sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9

sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện khả năng sáng tạo của học sinh trong giải toán hình học 9

PHÒNG GD& ĐT TP BẮC NINH TRƯỜNG THCS HẠP LĨNH BÀI DỰ THI TRI THỨC TRẺ VÌ GIÁO DỤC Họ tên: Nguyễn Minh Tấn Ngày sinh: 12.7.1983 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Hạp Lĩnh, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh HẠP LĨNH, THÁNG NĂM 2016 Mục lục Phần Mở đầu trang Phần Nội dung Ch-ơng 1: Cơ sở khoa học sáng kiến kinh nghiệm Ch-ơng 2: Thực trạng vấn đề mà SKKN đề cập đến Ch-ơng 3: Những giải pháp Ch-ơng 4: Những kiểm chứng giải pháp mang tính khả thi trang trang trang trang trang PhÇn KÕt luËn trang 22 PhÇn Phụ lục trang 23 Phần mở đầu Mục đích sáng kiến kinh nghiệm -Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích rèn luyện khả sáng tạo giải toán hình học học sinh lớp cách đ-a tình chuống có vấn đề, đồng thời đ-a ph-ơng pháp để chứng minh số dạng toán bản: Chứng minh đoạn thẳng Quan hệ góc Chứng minh ba điểm thẳng hàng Chứng minh tam giác đồng dạng Chứng minh điểm thuộc đ-ờng tròn Hệ thức hình học Qua giáo viên giúp học sinh nắm vững ph-ơng pháp chứng minh đ-a lời giải phù hợp, ngắn gọn toán Sáng kiến kinh nghiệm với mục tiêu thay đổi ph-ơng pháp bồi d-ỡng cho học sinh giỏi từ tr-ớc đến Khắc phục lối truyền thụ chiều, xây dựng ph-ơng pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc, nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo Đóng góp sáng kiến kinh nghiệm để nâng cao chất l-ợng dạy học Trong thực tế giảng dạy việc bồi d-ỡng học sinh giỏi môn toán, với cách làm đà mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Các em học sinh nắm vững đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh dạng toán, đà thực có hứng thú học toán bồi d-ỡng cho học sinh giỏi, đà tự độc lập tìm tòi cách giải khác cho toán Trong năm đ-ợc nhà tr-ờng giao trọng trách dạy bồi d-ỡng đà thu đ-ợc kết khả quan, đà có nhiều học sinh đạt giải học sinh giỏi cấp huyện, thành phố Phần : Néi dung Ch-¬ng 1: C¬ së khoa häc sKKN Cơ sở lý luận SKKN Toán học môn khoa học tự nhiên mang tính trừa t-ợng cao, tính logíc đồng thời môn toán môn công cụ hổ trợ cho môn học khác.Với môn hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển t- sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện học sinh khá, giỏi Nâng cao đ-ợc lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập toán môn hình học có ý nghĩa quan trọng Việc bồi d-ỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo môn hình học phải biết rèn luyện lực t- trừu t-ợng phán đoán lôgíc Cơ sở thực tiễn SKKN Qua năm công tác giảng dạy tr-ờng nhận thấy việc học toán nói chung bồi d-ỡng học sinh giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện đ-ợc tduy sáng tạo việc học giải toán thân ng-ời thầy cần phải có nhiều ph-ơng pháp nhiều cách giải Đặc biệt qua năm giảng dạy thực tế tr-ờng việc có đ-ợc học sinh giỏi môn Toán điều khó, nhiên có nhiều nguyên nhân có khách quan chủ quan Song đòi hỏi ng-ời thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều ph-ơng pháp cách giải qua Toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động