Kì dị của đường cong phẳng

Một là từ đại số, và một là từ hình học nên nó không đáng ngạc nhiênkhi các tính chất của đường cong đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ.Mục đích của luận văn này là trình bày lại một

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

TRỊNH SAO LINH

KÌ DỊ CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

TRỊNH SAO LINH

KÌ DỊ CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

Thái Nguyên – 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Trịnh Sao Linh

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trườngĐại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS ĐoànTrung Cường, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tớithầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoahọc, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sứchướng dẫn tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đạihọc Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Trịnh Sao Linh

Mục lục

1.1 Miền phân tích duy nhất 3

1.2 Kết thức 5

2 Đường cong affin và xạ ảnh 11 2.1 Đường cong đại số affin 11

2.2 Đường cong xạ ảnh 18

2.3 Bội giao và cấp 22

2.4 Tập các điểm kì dị và đường thẳng tiếp xúc 26

3.1 Đường cong phẳng suy rộng 32

3.2 Bội giao của các đường cong suy rộng 35

3.3 Đường cong bậc 3 bất khả quy 40

3.4 Phân loại đường cong trơn bậc 3 42

Mở đầu

Hình học đại số là một nhánh của toán học, nghiên cứu về nghiệm của cácphương trình đa thức Đa thức một biến có bao nhiêu nghiệm? Câu hỏi nàyđược trả lời một cách rõ ràng bởi "Định lý cơ bản của đại số" Nhưng nếu taxét trong trường hợp đa thức hai biến thì tập nghiệm là vô hạn Những tậpnhư vậy, có thể được xem như là đối tượng của hình học Chính xác hơn làđường cong phẳng đại số Vì vậy, có hai con đường để xét tính giao nhau ởđây Một là từ đại số, và một là từ hình học nên nó không đáng ngạc nhiênkhi các tính chất của đường cong đã được nghiên cứu trong nhiều thế kỷ.Mục đích của luận văn này là trình bày lại một số kết quả về đườngcong phẳng dựa theo tài liệu "Plane Algebraic Curves" của Gerd Fischer và

"Elementary Algebraic Geometry" của Klaus Hulek

Luận văn này chia làm ba chương:

Chương 1, trình bày một số kiến thức về miền phân tích duy nhất và kếtthức Đây cũng là công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa và chứng minh

ở chương sau

Chương 2, được dành để trình bày về các khái niệm trong đường congaffine và đường cong xạ ảnh, lý thuyết giao Ngoài ra, còn trình bày vềkhái niệm điểm kì dị, điểm trơn, đường thẳng tiếp xúc của đường cong

Chương 3, trình bày sự phân loại đường cong bậc 3 qua tương đương xạảnh cũng như sự phân loại đường cong bậc 3 trơn bằng cách sử dụng J −bấtbiến.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Trịnh Sao Linh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Miền phân tích duy nhất

Mục này được dành để nhắc lại định nghĩa và một số kết quả cơ bản vềmiền phân tích duy nhất Trước hết ta có định nghĩa phần tử bất khả quy.Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một miền nguyên Một phần tử a ∈ A là bấtkhả quy nếu từ mọi phân tích a = bc với b, c ∈ A, thì hoặc b hoặc c là phần

tử khả nghịch trong A

Xét một phần tử0 6= a ∈ A Một phân tícha = an1

1 anr

r vớia1, , ar ∈

A là các phần tử bất khả quy và n1, , nr ∈ N được gọi là một phân tích

bất khả quy Ta nói phân tích bất khả quy đó là duy nhất nếu trong trườnghợp a có phân tích bất khả quy khác

a = bm1

1 bms

s ,

với b1, , bs ∈ A là các phần tử bất khả quy, m1, , msN, thì s = r vàsau một cách đánh số lại, ta được ni = mi, bi = λiai, i = 1, , r với λi làcác phần tử khả nghịch trong A

Định nghĩa 1.1.2 Một miền nguyên A là một miền phân tích duy nhất

nếu mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch trong A đều có một phân tíchbất khả quy duy nhất.

