1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

PP GIAI TOAN DAI SO 9 MOI .doc

13 459 1
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 400 KB

Nội dung

- 1 - CHƯƠNG TRÌNH A. ĐẠI SỐ : I/ Rút gọn biểu thức. II/ Thực hiện phép tính. III/ Chứng minh đẳng thức. IV/ Chứng minh bất đẳng thức. V/ Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. VI/ Giải PT và HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ. VII/ Giải phương trình Vô tỉ – phương trình chứa giá trò tuyệt đối. VIII/ Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất. IX/ Các bài toán liên quan đến hàm số. X/ Hệ thức Viét - áp dụng B. HÌNH HỌC: 20 BÀI TOÁN MẪU. - 2 - A. ĐẠI SỐ I. RÚT GỌN BIỂU THỨC : 1) Phương pháp: Để rút gọn một biểu thức ta thực hiện các bước sau: + Quy đồng mẫu (nếu có). + Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn. + Trục căn thức ở mẫu( nếu có). + Thực hiện các phép tính. + Rút gọn. 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: 2 2 1 1 1) ; 2) 1 1 a b ab a b a a a A B a a a b a b a    + − − − − = − = +  ÷ ÷  ÷ ÷ − − + −    Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 0, 0 0, 0 1) : 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 2) : 1 0 1 1 0 1 1 (1 )(1 ) 1 ( ) 1 1 1 1 a b a b DK a b a b a b a b a b a ab b a b a b A a b a b a b a b a b a b A a a DK a a a a a a a a a B a a a a a a ≥ ≥  ≥ ≥   − ≠ ⇔   ≠   + ≠  + − − + − − = − = − − + − + = − − − = ⇒ = ≥  ≥   − ≠ ⇔   ≠   − ≠        − − − + + −  ÷   = + = +  ÷   ÷ − − − −         2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ). (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 a a a a a a a a a a B ÷ − = + + + − + + − = = − + ⇒ = 3) Rút gọn rồi tính gía trò của biểu thức: 2 2 2 2 5 2 1 2 1 : 2 C a a a a khi a= + − − − − = Giải: Điều kiện: a 2 –1 ≥ 0 - 3 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a a a a a a a = − + − + − − − − + = − + − + − − − − + = − + − − − = − + − − − = − + − − − Với a = 5 2 , Ta được: C = 1 4) Rút gọn biểu thức: D = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b c a c a b a b c + + + − + − + − ; biết a + b + c = 0. Giải: Có: a + b + c = 0 b c a⇒ + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 b c a b c bc a b c a bc ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + − = − Tương tự ta có: c 2 + a 2 – b 2 = -2ab a 2 + b 2 – c 2 = -2 ac 1 1 1 ( ) 0 2 2 2 2 a b c D bc ab ac abc − + + ⇒ = + + = = − − − ( vì a+ b + c = 0) Vậy khi a + b + c = 0 thì D = 0 5) Cho a,b,c > 0. Rút gọn: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 ; M a b c ac bc a b c ac bc a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b khi a b c c Khi a b c = + + + + + + + − + = + + + + + + + − + = + + + + − = + + + + −  + + ≥  =  + <   - 4 - II. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH: 1) Phương pháp: Dùng các phép biến đổi về căn thức, đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng (a ± b) 2 để đưa ra thừa số ra ngoài căn…. 2) Các ví dụ: Tính: 8 2 15 8 2 15 ; 49 20 6 49 20 6 4 10 2 5 4 10 2 5 ; 4 7 4 7 2 A B C D = − − + = + + − = + + + − + = + − − − Giải: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 15 8 2 15 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) 2 3 2 : 8 2 15 8 2 15 8 2 15 8 2 15 2 (8 2 15)(8 2 15) 16 2 4 16 4 12 : 0 12 2 3 49 20 6 49 20 6 A A Cach A Do A A B = − − + = − + − + + = − + − + + = − − + = − − + = − = − − + = − + + − − + = − = − = < ⇒ = − = − = + + − HS Tự giải: Đáp số: B = 10 ; C = 5 1+ 2 2 4 7 4 7 2 8 2 7 8 2 7 2 2 2 ( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1 2 2 2 2 2 2 7 1 7 1 2 2 2 0 2 D = + − − − + − = − − + − + − = − − = − − + − + = − = − = 3) Bài Tập:Tính: H = 2006 2005.2007 2006 2005.2007 2 2 + − + (4 15)( 10 6)( 4 15 ); 13 160 53 4 90E F= + − − = − − + Đáp số : E = 2 ; F = -4 5 2 2 2 2 2 2 2 1991 1990.1992 1991 1990.1992 2 2 1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1 2 . 