Chương III Bài 4. Cấp số nhân + Luyện tập

Trần Thị Thùy Tiên §4. CẤP SỐ NHÂN I. MỤC TIÊU Về kiến thức - Nắm được định nghĩa, tính chất và số hạng tổng quát của cấp số nhân. - Nắm được công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân - Áp dụng được vào bài tập. Về kỹ năng - Biết cách chứng minh một dãy là cấp số nhân - Tìm được số hạng tổng quát của một cấp số nhân. - Tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Về thái độ - Tự giác, tích cực trong học tập. - Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp, bài toán cụ thể. - Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic, thực tế và hệ thống. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Chuẩn bị của giáo viên + Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở. + Chuẩn bị các ví dụ cụ thể, dễ hiểu cho mỗi nội dung mới. 2. Chuẩn bị của học sinh + Đọc bài trước ở nhà. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS §4. CẤP SỐ NHÂN I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều là tích + Cho dãy số vô hạn: 2, 4, 8, 16, … Và dãy số gồm 6 số hạng , 25 2 , 5 2 ,2,10 + Hãy viết tiếp số hạng tiếp theo và cho biết quy luật để tìm ra số hạng đó? + Bạn đã tìm đúng quy luật, như vậy số hạng tiếp theo sẽ là bao nhiêu? + Hai dãy số có đặc điểm như trên (số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không đổi) được gọi là một cấp số nhân. + Lắng nghe + Dãy thứ nhất: số hạng tiếp theo là 32 vì 2x2=4, 4x2=8, 8x2=16, nên số tiếp theo là 16x2=32; Dãy thứ hai: số hạng tiếp theo là 125 2 + 64; 625 2 + Ghi nhận kiến thức mới Trang 1 Trần Thị Thùy Tiên của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q đgl công bội của cấp số nhân. ( ) n u là CSN ⇔ quu nn . 1 = + với * Nn ∈ Ví dụ: Các dãy sô sau là một cấp số nhân: 5, 0, 0, 0, 0, … 2, 2, 2, 2, 2, … 0, 0, 0, 0, 0, … II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu CSN có số hạng đầu là u 1 và công bội q thì 2,. 1 1 ≥= − nquu n n Ví dụ: Cho CSN (u n ) với u 1 =3, 2 1 −=q a) Tính u 7 b) Hỏi 256 3 là số hạng thứ mấy? + Với công thức này, muốn tìm q ta làm sao? Và đây cũng là cách để ta chứng minh một dãy số là một cấp số nhân ( lấy số sau chia cho số liền trước nó kq là một số không đổi) + Các dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định u 1 và q. + Chú ý sự đặc biệt khi q=0, q=1 cũng như u 1 =0 + Cho CSN: 2, 4, 8, 16, … Hãy tìm số hạng thứ 10 của CSN trên. ĐVĐ: Nếu câu hỏi là tìm số hạng thứ 100 thì sao? Do đó cần thiết phải có một công thức để tính số hạng bất kỳ của CSN. + Như vậy 102422.2 109 10 ===u 10099 100 22.2 ==u + Gọi 2 học sinh lên bảng làm + Nhận xét và đánh giá bài làm của học sinh, chỉnh sửa những sai sót trong cách trình bày (nếu có) + n n u u q 1+ = + 0,5 1 == qu + 1,2 1 == qu + 0 1 =u , q tuỳ ý + Dùng máy tính để tìm + Học sinh lên bảng GIẢI a) 64 3 2 1 .3. 6 6 17 =       −== quu b) Giả sử 256 3 = n u ( ) ( ) 981 2 3 2 3 256 3 2 1 .3 81 1 =⇔=−⇔ − = − ⇔ =       −⇔ − − nn n n Vậy 256 3 là số hạng thứ 9 Trang 2 Trần Thị Thùy Tiên III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CSN Nếu (u n ) là CSN thì 11 2 +− = kkk uuu (*) với 2 ≥ k IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CSN Cho CSN (u n ) với công bội 1≠q . Đặt nn uuuS +++= 21 Khi đó: ( ) q qu S n n − − = 1 1 1 + Hãy viết dạng khai triển của CSN này Cho CSN: 2, -4, 8, -16, 32, -64, … + Chú ý bộ 3 số hạng liên tiếp của CSN + Đó là tính chất của ba số hạng liên tiếp của một CSN. + Yêu cầu học sinh kiểm tra tính chất (*) với CSN ở ví dụ trên + Chứng minh công thức (*): Với 2 ≥ k ta có:      = = + − − k k k k quu quu . . 