Tỉ số vàng và dãy số Fibonacci

Hình chữ nhật vàng, tỷ số vàng và dãy số Fibonacci là những vấn đề Toán học được biết tới từ lâu trong giới học sinh Trung học và sinh viên Đại học. Nay tôi viết lại một cách có hệ thống theo lời yêu cầu của một số số bạn đọc. Với trình độ Toán năm cuối Trung học độc giả có thể đọc được nội dung bài viết. Ước mong bài viết có ích cho các độc giả ham thích Toán và cung cấp thêm một số tài liệu cho các giáo viên Toán phục vụ công tác giảng dạy. Ph.D.Mục lục Bài viết 24 trang gồm có các phần: 1.Tỉ số vàng 2.Tỉ số vàng trong hình học 3.Biểu thức liên quan tỉ số vàng 4.Dãy số Fibonacci ◦Bài toán thỏ đẻ con ◦Công thức Binet ◦Hằng đẳng thức cho F(n) ◦Tính chia đúng của các số Fibonacci ◦Tam giác Pascal và số Fibonacci ◦Hình chữ nhật vàng và hình xoắn ốc vàng 5.Lịch sử về tỉ số vàng và dãy Fibonacci

1 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Tỷ Số Vàng Dãy Số Fibonacci Lê Quang Ánh, Ph.D Hình chữ nhật vàng, tỷ số vàng, dãy số Fibonacci vấn đề Toán học biết tới từ lâu giới học sinh Trung Học sinh viên Đại học Nay viết lại cách có hệ thống theo lời yêu cầu số số bạn đọc Với trình độ Toán năm cuối Trung học độc giả đọc nội dung viết Ước mong viết có ích cho độc giả ham thích Toán cung cấp thêm số tài liệu cho giáo viên Toán phục vụ công tác giảng dạy Tỷ số vàng Rõ ràng có nhiều số thú vị Chẳng hạn số 2, số nguyên tố chẵn nhất; số số nguyên tố lẻ đầu tiên; số số hoàn hảo (bằng tổng tất ước số thật nó); số √2 số vô tỷ tìm thấy (Pythago)….vân vân Trong số số thú vị có số thú vị nhất, số + √5 Con số biết từ thời Hy Lạp cổ đại, người ta chưa biết hết tính chất Trong trình phát triển lịch sử Toán học, tính chất số phát nhiều dần lên, người ta thấy xuất thiên nhiên Paccioli (1447 - 1517), nhà Toán học Ý, đặt tên tỷ số thiêng liêng (proportion divina), Kepler (1571 - 1630), nhà Toán học Thiên văn học Đức, người thấy thiên nhiên, gọi số thiêng liêng (sectio divina), Leonard de Vinci (1452 - 1519), nghệ sĩ thiên tài đa tài Ý, đặt tên cho số vàng (sectio aurea) Trước hết bắt đầu câu lạ Euclid mà ta dùng để định số đó: “Hãy chia đoạn thẳng theo tỷ số cực tỷ số trung bình.” Ý ông muốn nói chia đoạn thẳng thành hai phần cho tỷ số độ dài đoạn thẳng với độ dài đoạn lớn tỷ số độ dài đoạn lớn với độ dài đoạn nhỏ Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 2 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nói rõ hơn: chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng độ dài a b với a > b cho độ dài thỏa điều kiện sau đây: 𝑎+𝑏 𝑎 𝑎 =𝑏 𝑎 Đặt x = 𝑏 , ta có 1+ 𝑥 = x x2 - x – = Nghiệm dương phương trình φ= 1+√5 = 1.61803989… gọi số vàng Nghiệm âm phương trình ψ= 1−√5 = - 0.61803989… Ta ý thấy có vài hệ thức thú vị mà xử dụng rải rác phần sau: φ2 = φ + φ-1 = φ – ψ-1 = ψ - φ+ψ=1 φ ψ=-1 Tỷ số vàng Hình học  Hình chữ nhật vàng: Làm để xác định tỷ số vàng ф cách dùng phép dựng hình thông thường (thước kẻ compa)? Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 3 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Ta bắt đầu hình vuông ABCD, chiều dài cạnh Gọi E trung điểm cạnh CD Vẻ đường tròn tâm E bán kính EB, đường tròn cắt phần nối dài DC (về phía C) điểm F Khi DF = φ = 1+√5 Chứng minh: DE = EC = , EB = EF = √𝐸𝐶 + 𝐶𝐵 = DF = DE + EF = + √5 = 1+√5 = φ √5 □ Hãy vẽ đầy đủ hình chữ nhật ADFG Chú ý thấy: 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑙ớ𝑛 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑛ℎỏ 𝐷𝐹 = 𝐴𝐷 = 