2 2 2 2 1991 1991 (1991 1) 1991 1 1992 G G + − = + + − − − + − − − = + + = + − − = + = Vì G > 0 Suy ra G = 1992 - 5 - III. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: A = B (1) 1) Phương pháp giải : a) Phương pháp 1 :Dựa vào đònh nghóa: A = B ⇔ A – B = 0 + Lập hiệu số : A – B. + Biến đổi biểu thức: A – B và chứng tỏ A – B = 0 + Kết luận A = B. b) Phương pháp 2 : Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = A 3 = ………….= B c) Phương pháp 3: Sử dụng giả thiết để biến đổi. d) Phương pháp 4: Chứng minh: A = C và B = C ⇒ A = B e) Phương pháp 5: Biến đổi tương đương Ta có: A = B / / // // (*) .A B A B⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ (*) đúng suy ra A = B f) Phương pháp 6: Quy nạp g) Phương pháp 7: Dùng biểu thức phụ 2) Các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh: (x +y) 2 – y 2 = x(x+2y) Giải: Ta có: (x +y) 2 – y 2 - x(x+2y) = x 2 + 2xy + y 2 – y 2 – x 2 – 2xy = 0 Vậy: (x +y) 2 – y 2 = x(x+2y) Ví dụ 2:C/m 2 2 2 1 2 2 1 2 2 ; : 0m m m m m m m Khi m+ + + − + − + = > Giải: 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 VT m m m m m m m m m m m m m m m m m m m VP = + + + + − + − + + = + + − + − = + + − + − = + = = Vậy khi m > 0 thì: 2 2 2 1 2 2 1 2 2m m m m m m m+ + + − + − + = Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0. chứng minh: a) a 2 + b 2 – c 2 + 2ab = 0 b) a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc Giải: a) Ta có: a + b + c = 0 2 2 2 2 2 ( ) 2 0a b c a b c a b ab c⇒ + = − ⇒ + = ⇒ + + − = (đpcm) b) Có: 3 3 a + b + c = 0 a+b=-c (a+b) c⇒ ⇒ = − 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 a a b ab b c a b c a b ab a b c ab a b a b c ab c a b c abc ⇒ + + + + = ⇔ + + = − − ⇔ + + = − + ⇔ + + = − − ⇔ + + = Ví dụ 4: Ví dụ 5: Chứng minh: ( ) 2 3 2 3 6 1+ + − = Giải: 2 (1) ( 2 3 2 3) 6 2 2 2 6 ⇔ + + − = ⇔ ⇔ + + = - 6 - Vậy: 2 3 2 3 6+ + − = PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP: + Bước 1: Với n = 1 ⇒ A(n) đúng + Bước 2: Giả sử A(n) đúng khi n = k ( k Z∈ ) + Bước 3: Ta chứng minh A(n) đúng với n = k + 1 Ví du ï6: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 3 +…….+ n = ( 1) (1) 2 n n n Z + + ∀ ∈ Giải: + Với n = 1, ta có: 1(1 1) 1 1 1 2 + = ⇔ = đúng + Giả sử: (1) đúng khi n = k ( k ∈ Z) tức là: 1 + 2 + 3 +…….+ k = ( 1) 2 k k + (2) + Khi n = k + 1, ta phải chứng minh: 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1)( 2) 2 k k+ + (3) có: (2) ⇔ 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1) 2 k k + + k + 1 ⇔ 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1) 2( 1) ( 1)( 2) 2 2 k k k k k+ + + + + = Vậy: 1 + 2 + 3 +…….+ n = ( 1) 2 n n n Z + + ∀ ∈ 3) Bài tập : Bài1: Chứng minh: 2 1 a b b a b a b a b − − = − − + ; với a > 0, b > 0 , a ≠ b Bài2: a) Chứng minh rằng nếu a = b + 1 thì (a + b)(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 ) = a 8 – b 8 b) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = 0 Bài3: Chứng minh: * 1 1 1 , ( 1) 1 1 n N n n n n n n = − ∈ + + + + Bài4: Chứng minh: 2( 3 1) 2 3n = + − là một số tự nhiên. Bài5: Chứng minh: 3 ( ) 2 3( ) 3 x y x x y y xy y x y x x y y − + + − + = − + Bài6: Chứng minh: 3 2 ( 1) ( 1) , : 0, 0 a a b b a b Khi a b a a b ab a a − − − − = > ≥ + + − Giải: Bài2: a) Có a = b +1 1a b ⇒ − = 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 (a + b)(a + b )(a + b )=1.