GIẢI PƯOƠNG TRÌNH BẰNG PP ẨN PHỤ

ĐINH VĂN QUYẾT A. MỞ ĐẦU Dạy và học tốn ở trường THPT là một q trình tư duy và sáng tạo. Song song với việc dạy và học định lí và các khái niệm Tốn học, người thầy còn phải dạy và rèn luyện cho học sinh quy tắc và phương pháp giải tốn, cùng với dạy học giải bài tập tốn. Trong thực tế dạy và học tốn hiện nay ở trường THPT, khơng nhiều học sinh có kĩ năng vận dụng lí thuyết để giải được nhiều lớp bài tốn một cách chính xác và khoa học. Từ nhận thức đó tơi xin đưa ra một vài ý kiến và kinh nghiệm của mình xung quanh việc giải bài tập tốn. I. Vị trí, chức năng của bài tập tốn học. Ở trường THPT, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng , kĩ xảo ứng dụng Tốn học vào thực tiễn. Phát triển tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. II. Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài tốn Trong mơn Tốn ở trường THPT có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật tốn để giải. Đối với những bài tốn ấy có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Khơng có một thuật tốn tổng qt nào để giải mọi bài tốn. Chúng ta chỉ có thể thơng qua dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ tìm tòi giải các bài tốn. Thơng thường việc tìm lời giải bài tốn được tiến hành theo bốn bước sau: - Tìm hiểu nội dung bài tốn - Xây dựng chương trình giải - Thực hiện chương trình giải - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Sau đây tơi trình bày một phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình. B. NỘI DUNG Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ * Phương pháp Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ. Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ và tìm nghiệm thỏa điều kiện của ẩn phụ. Bước 3 : Tìm nghiệm PT ban đầu thỏa hệ thức khi đặt ẩn phụ. * Một số dạng thường gặp I. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng dạng : 4 3 2 0,( 0)ax bx cx bx a a+ + + + = ≠ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 1 ĐINH VĂN QUYẾT PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho 2 x ta được 2 2 1 1 0a x b x c x x     + + + + =  ÷  ÷     . Đặt ẩn phụ : 2 2 2 1 1 ; 2 2t x t t x x x = + ≥ ⇒ = + + . PT trở thành : 2 2 0,( 2)at bt c a t+ + − = ≥ .Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.  VD : 4 3 3 7 7 3 0x x x+ + + =  Giải : PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x 2 ta được 2 2 1 1 3 7 0x x x x     + + + =  ÷  ÷     . Đặt ẩn phụ : 2 2 2 1 1 ; 2 2t x t t x x x = + ≥ ⇒ = + + ta có PT : 2 3 7 6 0t t+ − = ⇔ 3 2 3 t t = −   −  =  2 1 3 5 3 3 3 1 0 2 t x x x x x − ± = − ⇒ + = − ⇔ + + = ⇔ = 2 3 t − = ( không thỏa ĐK) 2. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch dạng: 4 3 2 0,( 0)ax bx cx bx a a+ + − + = ≠ PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho 2 x ta được 2 2 1 1 0a x b x c x x     + − − + =  ÷  ÷     . Đặt ẩn phụ : 2 2 2 1 1 ; 2 2t x t t x x x = − ≥ ⇒ = + − PT trở thành : 2 2 0,( 2)at bt c a t+ + + = ≥ .Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.  