11 2 11 ( ) 2 2 1 1 222 111 k kk kk uququuu ===⇒ −− +− (Hoặc GV hướng dẫn và gọi học sinh lên bảng chứng minh) + Cách viết khác tính chất này là rút căn hai vế đẳng thức (*) + Tính chất này dùng để chứng minh một dãy số có phải là CSN hay không. + Giới thiệu câu chuyện về người phát minh ra bàn cờ Vua chọn phần thưởng cho mình là: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc, cứ như vậy số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng. ĐVĐ: phần thưởng của người này là bao nhiêu? Dẫn đến sự cần thiết phải có công thức tính tổng n sô hạng đầu của một CSN. + Chứng minh công thức này + Quay lại với giải thưởng của người phát minh ra bàn cờ Vua, hãy tìm số phần thưởng của ông? + , 32 3 , 16 3 , 8 3 , 4 3 , 2 3 ,3 −−− + Phát hiện vấn đề: Lấy 2x8=16, số -4 giữa bình phương lên cũng bằng 16. + Sử dụng máy tính kiểm tra + 11 .|| +− = kkk uuu 12 21 21 64 64 64 −= − − = S Trang 3 Trần Thị Thùy Tiên Ví dụ: Tính tổng n S 3 1 3 1 3 1 1 2 ++++= Bài tập củng cố: Cho CSN (u n ), biết u 1 =2, u 2 =-6. a) Tìm u 10 b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của CSN đó. * Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì sẽ được lớp thóc dày 9mm. Quả là một phần thưởng khổng lồ, liệu nhà vua có đủ sô thóc để ban thưởng cho ông hay không? + Cho học sinh hoạt động nhóm: Mỗi nhóm 2 bàn, bàn trên quay xuống bàn dưới thảo luận trong vòng 3 phút. Sau đó cho 2 nhóm lên trình bày bài giải của mình. + Gọi học sinh lên bảng giải. GIẢI Nhận thấy các số hạng của tổng S lập thành CSN với 1 1 =u và 3 1 =q . Vậy: ( )       −= −       − = − − = n n n q qu S 3 1 1 2 3 3 1 1 3 1 1 1 1 1 + Lên bảng giải GIẢI a) 3 2 6 1 2 −= − == u u q ( ) 393663.2 9 10 −=−=u b) ( ) ( ) 2 31 31 312 15 15 15 + = + −− =S Dặn dò: Về nhà làm bài tập 1, 2, 3 và 4 trang 103 và 104 SGK Trang 4 Trần Thị Thùy Tiên LUYỆN TẬP Số tiết: 1 A. MỤC ĐÍCH Giúp học sinh củng cố lại các công thức đã học thông qua hệ thống bài tập. B. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên Các bài tập trọng tâm trong SGK 2. Học sinh Làm bài tập trước ở nhà C. NỘI DUNG LÊN LỚP Giáo viên gọi học sinh lên bảng giải các bài tập trong SGK, các câu hỏi trắc nghiệm thì đứng tại chỗ trả lời. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Chứng minh dãy số       n 2 5 là cấp số nhân 2. Cho CSN (u n ) với công bội q a) Biết 486,2 61 == uu . Tìm q b) Biết 21 8 , 3 2 4 == uq . Tìm u 1 c) Biết 2,3 1 −== qu . Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? GV: Trong trường hợp không tìm được n hoặc n ra số thập phân hay số âm, ta sẽ kết luận số 192 không phải là số hạng của CSN đó. 3. Tìm các số hạng của CSN (u n ) có năm số hạng, biết 25 24 =− uu và 50 13 =−uu GIẢI 1. Ta có 1 1 2 5 2 5 + + =⇒= n n n n uu Và 2 1 5 2 . 2 5 1 1 == + + n n n n u u Vậy đây là CSN với 2 1 , 2 5 1 == qu 2. a) Ta có 486. 5 16 == quu 3 3243 486.2 55 5 =⇔ ==⇔ =⇔ q q q b) 21 8 . 3 14 == quu 7 9 21 27 21 8 27 8 . 1 1 ==⇔ =⇔ u u c) Giả sử 192= n u ( ) ( ) ( ) 761 2642 1922.3 61 1 =⇔=−⇔ −==−⇔ =−⇔ − − nn n n Vậy số 192 là sô hạng thứ 7 3.    =− =− 50 25 13 24 uu uu Trang 5 Trần Thị Thùy Tiên 4. Tìm CSN có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62. ( ) ( )      =− =− ⇔      =− =− ⇔ )1(501 251 50 25 2 1 2 1 1 2 1 1 3 1 qu qqu uqu ququ 2 1 =⇒ q thế vào (1) ta được: 3 200 501 4 1 11 −=⇒=       − uu Vậy CSN đó là: 6 25 , 3 25 , 3 50 , 3 100 , 3 200 −−−−− 4. Theo đề ta có    =++++ =++++ 62 31 65432 54321 uuuuu uuuuu ( ) ( )      =++++ =++++ ⇔ 621 )1(311 432 1 432 1 qqqqqu qqqqu 2=⇒ q thay vào (1) ta được: ( ) 131168421 11 =⇒=++++ uu Vậy CSN cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Dặn dò: - Làm phần còn lại của bài 1 - Làm bài tập ôn chương III - Chuẩn bị kiểm tra 1 tiết Trang 6 . 6 25 , 3 25 , 3 50 , 3 100 , 3 200 −−−−− 4. Theo đề ta có    =++ ++ =++ ++ 62 31 6 543 2 543 21 uuuuu uuuuu ( ) ( )      =++ ++ =++ ++ ⇔ 621 )1(311 43 2 1 43 2 1 qqqqqu qqqqu 2=⇒ q thay vào (1) ta được: ( ) 13116 842 1 11 =⇒ =++ ++ uu Vậy. HS 4. CẤP SỐ NHÂN I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều là tích + Cho dãy số vô hạn: 2, 4, 8, 16, … Và dãy số. trên (số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không đổi) được gọi là một cấp số nhân. + Lắng nghe + Dãy thứ nhất: số hạng tiếp theo là 32 vì 2x2 =4, 4x2=8, 8x2=16, nên số tiếp