Đang tải... (xem toàn văn)
giáo án tích hợp môn toán 12 ứng dụng của bài toan min max TIẾT 8 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (T3) I. MỤC TIÊU DẠY HỌC 1. Về kiến thức: Học sinh biết, hiểu và vận dụng được kiến thức các bộ môn: Môn Toán: Giúp học sinh hiểu vững giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng và một đoạn. Biết cách đưa các bài toán trong thực tiễn và bộ môn khoa học về bài toán thuộc lĩnh vực toán học. Bên cạnh đó học sinh còn nắm được kiến thức của các môn học sau + Môn Vật lí: Dựa vào tính chất của đạo hàm và sự đồng biến nghịch biến của đồ thị hàm số tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một số đại lượng vật lí. Nhắc lại công thức tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động khi biết hàm quãng đường theo thời gian. + Môn Sinh học : Hình ảnh giải phẫu cơ thể người, Sinh trưởng phát triển ở động vật bài 37 sinh học 11 + Hoạt động ngoài giờ lên lớp: Giáo dục ý thức bảo vệ sức khỏe cho các em và cho gia đình phòng chống bệnh Cao huyết áp Giáo dục hình thành ước mơ cho thanh niên trong thời đại mới. + Ý nghĩa thực tiễn và kinh tế: Bài toán kinh tế làm thế nào thu được sản lượng cá nhiều nhất trong vụ mùa. Giới thiệu ứng dụng đạo hàm trong thiết bị đo “tốc kế” trên xe máy hoặc ôtô +Môn Tin học: Sử dụng kiến thức bộ môn tin học trong quá trình thực hiện bài học. Sử dụng phần mềm vẽ đô thị giải thích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2. Về kĩ năng: Biết cách tìm GTLN,GTNN của hàm số Biết cách đưa bài toán thực tiễn trong các bộ môn khác về bài toán trong toán học. 3. Thái độ: Học sinh tích cực học tập và hoạt động theo yêu cầu của giáo viên. 4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giải toán… II. THIẾT BỊ DẠY HỌC, HỌC LIỆU. 1. Thiết bị dạy học Giáo viên: Giáo án, máy tính, máy chiếu, bảng phụ. Đề kiểm tra ngắn, Học sinh: Trang bị đầy đủ dụng cụ học tập. Sưu tầm tư liệu về các nhà khoa học nghiên cứu về ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Trang bị kiến thức về công thức cộng vận tốc, tổng hợp lực, năng lượng, khoa học trong môn vật lí. Trang bị kiến thức thực tế về bệnh cao huyết áp.Trang bị kiến thức về bài toán kinh tế... 2. Học liệu : Giáo viên: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa Vật lí 10 nâng cao , sách giáo khoa vật lí lớp 12 nâng cao , sách tham khảo Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến.... Học sinh: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa Vật lí 10 nâng cao, sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao,... III. TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY 1. Ổn định lớp: Lớp 12A4 Ngày giảng Sĩ số 2Kiểm tra bài cũ: Hoạt động1: Tích hợp toán học vào thực tiễn cuộc sống TUỔI TRẺ TÀI NĂNG Tỷ phú 25 tuổi kiếm 6 tỷnăm nhờ nuôi cá chép Trên dòng sông Kinh Thầy nổi tiếng, có rất nhiều người dân sinh sống bằng nghề nuôi cá lồng nhưng chủ yếu chỉ là những người trung tuổi. Các bạn trẻ thường vươn ra thành phố với những công việc nhàn nhã hơn. Vậy mà, một cậu thanh niên sinh năm 1989 sau khi tốt nghiệp cao đẳng, có công việc ổn định ở thành phố lại quyết định quay trở về và lập nghiệp trên sông Kinh Thầy với những bè cá Chép Giòn. Hiện nay, những bè cá này đang mang lại cho cậu ấy thu nhập 6 tỷ một năm. Anh Phước đang cho cá ăn Ông cha ta thường nói Cá Chép vượt vũ môn để nói về sự can đảm vươn lên, đi tới thành công. Và thật không quá khi gọi anh Nguyễn Thế Phước là một trong những “chú cá chép đầu đàn” trong hành trình vượt vũ môn hóa rồng bởi con đường thành công của anh ấy là vô vàn khó khăn thử thách. Bài 20 SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao). Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
