SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán là một môn học khó với nhiều học sinh đặc biệt là hình học, thực tế ở trường THCS Vĩnh Tân cho thấy là học sinh thích học số học và đại số hơn. Vậy nguyên nhân do đâu? Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra một số nguyên nhân như sau: Học sinh thường hay quên kiến thức cũ, chỉ học “vẹt” các định lí và quy tắc. Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán hình học, việc vẽ thêm đường phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các đường phụ. Tùy từng định lí hay bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để có thể đưa đến nhiều cách giải hay và độc đáo.Song công việc sáng tạo này không thể tùy tiện. Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết. Do vậy tôi chọn đề tài này nhằm giúp học sinh biết một số cách vẽ đường phụ thường gặp để giải toán, giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán từ đó thích học hình học hơn. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận • Khi làm các bài tập hình học, hay học các định lí hình học ta hay bắt gặp các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ. • Trước khi thực hiện đề tài thì học sinh gặp khó khăn khi gặp các bài toán hình học có vẽ đường phụ. • Trên thực tế học sinh thường gặp khó khăn khi vẽ đường phụ do đó đa số các em đều thấy hình học rất khó không thích học kể cả các em học sinh giỏi cũng ngại hình học. • Vẽ đường phụ cần có sự sáng tạo cao, khi vẽ thêm đường phụ thì phải có mục đích, không vẽ tùy tiện mà phải dựa vào đề bài phân tích, tổng hợp để có cách vẽ hợp lí phục vụ cho mục đích chứng minh của mình (trích dẫn từ lời mở đầu của sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8 – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn). 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài. Tôi đã áp dụng thực tế giảng dạy và nghiên cứu nội dung chương trình hình học 8 tôi thấy việc vẽ thêm đường phụ được sử dụng như sau: 2.1. Sử dụng đường phụ để chứng minh định lí hình học 8. Khi dạy học chứng minh các định lí hình học, trừ một số định lí dễ ta có thể chứng minh trực tiếp được mà không cần vẽ thêm đường phụ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Trong khi dạy hình học 8 tôi thấy các định lí sau cần vẽ đường phụ để chứng minh. Ví dụ1: Để chứng minh định lí 1: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba” trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Phân tích: Để chứng minh AE = EC, ta cần chứng minh đây là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta thấy ở hình vẽ đã có chứa cạnh AE nên ta cần tạo ra tam giác chứa cạnh EC và bằng , điều này giúp ta nghĩ đến vẽ đường phụ như sau: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F nhằm tạo ra đoạn thẳng bằng nhau: EF = DB (vì DEFB là hình thang có hai cạnh bên EF, BD mà EF BD) và tạo ra góc bằng nhau: (cùng bằng ), (đồng vị, EF AB). Do đó , suy ra AE = EC. Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau. Phân tích: Từ kết luận là DE BC, nên ta có giúp ta có ý tưởng là phải gấp đôi đoạn thẳng DE để có đoạn thẳng bằng đoạn thẳng BC, do đó ta vẽ yếu tố phụ như sau: Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF nhằm tạo ra hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau:CF = AD và (vì ). Từ CF = AD và AD = DB (gt) ta suy ra: CF = DB, từ suy ra CFAD tức là CFDB. Do đó BDFC là hình thang có hai cạnh đáy là CF, DB mà CF = DB (chứng minh trên) nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau. Do đó DE BC, . Ví dụ 3: Để chứng minh định lí: “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy” trong bài: “Tính chất đường phân giác của tam giác” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ. Phân tích: Kết luận của định lí là đây là hệ thức hai đoạn thẳng tỉ lệ nên ta nghĩ đến định lí Talét và hệ quả của định lí Talét (phải có đường thẳng song song) nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E, mục đích nhằm tạo ra hai góc bằng nhau: (so le trong) mà , suy ra do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra: BE = AB (1). Áp dụng hệ quả của định lí Talét đối với tam giác DAC, ta có: (2). Từ (1) và (2) suy ra . Ví dụ4: Để chứng minh định lí: “Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng” trong bài 5: “Trường hợp đồng dạng thứ nhất”, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ. Phân tích: Vì hai tam giác ; chưa có
SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn mơn học khó với nhiều học sinh đặc biệt hình học, thực tế trường THCS Vĩnh Tân cho thấy học sinh thích học số học đại số Vậy ngun nhân đâu? Qua q trình giảng dạy tơi rút số ngun nhân sau: Học sinh thường hay qn kiến thức cũ, học “vẹt” định lí quy tắc Học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải tốn hình học, việc vẽ thêm đường phụ làm cho tốn trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ tốn có lời giải ngắn gọn vấn đề khiến phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường phụ Tùy định lí hay tốn cụ thể, có cách vẽ thêm đường phụ hợp lí để đưa đến nhiều cách giải hay độc đáo.Song cơng việc sáng tạo khơng thể tùy tiện Việc vẽ thêm đường phụ ln phải tn theo tốn dựng hình mà biết Do tơi chọn đề tài nhằm giúp học sinh biết số cách vẽ đường phụ thường gặp để giải tốn, giúp em dễ dàng tìm lời giải tốn từ thích học hình học II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận • Khi làm tập hình học, hay học định lí hình học ta hay bắt gặp tốn đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ • Trước thực đề tài học sinh gặp khó khăn gặp tốn hình học có vẽ đường phụ • Trên thực tế học sinh thường gặp khó khăn vẽ đường phụ đa số em thấy hình học khó khơng thích học kể em học sinh giỏi ngại hình học • Vẽ đường phụ cần có sáng tạo cao, vẽ thêm đường phụ phải có mục đích, khơng vẽ tùy tiện mà phải dựa vào đề phân tích, tổng hợp để có cách vẽ hợp lí phục vụ cho mục đích chứng minh (trích dẫn từ lời mở đầu sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn) Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Tơi áp dụng thực tế giảng dạy nghiên cứu nội dung chương trình hình học tơi thấy việc vẽ thêm đường phụ sử dụng sau: 2.1 Sử dụng đường phụ để chứng minh định lí hình học - Khi dạy học chứng minh định lí hình học, trừ số định lí dễ ta chứng minh trực tiếp mà khơng cần vẽ thêm đường phụ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ chứng minh Trong dạy hình học tơi thấy định lí sau cần vẽ đường phụ để chứng minh Ví dụ1: Để chứng minh định lí 1: “Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba” bài: “Đường trung bình tam giác, hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên đoạn thẳng nhau, góc GT ∆ ABC , AD = DB, DE / / BC KL AE = EC Phân tích: Để chứng minh AE = EC, ta cần chứng minh hai cạnh tương ứng hai tam giác Ta thấy hình vẽ có ∆ADE chứa cạnh AE nên ta cần tạo tam giác chứa cạnh EC ∆ADE , điều giúp ta nghĩ đến vẽ đường phụ sau: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC F nhằm tạo đoạn thẳng nhau: EF = DB (vì DEFB hình thang có hai cạnh ˆ = EFC ˆ (cùng Bˆ ), bên EF, BD mà EF// BD) tạo góc nhau: ADE · · (đồng vị, EF// AB) Do ∆ADE = ∆EFC ( g c.g ) , suy AE = EC DAE = FEC Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy” bài: “Đường trung bình tam giác, hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên đoạn thẳng GT ∆ ABC , AD = DB, AE = EC KL DE / / BC , DE = BC 2 Phân tích: Từ kết luận DE // BC, DE = BC nên ta có BC = 2.DE giúp ta có ý tưởng phải gấp đơi đoạn thẳng DE để có đoạn thẳng đoạn thẳng BC, ta vẽ yếu tố phụ sau: Vẽ điểm F cho E trung điểm DF nhằm tạo hai · · đoạn thẳng, hai góc nhau:CF = AD DAE=FCE (vì ∆AED = ∆CEF (c.g c) ) · · Từ CF = AD AD = DB (gt) ta suy ra: CF = DB, từ DAE suy = FCE CF//AD tức CF//DB Do BDFC hình thang có hai cạnh đáy CF, DB mà CF = DB (chứng minh trên) nên hai cạnh bên DF, BC song song 1 Do DE // BC, DE = DF = BC 2 Ví dụ 3: Để chứng minh định lí: “Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy” bài: “Tính chất đường phân giác tam giác” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ · GT ∆ ABC , AD tia phân giác BAC ( D ∈ BC ) DB AB KL = DC AC Phân tích: Kết luận định lí DB AB = hệ thức hai đoạn thẳng tỉ lệ DC AC nên ta nghĩ đến định lí Ta-lét hệ định lí Ta-lét (phải có đường thẳng song song) nên ta vẽ đường phụ sau: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD điểm E, mục đích nhằm tạo hai góc nhau: · · · · · · (so le trong) mà BAE tam giác BEA = CAE = CAE ( gt ) , suy BEA = BAE ABE cân B, suy ra: BE = AB (1) Áp dụng hệ định lí Ta-lét tam giác DAC, ta có: DB BE DB AB = = (2) Từ (1) (2) suy DC AC DC AC Ví dụ4: Để chứng minh định lí: “Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng” 5: “Trường hợp đồng dạng thứ nhất”, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ ∆ ABC , ∆ A ' B ' C ' A ' B ' A 'C ' B 'C ' = = GT AB AC BC KL ∆ ABC ∆ A ' B ' C ' Phân tích: Vì hai tam giác ∆ABC ; ∆A ' B ' C ' chưa có yếu tố chung mà theo ta có định lí: “Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho” nên ta cần tạo ∆AMN ∆ABC cho ∆AMN = ∆A ' B ' C ' MN // BC Do ta vẽ yếu tố phụ sau: Trên tia AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽ đường thẳng MN // BC ( N ∈ AC ) nhằm mục đích tạo tam giác AMN với tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC Ví dụ5: Để chứng minh định lí: “Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng” 6: “Trường hợp đồng dạng thứ hai” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ ΔABC,ΔA'B'C' A'B' A'C' ˆ µ = , A=A' GT AB AC KL ΔABC ΔA'B'C' Phân tích: Tương tự ví dụ trên, ta vẽ yếu tố phụ sau: Trên tia AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽ đường thẳng MN // BC ( N ∈ AC ) nhằm mục đích tạo tam giác AMN với tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC Ví dụ6: Để chứng minh định lí: “Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với nhau” 7: “Trường hợp đồng dạng thứ ba” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ ∆ABC , ∆A ' B ' C ' µ = A', µ B µ =B' µ GT A KL ∆A ' B ' C ' ∆ABC Phân tích: Tương tự ví dụ trên, ta vẽ yếu tố phụ sau: Trên tia AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽ đường thẳng MN // BC( N ∈ AC ) nhằm mục đích tạo tam giác AMN với tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC 2.2 Sử dụng đường phụ để giải tốn Việc vẽ đường phụ để giải tốn hình học phong phú đa dạng, qua tìm tòi tơi thấy sau số cách thường dùng 2.2.1 Vẽ thêm đường song song Đây cách vẽ đường phụ thường hay gặp tốn hình học Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi I trung điểm AM Điểm I di chuyển đường ? (bài 126/tr 73- sách tập Tốn tập 1) Phân tích: Theo đề ta có I trung điểm AM nên ta nghĩ tạo đường trung bình tam giác cách qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB AC theo thứ tự P Q ∆AMB có AI = IM, IP // BM nên P trung điểm AB Chứng minh tương tự, Q trung điểm AC Các điểm P Q cố định Vậy điểm I di chuyển đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự trung điểm AB, AC) Ví dụ 2: Một hình thang cân có đường cao nửa tổng hai đáy Tính góc tạo hai đường chéo hình thang (ví dụ 3/tr 77- sách nâng cao phát triển Tốn tập 1) Phân tích: Theo đề ta có: BH = AB + CD (1) u cầu tốn tính góc hai đường chéo nên ta cần tạo tam giác đặc biệt để có góc đặc biệt, ta thấy ∆BDH vng H, chứa đường chéo BD nên ta vẽ đường phụ sau: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Khi ta có: BE = AC mà AC = BD nên BE = BD Tam giác BDE cân B, đường cao BH nên DH = HE = DE (2) Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE (3) Từ (1), (2), (3) suy BH = DH = HE · Do ∆BDH , ∆BEH vng cân H nên DBE = 900 suy BD ⊥ BE , mà AC // BE nên BD ⊥ AC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = CE Gọi I trung điểm DE, K giao điểm AI BC Chứng minh ADKE hình bình hành (bài 48/tr 88- sách nâng cao phát triển Tốn tập 1) Phân tích: Để chứng minh ADKE hình bình hành mà có I trung điểm đường chéo DE nên ta cần phải chứng minh I trung điểm AK Từ ta vẽ yếu tố phụ sau: Kẻ IN // BC , DM // BC ( N ∈ AC ; M ∈ AC ) mục đích để tạo điểm N trung điểm AC từ có I trung điểm AK Để chứng minh N trung điểm AC ta chứng minh AM = CE, MN = NE Suy I trung điểm AK * Đặc biệt việc vẽ thêm đường phụ đường thẳng song song để tạo thành cặp đoạn thẳng tỉ lệ thường sử dụng lớp nhằm sử dụng định lí Ta-lét hệ nó, sau số ví dụ Ví dụ 4: Trong hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 28 cm, CD = 70cm, AD = 35cm, vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD, BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10cm (bài 171/tr 81- sách nâng cao phát triển Tốn tập 2) Phân tích: Để tính EF với giả thiết đề ta cần nghĩ cách chia đoạn thẳng EF cho việc sử dụng giả thiết trở nên đơn giản, cụ thể ta biết AB= 28cm,CD = 70cm nên ta tạo đoạn EF đoạn 28cm cách kẻ AK // BC ( K ∈ CD ) Khi ta tính IF = AB = KC = 28cm, từ tính DK = 42cm,từ tính EI cách sử dụng định lí Ta-lét Ví dụ 5: µ a) Cho tam giác ABC có A=120 , AB = 3cm, AC = 6cm Tính độ dài đường phân giác AD b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1 = + AD AB AC Tính số đo góc BAC (bài 177/tr 81- sách nâng cao phát triển Tốn tập 2) Phân tích: câu a) để tính AD ta phải tạo đoạn thẳng tỉ lệ với cách qua D kẻ DE //AB ta có ∆ADE tam giác đều, từ tính AD Ở câu b) tương tự ta kẻ DE // AB nhằm tạo ∆ADE cân E Nên ta đặt DE = EA = x, kết hợp với giả thiết 1 = + AD AB AC · Ta tìm AD = x, nên ∆ADE suy BAC = 1200 Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Chứng minh đường thẳng cắt cạnh AB D, cắt cạnh BC K, cắt tia đối tia CA E cho BD = CE tỉ số KE khơng đổi (bài 178/tr 81- sách nâng cao phát triển Tốn tập 2) KD Phân tích: Để xuất tỉ số KE ta kẻ DG // BC, theo định lí Ta-lét ta KD có hệ thức: KE CE KE BD = = , kết hợp với giả thiết BD = CE ta , tiếp tục sử dụng KD CG KD CG BD AB AB = định lí Ta-lét ta có: , mà khơng đổi CG AC AC Ví dụ 7: Cho tam giác ABC ( AC>AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Chứng minh rằng: KE AB = (bài 5/tr 121- sách vẽ thêm yếu tố phụ KD AC để giải số tốn hình học 8) KE AB = khơng dễ dàng Để tìm tỉ số KD AC trung gian, ta vẽ đường phụ EF // AB, F ∈ BC Phân tích: Việc chứng minh trực tiếp Khai thác tốn: Tỉ số KE AB = khơng phụ thuộc vào cách chọn KD AC điểm D E nên ta có tốn sau: Cho tam giác ABC (AC>AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Chứng minh tỉ số KE khơng phụ thuộc vào cách chọn điểm D E KD Phân tích: Theo ví dụ ta có KE AB = , mà độ dài AB, AC khơng đổi nên KD AC tỉ số KE khơng phụ thuộc vào cách chọn điểm D E KD Ví dụ 8: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng d quay quanh A cắt BC, CD E, F Chứng minh tích BE.DF khơng đổi (bài 6/tr 122sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích: Tích BE.DF khơng đổi nên ta cần chứng minh tích tích hai cạnh hay đường chéo hình bình hành, mà để có tích ta phải có đoạn thẳng tỉ lệ nên ta vẽ yếu tố phụ đường song song sau: Vẽ thêm đường phụ FG // AD, G ∈ AB Ví dụ 9: Cho tam giác ABC với G trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC M, N Chứng minh AB AC + =3 (bài 12/tr AM AN 129- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) AB AC ; có mẫu ta AM AN nghĩ đến đường phụ BD, CE song song với MN( D, E ∈ AC ) Ta chứng minh ∆IBD = ∆ICE , sau để xuất tỉ số ta áp dụng hệ định lí Ta-lét vào Phân tích: Để tạo tỉ số tỉ số tam giác AMG ANG ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Vẽ thêm đường vng góc Đây cách vẽ đường phụ thường hay gặp tốn hình học 8, cách vẽ thường gặp tốn tứ giác đặc biệt hình thang vng, hình chữ nhật, hình vng Ví dụ 1: Tìm x hình 90 (bài 63 sgk Tốn – Tập 1/ tr 100) Phân tích: Để tìm x độ dài AD hình ta cần tạo đoạn thẳng đoạn thẳng AD, ta thấy hình có hai góc vng góc A góc D nên ta tạo đoạn thẳng BH = AD cách kẻ BH ⊥ CD ( H ∈ CD ) Khi ABHD hình chữ nhật có ba góc vng Từ ta có: AB = DH AD = BH Mà AB = nên DH = 8, từ tính HC = Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng BHC ta tính BH = 12 Do tìm x = 12 µ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ( A=90 ), điểm M thuộc cạnh BC Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC a) So sánh độ dài AM, DE b) Tìm vị trí điểm M cạnh BC để DE có độ dài nhỏ (bài 127/tr 73- sách tập tốn – tập 1) Phân tích : Dễ thấy, tứ giác DAEM hình chữ nhật (vì có ba góc vng) Nên DE = AM Do DE nhỏ tức AM nhỏ nhất, mà A cố định, M di động cạnh BC, đó: AM nhỏ M hình chiếu A đường thẳng BC nên ta vẽ thêm AH đường cao tam giác ABC, ta tìm lời giải tốn Ví dụ 3: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox cho OA = 3cm Lấy B điểm thuộc tia Oy Gọi C điểm đối xứng với A qua B Khi B di chuyển tia Oy điểm C di chuyển đường nào? (bài 125/tr 73- sách tập tốn – tập 1) Phân tích: Ta thấy độ dài OA khơng đổi, AO ⊥ Oy BA = BC nên ta vẽ thêm CD ⊥ Oy ( D ∈ Oy ) để tạo ∆BDC = ∆BOA , suy CD = AO =3cm nên CD có độ dài khơng đổi Do điểm C di chuyển tia C’z Khai thác tốn: Nếu ta thay giả thiết: C điểm đối xứng với A qua B giả thiết: C điểm tia đối tia BA cho BC = 2.AB ta tốn tổng qt sau: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox cho OA = 3cm Lấy B điểm thuộc tia Oy Gọi C điểm tia đối tia BA cho BC = 2.BA Khi B di chuyển tia Oy điểm C di chuyển đường nào? Phân tích: Ta thấy độ dài OA khơng đổi, AO ⊥ Oy BC = 2.BA nên ta vẽ thêm CD ⊥ Oy ( D ∈ Oy ) lấy M trung điểm BC để tạo ∆BEM = ∆BOA suy ME = AO =3cm nên CD = 2.ME = cm có độ dài khơng đổi Do điểm C di chuyển tia C’z µ µ Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) B=C=90 Chứng minh rằng: BC < AD (bài 7/tr 11- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích: Để chứng minh BC < AD ta cần tạo đoạn thẳng đoạn thẳng AD đoạn thẳng BC, theo đề Bµ = Cµ = 900 nên ta tạo đoạn thằng đoạn thẳng BC cách kẻ AH ⊥ CD Khi đó:AH < AD từ rút điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vng góc với AC ( H ∈ AC ) · Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AC Chứng minh : ADE=45 (bài 55/tr 56- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Để chứng minh ·ADE = 450 , ta nghĩ đến việc tạo tam giác vng cân nên ta vẽ thêm đường phụ EF cho EF ⊥ AD, F ∈ AD Từ ∆ABC = ∆BKE ta chứng minh FD = FE Từ tìm lời giải tốn Ví dụ 6: Cho hình vng ABCD điểm M, N, P, Q thuộc đường thẳng AB, BC, CD, DA cho MP ⊥ NQ Chứng minh rằng: MP = NQ (bài 69/tr 68- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích: Để chứng minh MP = NQ ta chứng minh MP, NQ hai cạnh tương ứng hai tam giác nên ta vẽ thêm MH ⊥ DC NK ⊥ AD ( H ∈ DC , K ∈ AD ), sau tìm cách chứng minh ∆KNQ = ∆HMP từ suy ra: NQ = MP Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Chứng minh đường cao AH tam giác ABC qua trung điểm M đoạn thẳng EG (bài 76/tr 73- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Để chứng minh ME = MG ta cần tạo hình bình hành có EG đường chéo nên ta vẽ hai đường phụ EI, GK ( EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH ) Chứng minh tứ giác EKGI hình bình hành ta có điều phải chứng minh Vẽ EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH Ta chứng minh ∆AKG = ∆CHA (cạnh huyền – góc nhọn), suy KG = HA (1) Tương tự, ta chứng minh ∆AEI = ∆BAH (cạnh huyền – góc nhọn), Suy EI = HA (2) Từ (1), (2) suy KG = EI Mặt khác EI ⊥ AH , GK ⊥ AH nên KG // EI Vậy tứ giác EKGI hình bình hành * Đặc biệt vẽ thêm đường phụ đường vng góc để sử dụng cơng thức tính diện tích ta hay gặp tốn diện tích Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD Chứng minh rằng: AC.BD ≤ AB (bài 20/tr 103- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Vì tích AC.BD có liên hệ với cơng thức tính diện tích hình thoi ( AC.BD ) nên ta cần vẽ thêm đường phụ để tính diện tích hình thoi theo cạnh ta vẽ thêm đường phụ BH ⊥ AD Ta có BH ≤ AB S ABCD = S ABCD = BH AD ≤ AB AD = AB Từ hai cách tính diện tích hình thoi ta có điều phải chứng minh Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC.BD (bài 21/tr 104- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Kết luận tốn có S ABCD mà S ABCD = S ABC + S DAC Để tính S BAC , S DAC ta phải có đường cao nên ta vẽ DK ⊥ AC , BH ⊥ AC từ 1 BH AC + DK AC 2 = AC.( BH + DK ) S ABCD = S ABC + S DAC = Mặt khác, BH ⊥ OH ⇒ BH ≤ OB DK ⊥ OH ⇒ DK ≤ OD Mà OB + OD = BD nên BH + DK ≤ BD Vậy S ABCD ≤ AC BD 2.2.3 Vẽ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Đây cách vẽ đường phụ thường hay gặp tốn hình học nhằm mục đích tạo tam giác nhau, tam giác đặc biệt, tứ giác đặc biệt Ví dụ 1: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K Chứng minh AK + CE = BE (bài tập 154/tr 76- sách tập Tốn - tập 1) Phân tích: Để làm xuất tổng AK + CE, ta lấy điểm M tia đối tia CD cho CM = AK Ta có AK + CE = CM + CE = EM µ · Ta cần chứng minh EM = BE Ta chứng minh ∆EBM có M=EBM ¶ =M µ ,B µ =B ¶ Thật vậy, ∆BAK = ∆BCM (c.g c ) suy ra: K 1 µ =B ¶ nên B ¶ =B ¶ Mặt khác: B 2 · µ +B ¶ =B µ +B ¶ = KBC · ¶ =M ¶ =B =K Từ đó, EBM ˆ ˆ Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có B+D=180 , CB = CD Chứng minh AC tia phân giác góc A (Ví dụ 1/tr 75- sách nâng cao phát triển Tốn tập 1) · · · Phân tích: Ta cần chứng minh BAC mà BAC góc ∆ABC nên ta = CAD cần tạo tam giác ∆ABC cách lấy điểm E tia đối tia DA cho DE = AB · µ (1) Từ ∆ABC = ∆EDC (c.g c) ⇒ BAC =E · µ (2) ∆CAE có AC = EC nên tam giác cân, CAD =E Từ (1) (2) suy AC tia phân giác góc A ˆ ˆ Ví dụ 3: Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=180 , AB < AD, AC tia phân · giác BAD Chứng minh rằng: BC = DC (bài 1/tr 5- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích: Rõ ràng khơng thể chứng minh