skkn phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

................................................................................................................... Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7 GV: Châu Thị Liễu 1 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới. Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7. II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Phạm vi của đề tài: Chương I, môn đại số lớp 7 2. Đối tượng: Học sinh lớp 7 THCS. 3. Mục đích: a) Kiến thức. GV: Châu Thị Liễu 2 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... - Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau. b) Kỹ năng: HS có kỹ năng tìm số hạng chưa biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ lệ. c) Thái độ: HS có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI A.NỘI DUNG I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài 1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c  b d Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ. 3 GV: Châu Thị Liễu Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... b) Tính chất Tính chất 1( tính chất cơ bản) a c  thì ad = bc b d Nếu tính chất 2( tính chất hoán vị) Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: + từ tỉ lệ thức a c a c ac ac  ta suy ra    b   d  b d b d bd bd +mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra a c e   b d f a c e ace ace      .... b d f bd  f bd  f ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết 2 3 5 a:b:c = 2:3:5. + Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy ra b d 2 2 a c a c k1a k2 c a  c   ( k1 , k2  0)       . ; k.  k.  k  0 ; b d b d k1b k 2 d b d  3 3 3 2 a c e e a c e a a c c e từ   suy ra            ;     b d f b d   f  b d f b d f GV: Châu Thị Liễu 4 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... II.Đối tượng phục vụ của đề tài Học sinh lớp 7 trường THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 – 2011 III.Nội dung và phương pháp nghiên cứu Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau: Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết 1.Tìm một số hạng chưa biết a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38  x.  9,36   0.52.16,38 0,52.16,38 x  0, 91 9,36 Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau : 1 2 3 2 a)  x  :  1 : 4 5 3  3 1 5 2 3 b) 0, 2 :1  :  6 x  7  GV: Châu Thị Liễu 5 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x. Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a) x 60  15 x x 60  15 x Giải : từ  x.x   15  .  60   x 2  900  x 2  30 2 Suy ra x = 30 hoặc -30 Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức x  1 60 x  1 9 ;   15 x  1 7 x 1 Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức x 3 5  5 x 7 Giải: Cách 1: từ x 3 5    x  3  .7   5  x  .5 5 x 7  7 x  21  25  5 x  12 x  46 5 x3 6 Cách 2: từ x 3 5 x 3 5 x    5 x 7 5 7 áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có GV: Châu Thị Liễu 6 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... x  3 5 x x  3 5 x 2 1     5 7 57 12 6 x 3 1    6  x  3  5 5 6 5 5  x3  x  3 6 6 Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức x2 x4  x 1 x  7   x  2  x  7    x  4  x  1  x 2  7 x  2 x  14  x 2  x  4 x  4  5 x  14  3 x  4  5 x  3 x  4  14  2 x  10  x  5 Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau: Tìm các số x, y, z thoả mãn x y z   (1) và x +y + z =d (2) a b c ( trong đó a, b, c, a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trước) Cách giải: x y z - Cách 1: đặt a  b  c  k thay vào (2)  x  k .a; y  k .b; z  k .c Ta có k.a + k.b + k.c = d  k a  b  c  d  k  GV: Châu Thị Liễu d abc 7 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Từ đó tìm được x  a.d bd cd ;y ;z  abc a bc a bc - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x y z x y z d     a b c a bc abc a.d b.d c.d x ;y ;z  abc a bc a bc b).Hướng khai thác từ bài trên như sau. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x 2  k2 y 2  k3 z 2  f *x.y.z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: x y y z - a  a ;a  a 1 2 3 4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi cả hai điều kiện c).Bài tập Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết GV: Châu Thị Liễu x y z   và x +y + z = 27 2 3 4 8 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Giải: Cách 1. Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k 2 3 4 Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k  3k  4 k  27  9k  27  k  3 Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có. x y z x  y  z 27     3 2 3 4 2 3 4 9  x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau: Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết x y z   và 2x + 3y – 5z = -21 2 3 4 Giải: - Cách 1: Đặt x y z   =k 2 3 4 x y z 2x 3 y 5z   suy ra   2 3 4 4 9 20 - Cách 2: Từ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 x 3 y 5 z 2 x  3 y  5 z 21     3 4 9 20 4  9  20 7  x  6; y  9; z  12 Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết x y z   và 2 x 2  3 y 2  5 z 2  405 2 3 4 Giải: - Cách 1: Đặt - Cách 2: từ GV: Châu Thị Liễu x y z   =k 2 3 4 x y z   2 3 4 9 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... suy ra x2 y 2 z 2   4 9 16 2x2 3 y 2 5z2    8 27 90 áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2  3 y 2  5z 2 405     9 8 27 90 8  27  90 45 Suy ra x2  9  x 2  36  x  6 4 y2  9  y 2  81  y  9 9 z2  9  z 2  144  z  12 16 Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12. Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết x y z   và x.y.z = 648 2 3 4 Giải: x y z   =k 2 3 4 - Cách 1: Đặt - Cách 2: Từ x y z   2 3 4 3 x y z xyz 648  x         27 24  2  2 3 4 24 x3   27  x3  216  x  6 8 Từ đó tìm được y = 9; z = 12. Bài tập 5. Tìm x,y, z biết GV: Châu Thị Liễu x y z  ; x  và x +y +z = 27 6 9 2 10 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... x y x y Giải: từ 6  9  2  3 z 2 x 2 Từ x    Suy ra z 4 x y z   2 3 4 Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1. Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 x 2 y 3 x 2 z 4 Giải: Từ 3x  2 y   Từ 4 x  2 z   Suy ra x y z   sau đó giải như bài tập 1 2 3 4 Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21 Giải: từ 6x = 4y = 3z  6 x 4 y 3z x y z      12 12 12 2 3 4 Sau đó giải tiếp như bài tập 2 Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6 x  3z 4 y  6 x 3z  4 y   và 2x +3y -5z = -21 5 7 9 Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 6 x  3z 4 y  3z 3z  6 x 6 x  3z  4 y  3z  3z  6 x    0 5 7 9 5 7 9  6 x  3 z; 4 y  3 z;3 z  6 x Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 6 Bài tập 9: Tìm x,y,z biết x  4 y 6 z 8 và x +y +z =27   2 3 4 GV: Châu Thị Liễu 11 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Giải: - Cách 1: Đặt x  4 y  6 z 8   =k 2 3 4 - Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có x  4 y  6 z 8   2 3 4  x  4  y  6  z  8 x  y  z  18 27  18   1 2 3 4 9 9 x4 1 x  6 2 y6 1 y  9 3 z 8  1  z  12 4  Vậy x = 6; y= 9; z = 12 Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phương pháp : a b Để Chứng minh tỷ lệ thức :  c Ta có các phương pháp sau : d Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc . Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c ; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho b d trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải. GV: Châu Thị Liễu 12 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập: Bài tập 1 a b ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:  thức: c hãy suy ra tỷ lệ d a b c  d  . a c Giải: a  b  c  ac  bc(1) Cách 1: Xét tích  a  c  d   ac  ad (2) Từ a c   ad  bc(3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra - Cách 2: Đặt ab cd  a c a c   k  a  bk , c  dk b d Ta có: a  b bk  b b  k  1 k  1    (1), (b  0) a bk bk k c  d dk  d d  k  1 k  1    (2),(d  0) c dk dk k Từ (1) và (2) suy ra: - Cách 3: từ ab cd  a c a c b d    b d a c GV: Châu Thị Liễu 13 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Ta có: a b a b b d cd    1  1  a a a a c c Do đó: ab cd  a c - Cách 4: Từ a c a b ab     b d c d cd  a a b ab cd    c cd a c - Cách 5: từ a c b d b d     1  1 b d a c a c a b c  d   a c Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c  ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau: b d ab cd a b c d  ;  b d a c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a 2  bc thì a) ab ca a2  c2 c  ; b) 2  , (b  0) a b c  a b  a2 b (với a  b, a  c ) Lời giải: a) - Cách 1: Xét tích chéo a b - Cách 2: từ a 2  bc   GV: Châu Thị Liễu c a 14 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Đặt a c   k  a  bk , c  ak b a Ta có: a  b bk  b b  k  1 k  1    ,  b  0  (1) a  b bk  b b  k  1 k  1 c  a ak  a a  k  1 k  1     a  0  , (2) c  a ak  a a  k  1 k  1 Từ (1) và (2) suy ra: ab ca  a b c  a - Cách 3: Ta có a  b a  a  b  a 2  ab bc  ab     do, a 2  bc  a  b a  a  b  a 2  ab bc  ab b c  a  c  a    a, b  0  b c  a c  a Do đó: ab ca  a b c b ab ca ta cũng suy ra được a2 = bc  a b c b Ngược lại từ Từ đó ta có bài toán cho ab ca  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì a b c b từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức . - Cách 4: Từ a2 = bc  a c a b ab ab      b a c a ca ca  ab ca  ab ca b) - Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c) GV: Châu Thị Liễu = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c) 15 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... 