TIẾT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (T3) I MỤC TIÊU DẠY HỌC Về kiến thức: Học sinh biết, hiểu vận dụng kiến thức mơn: - Mơn Tốn: Giúp học sinh hiểu vững giá trị lớn hàm số khoảng đoạn Biết cách đưa tốn thực tiễn mơn khoa học toán thuộc lĩnh vực toán học - Bên cạnh học sinh cịn nắm kiến thức mơn học sau + Mơn Vật lí: Dựa vào tính chất đạo hàm đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số đại lượng vật lí Nhắc lại cơng thức tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời chuyển động biết hàm quãng đường theo thời gian + Mơn Sinh học : Hình ảnh giải phẫu thể người, - Sinh trưởng phát triển động vật 37 sinh học 11 + Hoạt động lên lớp: Giáo dục ý thức bảo vệ sức khỏe cho em cho gia đình phịng chống bệnh Cao huyết áp - Giáo dục hình thành ước mơ cho niên thời đại + Ý nghĩa thực tiễn kinh tế:- Bài toán kinh tế làm thu sản lượng cá nhiều vụ mùa - Giới thiệu ứng dụng đạo hàm thiết bị đo “tốc kế” xe máy ôtô +Môn Tin học: -Sử dụng kiến thức môn tin học trình thực học - Sử dụng phần mềm vẽ thị giải thích giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Về kĩ năng: Biết cách tìm GTLN,GTNN hàm số Biết cách đưa toán thực tiễn mơn khác tốn tốn học Thái độ: Học sinh tích cực học tập hoạt động theo yêu cầu giáo viên Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, lực giải toán… II THIẾT BỊ DẠY HỌC, HỌC LIỆU Thiết bị dạy học Giáo viên: - Giáo án, máy tính, máy chiếu, bảng phụ - Đề kiểm tra ngắn, Học sinh: - Trang bị đầy đủ dụng cụ học tập - Sưu tầm tư liệu nhà khoa học nghiên cứu ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Trang bị kiến thức công thức cộng vận tốc, tổng hợp lực, lượng, khoa học mơn vật lí Trang bị kiến thức thực tế bệnh cao huyết áp.Trang bị kiến thức toán kinh tế Học liệu : - Giáo viên: Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa Vật lí 10 nâng cao , sách giáo khoa vật lí lớp 12 nâng cao , sách tham khảo Phép tính vi phân tích phân hàm biến - Học sinh: Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa Vật lí 10 nâng cao, sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao, III TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY Ổn định lớp: Lớp Ngày giảng Sĩ số 12A4 2-Kiểm tra cũ: Hoạt động1: Tích hợp tốn học vào thực tiễn sống TUỔI TRẺ TÀI NĂNG Tỷ phú 25 tuổi kiếm tỷ/năm nhờ ni cá chép Trên dịng sơng Kinh Thầy tiếng, có nhiều người dân sinh sống nghề nuôi cá lồng chủ yếu người trung tuổi Các bạn trẻ thường vươn thành phố với công việc nhàn nhã Vậy mà, cậu niên sinh năm 1989 sau tốt nghiệp cao đẳng, có cơng việc ổn định thành phố lại định quay trở lập nghiệp sông Kinh Thầy với bè cá Chép Giòn Hiện nay, bè cá mang lại cho cậu thu nhập tỷ năm Anh Phước cho cá ăn Ông cha ta thường nói ' Cá Chép vượt vũ mơn' để nói can đảm vươn lên, tới thành công Và thật không gọi anh Nguyễn Thế Phước “chú cá chép đầu đàn” hành trình vượt vũ mơn hóa rồng đường thành cơng anh vơ vàn khó khăn thử thách Bài 20- SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao) Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P( n) = 480 − 20n ( gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? Hướng dẫn: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá sau vụ, số cá đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f (n) = n.P (n) = 480n − 20n ( gam) Xét hàm số f (x) = 480 x − 20 x khoảng (0; + ∞ ) (Biến số n lấy giá trị nguyên dương thay biến cố x lấy giá trị khoảng (0;+ ∞ )) f '(x) = 480 − 40 x; f '( x) = ⇔ x = 12 Bảng biến thiên X f '( x) +∞ 12 + f (x) - f (12) Trên khoảng (0; +∞) , hàm số f đạt giá trị lớn điểm x = 12 Từ suy tập