phương trình đường thẳng

Tuần 28 - 30 Tiết 37- 39 Kiểm tra cũ: Câu 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;-1) đến mặt phẳng (P): x − y + 2z − = Câu 2: Cho đường thẳng MN với M ( − 1;0;1) Điểm hai điểm P ( 0;1;1) N (1;2;−1) Q( 0;1;0 ) thuộc đường thẳng MN? Tìm điều kiện cần đủ để điểm E ( x; y; z ) MN? thuộc đường thẳng Kiểm tra cũ: - Thế vectơ phương đường thẳng ? - Hãy tìm vectơ phương đường thẳng a qua điểm A(1;2;−1) B( 0;3;−2 ) AB = ( − 1;1;−1) b qua điểm M (1;2;3) vuông góc với mp(P): x − y + 3z − = r a = ( 1; −2;3) §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình tham số đường thẳng I Phương trình tham số đường thẳng a Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ qua a Bài toán: Trong không gian Oxyzrcho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a r = a1 ; a2 ; a3 làm vtcp điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = a1 ; a2 ; a3 làm vtcp Điều kiện cần đủ để điểm M thuộc có số thực t Tìm điều kiện cần đủ để điểm M thuộc ? cho  x = x + ta ( ( ∆ ) ) ∆ z   x = x + ta uuuuuu r  r y = y0 +0 ta2 M ∈ ∆ ⇔ M M = ta  z⇔= zy =+y0ta+ ta2   ∆  z = z0 + ta3 a M0 O x y b.Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) r có vtcp a = ( a1 ; a2 ; a3 ) phương trình có dạng  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2 t tham số  z = z + ta  ptts thẳng chứa trục tung? * Nêu Chú ý: Nếucủa khác ta viết phương trình a1 , ađường , a x = Ptts trục đường Oy là:thẳng ∆  y =t dạng tắc sau: x− x0 y − y0 z − z0 =  z = 0=  a1 a2 a3 VD1: Cho đường thẳng ∆ có ptts  x = + 2t  y = 2−t  z = −3 + t  ∆? a.Tìm tọa độ điểm vtcp đường thẳng b Trong điểm đường thẳng ∆ A ( 3;1; −2 ) B ( −1;3;0 ) ,điểm thuộc ? Giải Hãy tìm thêm số điểm khác r A? ∆ a ∆ qua M(1;2;-3) có vtcp Xác định thêm vtcp ∆ b.Tìm Điểm A thuộc đườngthuộc thẳng∆ ∆? m để M(m;2m;1) Điểm B không thuộc đường thẳng ∆ a = ( 2; −1;1) ∆ biết: B ( 0;3; −1) VD2: Viết ptts ptct đường thẳng a ∆ qua điểm b ∆ qua điểm A ( 2; 4; −2 ) M ( 1;3; −2 ) vuông góc với mặt phẳng (P): x − y − 3z + = a uuu r AB = ( −2; −1;1) ptts: ptct Giải  x = −2t  y = 3−t  z = −1 + t  x y − z +1 = = −2 −2 x = 1+ t   y = − 2t  z = −2 − 3t  b.ptts x −1 y − z + = = −2 −3 ptct Viết ptts đường thẳng qua gốc tọa độ có vtcp r tập 1, SGK,Tr 89 - Giải a 1; 2; −4 ? -Xem điều kiện đườnggóc thẳng song, Viếttrước ptđt đikiến quathức điểmvềM(1;2;3) cắtđểvà2 vuông trụcsong hoành? ( ) cắt chéo II Điều kiện để đường thẳng song song,cắt chéo Điều kiện để đường thẳng song song → r ' ' ' ' Gọi a = ( a1 ; a2 ; a3 ) a = ( a1 ; a ; a ) vectơ phương d d’ Lấy điểm M (x0; y0; z0) d → → a = k a ' d // d’ ⇔  '  M ∉ d → →  a = k a' ' Đặc biệt: d ≡ d ⇔  '  M ∈ d Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng sau song song x = + t  d :  y = 2t z = − t   x = + 2t ' '  d :  y = + 4t '  z = − 2t '  Giải → d có vectơ phương Tìm vectơ chỉchỉ phương củaad=và(1d;’2?;−1) → ' d’ có vectơ phương a = ( 2;4;−2) TìmLấy mộtM điểm (1;0thuộc ;3) ∈Mdthuộc d, thay vào d’ có thoả không? →' a= a → Vì M không thuộc