PHUONG TRINH MAT PHANG

VẤN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kiến thức cần nhớ: Phương trình mặt phẳng: 1) Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với r A +B2+C2≠0 phương trình tổng quát mặt phẳng, n = (A;B;C) vectơ pháp tuyến r 2) Mặt phẳng (P) qua điểm M 0(x0;y0;z0) nhận vectơ n = (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = r r 3) Mặt phẳng (P) qua M 0(x0;y0;z0) nhận a = (a1;a ;a ) b = (b1;b ; b3 ) làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : r rr  a a a a a1 a  n = a, b  =  ; ; ÷ ÷  b b3 b3 b1 b1 b  moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp r moät VTPT n = ( A;B;C ) - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:  Kiến thức không quên: Kiến thức không quên r rr r -rTrục Ox có VTCP n - Mp (Oxy) có VTPT: =  i, j = k = ( 0; 0;1) r rr r i = ( 1;0; ) - Mp (Oxz) có VTPT: n =  i, k  = j = ( 0;1;0 ) -rTrục Oy có VTCP r rr r n j = ( 0;1;0 ) - Mp (Oyz) có VTPT: =  j, k  = i = ( 1;0;0 ) -rTrục Oz có VTCP Pt mp(Oxy) là: z=0 Pt mp(Oxz) là: y=0 k = ( 0;0;1) Pt mp(Oyz) là: x=0 uur uur d ⊥ ( P ) ⇔ ad = nP uur uur d // ( P ) ⇔ ad ⊥ nP uur uur d ⊂ ( P ) ⇔ ad ⊥ n P uur uur d ⊥ ∆ ⇔ ad ⊥ a∆ Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d ( I , ( P )) = r với I tâm mặt cầu (S) r bán kính mặt cầu (S) uur uur d // ∆ ⇔ ad = a∆ uur uur ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P ⊥ nQ uur uur ( P ) //(Q ) ⇔ nP = nQ Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d (I , d ) = r với I tâm mặt cầu (S) r bán kính mặt cầu (S) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Mặt phẳng (α ) không qua gốc tọa độ O cắt Ox A(a;0;0) , cắt Oy B(0; b;0) cắt Oz C (0;0; c) có phương trình : (α ) : x y z + + =1 a b c Các dạng tắc : Mặt phẳng (α ) 10 11 12 13 Qua gốc tọa độ Song song Ox hay vuông góc (Oyz) Qua (chứa) Ox Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Qua (chứa) Oy Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Qua (chứa) Oz Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Trùng (Oxy) Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Trùng (Oyz) Vuông góc Oy hay song song (Oxz) Trùng (Oxz) C c O a b A Phương trình Ax + By + Cz = (D = 0) B VTPT r n = ( A; B; C ) r n = (0; B; C ) r n = (0; B; C ) r n = ( A;0; C ) r n = ( A;0; C ) r n = ( A; B;0) r n = ( A; B;0) r n = (0;0; C ) r n = (0;0;1) r n = ( A;0;0) r n = (1;0;0) r n = (0; B;0) r n = (0;1;0) By + Cz + D = By + Cz = Ax + Cz + D = Ax + Cz = Ax + By + D = Ax + By = Cz + D = z=0 Ax + D = x=0 By + D = y=0 Chùm mặt phẳng : • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) gọi chùm mặt phẳng • Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng : m( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0, m + n ≠ Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp vectơ pháp tuyến d α P β M x ;y ;z Loại 1: Mặt phẳng (P) qua rđiểm ( 0 ) có r vectơ pháp tuyến n = ( A;B;C n) Phương pháp: M M ( x ;y ;z ) • Mặt P) phẳng (P) qua điểm r 0 • Mặt phẳng (P) có VTPT n = ( A;B;C ) • Ptmp (P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ;y ;z ) r r r song song chứa giá hai vectơ a , b ar r r r Phương pháp: n =  a, b  b • Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ;y ;z ) • Hai vectơrcó giá song r song nằm mp(P) a= ( .) , b = ( ) r rr n • Mặt phẳng (P) có VTPT = a, b  • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Dạng 2: Viết phương trình mp (P) qua điểm M M song song với mp(Q) uur P) Phương pháp: nQ • Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: Ax+By+Cz+m=0, với m ≠ D • Vì M thuộc mp(P) nên tọa độ M Q) pt (P) ta tìm m Chú ý: Hai mp song song vectơ pháp tuyến Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;-2;3) song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0 Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0 Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0 duur ad Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P) M • M vuông góc với đường thẳng d Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua M uur uur • Mặt phẳng (P) có VTPT: n P = ad = ( a1;a2 ;a3 ) • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ vuông góc với đường thẳng x = − t  d: y = + 2t z = − 2t  Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB vuông góc với đường thẳng x = t  d: y = , biết A(1;2;3), B(3;2;1) z = − 2t  Bài 7: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với đường thẳng d: x −1 y z +1 = = −1 −2 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm r uuur uuur A, B, C n =  AB, AC  Phương pháp: • Mặt phẳng B (P) qua A r uuur uuur A C (P) có VTPT: n =  AB,AC  • Mặt phẳng   • Pt(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài 8: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 9: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C Bài 10: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 11: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1) Bài 13: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 14: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B Bài 15: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ điểm A Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B vuông góc với mp(Q) Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm A • Hai vectơ có uuurgiá song uur song nằm mp(P) là: AB = .n Q = r uuur uur n • Nên mp(P) có VTPT: =  AB,nQ  P) B uur nQ A Q) • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0 Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0 Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0 Dạng 6:  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d d’  Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’ Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M ∈ d uur uur • Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: ad = .ad ' = r uur uur • Mp(P) có VTPT: n = ad ,ad '  • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = x =  x = −2 − 2t   Bài 19: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt d: y = 2t , d': y = −4 z = − 2t z = − t   Bài 20: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC song song với BD Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC song song với AB Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC song song với AD Bài 21: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt  x = −1 + t x −1 y + z −  = = , d': y = − t d: −2 z = −2 + 3t  Bài 22: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x = − t  song với đường thẳng d’: y = t z = + t  x −1 y − z − = = song x =  Bài 23: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: y = −4 + 2t song song với z = + t   x = − 3t  đường thẳng d’: y = + 2t  z = −2   x = + 2t  Bài 24: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: y = −1 + t song song với z =  x =  đường thẳng d’: y = + t z = − t  Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A đường thẳng d Phương pháp: • Chọn điểm M thuộc đt d • Mặt phẳng (P) qua điểm A • Hai uuuurvectơuucó r giá song song nằm mp(P) là: AM = .ad = r uuuur uur n • Nên mp(P) có VTPT: =  AM,ad  • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài 25: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) đường thẳng d: x = − t   y = + 2t z = − 2t  Bài 26: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua gốc tọa độ chứa đt d: x −1 y z + = = −1 −2 Bài 27: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Ox Bài 28: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Oy Bài 29: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Oz Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) mp trung trực đoạn A thẳng AB Phương pháp: • Gọi I Itrung điểm AB ⇒ I = ( .) P) • Mặt phẳng (P) qua điểm I.r uuur B (P) có VTPT n = AB • Mặt phẳng • Ptmp (P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài 30: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 31: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 32: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Dạng 9: Viết phương trình mp (P) qua điểm M vuông góc với hai mp (Q) (R) Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M uur uur • Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: n Q = .,n R = r uur uur n • Nên mp(P) có VTPT: =  n Q ,n R  • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm A Phương pháp: • Xác định tâm I mc(S) • Mặt phẳng (P) qua điểm A r uur • Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = IA • Ptmp(P): A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = r Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = ( m;n; p ) tiếp xúc mặt cầu (S) Phương pháp: • Trước tiên: Ta xác định tâm I bán kính r mặt cầu • Ptmp(P) có dạng:r Ax+By+Cz+D=0 I Vì mp(P) có VTPT n = ( m;n; p ) ⇒ mx + ny + pz + D = r = d(I,(P)) • Do mp(P) tiếp xúc mc(S) ⇔ d ( I; ( P ) ) = r P) A = B  A = −B Chú ý: A = B ⇔  Dạng 2.1: Viết phương trình mặt phẳng(P ) tiếp xúc với mặt cầu song song với mặt phăng (Q ):Ax+By+Cz+D= • Vì (P)//(Q)=>(P) (Q) có véc tơ pháp tuyến • Áp dụng dạng =>pt(P) Dạng 2.2: Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với đường thẳng d d’ r uur uur n • Vì (P)// d1,d2 => Mp(P) có VTPT: = ad ,ad '  • Áp dụng dạng =>pt(P) Dạng 2.3:Viết phương trình (P) tiếp xúc với (S) vuông uur góc uur với d • Vì (P) vuông góc với d=>Mặt phẳng (P) có VTPT: n P = ad = ( a1;a2 ;a3 ) • Áp dụng dạng =>pt (P)