(a + b)(a + b )(a + b ) =(a-b)(a + b)(a + b )(a + b ) =(a -b )(a + b )(a + b ) =(a )(a + b )=ab b ⇒ − − c) Có: a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = (a 3 + b 3 ) + (a 2 c – abc + b 2 c) =(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) + c( a 2 – ab +b 2 ) - 7 - =(a + b + c)( a 2 – ab + b 2 ) = 0; Vì a + b + c = 0 Vậy: a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = 0, khi: a + b + c = 0 Bài3: 2 2 1 1 ( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1 . . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 VT n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n VP n n = = + + + + + + + − = = + + + + + + + − + = = − + + + = − = + Bài4: Có : 2( 3 1) 2 3n = + − = 4 2 3 2( 3 1) 2( 3 1) 4 2 3 2 2 − + + = − = 2 ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1 2 N+ − = + − = − = ∈ Vậy n là số tự nhiên. Bài1; Bài5; Bài6 HS tự chứng minh. - 8 - IV/ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: A > B (1) 1) Phương pháp giải: a) Phương pháp1:Dùng Đònh nghóa A > B ⇔ A – B > 0 ( hoặc B – A < 0) + Lập hiệu: A – B. + Rút gọn A – B và chứng tỏ A – B > 0 ( hoặc B – A < 0) + Kết luận A > B. b) Phương pháp2: Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = ………… = B + M 2 > B ; M ≠ 0 c) Phương pháp3: Sử dụng giả thiết hoặc một bất đẳng thức đã biết. d) Phương pháp4: Chứng minh A > C và C > B suy ra A > B e) Phương pháp5: Biến đổi tương đương: A > B ⇔ A 1 > B 1 ⇔ …… ⇔ (*) đúng, suy ra A > B f) Phương pháp 6: Quy nạp. g) Phương pháp7: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để Chứng minh A > B , Ta làm như sau: + Bước 1: Giả sử A ≤ B. + Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vô lý. + Bước 3: Kết luận A > B. h) Phương pháp9: Phân tích số hạng 2) Các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca≥ + + Dấu “= “ xảy ra lúc nào? Giải: Ta có: a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca− − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 0, , , 2 a b c ab bc ac a ab b a ac c b bc c a b a c b c a b c a b c ab bc ca = + + − − −   = − + + − + + − +     = − + − + − ≥ ∀   ⇒ + + ≥ + + dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 2: CMR: 2 2 3 0 4 x x+ + > Với mọi giá trò của x Giải: Ta có: 2 2 2 2 3 2 1 2 ( 1) 2 0,x x x x x x+ + = + + + = + + > ∀ , Vì (x + 1) 2 ≥ 0 Do đó: 2 2 3 0 4 x x+ + > Với mọi giá trò của x Vì 4 > 0 Ví dụ 3:Chứng minh ví dụ 1 Ta có: (a – b) 2 0; ,a b≥ ∀ 2 2 2 0a ab b⇔ − + ≥ - 9 - 2 2 2 (1)a b ab⇔ + ≥ ( Dấu bằng xảy ra khi a = b) Tương tự: 2 2 2b c bc+ ≥ (2) (Dấu bằng xảy ra khi b = c) 2 2 2a c ac+ ≥ (3) (Dấu bằng xảy ra khi a = c) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có: 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ≥ 2abb + 2bc + 2ac 2 2 2 a b c ab bc ac⇔ + + ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 3) Bài tập: 1) Chứng minh: a b a b b a + ≤ + ( Với a>0; b>0) 2) Chứng minh: 2 2 (2 1) 5 4 0, 0a a a a− + + + ≥ ∀ ≥ 3) Chứng minh: 2 2 10 4 0, 1 x x x x x − + − < ∀ + 4) Chứng minh: 1 1 4 , ( , 0)x y x y x y + ≥ ∀ > + 5) Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b a b+ +   ≥  ÷   6) Chứng minh: 1 1 1 1, 1.2 2.3 ( 1) n N n n + + + < ∀ ∈ + 7) Chứng minh: 2 2 2 2 1a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + Giải: 1) Với a>0; b>0, Ta có: 3 3 ( )( ) 0 (*) a b a a b b a b a b a b ab b a ab a b a b a ab b ab ab a ab b a b a b + + + ≤ + ⇔ + ≤ ⇔ ≤ + + + + ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + + ⇔ ≤ + (*) Đúng Với a>0; b>0. Vậy BĐT được chứng minh 4) Ta có: (x – y ) 2 0, ,x y≥ ∀ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 