SKKN Gia tri tuyet doi

[r]

A- Những kiến thức Giá trị tuyệt đối. I- định nghĩa:

1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối số thực a, ký hiệu  a là:

  

  

0 a nÕu a

-0 a nÕu

a a

2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất ánh xạ f: R R+

  

 

 

0 a nÕu

0 a nÕu

a a a a

VÝ dô : | | =1 |0| =

|-1| = -( -1) =1

Më réng : Víi biĨu thøc A(x) ta cịng cã:

Ví dụ:

3- Định nghĩa 2:

Khong cỏch từ điểm a đến điểm O trục số giá trị tuyệt đối a

| - a | | a| VÝ dô 1: | - | | |

* Víi a = th× | a| = |3| =3

Víi a= -3 th× |a| = |-3|

1 ) ( |

|     

1 |

|   

  

  

0 A(x) A(x)nÕu

-0 A(x) nÕu |A(x |) Ax)(

     

 

 

  

  



3 5 x nÕu

3 5 x nÕu 5 -3x

0 5 - 3x nÕu 3x -5

0 5 -3x Õu 5

-3x

x n x

3 5

5 3

        



* Ngợc lại:      

3

3 a

a

Tỉng qu¸t:

         



b b a b

ba

0

R b a b b a b

a   

     

 ,

VÝ dô 2: | |

Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối O số O

* Giá trị tuyệt đối số ngun dơng

* Giá trị tuyệt đối số âm số đối (và số dơng) * Trong hai số âm, số có Giá trị tuyệt đối nhỏ lớn * Hai số đối có Giá trị tuyệt đối

VÝ dơ 3:

Do bất đẳng thức cho nghiệm tập số đoạn [- 3, 3] trục số đợc nghiệm tập hợp điểm đoạn [-3 ; 3]

-3 Tỉng qu¸t:

VÝ dơ 4:

Do bất đẳng thức cho nghiệm tập hợp số hai khoảng [- ∞; 3] [3; +∞] trục số đợc nghiệm hai khoảng tơng ứng với khoảng số

0 , ,

0 ||

 

     

 

 

b R b a b a b b

b a

03 03 30 3

3  

  

   

 

 

 

 a

a a a

0a nÕu3a

-0a nÕu a

        

     

  

3 3 3 3 3

a a a a a

0a nÕu3 a

-0 a nÕu 0a nÕu3a

Tỉng qu¸t:

II- Các tính chất gí trị tuyệt đối:

1) | a | ≥ ∀ a (Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối) 2) |a| = < => a =

3) | a | = | -a | ; | a |2 = a2 ThËt vËy:

* | a | = | -a | (do a -a hai số đối nên theo định nghĩa | a | = | -a |) * | a |2 = | a | | a |

- NÕu a> th× |a |2 = a a = a2

- nÕu a < th× |a |a2| = (-a) (-a )= a2

VËy : | a |2 = a2

4) - |a |  a  |a|

Thật : theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

  

  

0 a a nÕu

-0 a nÕu

a a

=> | a |  a => -| a |  -a 5) | a + b | ≤ | a | + | b |

DÊu "=" x¶y vµ chØ ab  ThËt vËy: theo (4) -|a|  a  |a|

- |b| b  |b|

=> -( |a| + |b|  a+ b  |a| + |b | (®ccm) 6) |a|- | b |  |a| + | b |

DÊu "= " (|a| -|b| = |a – b|) xảy

 

b a ab 0

ThËt vËy: |a| =| a-b+b|  |a- b | + | b| => |a| - | b|  |a-b| (1) |a – b | =| a + ( -b)|  |a| + |- b | => |a| + | b|

=> |a – b|  | a| + | b| (2) Tõ (1) vµ (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (®ccm)

7) ||a| - | b| | | a b|

Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | ab ≥ ThËt vËy :

Theo (6) |a| – |b |≤ | a - b| (1) | b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b | => -( |a – b |) ≤ | a - b| (2)

)3( )

(   

 

  

ba ba ba

Tõ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| – |b | | ≤ | a - b| (4)

Mặt khác: | |a| |b | | = | |a| – |b | | ≤ | a + b| => | |a| – |b | | ≤ | a + b| (5)

2

| |

, 4

0

a b a b

a b R b ac

b a b

 

 

   

 

 

Tõ (4) vµ (5) => | |a| – |b | | ≤ | a ∓ b| (®ccm) 8) | a b| = | a | |b|

ThËt vËy xÐt c¸c khả sau:

         0b 0a hchc 0 0 0 0 b a b a   b b a b a

§Ịu suy | ab| = | a | |b| = (1) Từ (1);(2);(3);(4) (5) => đ/c c/m

9) Thật vậy: xét khả sau:

Từ (1);(2); (3) ;(4) (5) suy điều cần chứng minh

III- Bài tập áp dụng : 1- Bài tập áp dụng khái niệm :

a- Bài tập trắc nghiệm :

Hóy khoanh trịn vào chữ a), b), c), d) câu (Các câu 1,2,3)

Câu 1: Giá trị tuyệt đối a ký hiệu | a|

a) | a | = a b) | a | = - a c) | a | = d) | a | ≥

C©u :

Cho a ∈ Z tìm kết luận

a) | a | ∉ N b) | a | = a c) | a | ∈ N d) | a | = - a

Câu : Cho số nguyên a điền vào chỗ trống dấu ≤ ;≥ ; >; < = để khẳng định

sau :

a) | a |… a víi mäi a b) | a | …0 víi mäi a

c) NÕu a> th× a… | a | d) NÕu a = th× a… | a |

e) NÕu a < th× a… | a |

C©u : BiÕt | a | = |b|

a) a= b b) a = -b

c) a = b = d) a = b ; a = - b

Câu 5: nối dòng cột bên phải với dòng cột bên trái để đợc :

a) | x | < 1) x< -3; x >3 b) | 2x | = - 2) x∈ [-5 ; 5] c) ≥ |x| 3) – < x <

d) | x | >3 4)

-2

Cho sè nguyªn a 5) x ∈ {- ; - 3; -1 ; ; 3; }

b – Các toán

Bi 1: Cỏc khng nh sau có với số nguyên a b khơng? Cho ví dụ: Bổ xung

thêm điều kiện để khẳng định a) | a | = | b | => a = b

b) a > b =>| a | >| b |

Bài 2: Tìm a biết a Z a thoả mÃn điều kiện sau:

a) | a – | = b) | a – | = c) | a – | = - d) | a | ≤ e) | a | ≥ - g) < | a | ≤

BiĨu diƠn c¸c số a thoả mÃn điều kiện trên trục số

Bài 3: a) Có số nguyên x tho¶ m·n | x | < 30

b) Có cặp số nguyên (x, y) cho | x | + | y | ( Các cặp số nguyên (1, ) (2, 1) khác nhau)

c) Có cặp số nguyên (x, y) cho | x | + | y | <

Bµi : Cho | x | = ; | y | = 20 víi x, y ∈ Z

TÝnh x – y

Bµi 5: Cho | x | ≤ 3; | y | ≤ víi x, y ∈ Z

BiÕt x- y = Tìm x y

Bài 6: Cho x < y < vµ | x | - | y | = 100

TÝnh x – y

2 Bài tập áp dụng tính chất :

a- Bài tập trắc nghiệm :

Câu 1: Điền dấu , , = cho thích hỵp

a) | a + b | ………….| a | +|b|

b) | a - b | ………….| a | - |b| Víi | a | ≥ |b| c) | a b | ………….| a| |b|

d) ba ba

Câu Đánh dấu chéo vào câu (trong câu câu 3)

Ta có a + b = | a | - |b| víi a) a, b tr¸i dÊu

b) a, b cïng dÊu c) a>0, b <

d) a>0, b < | a | > |b|

Câu 3: Ta cã a + b = - |( a | - |b|)

a) a, b tr¸i dÊu b) a, b cïng dÊu c ) a, b cïng ©m d) a, b dơng

b Các to¸n :

| a – b | < BiÕt | a – c | < ; | b – c | <

Bài 2: Có số nguyên x để

a) | 2x + | + | x + | = - 12 b) | x | + | x – | =

c) | - x – | + | - 49 | = 27

Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn số nguyên x ) di chuyển từ điểm – đến điểm rồi

từ điểm đến điểm bên phải trục số Dựa vào giá trị x rút gọn biểu thức sau: a) | x - | + | x + |

b) | x - | - | x + | c) | x + | - | x - | d) - | x - | - | x + |

Bài 4: Rút gọn biểu thức sau:

a) | a | + a b) | a | - a c) | a | a d)  

a a

e) | x – | + f) | x + | + | x – |

g) 4x + - | x + | víi x ≥

H

ớng dẫn - Đáp số

1- Bài tập áp dụng khái niệm Câu 1: (d)

C©u 2: (c) C©u 3: (d)

C©u 4: a) | a | ≥ a

b) | a | ≥

c) NÕu a > th× a = |a| d) NÕu a = th× a = |a| e) NÕu a < th× a < |a|

C©u 5: Nèi a) víi c) víi

d) víi a) víi

Bµi 1: a) sai VD: a = ; b =

Th× | a| = = | b | nhng a ≠ b

điều kiện để khẳng định a.b >0 ; a = b = b) sai VD: a = 3; b = -

điều kiện bổ xung để khẳng định là: a > ; b >

Bµi 2:

a) a =

b) a = ; a=

c) Không có giá trị a d) ≤ a ≤

e) a ≤ - ; a ≥

g) a ∈ {∓1; ∓2 ; ∓3; ∓4}

Bµi 3: a ) x ∈ {∓1; ∓2 ;……… ∓29}) => Cã 58 sè

b) Do | x | ≥ ; | y | ≥

- Nếu | x | = | y | = có hai cặp - Nếu | x | = | y | = = > có bốn cặp | x | = | y | = = > có bốn cặp | x | = | y | = = > có hai cặp Tất có + + = = 12 cp

c) Giải: Tơng tự câu b) có 20 cặp

Bài 4:

| x | = => x = ∓ ; | y | = 20 => y = ∓ 20 XÐt trêng hỵp

Đáp số 13; 27

Bài 5: |x | ≤ < = > - ≤ x ≤

| y | ≤ < => - ≤ y ≤ V× x – y = ta cã b¶ng sau:

x -3 -2 -1

y -5 -4 -3 -2 -1

Bài 6: Vì x < y < nªn |x - y| = |x| - |y| = 100

=> x – y = ∓ 100

Nhng x < y => x – y < => x – y = - 100

2- Bài tập áp dụng tính chất :

C©u 1: a) ≤ b) ≥ c) = d) =

C©u 2: d) C©u 3: c)

Bµi 1: | a – b | = | (a – c ) + (c - b)| ≤ | a – c | + | c – b | = | a – c | + | b – c |

< + = => | a – b | <

Bài 2: a) Khơng theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số không âm, tổng hai s

không âm số âm

b) Không | x | ; | x – | ≥ vµ | x | ≠ | x – |

=> Tæng | x | + | x – | kh«ng thể c) Không 27 < | - 49|

Bµi 3: a) NÕu – < x < x < x + >

Nªn | x – | + | x + | = - (x – ) + (x + ) = NÕu x > th× | x – | > vµ x + >

Nªn | x – | + | x + | = x – + x +2 = 2x + b) Đáp số 2x + ; -3

c) 2x + 1; d) - 3; - 2x –

Bµi 4:

a) = 2a víi a ≥ = víi a< b) = víi a ≥ = - 2a víi a< c) = a víi a ≥

= - a2 víi a<0

d) = víi a ≥ = -1 víi a< e) = x + víi x ≥ = – x víi x < f) = - 2x + víi x < - = víi x – ≤ x ≤ = 2x –3 víi x > g) 3x + (víi x ≥ - 3)

1- D¹ng 1:

VÝ dơ: Giải phơng trình sau

a) | 2x | = (1)

VËy tËp nghiÖm phơng trình (1) S = {- 2; 3} b) | 2x – 1| = m – víi m lµ tham sè

+) NÕu m – < = > m < phơng trình vô nghiệm +) Nếu m - = | 2x- | = => x = 1/2

+) NÕu m –1 > th×

                    2 2 2 1 1 2 )1 ( 1 2 m x m x m x m x

2- D¹ng 2:

              )( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( )( x B x A x B x A x B x B x A

Ví dụ: Giải phơng trình

| x – | = 2x – (2)

Vậy tập nghiệm phơng trình (2) S= {4/3}

D¹ng 3: A

                    0 ) ( 0 )( ) ( x b x A x b xA b x

Ví dụ : Giải phơng trình | x| - =5 (3) +) NÕu x ≥ (3)  x – 1= 5<= > x =

           bx A b xA b bx A )( )( 0 )(|               3 2 5 1 2 5 1 2 )1( x x x x                    x loại) (nghiệm 3) x với x víi 1) -2x ( -3 -x 3) x

víi 2(

+) NÕu x < (3)  - x- 1= 5<= > x =-6

Vậy tập nghiệm phơng trình (3) S = {- ; 6}

D¹ng 4: A

    

 

  

     

  



0 )( ) (

0 )( )( )(

) (

x

xB x A x

xB xA xB

x

Ví dụ: Giải phơng trình | x | - = 2x + (4)

+) NÕu x ≥ (4) <= > x – = 2x + <= > x = - (lo¹i) v× - < +) NÕu x < (4) – x- = 2x+ <= > x = -

D¹ng 5: 

 

    

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

x B x A

x B x A x B x A

VÝ dụ: Giải phơng trình | x + | = | 2x – | (5) VËy tËp hỵp nghiệm phơng trình (5)

Dng 6: Phng trình có chứa số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối

|A1(x) | + | A2(x) | +……+ | An (x)| = B(x)

+) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối

VÝ dơ: Gi¶i phơng trình

a) | x + | + | x – | + | x – 3| = (6) +) LËp b¶ng xÐt dÊu

x -∞ -1 +∞

x+ - + + +

x+ - - + +

x+ - - - +

+) Bảng tính giá trị tuyết đối

x -1

|x + 1| - x- x + x + x + |x – 2| – x – x x - x- | x – 3) –x –x –x x– 3 VÕ tr¸i (6) - 3x – – x x + 3x -4 NÕu x < -1

(6) <= > - 3x + = < => x = 1/3 (loại) Nêú x ≤

(6) <= > – x = <= > x = +) NÕu < x ≤

(6) <= > x + = < => x = +) NÕu x >

(6) < => 3x – = <= > x = (lo¹i)

VËy tËp hợp nghiệm phơng trình (6) S = { 1; } b) | 2x + | + 2x – | = (6')

C¸ch 1: LËp b¶ng xÐt dÊu gi¶i nh vÝ dơ a C¸ch 2: Ta nhËn thÊy

VT = | 2x – | + | 2x – | = | 2x – | + | – 2x |

≥ | ( 2x – 1) + ( –2x ) | = = VP Nh vËy | 2x – | + | – 2x = | ( 2x – 1) + ( –2x ) |

Điều xảy ( 2x – 1) ( –2x ) ≥ Giải bất phơng trình (xét dấu ) ta đợc

2

1



x

Đây tập hợp nghiệm phơng trình (6')

Bi ngh

Bài 1: Giải phơng trình sau:

a) | x – | + x = b) | x + | = | – x |

e) | x – | = x –

  

 

    

 

  

    

4

2

) ( )

5 (

x x x

x

x x



   

 ;

3

S

1 )

1 2 )

  

  

x d

x x

Bài 2: Giải phơng trình sau:

a) x - | x + | + 2| x – 1| = b) | x| + | – x | = x + | x – | c) | | x| - | = x +1

Bài : Giải phơng trình

a) | x – | - x = 2a ( a lµ h»ng sè) b) | x – | + | – x | = 2a ( a số) Đáp số :

Bài 1: a) 5 b) c) V« nghiƯm d) V« nghiƯm e) x 3≥

Bµi 2:

Bµi 3: a) NÕu a > -2 th× x = –a

Nếu a = - Vô số nghiƯm x ≥ NÕu a < - th× Vô nghiệm

b) Nếu a = ≤ x ≤

NÕu a > th× x1 = – a ; x2 = + a

Nếu a < phơng trình vô nghiệm

II- Một số dạng bất ph ơng trình th ờng gặp :

Dạng 1: I b Ax b

b

b x A

    

 

 

)( )(

0 )(

VÝ dơ: Gi¶i phơng trình sau: a) | x | ≤ (1)

C¸ch 1: (1) <= > - ≤ x – ≤ < => - ≤ x ≤

VËy nghiƯm cđa bÊt phơng trình : - x

C¸ch 2: +) NÕu x ≥ (1) <= > x – ≤ = x ≤

+) Nếu x< (1) < => 1- x ≤ <=> x ≥ Kết hợp lại ta đợc – ≤ x ≤

b) | x – | ≤ m + (1' )

+) NÕu m + ≤ (1' ) V« nghiƯm +) NÕu m + > < => m > -

(1') < => | x – | ≤ m + < => - m – ≤ x – ≤ m + < => - - m ≤ x ≤ m +

KÕt luËn : m - bất phơng trình vô nghiệm

m > - bất phơng trình cã nghiÖm – m – ≤ x – ≤ m +

D¹ng 2: | A (x) | b (II)

Cách giải :

+) Nếu b < => bất phơng trình (II) cã nghiƯm víi ∀ x ∈ R VÝ dơ: Gi¶i bất phơng trình sau:

a) | x | ≥ (2)

VËy (2) cã nghiÖm lµ x ≤ ; x ≥ 12

1 ) )

3 ;

) b c

a 

  

  

  

b A(x)

b -A(x) (II)

0 b Õu

N

)

  

  

  

 

   

12

3 )

2 (

x x x

-6 12 b) | x – | ≥ – m (2')

+) NÕu – m < < => (2') cã nghiƯm víi ∀ x ∈ R KÕt ln : * m > (2' ) cã nghiƯm víi ∀ x ∈ R

* m ≤ (2' ) cã nghiÖm x ≥ m + ; x ≥ - m

D¹ng 3:

VÝ dụ: Giải bất phơng trình | 2x | x + (3)

Vậy bất phơng trình cã nghiƯm lµ x 

  

  

 ;

3

  

 

   

 

     

m x

m x

4 )

m -1 - x

-m -x ) (2' m NÕu

  

  

   

 

 

0)( )()( )( 0)(

)()(

xB xBxA xB xB

xBxA

      



      

   

 

 

   

  

 

    

5

6 3 4 3 4 6

05 21 5

5 21

05

5 21 5 )3(

x

x x

x

x

x x

x x x

D¹ng 4:

    

   

   

 

 

0) (

)( )(

)( )( 0)

( )( )(

xB xB xA

xB xA xB

xB xA

Ví dụ: Giải bất phơng trình : | x + | ≥ 2x - (4)

Vậy nghiệm bất phơng trình (4) 

      

 ;2

2

2

x hay x

D¹ng 5:  2  2

) ( )

( )

( )

(x B x A x B x

A   

VÝ dơ : Gi¶i bất phơng trình | x + | > | x - | (5)

< => ( x + ) 2 > ( x - )2

   

  

        

    

      

 



      

   

   

   

    

 

  

2 2 1 2

1 2 2 1 0

2 1 2 0

01 2

12 1

21 1 )4(

x x

x x x

x x x

x x x

x x

<= > x2 + 2x + > x2 - 4x +

<= > 2x > - 4x +

< => 6x > < => x > / < => x > 1/2 Vậy nghiệm bất phơng trình x > 1/2

Dạng 6: Bất phơng trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

| A1(x)| + | A2(x)| + + | An(x)| = B(x)

Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt dùng tính chất | a | + | b | ≥ | a + b |)

Ví dụ: Giải bất phơng trình | x - | + | x - | > x + +) LËp b¶ng xÐt dÊu

x

x-1 - + + x-2 - - + + NÕu x <

(6) <= > - x + - x > x + < => 3x < => x <

Trong khoảng x< (*) + NÕu ≤ x ≤

(6) <= > x - + - x > x + < => x < - (lo¹i )

+ NÕu x >

(6) < => x - + x - > x + < => x > (**)

Kết hợp (*) (**) nghiệm cuả bất phơng trình x < ; x >

Bài tập đề nghị : Bài 4: Giải bất phơng trình sau:

a) | 2x + | < b) | - 2x | < x + c) | 3x - | ≥ d)

2

3  

x

x

Bài 5: Giải bất phơng trình sau:

a) | x + | ≥ x +

b) | x - | < | x + | c) | x - 1| > | x + | - d) | x - | + | x - | > e) | x - | + | x + | <

Bµi 6:

x x

x d

x x

x c

x x b

x x a

   

     

 

  



5 |

| )

5 3

1 )

1 )

2

1 )

Hớng dẫn đáp số :

* Trớc hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với điểm qua đờng thẳng Điểm A' đợc gọi đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a đờng trung trực đoạn thẳng AA'

- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a + Vẽ đờng thẳng AM  a (M ∈ a)

+ Trên tia đơí tia MA xác định điểm A' cho A'M = MA

Điểm A' điểm cần tìm 1- Đồ thị hàm số y = f (|x|) a) NhËn xÐt :

Nh đồ thị hàm số có trục đối xứng trục oy

b) C¸ch vÏ :

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái ) +) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy

c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | x | - y

Vẽ đồ thị hàm số y = x -2

(LÊy phÇn nằm bên phải trục oy )

x y -2

+) Lấy đối xứng với phần đờng thẳng ta đợc đồ thị hàm số y = | x | - hai tia chung gốc có hình chữ V nh hình vẽ

2- Đồ thị hàm số y = | f (x) | a) NhËn xÐt

b ) C¸ch vÏ :

+) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) ( C ) Lấy phần đồ thị (C) trục ox)

+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dới trục ox,sau bỏ phần phía dới trục ox c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - |

+) Vẽ đồ thị y = x -

(Lấy phần nằm phía ox ) x

y -1

+) Lấy đôi xứng qua ox phần nằm dới ox ta đợc đồ thị y = | x - | nh hình vẽ

3- Đồ thị hàm số y = | | f ( x)| | a) NhËn xÐt :

b) C¸ch vÏ

+) Vẽ đồ thị (C) phía ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy (C2)

+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dới trục hồnh (C1) (C2) (C3)

+) §å thị cần vẽ (C1) (C2) (C3) y

c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | - 2|x| |

-

x

+) Vẽ đồ thị y = -2 x

x 3/2

  

  



0 (x) f nÕu f(x)

-0 (x) f nÕu )( )( xf

xf y

    

 

 



 

 

0 ) )

(

0 )

(

0 ) )

( ) (

x ( f nÕu

x nÕu

x ( f , 0 x nÕu

x f

x f

x f x f y

  

   

 

   

  

  

 

2 ;

3

0

3

x x

x x x

2 x nÕu

2 - nÕu

2 x nÕu

y

+) Lấy phần bên trục ox, bên phải trục oy (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy ta đợc (C2)

+) Lấy đối xứng với phần dới ox (C1) (C2) qua ox ta đợc (C3)

§å thị hàm số cần vẽ (C1) (C2) (C3)nh hình vẽ

4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)

a) Khái niệm : Tập hợp điểm M(x, y) mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn |y| =f(x) đồ thị hàm số |y| = f(x)