t- sáng tạo Vì tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm này: "Rèn luyện khả tìm lời giải toán hình học cho học sinh khá, giỏi lớp " Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, tr-ớc tập đà cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời ng-ời thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát đ-ợc cách giải t-ơng tự khái quát ph-ơng pháp đ-ờng lối chung Trên sở với toán cụ thể em khái quát hoá thành Toán tổng quát xây dựng Toán t-ơng tự Điều mong muốn thứ hai mong muốn thay đổi ph-ơng ph¸p båi d-ìng cho häc sinh kh¸ giái tõ tr-íc đến Xây dựng ph-ơng pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc, nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo Ch-ơng Thực trạng vấn đề mà SKKN đề cập đến 1) Thực trạng a)Thuận lợi Đ-ợc đạo Ban giám hiệu nhà tr-ờng hoạt động đặc biệt họat động chuyên môn, tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, phát huy ph-ơng pháp dạy học đổi sáng tạo Bên cạnh môn học khác có học sinh giỏi huyện khuyến khích giáo viên dạy toán học sinh phải động tìm tòi, t- sáng tạo việc dạy học toán Mặt khác nghiệp giáo dục có nhiều thay đổi đáng kể, đà có học sinh giỏi tỉnh, giỏi huyện, cấp uỷ Đảng quyền, bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xà đà có phần quan tâm động viên nghiệp giáo dục xà nhà tr-ờng b) Khó khăn Bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn nh-: Điều kiện sở vật chất nhà tr-ờng thiếu thốn, th- viện nhà tr-ờng nghèo nàn, việc tìm tòi sách đọc vấn đề hạn chế Nh-ng khó khăn em học sinh điều kiện địa ph-ơng với đặc thù vùng nông thôn, số nhân đông, điều kiện kinh tế khó khăn, việc quan tâm đến học hành hạn chế nhiều tinh thần vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành em đặc biệt môn toán Chính cần phải rèn luyện cho em lực t- độc lập sáng tạo khiến tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm 2) Kết quả, hiệu thực trạng Qua năm giảng dạy trực tiếp bồi d-ỡng cho học sinh giỏi, qua trắc nghiệm hứng thú học toán học sinh thấy có 20% em thực sù cã høng thó häc to¸n (Cã t- s¸ng tạo), 40% học sinh thích học toán (ch-a có tính độc lập, t- sáng tạo) 40% lại không thích Qua gần gũi tìm hiểu c¸c em cho biÕt cịng rÊt mn häc xong nhiỊu học cách thụ động, ch-a biết cách t- để tạo cho sáng tạo cách giải toán đó, điều kiện khách quan địa ph-ơng nhà tr-ờng, học sinh đ-ợc bồi d-ỡng thời gian định tr-ớc thi học sinh ch-a có hứng thú học toán kết qua kì thi ch-a cao Ch-ơng 3: Những giải pháp Hình thành tình có vấn đề liên quan đến cách giải cho toán H-ớng dẫn học sinh đ-a cách giải cho toán, từ h-ớng dẫn học sinh tìm đ-ợc lời giải ngắn phù hợp toán Tăng c-ờng hoạt động tìm tòi, quan sát,đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải Nắm vững kiến thức bản, huy động, vận dụng kiến thức vào giải vấn đề có liên quan Ch-ơng kiểm chứng giải pháp đà triển khai SKKN Kiến thức cần truyền đạt Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện đ-ợc khả sáng tạo, tìm đ-ợc nhiều cách giải thân ng-ời thầy, ng-ời dạy phải ng-ời tìm nhiều cách giải h-ớng dẫn học sinh tìm đ-ợc lời giải cho toán Trong đề tài khuôn khổ, giới hạn đề tài đ-a số dạng tập điển hình cho