Chương III - Bài 4: Cấp số nhân

Bµi 4: CÊp sè nh©n TiÕt 43: PhÇn I, II vµ bµi tËp 1, 2, 3. TiÕt 44: PhÇn III, IV vµ bµi tËp 5, 6, 7. KiÓm tra bµi cò C©u 1: Cho cÊp sè céng (u n ) cã sè h¹ng ®Çu u 1 = -5 vµ c«ng sai d = 2 th× sè h¹ng thø 21 lµ A. 35 B. 45 C. 39 D. 37 C©u 2: Cho cÊp sè céng (u n ) cã sè h¹ng ®Çu u 1 = 7 vµ c«ng sai d = -3 th× tæng 8 sè h¹ng ®Çu lµ A. 28 B. -28 C. -84 D. 56 A B Bài 4: Cấp số nhân I- Định nghĩa Hoạt Động 1 +) Số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là: 1, 2, 4, 8, 16, 32 +) Nếu coi số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là một dãy số Nhận xét: Từ số hạng thứ 2 trở đi thì mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với 2. Cụ thể: 2 1 u u .2 = 3 2 u u .2 = 4 3 u u .2 = 5 4 u u .2 = 6 5 u u .2 = :)( n u 1, 2, 4, 8, 16, 32. Bài 4: Cấp số nhân I- Định nghĩa Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (u n ) là cấp số nhân có công bội q, ta có công thức truy hồi * n 1 n u u .q với n (1) + = Ơ Đặc biệt: +) Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng: u 1 , 0, 0, , 0, +) Khi q=1 thì cấp số nhân có dạng: u 1 , u 1 , u 1 , , u 1 , +) Khi u 1 =0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, , 0, Bài 4: Cấp số nhân 1 1 1 1 , , , , 1. 81 27 9 3 n 1 n u u .q + = * Định nghĩa: với n Ơ 1 1 .( 3); 9 27 = I- Định nghĩa Chứng minh: Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân có công bội q = -3. Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân 1 1 vì ( ).( 3); 27 81 = 1 1 ( ).( 3) 3 9 = 1 1 .( 3) 3 = Bài 4: Cấp số nhân I- Định nghĩa II- Số hạng tổng quát Hoạt Động 2: Đọc hoạt động 1 và cho biết ở ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc? 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5 1 6 1 Nhận xét: u u .2 ; u u .2 ; u u .2 u u .2 ; u u .2 ; . = = = = = Đáp án: .2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1 10987654321 n 1 n 1 Dự đoán: u u .2 , (2 n 64). = Bài 4: Cấp số nhân I- Định nghĩa II - Số hạng tổng quát Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức n 1 n 1 u u .q , n 2 (2) = Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u n ) có u 1 = 5 và q= -2. a) Tính u 6 . b) Hỏi 1280 là số hạng thứ mấy? Đáp số: a) u 6 = -160 b) 1280 là số hạng thứ 9. Cñng cè C©u 1: Cho cÊp sè nh©n (u n ) cã u 5 = -17 vµ u 6 = 34. Sè h¹ng ®Çu vµ c«ng béi cña cÊp sè ®ã lµ A. u 1 = -17/16, q=-2 B. u 1 = -17/16, q= 2 C. u 1 = 17/16, q= -2 D. u 1 = 17/16, q=2 C©u 2: Cho cÊp sè nh©n (u n ) cã u 3 = 3 vµ q = -2. Sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè ®ã lµ A. u 1 = -3/4 B. u 1 = 4/3 C. u 1 = -4/3 D. u 1 =3/4 A D TiÕt 44 KiÓm tra bµi cò C©u 1: Cho cÊp sè nh©n (u n ) cã u 5 = 7 vµ u 6 = -28. C«ng béi cña cÊp sè ®ã lµ A. q= -4 B. q= 1/4 C. q= 4 D. q=-1/4 C©u 2: Cho cÊp sè nh©n (u n ) cã u 5 = -3 vµ u 8 = 81. Sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè ®ã lµ A. u 1 = 1/27 B. u 1 = -1/27 C. u 1 = 27 D. u 1 = - 27 A B [...].. .Bài 4: Cấp số nhân III- Tính chất các số hạng của cấp số nhân Hoạt Động 3: Cho cấp số nhân (un) có u1 =-2 và q= -1 / 2 a) Viết năm số hạng đầu của nó 2 b) So sánh u 2 với tích u1 u 3 và u 3 với tích u 2 u 4 2 Đáp án: 1 1 1 a) Năm số hạng đầu: -2 , 1, - , , 2 4 8 b) u 2 = u1 u 3 ; 2 2 u 3 = u 2 u 4 Dự đoán: u 2 = u k 1 u k +1 , k 2 (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) k Bài 4: Cấp số nhân III- Tính... số nhân Định lý 3: Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q 1 Đặt: Khi đó S n =u1 +u 2 +u 3 + +u n u1 (1 q n ) Sn = (*) 1 q Chú ý: Nếu q=1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1 , và Sn = n.u1 Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 4 và q= 3 Tính tổng của 9 số hạng đầu 4(1 39 ) Lời giải: áp dụng công thức (*) ta có: S 9 = 1 3 = 39364 Bài 4: Cấp số nhân IV Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Hoạt Động 5: 1 1 1... hạng đầu của cấp số nhân Hoạt Động 4: Gọi tổng số hạt thóc trên 11 ô đầu của bàn cờ là S11 Khi đó S 11 = + + 2 + 3 + + 10 1 2 2 2 2 Và S11 là tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân có u1= 1, q=2 Ta thấy: S =1 + 2 + 2 2 + 23 + + 210 11 2S11 =2 + 2 2 + 23 + 2 4 + + 211 (1 2).S 11 = 11 11 1 2 S hay S 11 1 11 2 = 1 2 u1 (1 11 ) q = 1 q Bài 4: Cấp số nhân IV Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Định... + n 3 3 3 (1) ?1 Vế phải của (1) là tổng của bao nhiêu số hạng? ?2 Nếu ta coi các số hạng đó theo thứ tự là một dãy số thì dãy số trên có đặc điểm gì? Bài 4: Cấp số nhân IV Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Hoạt Động 5: 1 1 1 Tính tổng: S =1 + + 2 + + n (1) 3 3 3 Lời giải: Nhận xét: Tổng trên là tổng của n+1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội 1/3 Khi đó: 1 1 ( ) n +1... chất các số hạng của cấp số nhân Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều bằng tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u 2 = u k-1 u k+1 với k 2 k ( hay u k = u k 1 u k +1 ) Chứng minh: Sử dụng công thức (2) với k >1, ta có 2 u k 1 = u1 q k 2 và u k +1 = u1 q k u k 1 u k +1 = u1 q 2k 2 = (u1 q k 1 )2 = u2 k Bài 4: Cấp số nhân IV Tổng n số hạng... hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội 1/3 Khi đó: 1 1 ( ) n +1 1 3 S = 3 S= 1 2 1 3 1 1 ( ) n +1 3 Củng cố Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u1 = -2 và q = 3 Tổng 7 số hạng đầu A 2886 B 1286 C 2186 C D 2168 Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 4 và S5 = 242 Tìm công bội q A 5 B 6 C 4 D 3 D . cuèi) − + = ≥ Bài 4: Cấp số nhân III- Tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và. (2 n 64). = Bài 4: Cấp số nhân I- Định nghĩa II - Số hạng tổng quát Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q thì số hạng tổng quát