SKKN giá trị tuyệt đối

ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen vớikhái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinhnắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầuhiểu ý nghĩa hìn

đề tài nghiệp vụ s phạm

một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong

trờng thcs

Giảng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn

9 9

II Bài tập điển hình

Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị

tuyệt đối

I Kiến thức cần lu ý

II Bài tập điển hình

Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt

Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu

thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

17 1819 20 20 24

24 242630 31 32

Phần I: Lời nói đầu

Giá trị tuyệt đối là một khái niệm đợc phổ biến rộng r i trong cácãi trong các

ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chơng trình Toán ở bậcTHCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số đợc gặp nhiều lần,xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9 ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen vớikhái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinhnắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầuhiểu ý nghĩa hình học của nó Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đa vàocác quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ ở lớp 8, tuy không cótrong chơng trình giảng dạy song bài: " Giải phơng trình có chứa dấugiá trị tuyệt đối" đợc rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy

đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi Đến lớp 9, khi xét cáctính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có

thêm ứng dụng mới( đa một thừa số ra ngoài căn, đa một thừa sốvào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, )

Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tợng và quan trọng vì nó

đợc sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng nh THPT

và Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nềntảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức caohơn ở các bậc học sau

Trớc nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng nh nâng caokiến thức cho ngời dạy cũng nh ngời học về khái niệm " Giá trị tuyệt

đối", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờngTHCS"

Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng nh họcsinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TS Tống Trần Hoàn đ hãi trong các ớng dẫn và

giúp đỡ tôi hoàn thành tốt đề tài này !

Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạnchế, thiếu sót Tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiếncủa thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

A nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối

1.3 Định nghĩa 3:

Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là số đo( theo đơn

vị dài đợc dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểmgốc 0 trên trục số ( hình 1)

Ví dụ 2:

a  3 nếu a  0 0  a 3

a  3    -3  a  3

-a  3 nếu a < 0 -3 a < 0

Do bất đẳng thức đ đãi trong các ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn

 3 ; 3 và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểmcủa đoạn  3 ; 3 ( hình 3)

Do bất đẳng thức đ đãi trong các ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa

đoạn (-; 3] và [3; + ) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hainửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó (hình 4)

b a b

Bài 1 Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau: ãi trong các

Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau, sau ãi trong các

đó biểu diễn các số tìm đợc lên trục số:

a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho x < 50

b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y = 5

( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)

c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y < 4

II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối

b a b a b a b a b a

b a b

ThËt vËy: a = 0   0    0

b

a b

a b

bài tập tự luyện Bài 6:

Điền vào chỗ trống các dấu  , , = để khẳng đinh sau đúng a, ba) a  b a + b

chứa dấu giá trị tuyệt đối

I các kiến thức cần lu ý

1.1 A(x) nếu A(x)  0

)

( x

A = ( A(x) là biểu thức đại số)

-A(x) nếu A(x) < 0

1.2 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a  0)

Nhị thức bậc nhất ax + b (a  0) sẽ:

+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức.

+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

Giả sử x0 là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:

+ Nhị thức cùng dấu với a x > x0

+ Nhị thức trái dấu với a x < x0

1.3 Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

- Nếu  < 0, thì f(x) cùng dấu với a x

- Nếu   0 thì:

+ f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm

+ f(x) trái dấu với a x nằm trong khoảng hai nghiệm

Hay

- Nếu  < 0  a.f(x) > 0 x

- Nếu   0  f(x) có hai nghiệm x1  x2

nếu x1 < x < x2  a.f(x) < 0

nếu x  x1 hoặc x  x2  a.f(x) > 0

Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức

âm) Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào

định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai) Dấu của biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu.

II các bài tập điển hình

) 1 ( 5 1 2

x x

) ' 1 ( 6 2 6

2 5

1 2

x

x x

y y x y x

Thật vậy:

Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:

) 1 ( 1

x y

x y

Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình theo các khoảng xác định

Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là x 1 3 và

Với -1  y  2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)

Với 2  y  5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)

Với 1  x  4 ta có :

Với -1  y  2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)

Với 2  y  5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)

Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:

Hệ (1; I) 2

1

; 2 1 0 1

y x

, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

x y y x

y x y x

không có nghiệm

Hệ (1; IV) 2

5

; 2 7 6 1

đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

1

; 2 1 0

y x

đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định

x y y x

y x y x

không có nghiệm

7

; 2 5 6 1

, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:

g) x 1 x2h) 4x 1  2x 3  x 2  0

Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:

) 2 ( )

2

(b a b

a   

Bài 13: Tìm các số a, b sao cho: aba  b

Bài 14: Giải các hệ phơng trình sau

y x

y x

y x

y x

0 9 5 3

y x

y x

4 1 3

y x

y x

Bài 15: Giải phơng tình sau: 2 1 2 2 3

Bài 16: Tìm x

a a x

a

2     ( a là hằng số)

chủ đề II: giải bất phơng trình chứa dấu giá trị

tuyệt đối

I các kiến thức cần lu ý 1.1 Các phép biến đổi bất đẳng thức

(

) ( ) (

x g x

f

x g x f

5 5

3

15 3

10 5

3

10 5 3

x

x x

x x

x

Vậy x  5 hoặc x 

-3 5

2.3 Giải bất phơng trình: 2 2 2 1





 x x

Thật vậy:

1 2

2 1

x x

Kết hợp lại ta đợc các nghiệm của hệ là:

2 1 2

x x x x

x x

x x

1 2 2 2

1

2 2

x x

x

x x

x

áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trờng hợp:

+ Nếu x  -2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0  x > 4 > -2 ( không là nghiệm)

+ Nếu -2  x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0  3x > 0  x > 0Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1

+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0  x < 4

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4

Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1  x  4; 0 < x < 1

Cách 3 :

Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

1 2 2 2

1

2 2

III Bài tập luyện tập

Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức

x

x

ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox.

( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dới nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox)

Đồ thịi hàm số

y = |1 - |x||

c)Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số

( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành )

- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu đợc qua trục Ox.

Hình 9Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| = 1 1

có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối

x y

x y

3

 y =

x + 2 nÕu 0  x  -2

x - 2 nÕu x  2Víi x  0, y = |x - 2| =

3

x

2 4 y

3

Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số:

y = ||x| - 2|

VIII.bài tập luyện tập Bài 21 Dựng đồ thị của các hàm số

chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các

biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I các kiến thức cần lu ý:

Cho A, B là các biểu thức đại số

1.1 |A|  0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )

1.2 |A + B|  |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.3 |A - B|  |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.4 |A - B|  |A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.5 ||A| - |B||  |A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

1.5 ||A| - |B||  |A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B  0 )

II Các bài tập điển hình 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4

Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)  0  5  x hoặc x 1

III bài tập luyện tập Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) a > 0; b) kh«ng tån t¹i; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a = 5; h) a = 0

NÕu b  0 th× a + b = |a| + b  a = |a|  a  0

NÕu b < 0 th× a + b = |a| - b  |a| - a = 2b  VT  0, VP < 0 

®¨ng thøc kh«ng xÈy ra  a  0, b  0 lµ c¸c gi¸ trÞ tho¶ m n·i trong c¸c

x  x d) x  0, x  1

Bµi 19:

a) x < 1; b) x < -1; x > 7; c) -3 < x < 5 d) x  1 e) 0 x  1g) 2

x y

O

6

3

x y

O

Bài 28: max H = 5  x  2 hoặc x  -3

d tài liệu tham khảo

1 Giá trị tuyệt đối- I.I GAIDUCOP- NXB Giáo dục - 1973

2 Một số vấn đề phát triển đại số 7- Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục - 1994

3 Toán nâng cao và chuyên đề đại số 7- Nguyện Ngọc Đạm - Vũ

D-ơng Thuỵ - NXB Giáo dục - 1997

4 Toán cơ bản và nâng cao đại số 7- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1999

5 Toán Bồi dỡng học sinh lớp 7 - Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều NXB Hà nội - 1995

6 Một số vấn đề phát triển đại số 8 - Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1994

7 Toán nâng cao đại số 8- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1999

8 Một số vấn đề phát triển đại số 9 - Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1994

x

O

y

x y

O

y

O

x 2

1

E : Kết luận chung

Việc nghiên cứu một số vấn đề giá trị tuyệt đối là một trong những vấn đềtơng đối hay và khó Mỗi một phơng pháp giải nh là một chìa khóa giúp chúng tatìm đợc những con đờng đi ngắn nhất trong quá trình khám phá chân lý của trithức nhân loại

Quá trình nghiên cứu của đề tài đã phần nào đó giúp cho học sinh có cáchnhìn một cách khái quát hơn về giá trị tuyệt đối

Đề tài đã giúp cho các em hệ thống đợc các dạng bài tập về giá trị tuyệt

đối trong trờng THCS trên cơ sở đó mà các em có đợc tất cả các công cụ khi

đứng trớc một bài toán chứa giá trị tuyệt đối

Tóm lại, đề tài này đã phần nào giải quyết đợc những vớng mắc cơ bản khigặp bài toán chứa giá trị tuyệt đối

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã giúp tôi hoàn thành đề tài này.

Ngày 15 tháng 5 năm 2006

Ngời viết

Bài Dạy thực nghiệm

Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

A/ Mục tiêu:

- Hs hiểu và biết so sánh 2 số nguyên, tìm đợc giá trị tuyệt đối của 1 số nguyên

- Rèn kỹ năng so sánh 2 số nguyên và tìm giá trị tuyệt đối của 1 số nguyên

- Rèn tính cẩn thận trong so sánh và tìm giá trị tuyệt đối của số nguyên.

?HS2:Thế nào là 2 số đối nhau? Làm BT 10 (SGK)

III/ Bài mới:

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

- Hs làm theo yêu cầucủa gv

- Hs trao đổi theo bànrồi len bảng điền vàobảng phụ

-Học sinh nhận xét,

bổ sung

- Hs tìm hiểu phầnchú ý SGK

- Hs dựa vào trục số

để trả lời

-Hs đọc và tìm hiểuyêu cầu ?2

- Hs trao đổi theonhóm bàn rồi đại diệnlên bảng làm

- Hs so sánh theo

1 S sánh hai số nguyên.

(15’)

+ Ta có: 3 <5trên tia số: điểm 3 ở bêntrái điểm 5

+ Với 2 a,b ẻ Z: khi điểm a

ở bên trái điểm b trên trục

O n

-Gv nêu ĐN giá trị tuyệt

đối của một số nguyên

-Hs đọc và tìm hiểu ?3

- 3 hs lên bảng trìnhbày

- hs cả lớp cùng làmvào vở

-Học sinh nhận xét,

bổ sung

- Hs theo dõi và tìmhiểu thêm trong SGK

-Hs đọc và tìm hiểu ?4

- Hs trao đổi theonhóm rồi cử đại diệnlên bảng làm

-Học sinh nhận xét,

bổ sung

- Hs rút ra NX nhSGK

b) -2>-7; e) 4>-2 c) –4<2; g) 0<3

- Hs 2 nửa lớp làm nhanh và đại diện lên bảng làm.

-Hs đọc và tìm hiểu BT

- Hs trao đổi theo nhóm rồi cử đại diện lên bảng làm

- 1 hs đại diện lên bảng làm

-Học sinh nhận xét, bổ sung