4 ; : ( ) 0 ( ) ( ) 4 1 1 4 x y xy xy x y xy x y xy Khi xy x y xy x y xy x y x y xy x y y x x y ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + > + + + ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5) : ( ) 0 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 2 Do a b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + + ⇔ + ≥ + + + +   ⇔ + ≥ ⇔ ≥  ÷   - 10 - 1 1 1 1 1 1 1 1 6) (1 ) ( ) ( ) 1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 n n n n n n n N n n n + + + = − + − + + − + + + − = − = = < ∀ ∈ + + + 2 2 2 1 1 7)( ) 0 0 2 4 1 ; (1) 4 a a a a a − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ Tương tự ta có: 2 2 2 1 ; (2) 4 1 ; (3) 4 1 ; (4) 4 b b c c d d + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ 2 2 2 2 1a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + V/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 1) Ghi nhớ: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (1), với a, b, c phụ thuộc vào tham số m + Bài toán1: Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm. (1) có nghiệm khi: a) Hoặc a = 0, b ≠ 0 b) Hoặc a ≠ 0, 0 ∆ ≥ + Bài toán2: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: a ≠ 0 và 0 ∆ > + Bài toán3: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm: a = 0 và b ≠ 0, hoặc a ≠ 0 và 0 ∆ = + Bài toán4: a) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm cùng dấu: 0 ∆ ≥ và P > 0 b) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm dương: 0 ∆ ≥ , P > 0 , S > 0 c) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm âm: 0 ∆ ≥ , P > 0 , S < 0 d) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu + Bài toán5: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm x = x 1 . Tìm nghiệm kia? Thay x = x 1 vào(1), ta có: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 ⇒ m Thay giá trò của m vào (1) ⇒ x 2 hoặc Tính x 2 = S – x 1 hoặc x 2 = 1 P x + Bài toán6: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn một trong các giả thiết sau: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 ) ) ) ) ) a x x b x x k c n x x d x x h e x x t α β γ + = + = + = + ≥ + = 2) Phương pháp giải: Điều kiện chung: 0∆ ≥ (*) p dụng đònh lý Viét: 1 2 1 2 b S x x a c P x x a −  = + =     = =   [...]... m 3) Các ví dụ: Ví dụ1: Cho Pt x2 + 3x – m = 0 (1) a) Tìm các giá trò của m để Pt (1) có nghiệm b) Đònh m để PT (1) có 1 nghiệm bằng -2 Tìm nghiệm kia Giải: a) PT (1) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 9 ⇔ 32 − 4.1.(−m) ≥ 0 ⇔ 9 + 4m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4 b) Vì Pt (1) có một nghiệm bằng x1= -2 nên ta có: (-2)2 + 3.(-2 ) – m = 0 ⇔ 4 – 6 – m = 0 ⇔ m = -2 −b −3 = = −3 ⇒ x 2 = −3 − x 1 = −3 − (−2) = −1 Ta có: x1 + x2 = a 1 c 2... 4) Bài Tập: 1) Tìm tất cả các giá trò của m để PT: a) 5x2 + 3x +10 = 0 có nghiệm b) -2x2 + mx - 3 = 0 có nghiệm c) mx2 - 4x - 5 = 0 có nghiệm 2) Cho PT: 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (2) a) Giải PT (2) khi m = 9 b) Với giá trò nào của m thì Pt(2) có hai nghiệm phân biệt 3) Cho PT (m + 1)x2 + 3x – 2 = 0 (3) a) Giải PT(3) khi m = 4 b) Với giá trò nào của m thì Pt(3) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m, biết PT(3) . 160 53 4 90 E F= + − − = − − + Đáp số : E = 2 ; F = -4 5 2 2 2 2 2 2 2 199 1 199 0. 199 2 199 1 199 0. 199 2 2 2 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 2. 199 1 199 1 1 2 . 2 2 2 2 199 1 199 1 ( 199 1 1) 199 1 1 199 2 G G + − = + + − − − + − − − = + + = + − − = + = Vì G > 0 Suy ra G = 199 2 - 5 - III. CHỨNG MINH

Ngày đăng: 14/06/2013, 01:25

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w