Ví dụ 1.1.3 Cho k là một trường Vành đa thức một biến k[x] là mộtmiền phân tích duy nhất Bằng cách phân tích một đa thức thành tích các

đa thức có bậc thấp hơn, ta thấy một đa thức luôn có phân tích bất khảquy Sự duy nhất của phân tích đó là hệ quả của thuật toán chia Euclid.Tính chất phân tích duy nhất khá phổ biến và có ứng dụng quan trọngtrong toán học Một trong những lý do là định lý sau đây

Định lý 1.1.4 Vành đa thức trên một miền phân tích duy nhất là mộtmiền phân tích duy nhất

Ví dụ 1.1.3 là trường hợp riêng của định lý này Thật vậy, một trường k

luôn là một miền phân tích duy nhất Do đó, k[x] là miền phân tích duynhất theo Định lý 1.1.4

Từ Ví dụ 1.1.3 và Định lý 1.1.4, ta có hệ quả quan trọng sau đối với phầncuối của luận văn

Hệ quả 1.1.5 Cho k là một trường, vành đa thức hai biến k[x, y] là mộtmiền phân tích duy nhất

Chứng minh Ta có thể coik[x, y] = k[x][y] là vành đa thức theo biến y trênvành k[x] Do đó, kết luận là hệ quả trực tiếp của Ví dụ 1.1.3 và Định lý1.1.4

1.2 Kết thức

Khái niệm kết thức có vai trò đặc biêt quan trọng trong lý thuyết đườngcong phẳng Nó cho chúng ta xét giao của các đường cong, từ đó dẫn đếnnhiều khái niệm cơ sở khác Do phần này ít được đề cập đến trong các tàiliệu đại số nên chúng tôi trình bày chứng minh cụ thể cho các kết quả chính.Định nghĩa 1.2.1 Trên vành giao hoán có đơn vị A, xét hai đa thức

Ma trận trên có cỡ (m + n) × (m + n) Ma trận này có các hàng là tọa

độ của đa thức Xn−1f, Xn−2f, , Xf, f, Xm−1, , Xg, g theo cơ sở

Xn+m−1, , X, 1 Theo định nghĩa Rf,g ∈ A Tầm quan trọng của kết thức

là định lý sau

Định lý 1.2.2 Cho A là miền phân tích duy nhất Cho f, g ∈ A[X] với

a0, b0 6= 0 Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương

i) f, g có nhân tử chung với bậc ≥ 1 trong A[X]

ii) Rf,g = 0 trong A.

Để chứng minh định lý, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.2.3 Nếu miền nguyên A với hai đa thức f, g ∈ A[X] có bậc n, m

tương ứng Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương

i) Tồn tại hai đa thức 0 6= p(x), q(x) ∈ A[X] có bậc

deg(p) < deg(g), deg(q) < deg(f ), thỏa mãn pf + qg = 0

ii) Rf,g = 0 trong A

Chứng minh bổ đề Với A là miền nguyên, ký hiệu

K = na

b|a, b ∈ A, b 6= 0o

là trường các phân thức trên A Xét f, g như các đa thức trên K Ta có

Rf,g = det M với M là ma trận vuông

Nói cách khác, tồn tại α1, , αn, β1, , βm ∈ K không đồng thời bằng 0

Sử dụng bổ đề 1.2.3 suy ra pf + qg = 0

Để chứng minh Định lý 1.2.2, ta sử dụng A là miền phân tích duy nhất

và chứng minh hai khẳng định sau là tương đương

i) f và g có nhân tử chung với bậc ≥ 1 trong A[X]

ii) Tồn tại p(x), q(x) ∈ A[X] không đồng thời bằng 0 với

deg p < deg g , deg q < deg f, thỏa mãn pf + qg = 0

Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử h là nhân tử chung thì f = f1h và g = g1h,trong đó f1, g1 ∈ A[X] với deg f1 < deg f, deg g1 < deg g Đặt

p(x) = g1(x), q(x) = −f1(x) ta có pf + qg = 0

ii) ⇒ i) Vì A là miền phân tích duy nhất nên A[X] cũng là miền phântích duy nhất Vì pf + qg = 0 nên f | qg Do A[X] là miền phân tíchduy nhất suy ra f = fn1

Trên C mọi đa thức đều có phân tích thành tích các đa thức tuyến tính.Điều này cho ta một hệ quả tất yếu.