1+√5 = φ Người ta gọi hình chữ nhật mà tỷ số cạnh lớn cạnh nhỏ φ hình chữ nhật vàng Trong hình vẽ trên, hình chữ nhật CFGB hình chữ nhật vàng Thật vậy: CF = DF – DC = φ – = φ-1 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑙ớ𝑛 (hệ thức 2) 𝐶𝐵 = = φ 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑛ℎỏ 𝐶𝐹 Nếu ta tiếp tục vẽ bên hình chữ nhật vàng CFGB hình vuông BGHI, ta hình chữ nhật vàng ICFH Và tiếp tục, ta dãy hình chữ nhật vàng lồng vào Bây ta vẽ cung tròn phần tư tâm C qua B D, tiếp tục vẽ cung tròn phần tư tâm I qua B H,…, tiếp tục Ta đường cong có dạng hình xoắn ốc Đường cong thường gọi đường xoắn ốc vàng hay đường xoắn ốc Fibonacci (tại có tên Fibonacci ta giải thích sau) Một số hình ảnh thiên nhiên có hình giống đường cong trên: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 4 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Người cổ Hy Lạp La Mã biết xử dụng hình chữ nhật vàng xây dựng kiến trúc vài hình ảnh sau: Điện Parthenon Hy Lạp xây vào khoảng 500 năm trước tây lịch Khải Hoàn Môn Constantine (The Arch of Constantine) La Mã xây vào năm 315 sau tây lịch Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 5 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam  Tam giác vàng: Hãy xem tam giác cân ABC, có góc đỉnh A 36o (và hai góc đáy B C 72o) Phân giác CX tạo tam gíac ABC tam giác CXB đồng dạng với tam giác ABC Giả sử BC = x XB =1 Khi XA = XC = CB = x Sự đồng dạng hai tam giác nêu cho 𝐵𝐶 𝑋𝐵 𝐴𝐵 = 𝐶𝑋 𝑥 = 1+𝑥 𝑥 Như ta có x2 –x – = Nghiệm dương phương trình φ = 1+√5 Nói cách khác x = φ, tỷ số cạnh bên chia cho cạnh đáy tam giác cân ABC (cân A) tỷ số vàng, tam giác gọi tam giác vàng Ta nhận xét thấy tam giác CXB tam giác vàng Trong tam giác cân XAC ta có đá𝑦 𝑐ạ𝑛ℎ 𝐴𝐶 = 𝐶𝑋 = 𝑥+1 𝑥 =x=φ= 1+√5 Tam giác loại gọi tam giác vàng Để phân biệt ta gọi loại thứ (như tam giác ABC) loại tam giác vàng ốm (gầy), loại thứ hai ( tam giác XCA) tam giác vàng mập Tam giác vàng ốm tam giác vàng mập Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 6 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam  Ngũ giác thập giác đều: Xem ngũ giác ABCDE Các đường chéo chia ngũ giác thành tam giác vàng ốm mập Thí dụ tam giác ABC tam giác vàng mập, tam giác ACD tam giác vàng ốm Các đường chéo tạo bên ngũ giác hình năm cánh Nếu cạnh ngũ giác dài độ dài đường chéo số φ= 1+√5 Còn thập giác tạo thành 10 tam giác vàng ốm Nếu cạnh thập giác dài bán kính vòng tròn ngoại tiếp φ=  1+√5 (Độc giả kiểm chứng qua giá trị góc) Các đường xoắn ốc khác Trong phần ta giới thiệu đường xoắn ốc vàng Bây ta muốn giớ thiệu thêm vài đường xoắn ốc thú vị khác Trước hết đường xoắn ốc Theodorus1 hay gọi đường xoắn ốc số Ta bắt đầu tam giác vuông cân cạnh Vẽ tam giác vuông khác với cạnh góc góc vuông cạnh huyền tam giác vuông thứ cạnh góc vuông dài Cứ tiếp tục Đường xoắn ốc đường cong “trơn” (smooth curve) không liên quan đến số vàng chúng ta, gợi ý cho Matthew Oster – Theodorus of Cyrene nhà toán học cổ Hy Lạp sống vào khoảng kỷ thứ trước tây lịch Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 7 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam giáo sư Toán Đại học Stockton, New Jersey – phát triển đường xoắn ốc tương tự đường xoắn ốc số lại có liên hệ tới số vàng ф Bên tam giác Kepler, bên Kim tự tháp lớn Ai Cập mô hình thu nhỏ Trước hết ta giới thiệu tam giác gọi tên tam giác Kepler Đó tam giác vuông mà độ dài hai cạnh góc vuông cạnh huyền tạo thành cấp số nhân Nếu cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông a cạnh huyền a2 Định lý Pythago cho a4 = a2 + Do a2 = ф a = √ф Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 8 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Góc nhọn nhỏ ∝ tam giác Kepler thỏa hệ thức tan∝ = cos∝ = √ф ∝ ≈ 38 17o Như tam giác Kepler đồng dạng với tam giác vuông mà ba cạnh 1, √ф , ф Người ta đo đạt tìm thấy thiến diện kim tự tháp lớn Ai Cập tam giác cân gồm hai tam vuông Kepler Đây dấu cho thấy số vàng ф biết tới từ thời Ai Cập cổ đại Để dựng đường xoắn ốc Oster, ta bắt đầu tam giác Kepler có cạnh 1, √ф , ф Tiếp đến dựng tam giác Kepler đồng dạng với tam giác thứ nhất, tỷ số đồng dạng √ф Nói rõ hơn, cạnh tam giác thứ hai √ф, ф, ф√ф Và tiếp tục (xem hình trên) Cũng đường xoắn ốc số, đường xoắn ốc Oster không trơn, tạo thành đoạn thẳng nối tiếp nhau, góc tương ứng tâm ∝ Toa độ cực (polar coordinates) đỉnh (ф2 , 0), (ф2 , ∝), (ф2 , ∝), … Hay (ф 𝑡+1 , 𝑡 ∝), t= 0,1,2,3,… Với 𝜃 = t∝ r = ф 𝑡+1 , Ta có phương trình xoắn ốc logarithm: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 9 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 𝜃 r = f(𝜃) = √ф ф2𝛼 Dạng đường xoắn ốc hình Những biểu thức khác tỷ số vàng Ta nhắc lại tỷ số vàng ф nghiệm dương phương trình: x2 – x – = (1) Ngoài ф thỏa số hệ thức sau: φ2 = φ + φ-1 = φ – ψ-1 = ψ - φ + ψ = φ ψ = - 1, ψ nghiệm âm (1), giá trị ф ψ cho bởi: φ= 1+√5 = 1.61803989… ψ = 1−√5 = - 0.61803989… Biểu thức tỷ số vàng dạng số lồng vào  Nếu x > phương trình (1) viết x = √𝑥 + Từ gợi ý cho ta xây dựng dãy số (xn) sau: x1 = 1, xn+1 = √𝑥𝑛 + 1, n = 1,2,3,… Ta chứng minh dãy số hội tụ φ Ta có | φ - xn+1|= | |ф2 −𝑥𝑛+1 | ф+𝑥𝑛+1 | = |ф2 −1−𝑥𝑛 | | ф+𝑥𝑛+1 | |ф−𝑥𝑛 | = | ф+𝑥 𝑛+1 | < |ф−𝑥𝑛 | ф Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D = φ-1|ф - xn| 10 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Từ ta dẫn được: | φ - xn+1|< φ-n|ф – x1| Do ф > nên dãy số (xn) hội tụ đến ф □ Từ cách xác định truy hồi dãy số (xn) ta có x1 = 1, x2 = √1 + √1 , x3 = √1 + √1 + √1 , (xn) hội tụ đến ф nên ta viết ф=  1+√5 = √1 + √1 + √1 + √1 + ⋯ Từ phương trình (1) ta có 𝑥 =x - Do với x > ta có x = √𝑥 + = √2 + 𝑥 Do ta viết ф= 1+√5 = 2+ √ 2+ √ 1 √2+ √… Biểu thức tỷ số vàng dạng phân số liên tiếp Phương trình (1) viết lại x=1+𝑥 (2) Lập dãy số (xn) cách quy nạp sau: x1 = 1, xn+1 = + 𝑥 , 𝑛 n = 1,2,3,… Ta chứng minh dãy số hội tụ φ Ta có (ta xử dụng hệ thức trên): (ф−1)𝑥𝑛 −1 | φ - xn+1|= |ф – (1 + 𝑥 )|= | 𝑛 𝑥𝑛 𝑥 −ф 𝑛 | = | ф𝑥 |< φ-1|ф - xn| 𝑛 Từ ta dẫn được: | φ - xn+1|< φ-n|ф – x1| Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 11 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Do ф > nên dãy số (xn) hội tụ đến ф □ Từ cách xác định truy hồi dãy số (xn) nên ta có x1 = 1, x2 = + , x3 = + 1+ 1 , dãy số (xn) hội tụ đến ф chứng minh nên ta có: Dãy số Fibonacci Leonardo Bonacci hay Leonardo of Pisa hay Fibonacci (1170 – 1250), nhà Toán học người Ý Bài toán thỏ dãy số Fibonacci Câu chuyện bắt đầu vào năm 1202 thành phố Pisa thuộc nước Ý Leonardo Bonacci chàng niên thương gia giàu có, chàng có nhiều dịp đi đó, từ thành phố ven Địa Trung Hải xứ Ả Rập, có qua tới tận Ấn Độ Ngoài việc giao thương, có khiếu Toán học, qua chuyến xa chàng học hỏi nhiều, từ nhà Toán học Ả Rập Khi trở lại Pisa, chàng viết Liber Abaci; sách chứa đựng nhiều kiến thức Toán học người Ả Rập Ấn Độ lạ Cuốn sách mau chóng lan Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 12 