hợp ¥ * số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn điểm n = 12 Vậy muốn thu hoạch nhiều sau vụ đơn vị diện tích mặt hồ phải thả 12 cá Giáo viên : Nhận xét xác hóa kết Trên ví dụ ứng dụng đạo hàm đời sống thực tiễn 3-Nội dung giảng: Hoạt động 2: ĐẶT VẤN ĐỀ Các em có biết gia đình có máy tính đạo hàm nhà khơng? Mét øng dơng vui đời sống hàng ngày mà ta không để ý đến là: Đồng hồ đo công tơ mét xe máy nhà ta v(t0 ) = lim t →t0 f (t ) − f (t0 ) = f '(t0 ) t − t0 Hãa kim tốc độ máy tính đạo hàm mà đờng ta theo thời gian Trong số ứng dụng bật việc tính toán phụ thuộc vào giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu hàm số Thực tế sống hàng ngày phong phú với toán điều tự nhiên nhà toán học người khác tìm điều quan trọng thú vị chúng Một nhà kinh doanh tìm kiếm lợi nhuận tối đa giá tối thiểu Một số kĩ sư tìm kiếm động mong muốn tối đa hiệu Một phi cơng hàng khơng cố gắng làm tối thiểu thời gian chuyến bay tiêu thụ chất đốt Trong khoa học, thường thấy chất tự nhiên hoạt động theo đường làm cực đại làm cực tiểu tượng Mỗi dùng từ rộng nhất, nhỏ nhất, nhất, tốt nhất, … Nó lý gợi ý vài toán cực đại cực tiểu ẩn khuất bên cạnh Nếu tốn biểu diễn theo biến số hàm số, mà hoàn tồn khơng thể theo cách khác, phương pháp Giải tích sẵn sàng Tất tốn sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải Bây nghiên cứu ứng dụng đạo hàm toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Hoạt động 3: Tích hợp mơn Vật lí Ví dụ1:Một vật thể chuyển động thẳng, vị trí s thời điểm t (giây) cho công thức s = t − 5t + 8t (m) a) Tính gia tốc thời điểm vận tốc khơng? b) Tính vị trí s thời điểm vận tốc nhỏ nhất? HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN - vận tốc tức thời v(t ) thời điểm t0 -Yêu cầu học sinh nêu lại ý nghĩa chuyển động có phương trình s=s(t) học đạo hàm ? đạo hàm hàm số s = s(t) thời điểm t0 , tức v(t0 ) = s '(t0 ) -Gia tốc tức thời a(t0 ) thời điểm t0 chất điểm chuyển động cho phương trình s = s(t) đạo hàm cấp hai hàm số s= s(t) thời điểm t0 , tức a(t0 ) = s ''(t0 ) -Yêu cầu học sinh nêu hướng làm bài? Học sinh hoạt động theo yêu cầu giáo - Phân chia tổ hoạt động nhóm viên Hướng dẫn đáp án v(t ) = 3t − 10t + a (t ) = 6t − 10 t = a) v(t ) = ⇔ Vậy a =2(m/s2 ) t = a = -2 (m/s2) b) a(t) = ⇔ t = (s) BBT T v'(t) - +∞ -chính xác hóa kiến thức + v(t) −1 Vận tốc nhỏ vật vị trí 110 s( ) = ( m) 27 Hoạt động 2: Tích hợp mơn vật lí sinh học Ví dụ 2: Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước 6km/h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E (v ) = cv 3t , c số, E tính Jun Tìm vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao Chú ý Cá hồi có đặc trưng lồi cá ngược sơng để đẻ, chúng sinh khu vực nước ngọt, di cư biển, sau quay trở lại vùng nước để sinh sản Tuy nhiên, có nhiều thuộc nhiều loài sống đời vùng nước Hầu hết cá hồi tn theo mơ hình cá di cư bơi ngược dịng sơng để sinh sản, giai đoạn chúng trải qua thời kỳ ăn nhiều lớn lên vùng nước mặn, nhiên, trưởng thành chúng trở lại để đẻ trứng dòng suối nước địa để đẻ trứng cá phát triển qua nhiều giai đoạn khác biệt Cá hồi di cư thời điểm cá hồi, di cư từ biển, bơi đến thượng nguồn sông nơi chúng đẻ trứng sỏi đá Sau đẻ, tất cá hồi Thái Bình Dương Đại Tây Dương chết chu kỳ sống cá hồi bắt đầu lần Sự di cư hàng năm kiện lớn gấu xám Bắc Mỹ, đại bàng đầu hói, sói xám chúng canh bắt cá hồi để tận hưởngthịt cá hồi đầy bổ dưỡng Cho học sinh xem video cá hồi bơi ngược dòng HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH - Trên sơng, dịng chảy đứng n, thuyền chạy vận tốc v thuyền Trên sơng có dịng nước chảy với vận tốc v0 Khi thuyền xi dịng vận tốc xi dịng : v thuyền + v dòng nước HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN - Nêu cơng thức tính vận tốc vật chuyển động ngược dịng nước, xi dịng nước? Energy: lượng Khi thuyền ngược dịng vận tốc ngược dịng : v thuyền – v dòng nước Học sinh lên bảng trình bày Vận tốc cá bơi ngược dòng v-6 (km/h) Thời gian cá bơi để vượt khoảng 300 cách 300km t = (giờ) v−6 -Yêu cầu học sinh nêu hướng làm? - Cách tìm GTLN,GTNN hàm số khoảng Năng lượng tiêu hao cá để vượt khoảng cách 300 v3 E (v) = cv = 300c ( jun), v > v−6 v−6 -Để tìm vận tốc v cho lượng - Coi E(v) hàm số với ẩn v áp tiêu hao ta phải làm gì? dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhỏ hàm số để giải toán E '(v ) = 600cv v−9 ; (v − 6) E '(v ) = ⇔ v = 9; v = (loại v>6) BBT +∞ X E’(x) + E(x) E(9) Để tiêu hao lượng cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên ) (km/h) - Nhận xét xác hóa 10 kết Hoạt động 4: Tích hợp môn sinh học (Giáo dục sức khỏe cho thiếu niên) Cho học sinh xem vi deo 10 nguyên nhân gây nên bệnh cao huyết áp Tuổi tác Di truyền Giới tính Thừa cân Ăn mặn Rượu Bia Căng thẳng Thuốc ngừa thai 10.Lười biếng Tác hại bệnh cao huyết áp Việc cấp cứu kịp thời cho người bị cao huyết áp cần thiết để không để lại di chứng sau Một cách giảm huyết áp tiêm thuốc tiêm để mức giảm huyết áp nhiều tính độ giảm đó? Ví dụ 5:Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G ( x) = 0,025 x (30 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x 11 tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH G ( x) = 0,75 x − 0,025 x , x > HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN - Yêu cầu học sinh nêu hướng giải tốn? - Gọi học sinh trình bày G '( x ) = 1,5 x − 0,075 x ; G '( x) = ⇔ x = ∨ x = 20 X f '( x ) +∞ 12 + f (x) - 100 max G ( x ) = G(20) = 100 x >0 Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20mg Khi đó, độ -Nhận xét xác kết giảm huyết áp l 100 Cng c: Quá trình liên hệ với thực tiễn dạy học Toán giúp học sinh phối hợp chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kĩ thể chức trí tuệ từ thấp lên cao thể qua sơ đồ sau: Bit Thơng hiểu Vận dụng Phân tích Tổng hợp Đánh giá Sơ đồ liên hệ kiến thức đạo hàm với thực tiễn 12 Các kiến thức Đạo hàm Ngun gc thực tiễn Phản ánh thực tiễn Trong nội môn tốn Ứng dụng thực tiễn Trong mơn học khác Trong sống lao động sản xuất Hoạt động : ứng dụng nội toán học Bài tập ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x ≥ 0, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau : S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy Lời giải Ta có : Hoạt động khám phá : Giáo viên định 2 2 3 S = (4 x + y )(4 y + 3x ) + 25 xy = 16 x y + 12( x + y ) + 34 xy hướng 2 2 -Từ giả thiết x + y = có = 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy thể đưa toán 2 ẩn không ? = 16 x y + 12[( x + y ) − 3xy ] + 34 xy, x + y = -Khai triển biểu thức S = 16 x y − xy + 12 cố gắng làm xuất Đặt t = xy Do x ≥ 0; y ≥ nên x + y để sử dụng giả ( x + y )2 1 ≤ xy ≤ = ⇒0≤t ≤ thiết 4 -Chú ý đẳng ≤ t ≤ Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với thức : Ta có f '(t ) = 32t − f '(t ) = ⇔ t = 16 x + y = ( x + y )2 − xy x3 + y = ( x + y )( x − xy + y ) Bảng biến thiên T f’(t) 16 - + Sau khai triển vào x + y = , ta có : S = 16 x y − xy + 12 -Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t = xy -Cần chặn biến t 13 25 12 25 f(t) cách sử dụng bất đẳng thức : ≤ xy ≤ ( x + y )2 191 16 Vậy : f (t ) = f ( 1 0; 191 2+ 2− )= 16 16 x = ; y = 2− 2+ ;y = 4 25 max f (t ) = f ( ) = x = y = 1 2 0; x = 4 Hướng dẫn nhà: Các em nhà nghiên cứu làm tập - Chuẩn bị : Đọc trước “ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ” Bài 1: CÇn phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhËt cã thĨ tÝch V(m3), hƯ sè k cho tríc (k- tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) HÃy xác định kích thớc đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Lời giải toán nh sau: Gọi x, y, h (x, y, h > 0) lần lợt chiều rộng, chiỊu dµi vµ chiỊu cao cđa hè ga Ta cã: k = h ⇔ h = kx x vµ V = xyh ⇔ y = V V = xh kx Nên diện tích toàn phần hố ga là: S = xy + 2yh + 2xh = (2k + 1)V + 2kx kx Hình 2.18 14 áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ x = y =2 2kV , h= (2k + 1)2 3 ( 2k + 1) V Khi ®ã 4k k(2k + 1)V Bài 2: Tõ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có thiết diện ngang hình vuông miếng phụ nh hình vẽ HÃy xác định kích thớc miếng phụ để sử dụng khối gỗ cách tốt (tức diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất) Lời giải toán nh sau: Gọi x, y lần lợt chiều rộng, chiều dài miếng phụ d đờng kính khúc gỗ (hình 2.19) Khi ta có thiết diện ngang xà có cạnh d < x < H×nh 2.19 d d(2 − ) ,0 0) Các ký hiệu r, M, N, Đ, I nh Hình 2.22 Ta có sin α = I N a α M H×nh 2.22 h vµ h = r − a , suy cờng r độ sáng là: r2 a2 C = C(r ) = k (r > a ) r3 ứng dụng Đạo hàm ta có C lín nhÊt vµ chØ r = a a , ®ã h = 2 Ví dụ 6: Một vật đợc ném lên trời xuyên góc so với phơng nằm ngang, vận tốc ban đầu v0 = m/s 17 a) Tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà đạt đợc độ cao (g = 10m/s2) b) Xác định góc để tầm ném cực đại Lời giải toán nh sau: N a) Véc tơ v đợc phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phơng vuông góc với (phơng ngang phơng thẳng đứng) uuuur uuur (hình 2.23) VËt cao nhÊt MN = − MP , ®ã M → K v0 α P x uuur MP = gt (1) , H×nh 2.23 MN = v 20 − MK Suy MN = v 20 − v 20 cos α (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ g2 t = v 20 (1 − cos2 α) ⇔ t = VËy h lín nhÊt vµ chØ t = v sin α g v sin α vµ ®ã: g v sin α maxh = v sin α = g v 20 sin α g b) Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật đợc tính x = MK.2t = v cos α v sin α v sin 2α = g g ứng dụng Đạo hàm hàm f( ) = v 20 sin 2α , cho ta tầm ném cực đại g = 450 Bi 7: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu A B1 B d khởi hành, chạy hớng Nam với hải A1 18 Hình 2.24 lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ HÃy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Lời giải toán nh sau: Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = t = 85t − 70 t + 25 áp dụng Đạo hàm ta đợc d nhá nhÊt (giê), ®ã ta cã d ≈ 3,25 (hải lý) 17 Bi 8: Cần phải dùng thuyền để vợt sang bờ đối diện dòng sông chảy xiết mà vận tốc dòng chảy vc lớn vận tốc vt thuyền Hớng thuyền phải nh để độ dời theo dòng chảy gây nên nhỏ nhất? Lời giải toán nh sau: Giả sử hớng thuyền, hớng dòng nớc chảy theo uur uur véctơ vận tốc v t , v n (hình 2.25) Gọi góc véctơ vận tốc thuyền dòng nớc , y độ dời thuyền sông, ký hiÖu x, h, z, α1 , A, B, C, D, E, B1, K (H×nh 2.25) b C z K x h → Ta cã h.vn = vt.vn.sin α (v× diện tích hình bình hành ACDE) y B dòng nớc chảy, b khoảng cách hai bê vt α1 α B1 D → E A H×nhv 2.25 n Nªn h = vt sin α Do α1 + α = 1800 (tỉng cđa hai gãc cïng phÝa), Suy z = - vtcos α ⇒ x = - (-vtcos α ) ⇒ x = + vtcos α (x = CD - z) MỈt kh¸c ta cã x h = (Do KD // BB1) y b ⇔ y = b( v n + v t cos α) bx = h v t sin α 19 XÐt hµm sè y(α) = b(cot gα + ) v t sin ứng dụng Đạo hàm ta cã y nhá nhÊt cos α = − vt VÝ dơ 9: Mét ngn ®iƯn víi st điện động E điện trở r đợc nối với biến trở R Với giá trị biến trở công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại? Er Lời giải toán nh sau: Theo c«ng thøc: P = RI2 víi I = E R+r E2R P = Suy , ( R > 0) (R + r)2 R Hỡnh 2.26 áp dụng Đạo hàm ta thu đợc P lớn R = r 20