Hệ quả 1.2.4 Cho f, g ∈ C[X] với deg f, deg g ≥ 1 Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương

i) f và g có nghiệm chung,

ii) Rf,g = 0

Trong chứng minh Định lý Bezout ở chương sau ta cần thêm thông tin

về kết thức của các đa thức thuần nhất với các biến khác nhau

Định lý 1.2.5 Cho k là một trường và A = k[Y1, , Yr] Cho f, g ∈ A[X],

nYj=1

(ci− dj) = g(c1) g(cm)

Đặc biệt,

Rg,f = f (d1) f (dn) = (−1)m.nRf,g

Sử dụng Định lý 1.2.5, cả hai đa thức trong Z[Y, Z]là thuần nhất theoYi, Zj

bậc m.n Nếu ta thay thế Zj bằng Yi thì F và G có nhân tử chung tuyếntính Do đó R có nghiệm tại Zj = Yi và thuật toán chia đa thức cho thấy

Yi − Zj là ước của R

Với mọi i, j thì S là ước của R và do đó R = aS, với a ∈ Z nào đó Hệ số

tự do của RF,G là

(−1)m.n(Z1 Zn)m

Nhưng đây cũng là một đơn thức trong S, do đó a = 1 Thay thế Yi =

ci, Zj = dj ta được điều cần chứng minh

Ta có hệ quả quan trọng sau của Định lý 1.2.6

Hệ quả 1.2.7 Cho các đa thức f1, f2, g 6= 0 trong A[X] Ta có

Rf1f2, g = Rf1,g Rf2,g

Chứng minh Chú ý rằng kết thức được định nghĩa theo hệ số đa thức, do đókhông phụ thuộc mở rộng trường Xét một mở rộng hữu hạn k của trườngcác phân số Frac(A) của A Ta gọi f1, f2, g ∈ k[X] và chọn k sao cho các

đa thức này có đủ nghiệm Sử dụng Định lý 1.2.6 ta suy ra ngay

Rf1f2, g = Rf1,g Rf2,g

Chương 2

Đường cong affin và xạ ảnh

Nội dung chính trong phần này trình bày về khái niệm cơ bản về đườngcong affin và xạ ảnh, xét giao của hai đường cong, một số đặc điểm đặc biệttrên đường cong xét trong C

2.1 Đường cong đại số affin

Định nghĩa 2.1.1 Với f = P

i,j≥0

aijxi1xj2 Đặt n = max{i + j : ∃aij 6= 0}.Khi đó bậc của f là deg(f ) = n

Ví dụ 2.1.2 deg(x21x2 + x22 − 3x2 + 2) = 3

Định nghĩa 2.1.3 Một tập con C ⊂ C2 được gọi là một đường cong đại

số affin nếu tồn tại một đa thức f ∈ C[X1, X2] sao cho deg f > 0 và

Nhắc lại là một đa thức f ∈ C[x1, x2] là bất khả quy nếu f là phần tửbất khả quy trong vành C[x1, x2] như trong Định nghĩa 1.1.1.

Với mọi đa thức f ∈ C[x1, x2] với deg f > 0, có đường cong liên kết

V (f ) ⊆ C2 Nếu g là ước của f, tức là f = gh thì V (f ) = V (g) ∪ V (h)

(i) Mọi đa thức bậc 1 đều là đa thức bất khả quy

(ii) f (x1, x2) = x21 + x22 − 1 là đa thức bất khả quy

Câu hỏi được đặt ra là điều ngược lại có đúng không? Câu trả lời là nộidung của Bổ đề Study Kết quả này thiết lập cơ sở đại số để nghiên cứu cácđường cong phẳng

Định lý 2.1.6 (Bổ đề Study) Cho hai đa thức f, g ∈ C[x1, x2], f là đathức bất khả quy và deg f > 0 Khi đó V (f ) ⊆ V (g) khi và chỉ khi f là ướccủa g

Chứng minh Điều kiện cần đã được chứng minh ở trên Ta chứng minh điềukiện đủ Ta biểu diễn

f (x1, x2) = a0(x1)xm2 +a1(x1)xm−12 +a2(x1)xm−22 + .+am−1(x1)x2+am(x1),g(x1, x2) = b0(x1)xn2 + b1(x1)xn−12 + b2(x1)xn−22 + + bn−1(x1)x2+ bn(x1),

với a0(x1), a1(x1), , am(x1) là các đa thức theo x1,

vàb0(x2), b1(x2), , bn(x2) là các đa thức theo x2 Bằng cách tráo đổix1, x2

nếu cần, ta giả sử m > 0

Bước 1 Ta chứng minh n > 0

Giả sử n = 0 Khi đó, g(x1, x2) = b0(x2) là đa thức chỉ phụ thuộc x2 Vì

a0(x1) và b0(x1) là các đa thức theo x1 nên có hữu hạn nghiệm, suy ra tồntại u ∈ C sao cho a0(u) 6= 0 và b0 6= 0

Xétf (u, x2) = a0(u)xm2 + .+am(u)có nghiệmx2 = v Do đó(u, v) ∈ V (f ).Mặt khác, (u, v) /∈ V (g) vì g(u, v) = b0(u) 6= 0 Mâu thuẫn Vậy n > 0.Bước 2 Xét kết thức Rf,g ∈ C[x1] Ta sẽ chứng minh Rf,g = 0 bằng cáchchỉ ra Rf,g có vô số nghiệm Vì a0(x1), b0(x1) có hữu hạn nghiệm nên có vô

số u ∈ C sao cho a0(u)b0(u) 6= 0 Với mỗi u, đặt

fu(x2) = f (u, x2) ∈C[x2],

gu(x2) = g(u, x2) ∈C[x2]

Các đa thức fu(x2), gu(x2) có bậc lần lượt là m, n và có đủ nghiệm Hơnnữa, nghiệm của fu(x2) là nghiệm của gu(x2),suy ra Rfu,gu = 0 Ta lại có

Rf,g(u) = Rfu,gu = 0 với vô số u ∈ C Vậy Rf,g = 0

Bước 3 Vì Rf,g = 0 nên f và g có nhân tử chung với bậc dương Mặt khác,

vì f là bất khả quy nên f là nhân tử của g

Bổ đề Study có rất nhiều hệ quả quan trọng Trong phần tiếp theo ta sẽlần lượt xét một số trong các hệ quả đó Trước hết ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.7 Mọi đường cong đại số C đều có vô số điểm

Chứng minh Giả sử C = V (f ) với f ∈ C[x1, x2], deg f > 0 Viết

f = a0xm2 + + am−1x2 + am,

với a0, , am ∈ C[x1], m > 0 và a0 6= 0 Ta thấy, có vô số u sao cho

a0(u) 6= 0 và với mỗi v, đa thức fu(x2) = f (u, x2) có ít nhất một nghiệm

vu Suy ra f (x1, x2) có vô số nghiệm có dạng (u, vu) Vậy C chứa vô sốđiểm

Bây giờ, ta xét một đường cong đại số C = V (f ) Vì C[x1, x2] là miềnphân tích duy nhất nếu đa thức f ∈ C[x1, x2] luôn có một phân tích

f = fα1

1 fαr

rvới f1, , fr là các đa thức bất khả quy đôi một không liên hợp với nhau

và α1, , αr > 0 thì C = V (f ) =

rSi=1

V (fαi

i ) =

rSi=1

V (fi) Nhắc lại, hai đathức g, h liên hợp với nhau nếu g = λh với λ ∈C, λ 6= 0

Định nghĩa 2.1.8 Một đường cong đại số C ⊆ C2 được gọi là khả quynếu tồn tại các đường cong đại số C1, C2 sao cho C1 6= C2 và C = C1 ∪ C2.Nếu C không là khả quy thì C là bất khả quy, tức là, với mọi sự phân tíchthành hợp hai đường cong C = C1 ∪ C2 thì C1 = C2 = C

Ví dụ 2.1.9 C = V (x21+ x22) = V (x1+ ix2) ∪ V (x1− ix2) là hợp của haiđường thẳng Do đó C là khả quy

Bổ đề 2.1.10 Đường cong đại số C = V (f ) ⊆ C2 là bất khả quy khi vàchỉ khi tồn tại k ∈N∗ và đa thức bất khả quy g ∈ C[x1, x2] sao cho f = gk

Chứng minh

Điều kiện cần: Xét phân tích f = fα1

1 fαr

r với fi là bất khả quy và khôngliên hợp với nhau Ta có C = V (f ) = V (f1) ∪ ∪ V (fr) Giả sử r > 1,đặt

C1 = V (f1),

C2 =

r[i=2

V (fi)

Ta có nhận xét sau: Nếu i 6= j thì V (fi) * V (fj) Thật vậy, theo Bổ đềStudy, nếu V (fi) ⊆ V (fj) thì fi | fj Vì fi, fj là bất khả quy nên fi = λfj,với λ 6= 0 nào đó Mâu thuẫn với giả thiết ở trên Từ nhận xét ta có

