tgc(1-tg 2 a)(1-tg 2 b)-4tgatgbtgc=0 tga(1-tg 2 b-tg 2 c+tg 2b tg 2 c)+tgb(1-tg 2 a-tg 2 c+tg 2 atg 2 c)+ tgc(1-tg 2 a-tg 2 b+tg 2 atg 2 b)-4tgatgbtgc = 0 tga+tgb+tgc tga(tg 2 b+tg 2 c) tgb(tg 2 a+tg 2 c) tgc(tg 2 a+tg 2 b) + + tgatgbtgc(tgbtgc+tgctga+tgatgb) 4tgatgbtgc = 0 Lại thay tga = x, tgb = y, tgc = z và sử dụng giả thiết xy+yz+zx=1 ta đợc: x+y+z+xyz(yz+zx+xy) 4xyz = x(y 2 +z 2 ) + y(z 2 +x 2 ) + z(x 2 +y 2 ) x+y+z 3xyz = x(y 2 +z 2 )+y(z 2 +x 2 ) + z(x 2 +y 2 ) (đpcm) Ví dụ 9: Nếu x 1 , x 2 , x 3 là nghiệm của phơng trình x 3 +ax 2 +x+b=0 (b0) CMR 4) x 1 x)( x 1 x() x 1 x)( x 1 x() x 1 x)( x 1 x( 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 =++ (1) Bài giải Từ giả thiết ta có: x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =1 và vì b0 do đó x 1 ,x 2 ,x 3 0 Đặt x=tgA, y=tgB, z=tgC, với A, B, C ) 2 , 2 ( Ta có: tgA.tgB+tgB.tgC+tgC.tgA=1 A+B+C = 2 + k 2A+2B+2C = +2k (2) và (1) (tgA-cotgA)(tgB-cotgB)+(tgB-cotgB)(tgC-cotgC)+ + (tgC-cotgC)(tgA-cotgA) = 4 (-2cotg2A)(-2cotg2B) + (-2cotg2B)(-2cotg2C)+ + (-2cotg2C)(-2cotg2A) = 4 cotg2Acotg2B + cotg2Bcotg2C + cotg2Ccotg2A = 1 2A + 2B + 2C = + 2k, luôn đúng do (2) Ví dụ 10: Chứng minh 2 322 32 322 32 = + ++ + (1) Giải Chia hai vế của (1) cho 2 ta đợc: 1 3242 32 3242 32 = + ++ + 1 2 3 11 2 3 1 2 3 11 2 3 1 = + ++ + (2) Thay 2 3 trong (2) bởi cos 6 ta đợc: . biến bài toán đại số thành bài toán lợng giác hay Phơng pháp lợng giác hoá các bài toán đại số là một phơng pháp còn cha đợc sử dụng rộng rãi khi giải bài. dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán