100 hệ phương trình ôn thi toán 12

100 hệ phương trình ôn thi toán THPT THAM KHẢO

www.VNMATH.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHĨM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN Q 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DỖN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CƠNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC  x 12  y  y(12  x )  12 (1) (x, y  R) Bài Giải hệ phương trình:  x  8x   y  (2)   2  y  12  2  y  12   Điều kiện :   12  x   2  x      Giải Cách 1: Đặt a  12  y , a   y  12  a PT (1)  xa  (12  a )(12  x )  12  122  12x  12a  x 2a  12  xa  xa  12   12  12x  12a  x 2a  122  2.12.xa  x 2a  xa  12   12x  2.12xa  12a   xa  12   (x  a )2   Ta có (x – a)2 =  x = 12  y (*) Thế (*) vào (2) : (12  y ) 12  y  12  y   y   (4  y ) 12  y  y    (3  y ) 12  y  12  y    y    (3  y ) 12  y  y 12  y   2(3  y ) 1 y 2 0 y       0(vô nghiệm)  12  y      12 y y  www.VNMATH.com (ĐH khối A – 2014) www.VNMATH.com x  Vậy  y   Cách 2: Ta có x 12  y  (12  x )y  x Dấu “=” xảy  12  y x   12  x 12  y  y   12 12  y   x y  (12  y )(12  x ) (3) y Khi (1) tương đương với (3) x  x  x      x 2y  144  12x  12y  x 2y 12y  144  12x y  12  x (4)    (3)   Thế (4) vào (2) ta có (2)  x  8x   10  x  x  8x   10  x     x  8x    10  x       x  3 x  3x    x  3 x  3x    (10  x )  10  x  x2 0 0  10  x  2(x  3)   x  3 x  3x   0   10  x  x     2(x  3)  (vô nghiệm x  0) x  3x    10  x  x 3y 3 x  Vậy  y   Cách 3:     Đặt a  x ; 12  x ;b    a  b  12 2 2  12  y ; y   (1)  a  b  2a.b    a  b  x  12  y (2)  x  8x   10  x  www.VNMATH.com    x  3 x  3x   www.VNMATH.com 3  x 3  x  10  x  x y 3 x   3x   10  x   3  x     Đặt f x   x  3x  1 10  x   3  x  f ' x   x   phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hpt trên: (3;3) (1  y ) x  y  x   (x  y  1) y  Bài Giải hệ phương trình:  (ĐH khối B – 2014) 2y  3x  6y   x  2y  4x  5y   Giải  y     Điều kiện: x  2y  4x  5y    Phương trình thứ viết lại thành (1  y ) x  y  (1  y )  (x  y  1)  (x  y  1) y y  y 1 (1  y )(x y 1)   (x  y  1)   x y 1 y 1 x  y  TH1 : y  thay xuống (2) ta có  3x  x   4x   x  3(TM ) TH2 : x  y  thay xuống (2) ta có 2y  3y    y   y  2y  3y    y   2(y  y  1)  (y   y )      (y  y  1) 2     y   y  y 1 x  Vậy hệ cho có nghiệm : (x ; y )  (3;1),( 1 (TM ) 1 1 ; ) 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com   y(x  2x  2)  x (y  6)  Bài Giải hệ phương trình:   (y  1)(x  2x  7)  (x  1)(y  1)    Giải ĐK: x , y  R 2 b(a  1)  (a  1)(b  6) a  x    (a  1)(b  6)  b(a  1) (*) Đặt  , ta có hệ trở thành:    2 2 b  y  (b  1)(a  6)  a(b  1)   (b  1)(a  6)  a(b  1)(**)  Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có: a  b (a  b)(a  b  2ab  7)    a  b  2ab    Trường hợp 1: a  b thay vào phương trình (*) ta có: a  (a  1)(a  6)  a(a  1)  a  5a     a  x     hệ có nghiệm (x; y) là: x    Trường hợp 2: a  b  2ab   2   5 5 Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có: a    b        a  b  2ab      2 Vậy ta có hệ phương trình:     a    b           a  a  a  a  Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm:  ;  ;  ;  b  b  b  b      Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2)  x  12x  y  6y  16    Bài Giải hệ phương trình:  4x   x  4y  y     Giải ĐK: x  2;2 , y  0; 4 Ta có PT (1)  (x  2)3  6(x  2)  y  6y Xét hàm số f (t )  t  6t, t  0; 4 ta có f '(t )  3t  12t  3t(t  4)  0, t  0; 4  f (t ) nghịch biến  0; 4 Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y )  y  x  thay vào phương trình (2) ta có: 4x    x  x  từ ta có y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2) www.VNMATH.com www.VNMATH.com x  y    Bài Giải hệ phương trình:  x  4x y   9x  8y  52  4xy  Giải §K: y  1 x   y   HPT   x  4x y   4xy  4x  13x  8y  52    x   y     x (x  y  1)2  13x  8y  52       x   y    x  2y  13       x   y     y 1  y    x   y    y   y  11y  24      x  2 y 1  x     y    y   y    y   x  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:  y    y  2x  y  x  1   Bài Giải hệ phương trình:  xy    xy  x  y   ĐK: x  0; y  0; xy  1  y  2x  2 , ta được: y  x  xy    y x   y  x    y  x  y  x thay vào 1x2   x   y  KL: hệ pt có tập nghiệm: S  1;1 www.VNMATH.com   www.VNMATH.com     x  y x  y2    x  y   xy   xy xy Bài Giải hệ phương trình:    5x  y  5x    y      ĐK: x  ;  y  3 Đặt u  x  y, u  0; v  xy , v  u    u   u u           u  2v u u v uv v 2                   v   v v v    x  y  xy   x y 5x    x  3x     x  y thay vào 2 , ta được: 5x  5x      3x   x  1   3   5x    x 1 x 1 1x  x   y     1    VN v ì x 2  5 x   2  x   KL: tập nghiệm hệ pt là: S  1;1   x  x    x x  y    2x  11    3y  1   y  y x y y  Bài Giải hệ phương trình:   x  x    1   y y2 ĐK: y        y  x  x  x  y  1x  y   1  x  y   x  y   x  y        Hệ       x  y  2   x  x   4y  y    x x y y           KL: S  1;2  2 2 2  4x  3xy  7y  x  5xy  6y   3x  2xy  y Bài Giải hệ phương trình:  2  3x  10xy  34y  47   2   3x  2xy  y  ĐK:   4x  3xy  7y     www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyển vế nhân liên hợp phương trình 1 , ta được:  x  y n     4    x  5xy  6y    4x  3xy  7y  3x  2xy  y x  6y   n  x   y  Với x  y thay vào 2 , ta được: x    x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y thay vào 2 , ta được: 82y  47    y   47  x   82  47 82 47 82    47 47   47 47    KL: S  1;1, 1; 1,  ; 6 ;6  ;    82   82 82   82   www.VNMATH.com   x  3xy  x  y     Bài 10 Giải hệ phương trình:   x  9y x  y  5x     x  3y  3x  3xy Hệ   2 2  x  3y  3x y  5x   x   y    2 Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y  15y    y   x   y   x  x          KL: S  0; 0; 1;              2  x  2  y  1  4xy  13  Bài 11 Giải hệ phương trình:  x  xy  2y 2   x y   x y x  y2    x y     ĐK: x  y    x  2y     www.VNMATH.com VN www.VNMATH.com x  4xy  4y  4x  8y    x  y  x  2y  x  y  x  y   Hệ   2 x  2y  Ta có PT 1  x  2y   x  2y      l  x  2y  5 Với x  2y  thay vào 2 , ta được: 3y  1 y    3y  9y  6y  13y   y   x  thỏa mãn KL: S  1; 0   x  x  2y  x   2y Bài 12 Giải hệ phương trình:  x  3y   ĐK: x  2y     x  2y  Ta có 2  x   3y thay vào 1 ta được: 1  5y   5y  5y   y   x   thỏa mãn KL: S   3;1;  3;1   x2 y y  1 2     x y    Bài 13 Giải hệ phương trình:    x  4y x    x  1         x   y  1    x  1  x   ĐK: y    x   y    a  x  1, a  , ta được: Đặt:  b  y  1,b     b a  b    a  4ab  5a 2b    Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S   20y  3y  3xy  x  y  Bài 14 Giải hệ phương trình:  2  x  y  3y     www.VNMATH.com    10;2 ;  10;2 www.VNMATH.com  20y  y 3y  1  x 3y  1  x  y  3y     Hệ   Thế 2 vào 1 , ta phương trình bậc     3 1  KL: S  ; ;  ;     2   5     2 x  3y  x  3y  Bài 15 Giải hệ phương trình:   2y   2x  y  3x    ĐK: y    3y  x  3y  x  Ta có PT 1  x  3y  3y  x     y  l  6y  6xy    x y    Với x  y thay vào 2 , ta được: y   x    2y   y  3y   y  6y  11y  8y    y   l   y    x      KL: S  1;1;  2;2       x  y  2x 2y x y2     2 Bài 16 Giải hệ phương trình:  y x x y     xy  3y  4x      ĐK: x y  Ta có PT 1  x  y     x  x 2y  y      x  y  x  y    x  y 2  2 2   x y x  y     Với x  y thay vào 2 , ta được: x   y   Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  KL: S  1;1; 1; 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com   10x  5y  2xy  38x  6y  41    Bài 17 Giải hệ phương trình:   x  xy  6y  y  x        x  xy  6y   ĐK:   y  x2 1     Ta có PT 1  10x  2x y  19  5y  6y  41  Tính Δ 'x  49 y  1   y  thay vào 1 x  thỏa hệ phương trình KL: S  2;1   x  y  x 2y  xy  2xy  x  y    Bài 18 Giải hệ phương trình:  x  y  x  2x  y     ĐK: x  y  y  x 1 Ta có PT 1  x  y  1 x  y  x  y     2 x  y  x  y   x   y  1 y  x  thay vào 2 , ta được: x  2x  x    x   y   x  y2  x  y   x  y  vì x  y  0 thay vào hệ khơng thỏa KL: S 1; 0; 0; 1    2 3 y  8x    y  y  Bài 19 Giải hệ phương trình:   2 2 3 4  y   y   12x  y   4x  1 x  2  a  y  Đặt:  , ta có: b   4x , b    ĐK: b b     2   a  3a  2a  3b  b   a  b  b thay vào 1 , ta được:   a  3a  a  2b       b  b  b  b  3b  b   b   a    x     4x   Khi ta có:   y  12 y 1     www.VNMATH.com www.VNMATH.com y x xy 2   1  2   y  x  1 2  2 y x 0 y x xy  x  y  TH y  x   y  x vào (1) ta Đặt t  x  x  y x  1   xy      y x    2 0 2 x , t  ta 2  t  t  2  t   t     t   x  y  2 2  t   4t  t t  2t     1  TH   TH vơ nghiệm ĐK  xy x  y 1   xy      y x     Vậy hệ có nghiệm (1; 1)    x  2y     y Bài 71 Giải hệ phương trình:     2        x y   y x     Điều kiện: x y  Quy đồng 1 vào 2 , ta được:    3x 3y  3xy  5xy  2x x 2y  2y  2y  y x 2y  2y  2y     x  2y  x  xy  y    x  2y thay vào 1 , ta được: 4y  2y  2y    y   x  KL: S  2;1  2 y  y  2x  xy  x y Bài 72 Giải hệ phương trình:  8xy  2y   4x   (2x  y )2  Giải VP (1)   1 1  xy     VT (1)  y  y  2x    2  2y  2y  4x  (3) Từ (2) (3) suy ra: www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8xy  2y   2y  2y  4x  4x   (2x  y )2  8xy   2y  8x   (2x  y )2  4xy   y  4x   (2x  y )2    (2x  y )2  y  4xy  4x  (y  2x )2 (4) VT (4)  0,VP (4)  Do đó:   x   y    y  2x y  2x  x      (4)   y  y  2x y  y    x    y  1  Thử lại có: (x ; y )  ( ; 1) thỏa mãn 2 Vậy hệ cho có nghiệm (x ; y )  ( ; 1)  y x   y  1   1x x  x 2   x   y  2 y  Bài 73 Giải hệ phương trình Giải Từ PT (1) ta có:  x  y( x   x )  y  y  x  y  x2   x  y (3) x  x Từ (2) & 3 ta có:   y      y  y x   y  1    y      y   x  y   y Thay vào 3 giải ta có nghiệm 0; 1   2x  2y  2x  y  2xy      Bài 74 Giải hệ phương trình:  3y   8x  2y    x 0     Giải www.VNMATH.com www.VNMATH.com Ta có (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  ĐK: (2x + 1)(y + 1)  2x   y    Mà x >   Ta có PT (1)   2x   y    2x   y    2x   y    y  2x Thay vào (2): 6x   8x  4x   6x  1  6x   2x   2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3)  6x   2x  4x  3x  Nhận xét: x >1 khơng nghiệm phương trình Xét  x  1: Đặt x = cos  với     cos 3   2       k 2   (k  Z )       k 2     Do          Vậy hệ có nghiệm: cos ;2 cos   9   x  y    x  y   Bài 75 Giải hệ phương trình:  x  y x  y x  y   x          ln  32  y    64   Giải Theo BĐT Cauchy ta có x  y      4 x  y  1.1.1  x  y  x  y  4 Dấu xảy  x  y  (*) Từ kết hợp với điều kiện: PT thứ hai hệ  x 3   2  x , y  y 3 x 9x 7x y4 9y 7y    ln 3  x      ln 3  y  64 32 64 32 www.VNMATH.com www.VNMATH.com x 9x 7x    ln 3  x  ( với x < ) 64 32 x  9x  14 x  3  48 x 9x ' f x       16 16 x 3 16(x  3) Xét hàm số f(x) =     x  3x  9x  13x  x  1 x  x     ( x < 3) 16(x  3) 16(x  3) Suy hàm số nghịch biến (-2; 3), f(x) = f(y)  x  y ( **) Từ (*), (**) có x = y =      y  y   2  x  y  x  xy  y   ln   Bài 76 Giải hệ phương trình:   x  x    x 5y  3xy      Giải    y  y   2  Từ x  y  x  xy  y   ln    x  x           x  2x  ln x  x   y  2y  ln y  y   Xét f t   t  2t  ln t  t  f ' t   3t     1 t  2    t     t2  t   2 29 t  1 26 29  t2        t 9  2 2 27 t 9 t 9 t 9 t  27 26 29 26 29 29 1 t 9  1   0 27 3 3 Suy f ' t   t  hàm số đồng biến liên tục R Ta có t      Mà (1)  f x   f y   x  y Thay vào phương trình lại hệ ta có x  3x   2 Đặt x  u u  0 suy u  3u  (3) Xét g u   u  3u  với u  g ' u   3u  có g ' u    u  1 Ta có bảng biến thiên hàm số: www.VNMATH.com  www.VNMATH.com u g’(u) g(u) + -1 0 - - + -1 33 + Căn vào BBT phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 2)   Đặt u  cos  với   0;    Khi (3) trở thành: cos3=   =      Vậy hệ có nghiệm  cos ; cos       x   cos 9      ;  cos ;  cos   9  x y x y    8  Bài 77 Giải hệ phương trình:   x  y 2    Giải   x  y 2 x  y  Ta có:   x2  y2  x  y   x  y  x  y         2 2 Theo BĐT Cauchy ta có: 2x y  2y x  2x y x y  24  PT  dấu “ = ” xảy Từ ta có x = y = Vậy hệ có nghiệm (1; 1) x  8y  2xy(1  2y )  Bài 78 Giải hệ phương trình:  y      x  4x    Giải §K: tõ PT (2) ,suy x> Ta có PT (1)  x (x  2y )  4y (2y  x )  (x  2y )(x  4y )   x  2y ( v× x+4y2> ) Thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) cã x  4x  x  2x  (*) Ap dơng bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã x2  x2   x  x  2x    4 x2   (  2x )  x  4x  2 3 (x  4)  2x  x  (x  4x )  2x  4 x  4x DÊu ®¼ng thøc x¶y x = HƯ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm (2,1) www.VNMATH.com www.VNMATH.com (Chó ý :C¸ch kh¸c : B×nh ph­¬ng vÕ cđa pt (*)  (x  2)2 (x  x  4)  ) xy  4y   x (x  2)    Bài 79 Giải hệ phương trình:  (x , y  R)  x  y   2y    Giải x  4 (1)  x  4 y  x     x  y  Với x  4 thay vào pt (2) ta y  10  10   Với x  y  vào pt (2) ta y  y   2y  (*) Ta có y  y   2y   (y  y  1)   2y    5(2y  1)  2y  Do pt (*) vơ nghiệm KL: Nghiệm hệ x  4 , y  10  10 3   x  8x  y  2y Bài 80 Giải hệ phương trình:   x   3(y  1)    Giải  x  y  2(4x  y )(1) Ta có PT (1)   2 x  3y  6(2)    x  x y  12xy2  x    x  3y x  4y  Thay trường hợp x vào 2  Hệ có nghiệm là: 6 6 ; ),(4 ; ) 13 13 13 13   x  y   3xy  2y  x   Bài 81 Giải hệ phương trình:    x   y  2x  y     3;1 ,  3;  1 , (4 Giải x  x  y  , phương trình (1)  x  y x  2y  8    Điều kiện:  y   Với x  2y  x  x  Ta có :     x  2y  y  2y    x  Khi đó: x  2y    khơng thỏa hệ y   www.VNMATH.com x  2y  www.VNMATH.com Với x  y   y  x thay vào phương trình (2) Ta có PT (2)   x   x  x  Điều kiện: 3  x  Ta có (2)     2x 1    x   x2 1  1x x 1  x 1 3x 2  x  1x  1  x   y  1      x   (*)  3x 2   x   x 1 Xét phương trình (*), đặt f (x )  2x 1 