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam truyền khắp Châu Âu nhà Toán học trẻ tuổi Ý có biệt danh Fibonacci, trở thành nhà Toán học tiếng thời Trung cổ Có thể trò đùa trí tuệ, hôm nhà Toán học câu đố: Hỏi có cặp thỏ sản sinh năm, bắt đầu cặp, biết tháng cặp cho đời cặp mới, cặp bắt đầu thụ thai tháng thứ hai (giả sử thời gian thỏ chết) (Boyer, A History of Mathematics) Câu đố đầu xem đơn giản, sâu vào toán nhà Toán học thời nhiều hệ sau phát nhiều tính chất thú vị dãy số suy từ toán – dãy số Fibonacci Thậm chí người ta thấy dãy số xuất giới tự nhiên có liên hệ đến số vàng mà xem xét phần Gọi Fn số cặp thỏ cuối tháng thứ n Số cặp thỏ cuối tháng thứ (n + 2) – tức Fn+2 – phải thỏa phương trình sau: Fn+2 = Fn+1 + số cặp thỏ đẻ tháng thứ (n + 2) Mỗi cặp thỏ có hai tháng tuổi sinh đẻ tháng thứ (n + 2) Như tháng có Fn cặp thỏ đẻ Do ta có hệ thức qui nạp sau đây: F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , n = = 1,2,3,… (3) Hệ thức qui nạp xác định cách dãy số (Fn) gọi dãy số Fibonacci Dễ dàng viết số số hạng dãy số này: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 13 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,… Qua ta có câu trả lời cho toán thỏ là: F12 = 144 Tuy nhiên vấn đề không dừng Công thức Binet cho Fn  Chúng ta bắt đầu cách xem thử số hạng dãy số tăng Muốn ta xét tỷ số hai số hạng liên tiếp nhau: xn = 𝐹𝑛+1 𝐹𝑛 Dưới số giá trị tỷ số tính nhờ giá trị ban đầu Fn : 1, 2, 1.5, 1.6666…, 1.625, 1.6154, 1.619, 1.6176, 1.6182,… Có vẻ xn tiến tới tỷ số vàng ф = 1.61803989… Thật vậy, theo cách định nghĩa (xn) theo thức (3), ta có 𝐹 xn+1 = 𝐹𝑛+2 = 𝑛+1 𝐹𝑛+1 +𝐹𝑛 𝐹𝑛+1 = + 𝑥 , n= 1,2,3,… 𝑛 Đây dãy số nói đoạn trên, thấy xn tiến tới ф n tiến tới vô cực □  Bây ta thử nhìn kỹ dãy số sau đây: 1, ф, ф2, ф3,…, фn,… Dùng hệ thức ф2 = ф + 1, ta viết được: Фn+2 = фn ф2 = фn (ф + 1) = фn+1 + фn Ta thấy hệ thức giống hệ thức qui nạp dãy Fibonacci (ở lũy thừa thay số) Vẫn dùng hệ thức ф2 = ф + 1, ta liên tiếp có: Ф3 = ф2 ф = 2ф + 1, Ф4 = ф3 ф = (2ф + 1)ф = 3ф + 2, Ф5 = 5ф + 3, Ф6 = 8ф + 5, Và tiếp tục Những hệ thức gợi cho ta Фn = Fn ф + Fn-1 , n = 2, 3,… (4) Điều chứng minh qui nạp Chỉ cần hệ thức ф2 = ф + chứng minh hệ thức (4) Phương trình x2 = x + có nghiệm âm ψ = thức Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 1−√5 , ta có hệ 14 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ψn = Fn ψ + Fn-1 , n = 2, 3,… (5) Từ hai phương trình (4) (5) ta giải Fn = ф𝑛 −ψ𝑛 √5 Đưa biểu thức ф ψ vào kết ta công thức Binet sau đây: Fn = √5 [( 1+√5 𝑛 1−√5 ) − ( 2 𝑛 ) ] Điều thú vị công thức vế phải chứa nhiều thức phức tạp kết lại số nguyên Một số đẳng thức cho Fn F1 + F2 +…+ Fn = ∑𝑛 𝑘=1 𝐹𝑘 = Fn+2 – (6) Chứng minh Đầu tiên ta ý ∑𝑛𝑘=0 ф𝑘 = 1−ф𝑛+1 1−ф = ф𝑛+1 −1 ф−1 = (ф𝑛+1 −1)(ф+1) ф2 −1 = (ф𝑛+1 − 1)ф = ф𝑛+2 − ф Tương tự ta có: ∑𝑛𝑘=0 ψ𝑘 = ψ𝑛+2 − ψ Ta trở laị công thức cần chứng minh Dựa vào hai kết trên, công thức Binet, tiện lợi ta đăt F0 = mà không ảnh hưởng gì, nên ta có: ∑𝑛𝑘=1 𝐹𝑘 = ∑𝑛𝑘=0 𝐹𝑘 = ∑𝑛𝑘=0 ф𝑛 −ψ𝑛 √5 = (ф𝑛+2 − ψ𝑛+2 )−(ф−ψ) √5 Ta nhắc lại rằng: ф − ψ = √5 Fn+2 = ф𝑛+2 −ψ𝑛+2 √5 Do ta có: ∑𝑛𝑘=1 𝐹𝑘 = Fn+2 – □ F1 + F3 + F5 +…+ F2n-1 = F2n (7) (Tổng n số hạng lẻ) Chứng minh Chứng minh qui nạp sau: Với n = 1, ta có: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 15 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam F0 + F1 = 0+ = = F2 (Đúng) Giả sử (7) với n = k > 1, nghĩa ta có: F1 + F3 +…+ F2k-1 = F2k Khi ấy: F1 + F3 +…+ F2k-1 + F2k+1= F2k + F2k+1 = F2k+2 = F2(k+1) : (7) với n = k+1 Như (7) với n □ F2 + F4 + F6 +…+ F2n = F2n+1 - (8) (Tổng n số hạng chẵn) Chứng minh Từ hệ thức (6) ta có: F1 + F2 +…+ F2n-1 + F2n = F2n+2 – (6’) Lấy hệ thức (6’) trừ hệ thức (7) theo vế, ta có: F2 + F4 + F6 +…+ F2n = F2n+2 – - F2n = (F2n+1 + F2n) – F2n – = F2n+1 – □ F𝟏𝟐 + F𝟐𝟐 + F𝟑𝟐 +…+ F𝒏𝟐 = Fn Fn+1 (9) Chứng minh Chứng minh qui nạp sau: Với n = 1, ta có: 𝐹12 = 1, F1 F2= 1×1 = : Công thức với n = Giả sử công thức với n = k > 1, nghĩa ta có F𝟏𝟐 + F𝟐𝟐 + F𝟑𝟐 +…+ F𝒌𝟐 = Fk Fk+1 , Khi 𝟐 𝟐 F𝟏𝟐 + F𝟐𝟐 + F𝟑𝟐 +…+ F𝒌𝟐 + F𝒌+𝟏 = Fk Fk+1 +F𝒌+𝟏 = Fk+1(Fk + Fk+1 ) = Fk+1 Fk+2 Công thức (9) với n = k+ Như công thức (9) chứng minh với n □ Fm−1 Fn + Fm Fn+1 = Fm+n (10) Chứng minh Giữ m cố định Ta chứng minh (10) với n qui nạp Với n=1, ta có : F1 = F2 = 1, (1) trở thành: Fm−1 + Fm = Fm+1 Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 16 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Hệ thức hệ thức định nghĩa dãy số Fibonacci Giả sử (10) với n, ta chứng minh (10) với n+1 Fm−1 Fn+1 + Fm Fn+2 = Fm−1 ( Fn−1 + Fn ) +Fm ( Fn + Fn+1 ) = Fm−1 Fn−1 + Fm−1 Fn + Fm Fn + Fm Fn+1 = (Fm−1 Fn−1 + Fm Fn ) + (Fm−1 Fn + Fm Fn+1) = Fm+n−1+ Fm+n = Fm+n+1 Công thức (10) với n+1, công thức (10) với n Số nguyên m cố định bất kỳ, công thức (10) với m n □ 𝟐 𝟐 F𝒏+𝟏 - F𝒏 = Fn−1 Fn+2 (11) Chứng minh 2 F𝑛+1 - F𝑛2 = (Fn−1 + Fn )2 - F𝑛2 = F𝑛−1 + 2Fn−1 Fn = Fn−1(Fn−1 + Fn + Fn ) = Fn−1(Fn+1 + Fn ) = Fn−1 Fn+2 □ 𝟐 𝟐 F𝒏+𝟏 + F𝒏 = F2n+1 (12) Chứng minh Ta kèm hệ thức (12) với hệ thức khác, chứng minh hai hệ thức với n Xét hệ thống sau: { F2n = Fn (Fn+1 + Fn−1 ) (𝑖) 𝟐 F2n+1 = F𝒏+𝟏 + F𝒏𝟐 (12) Ta chứng minh hệ thống qui nạp Ta có: F0= 0, F1 = F2 = 1, F3 = Cả hai hệ thức với n = Giả sử hệ thống với n Ta chứng minh hệ thống với n+1 Ta có: 𝟐 F2(n+1) = F2n+2 = F2n+1 + F2n = (F𝒏+𝟏 + F𝒏𝟐 ) + Fn (Fn+1 + Fn−1 ) = Fn+1 (Fn + Fn+1 ) + Fn (Fn + Fn−1 ) = Fn+1 Fn+2 + Fn Fn+1 = Fn+1 (Fn+2 + Fn ) Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 17 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Như (i) với n+1, với n Mặt khác ta có: F2(n+1)+1 = F2n+3 = F2n+2 + F2n+1 = Fn+1 (Fn+2 + Fn ) + F𝑛+1 + F𝑛2 = Fn+1 (Fn+1 + 2Fn ) + F𝑛+1 + F𝑛2 2 = (F𝑛+1 + 2Fn+1 Fn + F𝑛2 ) + F𝑛+1 2 = (Fn+1 + Fn )2 + F𝑛+1 = F𝑛+2 + F𝑛+1 Như (12) với n+1, với n □ Fn+1 Fn−1 - F𝑛2 = (-1)n (13) Chứng minh Ta dùng phương pháp qui nạp Hiển nhiên công thức với n = Giả sử công thức với n, ta chứng minh với n+1 2 Fn+2 Fn - F𝑛+1 = (Fn + Fn+1 )Fn - F𝑛+1 = F𝑛2 + Fn Fn+1 - F𝑛+1 = F𝑛2 − Fn+1 (Fn+1 − Fn ) = F𝑛2 − Fn+1 Fn−1 = -(-1)n = (-1)n+1 Như (13) với n+1, với n □ Tính chia số Fibonacci Các số Fibonacci có nhiều tính chất chia (divisibility properties) thú vị Thí dụ F3 = 2, F6 = 8, F6 chia cho F3 Một thí dụ khác: F4 = 3, F8 = 21, F8 chia cho F4 Một cách tổng quát ta có: Định Lý Nếu n chia cho m Fn chia cho Fm Chứng minh Nếu n chia cho m n = km, k số nguyên dương Ta qui nạp k Nếu k = rõ ràng tính chất Giả sử tính chất với k, ta chứng minh với k+1 Theo hệ thức (10) ta có: Fm(k+1) = Fmk+m = Fmk Fm−1 + Fmk+1 Fm Vì Fmk Fm chia cho Fm nên vế phải hệ thức chia cho Fm Nói cách khác Fm(k+1) chia cho Fm Do tính chất với k+1 Theo phương pháp qui nạp, định lý chứng minh □ Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 18 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Hệ quả: Nếu n > hợp số 2(composite number) Fn hợp số Định Lý Hai số Fibonacci liên tiếp nguyên tố Chứng minh Theo công thức (13) trên, Fn Fn+1 có chung ước số số ước số (-1)n, điều vô lý □ Định Lý Nếu n m hai số nguyên dương gcd ( Fn , Fm ) = Fgcd(m,n) Chứng minh Đặt d = gcd3(m,n) Như d ước số m n Theo Định lý Fd ước số Fm Fn Chúng ta chứng tỏ Fd ước số chung lớn Fm Fn Vì d = gcd (m,n) nên theo Định lý Bezout tồn hai số nguyên r s cho d = mr + ns Theo công thức (10) ta có Fd = F𝑚𝑟+𝑛𝑠 =Fmr−1 Fns + Fmr Fns+1 Hệ thức cho thấy ước số Fm Fn ước số Fd Do Fd ước số chung lớn Fm Fn □ Thí dụ Lấy m = 12, n = 18 Khi d = gcd (12,18) = 6, F6 = Trong F12 = 144, F18 = 2584, gcd (144, 2584) = Như gcd (144, 2584) = Fgcd (12, 18) = Bây ta phát biểu chứng minh phần đảo Định lý Định Lý (Đảo Định lý 1) Nếu 𝐹𝑛 chia cho 𝐹𝑚 n chia cho m Chứng minh Nếu Fn chia cho Fm gcd ( Fn , Fm ) = Fm Nhưng theo Định lý gcd ( Fn , Fm ) = Fgcd(m,n) , Fgcd(m,n) = Fm Do gcd (n,m) = m Điều có nghĩa n chia cho m □ Một số nguyên hợp số có ước số thực (ước số khác nó) gcd : the greatest common divisor (ước số chung lớn nhất) Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 19 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Tam giác Pascal số Fibonacci Tam giác Pascal tam giác tạo nên số mà số hạng hàng thứ n 𝑛! (𝑛𝑗) = (𝑛−𝑗)!𝑗! , ≤ j ≤ n Đó hệ số xj khai triển (1 + x)n Tam giác mang tên nhà Toán học Pháp Pascal (1623 - 1662) Thật nhà Toán học Trung Hoa tên Yanghui nhà Thiên văn học Ba Tư tên Omar Khayyám tìm nhiên cứu trước Pascal 500 năm Ta không sâu vào đặc điểm tam giác này, nêu tính chất đặc biệt mà Đó tổng số số hạng đường chéo nghiêng tam giác số hạng dạy số Fibonacci Trong hình đường chéo mà tổng số hạng F1 = 1, F2 = F3 = + = F4 = + = F5 = + + = F6 = + + = F7 = + + + = 13 Ở hạng thứ n Fn = (𝑛−1 ) + (𝑛−2 ) + (𝑛−3 )+… Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 20 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lưu ý (𝑛𝑗) = j > n Khi ta viết Fn = ∑𝑛𝑗=0 (𝑛−1−𝑗 ) , j = 0,1,2,…,n-1 𝑗 Trở lại hình chữ nhật vàng hình xoắc ốc vàng Trong phần đầu giới thiệu hình chữ nhật vàng cách dựng thước kẻ compa Chúng ta biết cách dựng hình xoắn ốc vàng từ hình chữ nhật vàng Bây quan sát cạnh hình vuông – tức bề rộng hình chữ nhật vàng lồng vào – bên hình chữ nhật vàng Kể từ ngoài, số đo cạnh số hạng dãy số Fibonacci hình vẽ Dưới vài hình ảnh hình xoắn ốc vàng thiên nhiên: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 21 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Cây Aloe polyphylla Hoa hướng dương hoa Dandelion Lịch sử tỷ số vàng số Fibonacci Người Hy Lạp cổ đại vào kỷ thứ năm thứ tư trước Tây lịch đề cập tới toán chia đoạn thẳng “theo tỷ số cực tỷ số trung bình” (extreme and mean ratio) Tuy nhiên họ không đặt cho tỷ số tên đặc biệt Những tên riêng cho tỷ số tỷ số vàng, số vàng,…,đến lâu sau Năm 1909 ký hiệu ф (mẫu tự Hy Lạp đọc phi) số vàng, nhà Toán học Mỹ Mark Bar (Theodore Cook, Curves of Life) dùng đầu tiên, gợi ý từ tên nhà Điêu khắc Hy Lạp cổ đại Philias, người cho xử dụng tỷ số vàng hình chữ nhật vàng nghệ thuật Kiến trúc Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 22 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Đền Parthenon Hy Lạp, tác phẩm Philias Trở lại thời xa xưa, người Ai Cập biết dụng tỷ số vàng xây dựng kim tự tháp (George Marowsky, Misconceptions about Golden ratio) Trường phái Pythago vào kỷ thứ trước Tây lịch biết tỷ lệ vàng ngũ giác hình năm cánh Họ chọn hình năm cánh nội tiếp ngũ giác làm biểu tượng cho trường phái Năm 1509, Luca Pacioli, nhà Toán học Ý, bạn cố vấn Toán học nghệ sĩ thiên tài Leonardo da Vinci có nhiều nghiên cứu số vàng tác phẩm Davina Proportione Những tranh vẽ sách Da Vinci minh họa Người nghệ sĩ vĩ đại ưa thích số vàng thể nhiều tác phẩm ông Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 23 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Những hình chữ nhật vàng Mona Lisa The Divine Proportion (Tỷ lệ thiêng liêng) Đó vài tranh vẽ tiếng Leonardo da Vinci có liên quan đến số vàng Kepler (1571 – 1630), nhà Toán học Thiên văn học Đức nói: “Hình học có hai báu vật, định lý Pythago tỷ số vàng Cái thứ sánh với vàng ròng, thứ hai sánh với đồ trang sức.” Hơn 400 năm sau Fibobacci, Kepler người kết nối số vàng với dãy số Fibonacci ông ước tính tỷ số hai số hạng liên tiếp dãy số Fibonacci xấp xỉ tỷ số vàng Phải đến kỷ sau Kepler, vào năm 1753, Robert Simson (1687 – 1768), nhà Toán học Anh, chứng minh dự đoán Kepler: lim 𝐹𝑛+1 𝑛→∞ 𝐹𝑛 =φ Cũng Simson chứng minh công thức (13) ta trình bày phần trên: Fn+1 Fn−1 - F𝑛2 = (-1)n Công thức số hạng tổng quát dãy số Fibonacci Jacques Binet (1786 – 1856), nhà Toán học Pháp, tìm vào năm 1843 Một năm sau, Gabriel Lamé (1795 – 1870), nhà Toán học Pháp, dùng số Fibonacci vào thuật toán tìm ước số chung lớn hai số nguyên Trong khoảng thời gian 1872 – 1891, Édouard Lucas (1742 – 1891), nhà Toán học Pháp khác, chứng minh nhiều hệ thức qui nạp dãy số Fibonacci, tìm công thức kết nối số Fibonacci với số tam giác Pascal Và Lucas đặt tên cho dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,….là dãy số Fibonacci © 2017 Lê Quang Ánh Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 24 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Tài liệu tham khảo Hình ảnh: lấy từ Internet Theodore A Cook Curves of Life Constable and Company Ltd London 1914 Philip J Davis Spirals from Theodorus to Chaos Wellesly, MA 1992 Mario Livio The Golden Ratio Broadway Books New York NY, 2002 Nicholas J Rose The Golden Mean and Fibonacci sequence E-book Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D [...]... có hai báu vật, đó là định lý Pythago và tỷ số vàng Cái thứ nhất có thể sánh với vàng ròng, còn cái thứ hai sánh với đồ trang sức.” Hơn 400 năm sau Fibobacci, chính Kepler là người đầu tiên kết nối con số vàng với dãy số Fibonacci khi ông ước tính được rằng tỷ số hai số hạng liên tiếp trong dãy số Fibonacci xấp xỉ bằng tỷ số vàng Phải đến một thế kỷ sau Kepler, vào năm 1753, Robert Simson (1687 – 1768),... nhật vàng và hình xoắc ốc vàng Trong phần đầu chúng ta đã được giới thiệu hình chữ nhật vàng và cách dựng nó bằng thước kẻ và compa Chúng ta cũng đã được biết cách dựng hình xoắn ốc vàng từ hình chữ nhật vàng như thế nào Bây giờ chúng ta hãy quan sát các cạnh hình vuông – tức là các bề rộng của các hình chữ nhật vàng lồng vào nhau – bên trong hình chữ nhật vàng đầu tiên Kể từ trong ra ngoài, số đo... ngoài, số đo các cạnh ấy chính là các số hạng trong dãy số Fibonacci như trên hình vẽ trên Dưới đây là vài hình ảnh của hình xoắn ốc vàng trong thiên nhiên: Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 21 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Cây Aloe polyphylla Hoa hướng dương và hoa Dandelion 6 Lịch sử về tỷ số vàng và những con số Fibonacci Người Hy Lạp cổ đại vào thế kỷ thứ năm và thứ tư trước Tây lịch đã đề cập tới... học Việt Nam Do ф > 1 nên dãy số (xn) hội tụ đến ф □ Từ cách xác định truy hồi dãy số (xn) nên ta có 1 x1 = 1, x2 = 1 + 1 , x3 = 1 + 1 1+ 1 1 , và vì dãy số (xn) hội tụ đến ф như đã chứng minh ở trên nên ta có: 5 Dãy số Fibonacci Leonardo Bonacci hay Leonardo of Pisa hay Fibonacci (1170 – 1250), nhà Toán học người Ý 1 Bài toán con thỏ và dãy số Fibonacci Câu chuyện bắt đầu vào năm 1202 ở thành phố Pisa... đơn giản, nhưng càng đi sâu vào bài toán các nhà Toán học của thời ấy và của nhiều thế hệ sau phát hiện ra rất nhiều tính chất thú vị của dãy số được suy ra từ bài toán ấy – dãy số Fibonacci Thậm chí người ta còn thấy dãy số này xuất hiện trong thế giới tự nhiên và có liên hệ đến con số vàng mà chúng ta đã xem xét ở các phần trên Gọi Fn là số cặp thỏ ở cuối của tháng thứ n Số cặp thỏ ở cuối tháng thứ... thứ tư trước Tây lịch đã đề cập tới bài toán chia một đoạn thẳng “theo tỷ số cực và tỷ số trung bình” (extreme and mean ratio) Tuy nhiên họ không đặt cho tỷ số này một cái tên đặc biệt nào cả Những cái tên riêng cho tỷ số này như tỷ số vàng, con số vàng, …,đến rất lâu về sau Năm 1909 ký hiệu ф (mẫu tự Hy Lạp đọc là phi) chỉ con số vàng, được nhà Toán học Mỹ Mark Bar (Theodore Cook, Curves of Life) dùng... Fn và Fn+1 có chung một ước số thì con số đó cũng là ước số của (-1)n, điều này vô lý □ Định Lý 3 Nếu n và m là hai số nguyên dương thì gcd ( Fn , Fm ) = Fgcd(m,n) Chứng minh Đặt d = gcd3(m,n) Như thế thì d là ước số của m và n Theo Định lý 1 thì Fd là ước số của Fm và Fn Chúng ta chứng tỏ Fd là ước số chung lớn nhất của Fm và Fn Vì d = gcd (m,n) nên theo Định lý Bezout tồn tại hai số nguyên r và. .. 1891, Édouard Lucas (1742 – 1891), một nhà Toán học Pháp khác, đã chứng minh được nhiều hệ thức qui nạp trên dãy số Fibonacci, và tìm được những công thức kết nối các con số Fibonacci với các con số trong tam giác Pascal Và cũng chính Lucas đặt tên cho dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,….là dãy số Fibonacci © 2017 Lê Quang Ánh Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 24 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Tài liệu... Người nghệ sĩ vĩ đại rất ưa thích con số vàng và đã thể hiện nó trong nhiều tác phẩm của ông Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 23 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Những hình chữ nhật vàng trong Mona Lisa và The Divine Proportion (Tỷ lệ thiêng liêng) Đó là một vài tranh vẽ nổi tiếng của Leonardo da Vinci có liên quan đến con số vàng Kepler (1571 – 1630), nhà Toán học và Thiên văn học Đức đã nói: “Hình học... 2 3 Một số nguyên là một hợp số khi nó có ít nhất một ước số thực sự (ước số khác 1 và chính nó) gcd : the greatest common divisor (ước số chung lớn nhất) Biên soạn: Lê Quang Ánh, Ph.D 19 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 4 Tam giác Pascal và các số Fibonacci Tam giác Pascal là một tam giác tạo nên bởi các con số mà các số hạng ở hàng thứ n là 𝑛! (𝑛𝑗) = (𝑛−𝑗)!𝑗! , 0 ≤ j ≤ n Đó là các hệ số của xj ... số vàng Cái thứ sánh với vàng ròng, thứ hai sánh với đồ trang sức.” Hơn 400 năm sau Fibobacci, Kepler người kết nối số vàng với dãy số Fibonacci ông ước tính tỷ số hai số hạng liên tiếp dãy số. .. vuông – tức bề rộng hình chữ nhật vàng lồng vào – bên hình chữ nhật vàng Kể từ ngoài, số đo cạnh số hạng dãy số Fibonacci hình vẽ Dưới vài hình ảnh hình xoắn ốc vàng thiên nhiên: Biên soạn: Lê... ratio) Tuy nhiên họ không đặt cho tỷ số tên đặc biệt Những tên riêng cho tỷ số tỷ số vàng, số vàng, …,đến lâu sau Năm 1909 ký hiệu ф (mẫu tự Hy Lạp đọc phi) số vàng, nhà Toán học Mỹ Mark Bar (Theodore