dạng toán Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng Dạng 2: Quan hệ góc Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng 4: Chứng minh tam giác đồng dạng Dạng 5: Chứng minh điểm thuộc đ-ờng tròn Dạng 6: Hệ thức hình học 2.Tổ chức thực 3.1) Tìm tòi cách giải Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng Bài toán 1: Trong hình vuông ABCD đ-ờng tròn đ-ờng kính AD vẽ cung AC mà tâm D Nối D với điểm P cung AC, DP cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AD K Chứng minh PK khoảng cách từ P đến AB Cách giải 1: Hình Gợi ý : - KỴ PI  AB - XÐt hai tam giác APK API Lời giải: Kẻ PI AB Xét APK tam giác API APK vuông K ( Vì góc AKD = 900 góc nội tiếp chắn đ-ờng tròn đ-ờng kính AD) ADP cân D(vì AD = DP ) P2 = DAP Mặt khác P1 = DAP ( So le AD // PI ) Do đó: P1 = P2   APK =  API ( Cã chung cạnh huyền cặp góc nhọn ) PK = PI Cách giải 2: Hình Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh hai tam giác APK API cách ta chứng minh P1 = P2 Ta chøng minh A1 = A2 - Gọi F giao điểm AP với đ-ờng tròn đ-ờng kính AD Lời giải: Ta có: AFD = 900 ( Góc nội tiếp chắn đ-ờng tròn) Tam giác ADP cân D có DF đ-ờng cao nên DF phân giác suy D1 = D2 mµ D2 = A1 ; D1 = A2 Vì góc có cặp cạnh t-ơng ứng vu«ng gãc Suy ra: A1 = A2   APK = API ( Có chung cạnh huyền cỈp gãc nhän b»ng )  PK = PI Cách giải 3: Hình Gợi ý: - Cách giải chứng minh A1 = A2 nh-ng việc chứng minh đ-ợc áp dụng kiến thức khác - Chú ý AB tiếp tuyến đ-ờng tròn tâm D nên ta có: Lời giải: Ta cã IAK = ADK ( Cã sè ®o b»ng sđ AK ) Mặt khác góc IAP góc tạo tiếp tuyến dây cung AP đ-ờng tròn tâm D nên góc IAP số đo góc tâm chắn cung gãc ADP IAP = 1 ADP = IAK Suy ra: A1 = A2   APK =  API 2 ( Có chung cạnh huyền cỈp gãc nhän b»ng )  PK = PI Cách giải 4: Hình Gợi ý: - Kéo dài K cắt đ-ờng tròn tâm D E - áp dụng định lí góc tạo tiếp tuyến dây cung Lời giải: DK AE nên AP = PE Góc BAE (góc tạo tiếp tuyến dây cung AE )Vì AP lại qua điểm cung AE nên AP tia phân giác cña gãc BAE Suy ra: A1 = A2   APK = API ( Có chung cạnh huyền mét cỈp gãc nhän b»ng )  PK = PI Đối với toán để chứng minh hai đoạn thẳng PK PI ta chứng minh APK = API vấn đề giáo viên cần cho học sinh t- vận dụng sáng tạo kiến thức - Tr-ờng hợp tam giác vuông - Góc tạo tiếp tuyến dây cung - Góc nội tiếp Dạng 2: Quan hệ góc hình học Bài toán 3: Cho ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đ-ờng cao AH, bán kính OA Chøng minh OAH = ACB - ABC C¸ch giải 1: Hình Gợi ý: - Kẻ OI AC cắt AH M - áp dụng kiến thức góc tam giác - Góc nội tiếp,góc tâm Lời giải: Ta có: OMH = ACB (góc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) AOM = ABC (cùng sđ AC ) Trong OAM thì: OMH = AOM + OAH (Góc tam giác) Hay ACB = ABC + OAH VËy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 2: Hình Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đ-ờng tròn A cắt BC D Lêi gi¶i: Ta cã: ABC = CAD (1) (Cïng ch¾n AC ) OAH = ADC (2) (gãc cã cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) Cộng vế (1) (2) Ta đ-ợc: ABC + OAH = CAD + ADC Mµ CAD + ADC = ACB (góc tam giác) ABC + OAH = ACB Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 3: Hình Gợi ý: - Kẻ đ-ờng kính AOD - Kẻ DK BC Lời giải: Ta cóDK // AH  OAH = ODK (1) (so le trong) ABC = ADC (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Céng vế (1) (2) Ta đ-ợc OAH + ABC = ODK + ADC = KDC Mµ: KDC = ACB (góc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc)  OAH + ABC = ACB VËy OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 4: Hình Gợi ý: - Kẻ đ-ờng kính AOD - Kẻ CK AD Lêi gi¶i: Ta cã: OAH = KCB (1) (gãc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) ABC = ADC (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Céng vế (1) (2) Ta đ-ợc: OAH + ABC = KCB + ADC Mµ: ADC = KCA (gãc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) OAH + ABC = KCB + KCA = ACB VËy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) 10 Cách giải 5: Hình Gợi ý: - Kẻ đ-ờng kính AOD - Gọi M giao điểm AH DC Lời giải: Ta có: AMC = ACB (1) (góc có cạnh cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) ADM = ABC (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Trõ tõng vÕ (1) (2) Ta đ-ợc: AMC - ADM = ACB - ABC Mµ: AMC - ADM = OAH (gãc tam giác) Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 6: Hình Gợi ý: Kẻ OI BC OK AB Lời giải: Ta có: OAH = O2 (1) (so le trong) ABC = O1 (2) (góc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) Cộng vế (1) (2) Ta đ-ợc OAH + ABC = O1 + O Mµ O1 + O2 = ACB (Cïng b»ng s® AB )  OAH + ABC = ACB VËy OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 7: Hình Gợi ý: Tại A kẻ tiếp tuyến Ax đ-ờng thẳng Ay // BC Lêi gi¶i: Ta cã: OAH = xAy (1) (gãc có cặp cạnh t-ơng ứng vuông góc) ABC = BAy (2) (so le trong) Céng tõng vÕ cña (1) (2) Ta đ-ợc: OAH + ABC = xAy + BAy = xAB 11 Mµ: xAB = ACB (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AB )  OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm) Đây toán có nhiều cách giải khác nh-ng toán việc sử dụng yếu tố vẽ thêm đ-ờng phụ vấn đề quan cho việc tìm lời giải vấn đề khó học sinh toán giáo viên cần cho học sinh kiến thức đà vận dụng vào giải toán - Kiến thức hai đ-ờng thẳng song song, hai đ-ờng thẳng vuông góc - Góc nội tiếp, góc tâm, góc tam giác Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O) M ; N ; P lần l-ợt cá điểm cung nhỏ AB ; BC ; CA MN NP cắt AB vµ AC theo thø tù ë R vµ S Chøng minh rằng: RS // BC RS qua tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC Cách giải 1: Hình Gợi ý: Đây toán hình t-ơng đối khó học sinh t- tốt hình học Khi đ-a toán việc vẽ hình vấn đề khó em đà không tìm đ-ợc lời giải D-ới h-ớng dẫn thầy Ta có AN; BP AN tia phân giác tam giác ABC Gọi I giao điểm đ-ờng phân giác Khi ta có I tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC Để chứng minh cho RS // BC I  RS ta ®i chøng minh IR // BC ; IS // BC sử dụng tiên đề 12 đ-ờng thẳng song song để suy điều phải chứng minh Sau thời gian ngắn học sinh đà tìm đ-ợc lời giải cho toán Và lời giải ngắn mà thầy đà tìm Lêi gi¶i: XÐt  NBI ta cã: IBN = B2 + B3 mµ B2 = CP B3 = NAC (Gãc néi tiÕp ch¾n cung NC ) NAC = BAC A  B ®ã IBN = ; 2 BIN = A1 + B1 = A  B ( Góc tam giác ABI ) Suy : IBN = BIN NBI cân N N thuộc trung trực đoạn thẳng BI Ta chứng minh đ-ờng trung trực đoạn thẳng RN Gọi H giao điểm MN PB Ta cã   1 s®BC + s®AB + s®AC BHN = s® BN + AM + AP = 2 Vì BHN góc có đỉnh nằm bên đ-ờng tròn BN = BC AB AC ; AM = ; AP = 2  BHN = 3600 = 900  RN lµ trung trực đoạn thẳng BI BR = RI RBI cân R B1 = RIB mµ B1 = B2  B2 = RIB  IR // BC ( Vì tạo với tuyến BI hai gãc so le b»ng ) Còng chøng minh t-ơng tự ta đ-ợc IS // BC, từ điểm I đ-ờng thẳng BC ta kẻ đ-ợc đ-ờng thẳng song song với BC R ; I ; S thẳng hàng Vậy RS // BC RS qua tâm I đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm) Cách giải 2: Hình Gợi ý: Trong cách giải yêu cầu học sinh phải nắm lại kiến thức cũ Tính chất đ-ờng phân giác tam giác tính chất quan trọng mà em đà đ-ợc học ë líp ®a sè häc sinh Ýt thËm trÝ không hay để ý đến tính chất Lời gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ta cã MA = MB MN phân giác 13 góc ANB áp dụng tính chất đ-ờng phân giác tam giác ABN ta cã: RA NA ( 1) = RB NB T-¬ng tự: NP phân giác tam giác ACN SA NA = SC NC (2) BN = CN nên BN = CN kết hợp với (1) (2) ta ®-ỵc RA SA = RB SC  RS // BC Gọi giao điểm RS với AN I, BC AN D RS // BC nên ta cã: AI RA NA RA AI NA mµ suy =  = ID RB NB RB ID NB Hai tam giác BND tam giác ANB đồng dạng (vì có góc BNA chung BAN NBD ) nªn NA AB AI AB VËy  = NB BD ID BD Suy BI phân giác góc ABC ta có I thuộc phân giác AN cđa gãc BAC ta l¹i võa chøng minh I thc phân giác ABC nên I tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm) Bài toán 5: T điểm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác hạ đ-ờng vuông góc xuống ba cạnh tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn Chứng minh chân ba đ-ờng vuông góc thẳng hàng (Đ-ờng thẳng gọi đ-ờng thẳng Simson) Cách giải 1: Vì D = E = 900 suy tứ giác BDPE tứ giác nội tiÕp  BED = BPD (*)( Gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung ) F = E = 900 suy tứ giác EFCP tứ giác nội tiếp suy FEC = FPC (**) ( Gãc néi tiÕp chắn cung )Vì tứ giác ABPC nội tiếp ®-êng trßn  BPC = 1800 - A (1) PD  AB    DPF = 180 - A (2) PF  AC Tõ (1) vµ (2)  BPC = DPF  BPD = FPC (***) 14 Tõ (*) ; (**) vµ (***)  BED = FEC  D ; E ; F thẳng hàng Cách giải 2: PE  EC    Tø gi¸c EFCP tứ giác nội tiếp FEP + PCF = 180 (1) PF FC Vì tứ giác ABPC nội tiếp đ-ờng tròn ABP + FCP = 1800 Mà ABP + BDP = 1800  FCP = DBP (2) PD BD Tứ giác EPDB tø gi¸c néi tiÕp  DBP = DEP ( 3) PE  BC Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã : PEF + DEP = 1800 Suy ba điểm D ; E ; F thẳng hàng Đối với toán toán khó yêu cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên quan việc tìm lời giải đà khó việc tìm cách giải khác vấn đề khó, với thân học sinh không làm đ-ợc sau giáo viên gợi ý học sinh đà dần t- sáng tạo tìm đ-ợc h-ớng toán Đơn vị kiến thức đ-ợc áp dụng để giải toán - Để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chøng minh hai gãc kỊ cã tỉng sè ®o b»ng 1800 - Tứ giác nội tiếp đ-ờng tròn - Góc nội tiếp đ-ờng tròn Dạng 4: Chứng minh tam giác đồng dạng Bài toán 6: Đ-ờng tròn (O;R1) (O';R2) tiếp xúc P Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) A (O';R2) B Một cát tuyến khác qua P cắt (O;R1) C (O';R2) D Chứng minh tam giác PAC PBD đồng dạng 15 Sau đọc toán giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức hai đ-ờng tròn tiếp xúc với Và từ cần yêu cầu học sinh để giải toán chung ta phải xét hai tr-ờng hợp xảy Hai đ-ờng tròn tiếp xúc hai đ-ờng tròn tiếp xúc trong.ở trình bày hai đ-ờng tròn tiếp xúc tr-ờng hợp hai đ-ờng tròn tiếp xúc chứng minh t-ơng tự Cách giải 1: Hình Gợi ý: - Tính chất hai đ-ờng tròn tiếp xúc - áp dụng tr-ờng hợp đồng dạng thứ hai Lời giải: Ta có tam giác OAP tam giác O'BP tam giác cân O O' Suy ra: OAP = OPA vµ O'PB = O'BP mµ OPA = O'PB ( Hai gãc ®èi ®Ønh)  OAP = PBO' hai tam giác OAP O'BP ®ång d¹ng  R PA PO =  (1) PB PO' R T-¬ng tù ta cịng cã OCP = OPC vµ O'PD = O'DP mµ OPC = O'PD ( Hai gãc ®èi ®Ønh)  OCP = PDO'  hai tam giác OCP O'DP đồng dạng  R R PC PO PC PA =  (2) Từ (1) (2) ta có: lại cã CPA = BPD = PD PO' R PD R2 PB Suy :  PAC vµ  PBD đồng dạng Cách giải 2: Hình Gợi ý: - Kẻ tiếp tuyến chung xPy hai đ-ờng tròn - áp dụng tr-ờng hợp đồng dạng thứ ba - áp dụng định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 16 Lời giải: Kẻ tiếp tuyến chung xPy hai đ-ờng tròn Ta có CAP = CPy = xPD = PBD ( ¸p dơng tÝnh chÊt vỊ góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung nhau) Mặt khác APC = BPD (hai góc đối đỉnh) Suy : PAC PBD đồng dạng Dạng 5: Chứng minh điểm thuộc đ-ờng tròn Bài toán 7: Cho tam giác đ-ờng phân giác BN tâm O đ-ờng tròn nội tiếp tam giác Từ A kẻ tia vuông góc với tia BN, cắt BC H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm đ-ờng tròn Đối với toán xảy hai tr-ờng hợp hình vẽ Tr-ờng hợp 1: H O nằm phía với AC Hình Tr-ờng hợp 2: H O nằm khác phía với AC 17 Hình Gợi ý: Gọi I giao điểm AH BN Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB P M giao điểm OC AB K giao điểm OC AP - áp dụng tính chất đ-ờng( đ-ờng cao, đ-ờng trung trực, đ-ờng trung tuyến, đ-ờng phân giác đ-ờng trung bình,) tam gi¸c - KiÕn thøc vỊ tø gi¸c néi tiÕp - Tính chất góc tam giác Cách giải 1: Xét ACP có CK vừa phân giác vừa đ-ờng cao nên CK đ-ờng trung tuyến, ®-êng trung trùc  KA = KP (1) XÐt  ABH có BI vừa phân giác vừa đ-ờng cao nên BI đ-ờng trung tuyến, đ-ờng trung trùc  IA = IH (2) Tõ (1) vµ (2) ta có: IK đ-ờng trung bình tam giác APH IKO = OCH ( Hình 1) Hoặc IKO + OCH = 1800 (Hình 2) Xét tứ giác AKOI cã I = K = 900  AKOI lµ tø gi¸c néi tiÕp  IKO = OAH  Tø gi¸c AOHC néi tiÕp  A; O; H; C cïng n»m đ-ờng tròn Cách giải 2: Ta có BN đ-ờng trung trực AH BHO = BAO mà BAO = OAC nên BHO = OAC Tứ gi¸c AOHC néi tiÕp  A; O; H; C cïng nằm đ-ờng tròn Cách giải 3: 18 ABI tam giác vuông nên IBA + BAI = 1800 hay IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: OAI + B A = 900 + 2  OAI b»ng (hc bï) víi gãc OCH  Tø giác AOHC nội tiếp đ-ợc A; O; H; C nằm đ-ờng tròn Cách giải 4: * §èi víi (H×nh 1) ta cã AHC = 900 + AOC = 900 + B Góc tam giác B (Vì O tâm đ-ờng tròn nội tiÕp )  AHC = AOC  Tø gi¸c AOHC nội tiếp đ-ợc A; O; H; C nằm đ-ờng tròn * Đối với ( Hình 2) XÐt tam gi¸c IBH ta cã AHC = 900 AOC = 900 + B B (V× O tâm đ-ờng tròn nội tiếp ) AHC + AOC = 1800 Tø gi¸c AOHC néi tiÕp A; O; H; C nằm đ-ờng tròn Cách giải 5: Ta có AON = A+B ( Góc đỉnh O tam giác AOB )  AOH = A + B  AOH + ACH = 1800 ( Hình 1) AOH = ACH = A + B ( H×nh 2) Suy Tø gi¸c AOHC néi tiÕp  A; O; H; C cïng nằm đ-ờng tròn Dạng 6: Hệ thức hình học Bài toán 8: Trên cung BC đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Các đoạn thẳng AP BC cắt điểm Q Chứng minh rằng: 1 = PQ PB PC Cách giải 1: Hình 19 Trên đoạn AP lấy hai điểm N M cho BN = BP PM = PC Khi ta có tam giác BNP tam giác MPC tam giác cân Vì APB = ACB = 600 MPC = ABC = 600 (Các góc nội tiếp chắn cung) Suy tam giác BNP tam giác MPC tam giác Xét hai tam giác CQP BQN có: BQN = CQP ( Hai gãc ®ỉi ®Ønh) BNQ = CPQ = 600 nên: CQP BQN hai tam giác đồng dạng Do CP BN BN = =  PQ NQ BN - PQ BN - PQ = CP PQ.BN  1 ( §pcm) = CP PQ BP Cách giải2: Hình Trên tia BP lÊy mét ®iĨm D cho PD = PC Ta cã: CPD = 600 ( V× CPB = 1200 góc nội tiếp chắn cung 1200) nên tam giác CPD tam giác APB = CDP = 600 Vì AP // CD Suy tam giác BPQ tam giác BDC đồng dạng với BP BD BP + PC BP + PC = = =   PQ CD CP PQ CP.BP  1 (§pcm) = CP PQ BP 1 PQ BP CP Đối với toán việc vẽ đ-ờng phụ quan trọng Học sinh cần áp dụng kiến thức hai tam giác đồng dạng, kiến thức tam giác cân, tam giác Tính chất dÃy tỉ số đà đ-ợc học lớp vào giải toán Hai cách giải t-ơng tự giống Song sau đà tìm đ-ợc lời giải giáo viên cần gợi ý cho học sinh qua câu hỏi Vậy tia BP lấy điểm D cho PD = PC ta chứng minh đ-ợc hệ thức hay không? 20 Nh- học sinh t- tìm tòi lời giải Giáo viên không nên đ-a lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho toán 3.2) Bài tập giải đ-ợc nhiều cách Bài tập 1: miền hình vuông ABCD lấy điểm E cho EAB = EBA = 150 Chøng minh r»ng tam gi¸c ADE tam giác Bài tập 2: Chứng minh định lí Pitago Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD, O giao điểm đ-ờng chéo AC BD gọi M N trung điểm OB CD chøng minh A; M; N; D cïng thuéc ®-êng tròn Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD; AD = BC; M N trung điểm AB DC kéo dài AD, MN cắt E kéo dài BC, MN cắt F Chứng minh r»ng: AEM = BFM Bµi tËp 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đ-ờng thẳng Dy vuông góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đ-ờng tròn (O) E Chứng minh tam giác BDE tam giác cân 3.3)Khái quát hoá toán: Sau đà tìm cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá toán cách trả lời đ-ợc số câu hỏi cụ sau: 1) Trong cách chứng minh kiến đà đ-ợc vận dụng ? 2) Có cách chứng minh t-ơng tự nhau? Khái quát đ-ờng lối chung cách ấy? 3) Và cách chứng minh kiến thức đà vận dụng kiến thức đ-ợc học lớp mấy, hỏi cụ thể ch-ơng tiết để kiểm tra nắm vững kiến thức học sinh 4) Cần cho học sinh phân tích đ-ợc hay cách tr-ờng hợp cụ thể ta nên áp dụng cách để đơn giản áp dụng để giải câu liên quan hình câu mà có câu liên quan 5) Việc khái quát hoá toán vấn đề quan trọng Khái quát hóa toán thể lực t- duy, sáng tạo học sinh Để bồi d-ỡng cho em lực khái quát hoá đắn phải bồi d-ỡng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm cách giải vấn đề tr-ờng hợp 6)Việc tìm nhiều lời giải cho toán vấn đề không đơn giản đòi hỏi học sinh phải có lực t- logic, kiến thức tổng hợp Không phải toán tìm nhiều lời giải Mà thông qua toán với nhiều lời giải nhằm cho học sinh nắm sâu kiến thức vận dụng kiến thức thành thạo để giải toán khác 21 Bài học kinh nghiệm - Đối với giáo viên: - Cần xác định yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm vấn đề bồi d-ỡng học sinh