3x 2 Ta có: f ' (x )     0; x  3;2 2 2x 2x 1 3x 3x 2     3;2 , suy f (x ) đồng biến 3;2     Ta có: f (2)  , suy (*) có nghiệm x  2  y  Mặt khác f (x ) liên tục Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; 1, 2;2 3(y  y )(1  x  2)  x  x    Bài 82 Giải hệ phương trình:  2y  2y  x    Giải ĐK: x  Ta có 3(y  y )(1  x  2)  x  x   3(y  y )(1  x  2)  (x   x   1)       2y  2y  x   2(y  y )   x     a  b  3ab  b   a  y  y b   2a     Đặt  ta    a  11 , b  b   x  2a  b  10a  21a  11       10   x  2, y  1   Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm :  Vì b   x    b  khơng  x  2, y  1   thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm www.VNMATH.com  2x  2y  2x  1y  1  Bài 83 Giải hệ phương trình:  , với x  x , y  R  3y   8x  2y  Giải www.VNMATH.com www.VNMATH.com Điều kiện: (2x  1)(y  1)  , Phương trình (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  Từ giả thiết x  ta có 2x    y   Đặt a  2x  1, b  y  ta có (1) trở thành: a  2b  ab  a  b  a  b  ab  b   a  b a  2b     a  2b  0(l ) Với a  b ta có: 2x   y   y  2x thay vào phương trình (2) ta có:     6x   8x  4x   6x  2  6x   2x   2x , (*) Xét hàm số f (t )  t  t ta có f '(t )  3t   0, t  R  hàm số f (t ) đồng biến R Do PT (*)  6x   2x  8x  6x   x  (n )  Với x   y   2(x  1)(4x  4x  1)    x   (l )  5x 5y  4xy  3y  x  y   1  Bài 84 Giải hệ phương trình:  2 xy y   x  y  2     Giải Từ (2) ta có : xy  1x  y  2   xy   x  y  2  Với xy = 1; từ (1) suy : y  2y    y  1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)  Với : x  y   1  3y x  y   4xy  2x 2y  x  y    6y  4xy  2x 2y  x  y    1  xy 2y  x    xy   x  2y Xét : xy = Đã giải  10 10   10 10    ,   ; ;    5   5   10 10   10 10   ,  ; ;  Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),     5   5   1 x y  1  6y  Bài 85 Giải hệ phương trình:  2  x y  2x y  y x   12y  2   Với : x = 2y , thay vào x  y   x ; y      Giải Điều kiện : y  0; y  1 Khi : 1  x 2y y  1  6y  2y  x   4y  9y  ;x   y 1 y 1 Thay vào (2) , ta có : x 4y  x 2y  y  6y  2y  12y   x  2x  3 y  y   www.VNMATH.com www.VNMATH.com y   x   y   y  19y  1 y        y  2    y y y 1     y   x  y  1      x y  2y  x  4xy    Bài 86 Giải hệ phương trình:  x    3   xy y  x Giải Điều kiện : x  0, y  Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương trình   1  x   4   x x y (2) nhóm chuyển dạng tích     x           x  x y    u  v  1 Đặt : u  x  ; v      u  v  uv  x x y  Đến đậy tốn trở thành đơn giản  2xy x   x2  y  x  2x  Bài 87 Giải hệ phương trình:  2xy   y x y  y  2y   Giải Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : 2xy x  2x   2xy y  2y  Ta có : x  2x    x  y Ta có : x = y = nghiệm hệ x  1    VT  xy  xy  2xy Khi : VP  x  y  2xy Cho nên dấu xảy : x = y = Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1) 1  x 1  x 1  x    y Bài 88 Giải hệ phương trình:      1  y   y   1  y    x Giải Dễ thấy : x = y = x = y = -1 nghiệm hệ Xét : x > Ta có:  y  1  x  1  x 1  x    x  x  x  x  x  x  x   x  y  x Ta có:  x  1  y 1  y 1  y    y  y  y  y  y  y  y   y  x  y Vậy hệ vơ nghiệm Tương tự y>0 hệ vơ nghiệm Xét : x < -1   x   y  1 Ta có : 1+ x  x   x  x   x  x   x   x  y  x Tương tự y  1 ta có x  y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ vơ nghiệm Xét trường hợp 1  x  Hệ vơ nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm :  x; y    0;0  ;  1; 1   3x (1  )  (1)   x y Bài 89 Giải hệ phương trình:   )  (2)  7y (1  x y  Giải ĐK x  0, y  Dễ thấy x = y = khơng thõa mãn hệ Với x > 0, y > ta có :   1   2      x y 1  3x 3x 7y      ( nhân vế với vế)     1 x y 3x 7y 2  1     x y 7y   x  y 7y x   21xy  (7y  24x )(x  y )  24x  38xy  7y   y  6x (vì x, y dương)  1 1   Thay vào phương trình (1) ta  1       7x  x x 21  Từ dễ dàng suy x y   x  3xy  49 (1)  Bài 90 Giải hệ phương trình:   x  8xy  y  8y  17x (2)    Giải Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x  3x (x  8xy  8y  17x )  49  24xy(x  1)  2x  2x  49x  49 (3) Nếu x=0 (1) vơ lí Nếu x=-1 hệ trở thành y  16  y  4 2x  49x  49 Thế trở lại phương trình (2) ta 24x 2x  49x  49  2x  49x  49  2x  49x  49   x  8x    17x   24x 24x 3x Nếu x  1 & x  từ (3) suy y  x  2x  49x  49  49       192x  (2x  49x  49)2  49.192x   24x 3x   196x  196x  2205x  4606x  2401   196x  2205x  2401   196x  196  2205x  2205   196x  196x  2401  Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4)   x  xy  y 10  y (1)   Bài 91 Giải hệ phương trình:   4x   y   (2)    www.VNMATH.com www.VNMATH.com Giải ĐK: x   Nếu y = từ phương trình (1) ta suy x = 0, vào phương trình (2) ta thấy khơng thỏa mãn, y khác Đặt x = ky ta (1) trở thành : k 5y  ky  y 10  y  k  k  y  y (3) Xét hàm số f (t )  t  t  , ta có f '(t )  5t   0t   Do f(t) hàm số đồng biến  , (3)  f (k )  f (y )  k  y  x  y Thế vào (2) ta 4x   x    5x  13  4x  37x  40  36  4x  37x  40  23  5x x  23  5x  5x  23       2 x  41   16 x  148 x  160  25 x  230 x  529 x  378 x  369     Suy x = y  1  x  2x   y  2y   Bài 92 Giải hệ phương trình:   x  y    Giải x  2x    x  y  2y     Điều kiện:  x  y  3   y   x  2x   (x  1)2    x  2x    Mà:    y  2y   (y  1)2    y  2y      x  2x   y  2y   Vậy (1) có nghiệm x = y = thỏa (2) 2  x y  2x  2y  5y    Bài 93 Giải hệ phương trình:  2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y   Giải ĐK: x  y  0; y   x  y  Từ (2) : y   x  y  y  y  2xy  x  x  y  1  y  y   y  y   x  y    x  y  x  y  2 Xét hàm số : f (t )  t   t  t (Vì : t        t  0  f '(t )    2t  t   2    t 1  t t 1 t t t 1 1 t 1   với t>0 ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com Như hệ có nghiệm xảy : y  x  y hay x = 2y Thay vào (1) : 2y  y  2y   2y  5y    4y  10y  5y   2    y  2 4y  2y    y  : 4y  2y   vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2)  2x 1  48y   y  x  Bài 94 Giải hệ phương trình:   x y 2  x y  2 2 2    Giải Điều kiện : x, y   x Ta có PT (1)  2.2 2 y   x  2.2   3 y Xét hàm số : f (t )  2.t  3t t  0  f '(t )  8t   Chứng tỏ f(t) ln đồng biến * Do để phương trình (1) có nghiệm : x  y  x  4y  5y  Thay vào (2) :   5y   72 Xét hàm số : f(t)= t4 3  t  f '(t )  4t   2  Suy t = nghiệm 2  y  x  4y     x ; y    ;      5   5y    x   Nhận xét : f(1) = +      x  x  y  y   Bài 95 Giải hệ phương trình:  27x  x  8y   1 (2) Giải Ta có PT (1)  x  x   2y    2y  Hàm số f t   t   t đồng biến R nên 1  x  2y Thế vào PT (2) ta có: 27x  x  4x   3x  x  4x   x  1  x  1  x  4x   x  4x  3 Lại xét : g t   t  t , đồng biến R nên: www.VNMATH.com 3 www.VNMATH.com 3  x   x  4x   3x  x   x   13  2y  y  2x  x   x Bài 96 Giải hệ phương trình:   2y   y   x   (x , y  ) Giải Điều kiện: 4  x  1; y   Ta có PT (1)  2y  y   x  2x  x   x  2y  y  2(1  x )  x   x Xét hàm số f (t )  2t  t, ta có f '(t )  6t   0, t    f (t ) đồng biến  Vậy y  (1)  f (y )  f (  x )  y   x   y   x  Thế vào (2) ta  2x   x   x  (3) Xét hàm số g(x )   2x   x  x  4, liên tục [-4;1], ta có 1  x  (4;1)  g (x ) nghịch biến [-4;1] Lại có  2x  x x  g(3)  nên x  3 nghiệm phương trình (3) x  3 Với x  3 suy y  Vậy hệ có nghiệm  y   g '(x )       x (y  1)(x  y  1)  3x  4x  1(1)  Bài 97 Giải hệ phương trình:   xy  x   x    (2) Giải Nhận xét x = khơng thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy y   x2 1 (3) x Thay (3) vào (1) ta x2 1 x2 1 x  (x  )  3x  4x   (x  1)(x  1)(2x  1)  (x  1)(3x  1) x x x    (x  1)(2x  2x  4x )   2x (x  1)2 (x  2)   x   x  2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5   Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm: 1;  1 ,  2;     2x y  y  2x  x Bài 98 Giải hệ phương trình:  x  2 y   x  1  Giải     y  x 2x  y  yx  x  2x y  x  y  x    Ta có hệ    2   x  2 y   x  1    x y x 1                   Trường hợp 1: y = x , thay vào (2) : x  2   x   x   2x  t  x  2t  2x   t  2; t  x  2  x 1   x   x     x2   x  x    2 Trường hợp 2: 2x  y  yx  x   y  yx2  2x  x       y  x  2x  x  3x  8x   x  R  y   f (, y )  2x  y  yx  x   x , y Phương trình vơ nghiệm   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3; , 3;  Chú ý: Ta có cách giải khác Phương trình (1) x = y = khơng nghiệm khơng thỏa mãn (2) y  y  Chia vế phương trình (1) cho x   1        2x  x  x   x  Xét hàm số : f t   2t  t  f ' t    3t  0t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy :  y  x  y  x Đến ta giải phần x     x   x y   y  Bài 99 Giải hệ phương trình:  x 6x  2xy   4xy  6x   Giải  2   x   x  y   y     (nhân liên hợp) Ta có hệ    x 6x  2xy   4xy  6x    Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t  t2   t2  t  t2  Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f  x   f   y  xảy x   y (*) www.VNMATH.com t t  t2  t  R www.VNMATH.com Thay vào phương trình (2) :   x  25  2x  6x   3x  x 6x  2x   4x  6x    2x  6x     x     2x  6x   2x  x  x    Trường hợp : 2x  6x   3x    x  1; y  1   2x  6x   9x 7x  6x     x  x    Trường hợp : 2x  6x   2x    2x  6x   4x 2x  6x     2  11  11 3  11 3  11 ;y  ; Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( ) 2 2  8x  3 2x   y  4y  1 Bài 100 Giải hệ phương trình:  4x  8x  2y  y  2y   2   x  Giải Điều kiện : x  Ta có PT (1)  8x  3 2x   y  4y * Đặt t  2x   2x  t   8x  3 2x   4 t  1  3 t  4t  1 t  4t  t   Do (*) : 4t  t  4y  y Xét hàm số : f(u) = 4u  u  f ' u   12u   u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t) = f(y)  2x   y  2x  y  1(**) Thay vào (2) : y  1  y  1  2y  y  2y    y  2y  y  2y       y y  2y  y    y y  1 y  3y    y y  1y  2y  1   y   y  y      y   x ; y  1;1    Vậy :  x ; y ; ,         2x  y  x       2x  y  x          y  1  y  y  2 y  2 5        x ; y   1; 0 ,    x ; y    ; 2 2 2x  y  x  2x  y     x      Hết Đồng Xồi, ngày 05 tháng năm 2014 Chúc q thầy em học sinh có tài liệu bổ ích  www.VNMATH.com [...]...  [0;  ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả  2 x  y 2  1 5 Bài 37 Giải hệ phương trình:   2 57  y(3x  1) 4x  3x  25  (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: 2 2   25x  25y  5 Hệ phương trình    200x 2  150x  114  50y(3x  1)    Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2  25y 2... nhất của (*) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  2;0  ,  1; 3  2 2 x  y  x  y  12 Bài 63 Giải hệ phương trình  x, y    y x 2  y 2  12  Giải Điều kiện: | x |  | y |  2 2 1 u2  u  x  y ; u  0 ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có y  v   Đặt  v  x  y 2  v   Hệ phương trình đã cho có dạng: u  v  12   u  u2   v    12  2  v... www.VNMATH.com 1 3 www.VNMATH.com Với 3 xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) Với 3 xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x   2 3 3 3   x  y  4x  2y Bài 29 Giải hệ phương trình sau:  2  x  3y 2  4    Giải 3 3 Phương trình (1)  2(x  y )  4(2 x  y) Từ phương trình (2) thay 4  x 2  3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: y  0  x 2y  6xy 2...  2y   3  x  y  1  0 Phương trình ( *) tương đương 2y 2  4y  2  3xy  x 2  3x  0   x  2y  2  0  Với y = 1 – x thay vào phương trình ( 2 ) ta được x  1 2  x  1  x  x 2 ( VN ) Với x = 2 – 2y thay vào phương trình (2) ta được phương trình đơn giản ẩn y Từ đó có nghiệm của hệ  2 2 2x  x  x  2  2y  y  2y  1 ( 1 )  Bài 46 Giải hệ phương trình:  2  x  2y 2  2x ... www.VNMATH.com  2x  1 Hệ phương trình tương đương  3 ( vô lí ) 2  5x  0    Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y 3 ta có hệ phương trình tương đương  2x 2  y 2  1 2x 2  y 2  1    3 2   x   x   x    x    1 5    2    2    1  0  y y y y         x  y  1   x  y  1   Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm...   Vậy hệ có nghiệm x ; y    ; ,  ;  8 8   8 8 www.VNMATH.com www.VNMATH.com   2 2    x  y x  y  1  25 y  1 Bài 41 Giải hệ phương trình:  2  x  xy  2y 2  x  8y  9    Giải Hệ phương trình tương đương    x 2  y 2 x  y  1  25 y  1       2 x  y 2  x y  1  y  12  10 y  1  0  Nhận xét y  1  0 không là nghiệm hệ phương trình ...  3 3 Hệ có nghiệm x ; y    ;   2 2   x  3  2 3y  x y  1 Bài 44 Giải hệ phương trình:  x 5   xy  2y  2  3y  2  2  Giải 2 3 Điều kiện ta có y  ; x  3; 3y  x Phương trình (1) tương đương x  3  4 3y  x y  1 2  x 2  2 5  2y  x  12y 2  12y  9  0 x  6y  9   x  2y  1 Với x  6y  9 x  3  6y  9  3  y  1 Suy ra phương trình vô... 2 2 (tmđk)  x  1 2 vậy hệ pt có nghiệm là   1 y  2   27x 3y 3  7y 3  8 Bài 28 Giải hệ phương trình sau:  2 9x y  y 2  6x    Giải Nhận xét y  0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy )3  7(3xy )2  14(3xy )  8  0 Từ đó tìm được hoặc 3 xy  1 hoặc 3 xy  2 hoặc 3 xy  4 Với 3 xy  1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó... phuong trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 x  1  1  0  x  1 1 y  2 2 Với y  1  x thay vào phương trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 1  x   1  0 x  3 1 y  4 4 2x 2 4x  1  2y 2 2y  1  y  32  Bài 52 Giải hệ phương trình:  2 x  y 2  x  y  1  2 Giải 1 2 2 Phương trình có nghiệm khi   1  4y  4y  2  3  4y  4y 2  0 Xét phương trình. .. kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:  2 x  y 2  1  5    5y  17  15x  5y  7  15x 5y  17  15x    2    hệ vô nghiệm   2 25x  25y 2  5 25x 2  17  15x   5 x        2  11 x  x  5 ;  25 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:   1  2 y  y  5  25   x  y  3x  2y  1 (1)  Bài 38 Giải hệ phương trình:   x  y 