2 2 2 2 Do đó (a + c )b = ( b + a )c  a b - Cách 2: Từ a2 = bc   Đặt a2  c2 c  b2  a2 b c a a c 2   k suy ra a = bk, c = ak = bk b a Ta có 2 2 2 a 2  c 2 b 2 k 2  b 2 k 4 b k 1  k   2 2 2  2  k 2 , b  0 2 2 2 b a b b k b 1  k  c k 2b   k2 b b a2  c2 c Do đó: b 2  a 2  b a b - Cách 3: từ a2 = bc   Từ 2 2 2 2 c  a  c  a  c (1) b 2 a 2 b2  a 2 a a c a2 a c c   2    (2),(a  0) b a b b a b a2  c2 c Từ (1) và (2) suy ra: b 2  a 2  b a 2  c 2 bc  c 2 c  b  c  c - Cách 4: Ta có b 2  a 2  b2  bc  b  b  c   b ,  b  c  0  a2  c2 c Do đó: b 2  a 2  b Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a22  a1a3 ; a33  a2 a4 chứng tỏ a13  a23  a33 a1  a2 3  a33  a4 3 a4 GV: Châu Thị Liễu 16 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Giải: Từ a1 a2  (1) a2 a3 a a a33  a2 a4  2  3 (2) a3 a4 a2 2  a1a3  a1 a2 a3 a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1          (3) Từ (1) và (2) suy ra a a a a2 3 a33 a 3 4 a2 a3 a4 a4 2 3 4 áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a 31 a 3 2 a 33 a 31  a 3 2  a 33    (4) a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2  a 33  a 3 4 a 31  a32  a33 a1 Từ (3) và (4) suy ra: a3  a 3  a 3  a 2 3 4 4 Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau: 3  a a a  a a a a Cho 1  2  4 chứng minh rằng  1 2 3   1 a2 a3 a4  a2  a3  a4  a4 Bài tập 4: Biết bz  cy cx  az ay  bx   a b c Chứng minh rằng Giải: Ta có  x y z   a b c bz  cy cx  az ay  bx abz  acy bcx  baz cay  cbx      a b c a2 b2 c2 abz  acy  bcx  bay  cay  cbx abz  acy y z 0  0  abz  acy  bz  cy   (1) 2 2 2 2 a b c a b c bcx  baz z x  0  bcx  baz  cx  az   (2) 2 b c a Từ (1) và (2) suy ra: GV: Châu Thị Liễu x y z   a b c 17 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Bài tập 5:Cho x y z   .Chứng minh rằng a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   (với abc  0 và các mẫu đều khác 0) x  2 y  z 2x  y  z 4 x  4 y  z Lời giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z 2y x  2y  z x  2y  z      (1) a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 4a  2b  2c a  2b  c  4a  4b  c  4a  2b  2c 9a x y z 2x 2x  y  b 2x  y  z      (2) a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 2a  4b  c 2a  4b  c  2a  b  c  (4a  4b  c) 9b x y z 4x 4y     a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 4a  8b  4c 8a  4b  4c 4x  4 y  z 4x  4 y  z   (3) 4a  8b  4c  (8a  4b  4c)  4a  4b  c 9c Từ (1),(2),(3) suy ra x  2 y  z 2x  y  z 4 x  4 y  b   suy ra 9a 9b 9c a b c   x  2 y  z 2x  y  z 4 x  4 y  z Dạng 3: Toán chia tỉ lệ 1.Phương pháp giải Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận. 2.Bài tập GV: Châu Thị Liễu 18 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5 Lời giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c  0 ) Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có a b c   2 4 5 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có a b c a  b  c 22     2 2 4 5 2  4  5 11 Suy ra a  2  a  4 2 b  2  b  4 4 c  2  c  10 5 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được c-a=3 Bài tập 2: GV: Châu Thị Liễu 19 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được . Lời giải: Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương) Theo bài ra ta có a b c 2a 4b c 2a  4b  c 119        7 2 4 5 6 16 5 6  16  5 17 Suy ra a  7  a  21 3 b  7  b  28 4 c  7  c  35 5 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 2 4 ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó. 3 9 Gọi 3 số phải tìm là a,b,c Theo bài ra ta có a 2 a 4  ;  và a 3  b3  c 3  1009 b 3 c 9 Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9 Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho II và 1 1 số thóc ở kho I, 5 6 1 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi 11 lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc GV: Châu Thị Liễu 20 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Lời giải: Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0) 1 5 4 5 Số thóc của kho I sau khi chuyển là a  a  a 1 6 5 6 Số thóc của kho II sau khi chuyển là b  b  b Số thóc của kho III sau khi chuyển là c  theo bài ra ta có 1 10 c c 11 11 4 5 10 a  b  c và a+b+c=710 5 6 11 từ 4 5 10 4 5 10 a b c a b 5 6 11 5.20 6.20 11.20c  a b c a bc 710      10 25 24 22 25  24  22 71 Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn. Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3 đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3 Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối . Lời giải: Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương) Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c GV: Châu Thị Liễu 21 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Theo bài rat a có a b b c  ;  1 3 4 5 Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau 1) Sai lầm khi áp dụng tương tự H/s áp dụng x y x. y x y z x. y.z hay      a b a.b a b c a.b.c Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng H/s sai lầm như sau : x y  và x.y=10 2 5 x y x. y 10     1 suy ra x=2,y=5 2 5 2.5 10 Bài làm đúng như sau: Từ x y x.x x. y x 2 10       x 2  4  x  2 từ đó suy ra y  5 2 5 2 5 2 5 vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5 hoặc từ hoặc đặt x y x2 x y x 2 10    .    1  x 2  4  x 2  2 2 5 4 2 5 4 10 x y   x  x  2 x, y  5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10  x2  1  x  1 2 5 Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng x y z   và x.y.z= 648 2 3 4 H/s sai lầm như sau GV: Châu Thị Liễu 22 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... x y z x. y.z 648      27 2 3 4 2.3.4 24 Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1 2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0 Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c   . bc ca ab Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó Cách 1:Ta có a b c   bc ca ab áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a b c abc abc     b  c c  a a  b b  c    c  a    a  b 2  a  b  c  h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng 1 ta phải làm như sau 2 + Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số a b c ; ; đều bằng -1 bc ca ab + Nếu a+b+c  0 khi đó a b c abc 1     b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1 Bài tập 4: Cho biểu thức P  Tính giá trị của P biết rằng GV: Châu Thị Liễu x y y  z zt t  x    z t t  x x y z  y x y z t    (1) y z t z t  x t  x y x y z 23 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Lời giải: Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có x y z t x  y  z t     y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 3( x  y  z  t ) Cách 2:Từ (1) suy ra  x y z t 1  1  1  1 x z t z t  x t x y x y z x y  z t x y  z t x y  z t x  y  z t    y z t z t  x x yt x y z ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3 ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z Phải làm đúng như sau : Nếu x+y+z+t  0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4 Nếu x+y+z+t =0  x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4 ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2 Bài tập tương tự : 1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện abc bc a c ab   c a b b a  c  .Hãy tính giá trị của biểu thức B   1    1   1    2)Cho dãy tỉ số bằng nhau : c  b 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Tìm giá trị của biểu thức M biết : M  GV: Châu Thị Liễu a  ab bc cd d a    cd d a ab bc 24 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau. Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải bài toán “ Tìm x.ybiết: 2x 1 3 y  2 2 x  3 y 1   ” Như sau: 5 7 6x Ta có: 2x 1 3 y  2 2 x  3 y 1   5 7 6x Từ hai tỷ số đầu ta có: (1) 2x 1 3 y  2 2x  3 y 1   5 7 12 Từ (1) và (2) ta suy ra (2) 2x  3 y 1 2x  3 y  1 (3)  6x 12  6x = 12  x = 2 Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3 Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên Lời giải :Học sinh trên sai như sau Từ (3) phải xét hai trường hợp TH 1 : 2x+3y-1  0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có 1 3 y 1 1 3y 1 3y  2  0 5 57 2 3 Suy ra 2-3y =3y-2 =0  y  .Từ đó tìm tiếp x   GV: Châu Thị Liễu 25 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Bài tập 6: Tìm x,y biết : 1 2 y 1 4 y 1 6y   (1) 18 24 6x Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp 3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B Bài tập 7:Tìm x biết Giải: x  1 60  15 x  1 x  1 60 2 2    x  1   15 .  60    x  1  900 15 x  1 h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31 phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29 Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng x y z   biết rằng 2 x 2  3 y 2  5 z 2  405 2 3 4 Lời giải: Đặt x y z   =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k 2 3 4 2 2 2 Từ 2 x 2  3 y 2  5z 2  405 suy ra 2.  2k   3  3k   5  4 k   405 8k 2  27k 2  80k 2  405 45k 2  405 k2  9 Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k  3 GV: Châu Thị Liễu 26 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... B. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY: I. Quá trình áp dụng của bản thân Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài toán. II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài: GV: Châu Thị Liễu 27 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra. III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo. 1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy người thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân. 2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phương trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất. IV. Những kiến nghị, đề xuất Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh. GV: Châu Thị Liễu 28 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... PHẦN III. KẾT LUẬN Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tháng 5 năm 2011 NGƯỜI THỰC HIỆN Châu Thị Liễu GV: Châu Thị Liễu 29 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 ................................................................................................................... GV: Châu Thị Liễu 30 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 [...]... nếu trong đề bài đã cho b d trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải GV: Châu Thị Liễu 12 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Phương pháp. .. kinh nghiệm Toán 7 Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải bài toán “ Tìm x.ybiết: 2x 1 3 y  2 2 x  3 y 1   ” Như sau: 5 7 6x Ta có: 2x 1... cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được c-a=3 Bài tập 2: GV: Châu Thị Liễu 19 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được Lời giải: Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt... 4b  c 119        7 2 4 5 6 16 5 6  16  5 17 Suy ra a  7  a  21 3 b  7  b  28 4 c  7  c  35 5 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 2 4 ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là Tìm ba số đó 3 9 Gọi 3 số phải tìm là a,b,c Theo... Toán chia tỉ lệ 1 .Phương pháp giải Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận 2.Bài tập GV: Châu Thị Liễu 18 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5... mãn Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8,9 chuyển được 912 m3 đất , trung bình mỗi học sinh khối 7, 8,9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3 Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh của mỗi khối Lời giải: Gọi số học sinh của khối 7, 8,9 lần... bằng nhau ta có x  4 y  6 z 8   2 3 4  x  4  y  6  z  8 x  y  z  18 27  18   1 2 3 4 9 9 x4 1 x  6 2 y6 1 y  9 3 z 8  1  z  12 4  Vậy x = 6; y= 9; z = 12 Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phương pháp : a b Để Chứng minh tỷ lệ thức :  c Ta có các phương pháp sau : d Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c... Liễu 12 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh 2) Bài tập: Bài tập 1 a b ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:  thức: c hãy suy ra tỷ lệ d a b c  d  a c Giải: a  b  c  ac  bc(1) Cách 1: Xét tích  a  c  d   ac  ad... để phương trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất IV Những kiến nghị, đề xuất Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh GV: Châu Thị Liễu 28 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 PHẦN III KẾT LUẬN Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng. .. Toán 7 B ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY: I Quá trình áp dụng của bản thân Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất ... - Trong trình giảng dạy môn toán thấy phần kiến thức tỷ lệ thức dãy tỷ số chương trình Đại số lớp Từ tỷ lệ thức ta chuyển thành đẳng thức tích, tỷ lệ thức biết số hạng ta tính số hạng thứ tư Trong. .. Ba lớp 7A,7B,7C tham gia lao động trồng ,số lớp trồng tỉ lệ với số 2;4;5 lần số lớp 7A cộng với lần số lớp 7B số lớp 7C 119 cây.Tính số lớp trồng Lời giải: Gọi số trồng lớp 7A,7B,7C a,b,c... giả thiết tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 + Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c