V (f1), , V (fr) $ C Vì C là bất khả quy dẫn đến r = 1

Điều kiện đủ: Giả sử f = gk với g là bất khả quy Ta có C = V (g) Nếu

C = C1 ∪ C2 = V (g1) ∪ V (g2) = V (g1g2) thì theo Bổ đề Study, g | g1g2

Vì g là bất khả quy nên hoặc g | g1 hoặc g | g2 Giả sử g | g1 Khi đó,

C = V (g) ⊂ V (g1) ⊆ C nên C = C1 Vậy C là bất khả quy

Định lý 2.1.11 Mọi đường cong đại số C ⊆ C2 đều có phân tích duy nhất

C =

r[i=1

Ci,

trong đó Ci là các đường cong bất khả quy đôi một khác nhau

Định nghĩa 2.1.12 Khi đó, các đường cong Ci được gọi là thành phầnbất khả quy của C

Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra sự tồn tại: Ta có phân tích

f = fα1

1 fαr

r suy ra C = V (f ) =

r[i=1

V (fi),

với V (fi) là bất khả quy đôi một khác nhau Ta chứng minh sự duy nhất:Giả sử V (g) là một đường cong với g là đa thức bất khả quy sao cho

V (g) ⊆ C ⇒ V (g) ⊆ V (f ) Theo bổ đề Study’s ta có g | f ⇒ g ∼ fi nào

đó Suy ra V (g) = V (fi)

Như chúng ta đã thấy, các thành phần bất khả quy của đường cong đại

số là xác định duy nhất Ngược lại, bằng cách sử dụng các thành phần bấtkhả quy này cho thông tin về đa thức định nghĩa của đường cong

Hệ quả 2.1.13 Giả sử C = V (f1) ∪ ∪ V (fr) là phân tích bất khả quyvới f1, , fr là các đa thức bất khả quy Nếu g là một đa thức xác định C,nghĩa là C = V (g), thì g = λfβ1

Từ Hệ quả 2.1.13, nếu f, g là hai đa thức cực tiểu của C thì f liên hợp với

g

Bây giờ, ta có thể sử dụng đa thức cực tiểu để định nghĩa bậc của mộtđường cong đại số

Định nghĩa 2.1.15 Cho C = V (f ) ⊂ C2 là đường cong đại số và f =

f1 fr là đa thức cực tiểu xác định đường cong C Bậc deg(f ) của đa thức

f được gọi là bậc của C và ký hiệu là deg(C)

Để giải thích ý nghĩa hình học của bậc, chúng ta xét giao điểm của đườngcong với các đường thẳng Cho đường thẳng L ∈ C2 tham số hóa bởi ánhxạ

ϕ : C −→ L ⊂ C2, t 7→ (ϕ1(t), ϕ2(t)),

với ϕ1, ϕ2 ∈ C[T ] là các đa thức tuyến tính Nếu C = V (f ) ⊂ C2, ta nhậnđược đa thức

g(T ) = f (ϕ1(T ), ϕ2(T )),

các nghiệm của g tương ứng với giao điểm của C và L Số giao điểm của C

và L được ký hiệu là #(C ∩ L) Vì g = 0 tương đương với L ⊂ C, bất đẳngthức deg g ≤ deg f suy ra điều sau

Mệnh đề 2.1.16 Với mọi đường cong C và mọi đường thẳng L ⊆ C2 mà

#(C ∩ L) ≤ deg(p) ≤ deg(f ) = deg(C).

Hệ quả 2.1.17 Đường cong x2 = sin(x1) không là đường cong đại số

C = C1 ∪ ∪ Cr ta có đa thức cực tiểu f = f1 fr Khi đó

L trong A3 đi qua gốc tọa độ

Mỗi đường thẳng L ∈ P2 được xác định duy nhất bởi một véctơ chỉphương: L ←→ (x0, x1, x2) Khi đó, điểm u = (x00, x01, x02) nằm trên L khi

và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho

Dễ thấy ánh xạ ϕ0 : A2 −→ P2 cho bởi (x1, x2) 7−→ (1 : x1 : x2) là đơn ánh.