Đồ thị hàm số có trục đối xứng ox c) Cách vẽ :

+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) +) Lấy phía trục ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta đợc (C2) y

Đồ thị hàm số cần vẽ (C) =(C1) ∪ (C2)nh h×nh vÏ

d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1 +) Vẽ y = x -1

+) LÊy phÝa trªn trơc ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta c (C2)

Đồ thị hàm số cần vẽ (C) =(C1) (C2) nh hình vẽ

5- Dùng đồ thị để giải phơng trình : Ví dụ: Cho hàm số y = | x - | + | x + | a) Vẽ đồ thị hàm số

b) BiÖn luËn sè nghiÖm phơng trình |x - | + | x + | = m (*) theo m

Gi¶i :

b) Xét đồ thị hàm số y = | x - | + | x + | đồ thị y = m

RT (*) có nghiệm hai đồ thị hàm số giao * Căn vào đồ thị a ta thấy

+ Nếu m < phơng trình cho vơ nghiệm + Nếu m = phơng trình có vơ số nghiệm

+ Nếu m > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

Bài tập đề nghị : Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = | x | + b) y = | x | -x c) y = 1/2 (x - | x | ) d) y = x2 + | x | -

  

 



 

 

0 y nÕu

0 y nÕu ) (

) ( )

( )

x f y

x f y x f y b

    

 

 

 

 

) 1 2

2

) 1 4

) 2

2 )

3

1

(C x víi

(C x 3 víi

(C 3 -x víi

x x y

e) y = (x 0)

x f) y = 

x x

Bài 8: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = | x+ 1| b) y = |x2 -4|

2

6

) y x x

Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) |y| = | x2 + |x| |

Bài 10: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) |y| = 2x2 +3

b)|y+1| = x-2

Bài 11: Biện luận số nghiệm phơng trình sau:

a) |x2 - 3x + 2| = m2

b) | x + | + |x -2 | = m2 - m

IV- cực trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

1- Các kiến thức cần lu ý :

10) | A(x) | x Đẳng thøc s¶y < => A(x) =

11) | A(x) +B(x) | ≤ | A(x) | +| B(x) | Đẳng thức sảy < => A(x) B(x) 12) | A(x) - B(x) | ≤ | A(x) + B(x) | Đẳng thức sảy < => A(x) B(x) 2- Các tập điển hình

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A = |2x - | -

Giải : Ta thâý |2x - | ∀ x (Theo tÝnh chÊt 10) => |2x - | - ≥ -5

DÊu " =" x¶y <= > |2x - | = 0< => 2x - = < => x = 1/2 VËy A =- <= > x = 1/2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ B= | x - |+ | x - |

Cách 1:

+) Lập bảng xét dÊu

x

x-2 - + +

x-3 - - +

+) NÕu x<

Th× B = 2- x + - x = -2x

Do x < => 2x < => - 2x > (1) +) NÕu ≤ x ≤

Th× B = x - + - x = (2) +) NÕu x >

Th× B = x - + x - = 2x -

Do x > => 2x > => B > - = (3)

Tõ (1) ; (2) vµ (3) =>Min B = < => ≤ x ≤

C¸ch 2: Ta cã B = | x -2 |+ | x - | = | x - | + | - x | ≥ | x - + - x | = DÊu " = " x¶y < => ( x - ) ( - x ) ≥

< => ≤ x ≤

VËy Min B = < => ≤ x ≤

x y

b)  

i) giả tự dọc ạn

B

(

)

1

)

) (

)

x y

e

x y

d

x y

c

 

  

 

0 )

15

0 )

14 ) 13

 

 

 

 



  

  

 



(x) B (x). A ra

y xả thức Đẳng |

B(x) -A(x) | | B(x) | -| A(x) |

(x) B (x). A ra

y xả thức Đẳng |

B(x) | | A(x) | | B(x) -A(x) |

| (x) B | | A(x) |

0 B(x) A(x). ra

Bài3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

* XÐt |x| > => B> víi ∀ |x| >2 * XÐt |x|<2 => B <

C' đạt giá trị nhỏ < => | x | - số nguyên âm lớn < => |x| - = -

< => | x | = < => x = ∓

Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thøc

D = - | x + |

NhËn thÊy | x + | ≥ x=> D ≤ ∀ x

DÊu"=" x¶y <=> | x + | = < => x + = < => x = - VËy max D = < => x = -

Bài 5: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc

D = | |x- 2| - | x - | | Gi¶i :

C¸ch 1: D= | |x- 2| - | x - | | ≤ | ( x - ) - ( x - 7) | = | x - - x + | = DÊu " =" x¶y < => ( x - ) ( x + ) ≥ < => x ≤ ; x ≥

C¸ch 2: D = | |x- 2| - | x - | | = | |x- 2| - | 7- x | | ≤ | ( x - ) + ( + x )| = DÊu " =" x¶y < => ( x - ) ( 7- x ) ≤ < => x ≤ ; x ≥

VËy max D = < => x ≤ ; x ≥

Bi ngh

Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức Bài3: Cho M =3x2- 2x + 3x2 - 2x + |x| + 1

Tính giá trị M biết x, y số thực thoả mãn xy = |x +y | đạt giá trị nhỏ

Bµi 4: Cho a< b < c < d lµ sè thùc tuú ý

Tìm x để f(x) = |x - a |+ |x - b | + | x - c | + | x - d | đạt giá trị nhỏ Hãy tổng quát toán với n số thực

nhÊt nhá trÞ gía dạt C' nhỏ trị giá dạt x C thÊy Ta x ; Z x víi 2 2 2              x C x x x x C 1

1   

Hớng dẫn đáp số

Bµi 1: a) max A= < => x = 1

b) max B= 1/2 < => x = c)max C = < => x =

Bµi 2: a) A = - < => x = 1/2

b) B = - < => x = ; x = c) C = < => - ≤ x ≤ d) D = < => 2004 ≤ x ≤ 2005 e) E = < => - ≤ x ≤

Bµi 3: ta cã ( x + y )2 ≥ 4xy = => | x + y | ≥

=> | x + y | = x = y Khi xy = | x + y | = => x = y = x = y = - * x = y = => M =

* x = y= - => M = 17

Bµi 4: Ta cã f (x) = (| x - a | + | x - d |) + ( | x- b | + | x - c | )

Mµ | x - a | + | x - d | == | x - a | + | d - x | ≥ | x - a + d - x | => | x - a | + | x - d | ≥ d - a

DÊu " = " x¶y (x - a ) ( d - x ) ≥ < => a ≤ x ≤ d T¬ng tù | x - b | + | x - c | ≥ c - b

DÊu " = " x¶y (x - b ) ( c - x ) ≥ < => b ≤ x ≤ c

VËy f(x) ≥ d + c - b - a.=> f(x) = d + c - b - a< => b ≤ x ≤ c Tỉng qu¸t : Cho n sè thùc a1 < a2 < < an XÐt hai trêng hỵp

* Trêng hỵp 1: n = 2k (k ∈ N*)

Ta cã | x - a 1| + | x - a2k | ≥ a2k -

| x - a 2| + | x - a2k- | ≥ a2k - -

| x - a k| + | x - ak+1 | ≥ ak+1 - a k

Do bất đẳng thức có vế dơng nên cộng vế chúng lại ta đợc ) f(x) ≥ ( a2k + a2k+1 + + ak+1) - ( a1 + a2 + + ak)

=> f(x)= ( a2k + a2k+1 + + ak+1) - ( a1 + a2 + + ak)

<=> ak≤ x ≤ ak+1

Trêng hỵp 2: n = 2k - 1( k ∈ N*)

| x - a | + | x - a 2k-1| ≥ a 2k-1 - a

| x - ak- 1| + | x - ak+1| ≥ ak+1 - ak-

| x - ak| ≥

=> f(x) ≥ ( a2k-1 + a2k-2 + + ak+1) - ( a1 + a2 + + ak-1)