phương trình tổng quát đường thẳng

1 Véc tơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Hoạt động Cho đường thẳng Δ có phương trình Và véctơ  n = (3;−2)  x = −5 + 2t   y = + 3t Chứng tỏ n vng góc với véc tơ phương Δ Giải Ta có véc tơ phương Δ  n.u = 3.2 + (−2).3 = V ậy  u = (2;3)   n ⊥u Véc tơ n có tính chất gọi véctơ pháp tuyến Δ ĐỊNH NGHĨA  n gọi véctơ  pháp  tuyến  Véctơ đường thẳng Δ n ≠ o góc vớivéctơ phương Δ  n ≠    →n vtpt Δ n ⊥ vtcpu ∆ vuông n  ☻Nếun véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ Nhận xét kn (kcũng ≠ 0là) véc tơ pháp tuyến của∆ A Một đường thẳng có  b n ∆ véctơ pháp tuyến?  u B ☻Một đường thẳng có vô số véctơ pháp tuyến  a  x Một đường thẳng hoàn toàn xác định Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm véctơ pháp tuyến  n Mo Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0) nhận n (a; blàm ) véc tơ pháp tuyến Với M(x;y) ta có  M M = ( x − x0 ; y − y0 )  n ∆ Khi   M ( x; y ) ∈ ∆ ⇔ n ⊥ M M y0 ⇔ a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = ⇔ ax + by + (−ax0 − by0 ) = ⇔ ax + by + c =  u Với c = -ax0 – by0 M0 x0 M(x; y Vậy đường thẳng có phương trình tổng qt nào? a) Định nghĩa Phương trình ax + by + c = với a b không đồng thời không gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét Phương trình ax + by + c = có véctơ pháp tuyến  n = (a; b)và véc tơ phương  u = (−b; a ) b) Ví dụ Lập phương trình tổng qt đường thẳng ∆ qua hai điểm A(2 ; 2) B(4 ; 3) GIẢI  AB = (2;1) Là véc tơ phương ∆ Vtpt ∆  n = (−1;2) ∆ qua A(2 ; 2) có vtpt Nên có PTTQ -1(x – ) + 2( y – )=0 ⇔ –x + +2y – = hay x – 2y + =  n = (−1;2) Hoạt động 6: Hãy tìm toạ độ véctơ phương đường thẳng có phương trình: 3x + 4y +5 =0 GIẢI Véctơ pháp tuyến  n = (3;4) Nên véctơ phương  u = (−4;3) Bài tập 1.Viết PTTQ đường cao AH tam giác ABC, với A(2; 5), B(3; -1) C(4; 1) GIẢI  BC = (1;2) vtcp BC AH ⊥ BC nên vtpt AH vtcp BC   n AH = BC = (1;2) A B   n AH = BC = (1;2) AH qua A(2 ; 5) có nên có PTTQ 1(x - 2) + 2(y + 5) = Hay x + 2y +8 = H C 2.Viết PTTQ ∆biết phương trình tham số là: { GIẢI Vtcp ∆ x = + 2t y = 3+ t  u = (2;1) Nên vtpt ∆ n = (−1;2) ∆qua M0 ( 4; ) có vtpt PTTQ  n = (−1;2nên ) có -1( x – ) + 2( y – ) = Hay x - 2y + = c) Các trường hợp đặc biệt Hệ số a=0 b=0 c=0 ∆: ax + by +c = by + c = c hay y = − b Tính chất ∆ Vng góc với trục Oy điểm c (0;− ) b ax + c = c hay x = − a Vuông góc với Ox điểm c ax + by = Đi qua gốc toạ độ O x y + = (2) a,b,c khác a0 cb0 c a0 = − , b0 = − a b ( − ;0) a (2) Là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, cắt Ox, Oy M(a0 ;0) N(0;b0 ) Vị trí Oxy y ∆ c − b x O ∆ y − O y c a x ∆ O y N O x bo M ao ∆ x Hoạt động Trong mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng có phương trình sau d1 : x − y = d2 : x = d : y +1 = x y d : + =1 GIẢI d4 1) Vẽ đthẳng d1 :x – 2y = Dt qua điểm O(0;0) (2;1) 2) Vẽ đthẳng d2 :x = Dt song song với Oy cắt Ox điểm (2; 0) 3) Vẽ đthẳng d3 : y + = ⇔y=-1 Dt song song với Ox cắt Oy điểm (0 ; -1) 4) Vẽ đthẳng d4 : x y + =1 Dt qua điểm (2; 3) (0; 4) y d2 o d1 x d3 CỦNG CỐ  vtpt Δ n →    n ≠  n ⊥ vtcpu ∆  ☻Nếun véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ kn (kcũng ≠ 0là) véc tơ pháp tuyến ∆ ☻Một đường thẳng có vơ số véctơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng: ax + by + c = Phương trình ax + by + c = có véctơ pháp tuyến  n = (a; b)và véc tơ phương  u = (−b; a ) Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, cắt Ox, Oy M(a0 ;0) N(0;b0 ) x y + =1 a0 b0 v ới c c a0 = − , b0 = − a b