Định nghĩa 2.2.4 Ánh xạ ϕ0 được gọi là phép nhúng chính tắc từ mặt

phẳng affine A2 vào mặt phẳng xạ ảnh P2

Định nghĩa 2.2.5 Cho F ∈ C[x0, x1, x2] Khi đó, F được gọi là một đa

thức thuần nhất nếu mọi đơn thức trong F đều có cùng bậc deg(F )

đương với F tiệt tiêu trên L

Định nghĩa 2.2.7 Với một đa thức thuần nhấtF, ta định nghĩa tập không

điểm của F trong P2 là V (F ) = {(x0 : x1 : x2) ∈P2 : F (x0, x1, x2) = 0}

Định nghĩa 2.2.8 Một tập C ⊂ P2 là một đường cong xạ ảnh phẳng nếu

có một đa thức thuần nhất F ∈ C[x0, x1, x2] với deg(F ) > 0 và C = V (F )

Định nghĩa 2.2.9 Xét một đường cong affine C = V (f ) với deg(f ) = n

Đặt F (x0, x1, x2) = xn0f (x1

x 0,x2

x 0) Dễ thấy F là một đa thức thuần nhất cóbậc deg F = deg f Khi đó, F được gọi là thuần nhất hóa của f

Ví dụ 2.2.10 Cho f (x1, x2) = x31− x2

2 Thuần nhất hóa của f là đa thức

F (x0, x1, x2) = x30(x

3 1

x30 − x

2 2

Ở đây, ta đồng nhất các điểm của V (f ) với ảnh của nó qua ϕ0

Định nghĩa 2.2.11 Cho đường cong C = V (f ) ⊆ A2 Giả sử F là đa thứcthuần nhất hóa của f Khi đó, đường cong xạ ảnh C = V (F ) ⊆ P2 đượcgọi là bao xạ ảnh của đường cong C

+ Với x0 = 0 thì x1 = 0, x2 6= 0 tùy ý Nghiệm phương trình trên là

(0 : 0 : 1)

Điều kiện đủ: Giả sử F là bất khả quy và f có phân tích f = f1f2 với

deg fi = ni Suy ra,

2.3 Bội giao và cấp

Bội giao là lý thuyết trung tâm trong lý thuyết giao của hai đường cong.Khái niệm này cùng với các kết quả chính của lý thuyết giao đóng vai tròthen chốt, dẫn đến các khái niệm cơ bản khác cũng như những bất biếnkhác của các đường cong phẳng

Trước hết ta xét giao của một đường cong C = V (F ) ⊂ P2 với đa thứccực tiểu F và một đường thẳng L Bằng cách đổi tọa độ, ta có thể giả sử

L = V (X2) Ta cũng giả thiết thêm L * C

Viết F = F0X2n + F1X2n−1 + + Fn−1X2 + Fn, với Fi ∈ C[X0, X1] làthuần nhất bậc n − i Khi đó, Fn(X0, X1) = F (X0, X1, 0) Vì L * C nên

Fn 6= 0 Vì Fn là đa thức thuần nhất hai biến nên ta phân tích

Mệnh đề 2.3.2 Cho đường cong C ⊂ P2 và đường thẳng L ⊆ P2 Giả sử

L * C Khi đó, số giao điểm của C và L tính cả bội là

rXi=1multpi(C ∩ L) = α1 + + αr = n = deg(C)

Hệ quả 2.3.3 Hai đường thẳng trong P2 luôn hoặc trùng nhau hoặc cắtnhau tại một điểm

Ví dụ 2.3.4 Cho đường cong C và các đường thẳng d1, d2, d3,

+) x0 6= 0 ⇒ coi x0 = 1 ⇒ điểm (1 : x1 : x2) thỏa mãn (x1, x2) ∈ C

b) +) Tìm giao điểm của C ∩ d1 Ta có C ∩ d1 ⊇ C ∩ d1 và deg(C) = 2

⇒ C ∩d1 có 2 giao điểm (tính cả bội ) MàC ∩d1 = {(1;√1

2;−1√

2); (1;√−1

2;√1

2)}

+) d1 = {(x0 : x1 : −x1), với x0, x1 không đồng thời bằng nhau}

Giả sử p = (x0 : x1 : −x1) ∈ d1 ∩ C Thay vào ta có

x21 + x22 − x2

0 = 0 ⇒ x21 + (−x21) − x20 = 0 ⇒ x0 = ±√

2x1