trực tiếp BC = DC, phải dùng đoạn thẳng trung gian để chứng minh · Vì AC tia phân giác BAD , ta nghĩ đến việc tìm điểm E cạnh AD cho AE = AB Từ ∆ABC = ∆AEC ⇒ BC = CE ta chứng minh tam giác CDE cân đỉnh C Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD( AB//CD) có AB = AD + BC Chứng minh tia phân giác góc C, D cắt điểm cạnh AB (bài 6/tr 10- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Thử vẽ tia phân giác góc D, gọi E giao điểm tia phân giác AB Dễ thấy tam giác ADE cân A Điểm phụ E AB cho AE = AD giúp ta có lời giải tốn Ví dụ 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//DC) có AB < DC Chứng minh rằng: DC – AB < 2AD (bài 8/tr 12- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Chắc hẳn nghĩ đến tìm tam giác cân có cạnh bên AD cạnh đáy có độ dài DC – AB Trên cạnh DC lấy điểm E cho CE = AB Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Chứng minh đường cao AH tam giác ABC qua trung điểm M đoạn thẳng EG (bài 76/tr 73- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 8) Phân tích : Ví dụ ví dụ ta vẽ đường phụ vng góc Sau ta có cách khác: Để chứng minh M trung điểm EG ta cần tạo tam giác nhận MA đường trung bình nên ta vẽ điểm phụ Q tia đối tia AE cho: AQ = AE Chứng minh MA // GQ Từ có M trung điểm EG III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Sau năm thực đề tài vào năm học 2014 -2015 vào lớp 8.8, 8,9 với 78 học sinh tơi thấy đa số học sinh biết cách vẽ đường phụ để chứng minh định lí hình học làm giải tốn đơn giản, học sinh cảm thấy hứng thú học hình học (thể qua quan sát thái độ, cử học sinh, em khơng thấy chán nản) Riêng học sinh khá, giỏi em biết cách vẽ đường phụ để giải tốn, tơi thấy em thích học hình hơn, khơi dậy sáng tạo em Chất lượng làm cải thiện thể qua số liệu kiểm tra định kì cuối năm hình thức viết thống kê sau: IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đối với học sinh trung bình, yếu: Để nâng cao chất lượng học sinh ngồi việc nâng cao chất lượng dạy khóa, cần buổi phụ đạo cho học sinh trung bình, yếu để em có nhiều thời gian thực hành giải tập khắc sâu kiến thức Từ rèn luyện cách vẽ hình, cách vẽ đường phụ cho học sinh Đối với học sinh khá, giỏi: Cần tạo điều kiện để bồi dưỡng thêm kiến thức cho em, đặc biệt phần hình học Đa số tốn khó phần hình học có vẽ đường phụ, cần có nhiều thời gian để em nắm cách vẽ đường phụ thường dùng Vì vậy, mong nhà trường tạo điều kiện sở vật chất, phòng ốc để lớp phụ đạo, bồi dưỡng tiến hành thường xun V TÀI LIỆU THAM KHẢO Nâng cao phát triển Tốn Tác giả: Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Việt Nam SGK Tốn – Nhà xuất giáo dục SGV Tốn – Nhà xuất giáo dục SBT Tốn – Nhà xuất giáo dục Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Nhà xuất giáo dục Việt Nam- Năm 2013 [...]... hiện đề tài vào năm học 2014 -2015 vào lớp 8. 8, 8, 9 với 78 học sinh tôi thấy đa số học sinh đã biết cách vẽ đường phụ để chứng minh các định lí hình học và làm giải bài toán đơn giản, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học hình học (thể hiện qua quan sát thái độ, cử chỉ của học sinh, các em không còn thấy chán nản) Riêng đối với học sinh khá, giỏi thì các em đã biết cách vẽ đường phụ để giải quyết các... EKGI là hình bình hành * Đặc biệt vẽ thêm đường phụ là đường vuông góc để sử dụng công thức tính diện tích ta hay gặp trong các bài toán về diện tích Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD Chứng minh rằng: AC.BD ≤ 2 AB 2 (bài 20/tr 103- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8) Phân tích : Vì tích AC.BD có liên hệ với công thức tính diện tích hình thoi ( 1 AC.BD ) nên ta cần vẽ thêm đường phụ để... thời gian thực hành giải bài tập và khắc sâu kiến thức Từ đó rèn luyện cách vẽ hình, cách vẽ đường phụ cho học sinh Đối với học sinh khá, giỏi: Cần tạo điều kiện để bồi dưỡng thêm kiến thức cho các em, đặc biệt là phần hình học Đa số những bài toán khó ở phần hình học đều có vẽ đường phụ, do đó cần có nhiều thời gian để các em có thể nắm chắc các cách vẽ đường phụ thường dùng ở trên Vì vậy, mong nhà trường... AM AN nghĩ đến các đường phụ BD, CE song song với MN( D, E ∈ AC ) Ta chứng minh ∆IBD = ∆ICE , sau đó để xuất hiện tỉ số ta áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào các Phân tích: Để tạo ra các tỉ số bằng các tỉ số tam giác AMG và ANG ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Vẽ thêm đường vuông góc Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8, đây là cách vẽ thường gặp trong bài toán về... các em đã thích học hình hơn, khơi dậy được sự sáng tạo của các em Chất lượng bài làm cũng được cải thiện thể hiện qua số liệu bài kiểm tra định kì cuối năm bằng hình thức viết được thống kê như sau: IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đối với học sinh trung bình, yếu: Để nâng cao chất lượng học sinh ngoài việc nâng cao chất lượng các giờ dạy chính khóa, rất cần các buổi phụ đạo cho học sinh trung... phụ để giải một số bài toán hình học 8) Phân tích : Để chứng minh ·ADE = 450 , ta nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông cân nên ta vẽ thêm đường phụ EF sao cho EF ⊥ AD, F ∈ AD Từ ∆ABC = ∆BKE ta chứng minh được FD = FE Từ đó tìm ra lời giải bài toán Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho MP ⊥ NQ Chứng minh rằng: MP = NQ (bài 69/tr 68- ... của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn thẳng EG (bài 76/tr 73- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8) Phân tích : Để chứng minh ME = MG ta cần tạo ra một hình bình hành có EG là đường chéo nên ta vẽ hai đường phụ EI, GK ( EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH ) Chứng minh tứ giác EKGI là hình bình hành ta sẽ có điều phải chứng minh Vẽ EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH Ta... kiện về cơ sở vật chất, phòng ốc để các lớp phụ đạo, bồi dưỡng được tiến hành thường xuyên V TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nâng cao và phát triển Toán 8 Tác giả: Vũ Hữu Bình Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 2 SGK Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục 3 SGV Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục 4 SBT Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục 5 Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8 Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Nhà xuất bản giáo... toán về các tứ giác đặc biệt như hình thang vuông, hình chữ nhật, hình vuông Ví dụ 1: Tìm x trên hình 90 (bài 63 sgk Toán 8 – Tập 1/ tr 100) Phân tích: Để tìm x hay là độ dài AD ở trên hình ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng đoạn thẳng AD, ta thấy trên hình đã có hai góc vuông là góc A và góc D nên ta tạo ra đoạn thẳng BH = AD bằng cách kẻ BH ⊥ CD ( H ∈ CD ) Khi đó ABHD là hình chữ nhật vì có ba góc vuông... cần vẽ thêm đường phụ để tính diện tích hình thoi theo 2 cạnh do đó ta vẽ thêm đường phụ BH ⊥ AD Ta có BH ≤ AB S ABCD = S ABCD = BH AD ≤ AB AD = AB 2 Từ hai cách tính diện tích hình thoi như trên ta có điều phải chứng minh 1 2 Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC.BD (bài 21/tr 104- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8) Phân tích : Kết luận bài toán có S ABCD