giỏi, vấn đề chất l-ợng học sinh môn Toán, chất l-ợng học sinh giỏi - Nhiệt tình trách nhiệm cao chăm lo đến chất l-ợng học sinh đặc biệt học sinh giỏi - Có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho đối t-ợng häc sinh, cã thêi gian båi d-ìng cu thĨ, cã ch-ơng trình bồi d-ỡng phù hợp với đối t-ợng học sinh - Nắm vững kiến thức Toán học, nội dung ch-ơng trình SGK, nắm vững ph-ơng pháp giảng dạy môn Toán, ph-ơng pháp bồi d-ỡng học sinh giỏi - Đối với học sinh: - Phát động phong trào thi đua học tập th-ờng xuyên - Chọn đối t-ợng phù hợp để bồi d-ỡng - H-ớng dẫn việc học tập ph-ơng pháp học tập lớp học sinh - KiĨm tra viƯc häc tËp trªn líp, häc tËp nhà học sinh thông qua dạy, ghi, vë bµi tËp - Sau kiĨm tra thông báo kết động viên học sinh học tập đặt biệt em có kết cao để phấn đấu có kế hoạch bổ sung - Kết hợp chặt chẽ với giáo viên môn trình giảng dạy bồi d-ỡng, đặc biệt quan tâm đến đối t-ợng học sinh giỏi để em phát triển đồng môn nhằm tạo điều kiện cho em phát triển môn Toán - Đối với cha mẹ học sinh giỏi: Động viên h-ớng dẫn quản lý kiĨm tra häc sinh vỊ vÊn ®Ị häc tËp ë nhà học sinh Cha mẹ phải thực nhiệt tình chăm lo đến - Kết đạt đ-ợc: Trong thực tế giảng dạy việc bồi d-ỡng học sinh giỏi môn toán, với cách làm đà mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Cụ thể 80% em học sinh đà thực có hứng thó häc to¸n båi d-ìng cho häc sinh kh¸ giái, đà tự độc lập tìm tòi nhiều cách giải khác mà không cần gợi ý giáo viên 20% em cần gợi ý tr-ờng hợp, song mong muốn đ-ợc tham dự lớp bồi d-ỡng học sinh giỏi Trong năm đ-ợc nhà tr-ờng giao trọng trách dạy bồi d-ỡng lớp đà thu đ-ợc kết khả quan có nhiều học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện 22 Phần Kết luận Giảng dạy áp dụng sáng kiến đà mang lại hiệu việc bồi d-ỡng học sinh giỏi môn toán Nhiều học sinh đà chủ động tìm tòi, định h-ớng sáng tạo nhiều cách giải toán không cần góp ý giáo viên Từ đà mang lại kết bất ngờ từ việc giải toán thông qua ph-ơng pháp sáng tạo tìm lời giải toán cho học sinh Chính giáo viên nói chung thân nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối t-ợng học sinh để đ-a tập ph-ơng pháp giải toán cho phù hợp giúp em làm đ-ợc sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó Để làm đ-ợc nh- giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu để tìm toán hay, với nhiều cách giải khác để tung cho học sinh làm, phát cách giải hay Thông qua ph-ơng pháp giáo dục cho em lực t- độc lập, rèn tduy sáng tạo tính tự giác học tập, ph-ơng pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt Trên vài kinh nghiệm nhỏ việc bồi d-ỡng học sinh khá, giỏi Rất mong bạn bè, thầy cô giáo góp ý để có nhiều kinh nghiệm tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Ngày 28 tháng năm 2016 Ng-ời viết Nguyễn Minh Tấn 23 Phần phụ lục Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa - Toán nâng cao phát triển ( Vũ Hữu Bình ) - Toán nâng cao chuyên đề ( Vũ D-ơng Thuỵ) - Một số vấn đề phát triển hình học (Vũ Hữu Bình ) - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học (Nguyễn Đức Tấn) - Các chuyên đề môn toán ( Tr-ơng Công Thành ) - Giáo trình thực hành giải toán ( Đặng Đình Lăng) 24