d’ nên d // d’ Điều kiện để đường thẳng cắt d d’ cắt hệ pt ẩn t, t’ sau có nghiệm:  x + ta1 = x 0' + t ' a1'  ' ' '  y + ta = y + t a  ' ' ' z + ta = z + t a3  Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0; t’0), để tìm giao điểm M0 d d’ ta thay t0 vào ptts d thay t’0 vào ptts d’ Ví dụ 2: Tìm giao điểm hai đường thẳng sau: x = + t  d :  y = + 3t z = − t  Xét hệ phương trình  x = − 2t ' '  d :  y = −2 + t '  z = + 3t '  Giải 1 + t = − 2t '  ' + t = − + t  3 − t = + 3t '  (1) (2) (3) Từ (1) kết t = -quả vàvào t’ =(3) ? Giải (1)và và(2) (2),suy thay Thay vào pt (3) ta thấy thoả Vậy hệ pt có nghiệm t = - t’ = Suy d cắt d’ điểm M(0 ; - ; 4) 3 Điều kiện để đường thẳng chéo d d’ chéo a a’ không phương hệ phương trình sau vô nghiệm  x0 + ta1 = x0' + t ' a1'  ' ' '  y0 + ta2 = y0 + t a2  ' ' ' z + ta = z + t a3  Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng  x = + 2t  d :  y = −1 + 3t z = + t  Giải → ' → a  x = + 3t ' '  d :  y = −2 + 2t '  z = −1 + 2t '  → ' a → phương 'của Tìm vectơ Ta có : a = (2chỉ ;3;1) a = ’ d d (3;2;2)? → → → → ' ' Vì Nhận khôngxét tồnvịtại k để trísố vectơ nên ?a → a ≠ak a a d → ' '  ’1 + 2t = + 3t Chứng minh xem d d cắt hay chéo nhau?  Xét hệ phương trình − + 3t = −2 + 2t ' 5 + t = −1 + 2t '  → a’ a không phương ’ Vị trí dcắt ? chéo Từ đótương suy rađối d d’ dhoặc a' a d’ Từ hai pt đầu ta t = -3/5 t’ =-2/5, thay vào pt cuối không thoả mãn Ta suy hệ vô nghiệm Vậy hai đường d d’ chéo ssss [...]... d’ chéo nhau khi và chỉ khi a và a’ không cùng phương và hệ phương trình sau vô nghiệm  x0 + ta1 = x0' + t ' a1'  ' ' '  y0 + ta2 = y0 + t a2  ' ' ' z + ta = z + t a3 3 0  0 Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  x = 1 + 2t  d :  y = −1 + 3t z = 5 + t  Giải → ' → a  x = 1 + 3t ' '  d :  y = −2 + 2t '  z = −1 + 2t '  → ' a → phương 'của Tìm vectơ Ta có : a = (2chỉ ;3;1) và... z = 3 − t  Xét hệ phương trình và  x = 2 − 2t ' '  d :  y = −2 + t '  z = 1 + 3t '  Giải 1 + t = 2 − 2t '  ' 2 + 3 t = − 2 + t  3 − t = 1 + 3t '  (1) (2) (3) Từ (1) ra kết t = -quả 1 vàvào t’ =(3) 1 ? Giải (1)và và(2) (2),suy thay Thay vào pt (3) ta thấy thoả Vậy hệ pt trên có nghiệm là t = - 1 và t’ = 1 Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0 ; - 1 ; 4) 3 Điều kiện để 2 đường thẳng chéo nhau d và...2 Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ pt ẩn t, t’ sau có đúng một nghiệm:  x 0 + ta1 = x 0' + t ' a1'  ' ' '  y 0 + ta 2 = y 0 + t a 2  ' ' ' z + ta = z + t a3 3 0  0 Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào ptts của d hoặc thay t’0 vào ptts của d’ Ví dụ 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: x = 1 +... 2t = 1 + 3t Chứng minh xem d và d cắt hay chéo nhau?  Xét hệ phương trình − 1 + 3t = −2 + 2t ' 5 + t = −1 + 2t '  → a’ a không cùng phương ’ Vị trí của và dcắt ? nhau hoặc chéo nhau Từ đótương suy rađối d và d’ dhoặc a' a d’ Từ hai pt đầu ta được t = -3/5 và t’ =-2/5, thay vào pt cuối không thoả mãn Ta suy ra hệ trên vô nghiệm Vậy hai đường d và d’ chéo nhau ssss