VD : 4 3 2 3 4 5 4 3 0x x x x− − + + =  Giải : PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho 2 x ta được 2 2 1 1 3 4 5 0x x x x     + − − − =  ÷  ÷     . Đặt ẩn phụ : 2 2 2 1 1 ; 2 2t x t t x x x = − ≥ ⇒ = + − ta có PT : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 2 ĐINH VĂN QUYẾT 2 3 4 1 0t t− + = ⇔ 2 2 1 1 5 1 1 1 0 2 1 1 37 3 3 0 3 2 t x x x x x t x x x  − ± = ⇒ − = ⇔ − − = ⇔ =    ± = ⇒ − − = ⇔ =   3. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ dạng: 4 3 2 2 0,( 0, 0)ax bx cx bkx ak a k+ + + + = ≠ ≠ PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho 2 x ta được 2 2 1 0 k a x b x c x x     + + + + =  ÷  ÷     Đặt ẩn phụ : 2 2 2 2 2 k k t x t x k x x = + ⇒ = + + . PT trở thành : 2 2 0,( 2)at bt c ak t+ + − = ≥ Giải PT này tìm t , từ đó tìm x 4. Phương trình bậc bốn hệ số không đối xứng dạng : 4 3 2 0,( 0)ax bx cx dx e a+ + + + = ≠ Biến đổi PT đã cho về dạng : 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 0A x b x c B x b x c C+ + + + + + = Đặt ẩn phụ : 2 1 1 t x b x c= + + , thu được PT mới : 2 0At Bt C+ + = Giải PT này tìm t , rồi tìm x 5. Phương trình dạng : 2 2 2 ( ) ( )a ax bx c b ax bx c c x+ + + + + + = Đặt ẩn phụ : 2 y ax bx c= + + ta có hệ : 2 2 ay by c x ax bx c y  + + =   + + =   Trừ các vế của PT trong hệ ta được một PT hệ quả, từ đó tìm được x . 6) PT dạng : 2 2 , a b ax bx c px qx r p q   + + = + + =  ÷   Đặt ẩn phụ : 2 ,( 0)t px qx r t= + + ≥ .PT (1) trở thành PT bậc hai ẩn t Từ đó tìm t , rồi tìm x.  VD1 :Giải phương trình: 2 2 4 10 9 2 5 3x x x x+ + = + +  Giải: Đặt ( ) 2 2 2 5 3, 0 2 3 0t x x t t t= + + ≥ ⇒ − + = Phương trình này vô nghiệm vì 0∆ < .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.  VD2: Giải phương trình: 2 2 5 5 4 2x x x x+ + + + =  Giải: ĐK: 2 5 4 0 4 1x x x x+ + ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ − Đặt 2 5 4 ,( 0)t x x t= + + ≥ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 3 ĐINH VĂN QUYẾT 2 3 0 (1) 6 0 2 t t t t = − <  ⇔ + − = ⇔  =  2 2 0 2 5 4 2 5 4 4 5 x t x x x x x =  = ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔  = −  7) PT dạng: ( )( ) ;( 0; 0)a cx b cx d a cx b cx e c d+ + − − + − = > ≠ ĐK : ( ) 0 ( ) 0 a cx b cx + ≥   − ≥  Đặt ẩn phụ : 2 ,( 0) 2 ( )( )t a cx b cx t a cx b cx t a b= + + − ≥ ⇒ + − = − − . PT trở thành dạng : 2 2 ( ) 2 ,( 0)t d t a b e t− − − = ≥ . Giải PT này tìm t từ đó suy ra x.  VD : 1 3 ( 1)(3 ) 2x x x x+ + − − + − =  Giải: ĐK: 1 3x− ≤ ≤ Đặt ẩn phụ: 2 2 1 3 ,( 0) 2 (1 )(3 ) 4 0 2 0 2 1 * 2 3 * 0 t x x t x x t t t t t x t x t PTVN = + + − ≥ ⇒ + − = − =  ⇒ − = ⇔  =  = −  = ⇒  =  = ⇒ 8) PT dạng : 2 2 2 2 ;( 0)x a b a x b x a b a x b cx d a+ − + − + + − − − = + > ĐK : 0x b− ≥ Đặt ẩn phụ : 2 , 0t x b t x t b= − ≥ ⇔ = + . Thay vào PT (2) ta có PT 2 ( )t a t a c t b d+ + − = + + . Giải PT này cần xét hai trường hợp : t a≥ và 0 t a≤ < .  VD : 23 6 9 6 9 6 x x x x x + + − + − − = Giải: ĐK : 9x ≥ Đặt ẩn phụ : 2 9, 0 9t x t x t= − ≥ ⇔ = + ⇔ 2 ( 32) 3 3 6 t t t + + + − = Xét hai trường hợp: 2 8 73 12 32 0 1: 4 25 3 t x t t TH t x t = =  − + =   ⇔ ⇒    = = ≥    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 4 ĐINH VĂN QUYẾT 2 4 2 : 2 13 0 3 t TH t x t  = ⇒ = ⇒ =  ≤ <  9) PT dạng : . ( ) ( ) . ( ). ( ) 0,( 0)a P x bQ x c P x Q x abc+ + = ≠ Nếu ( ) 0P x = thì ( ) 0Q x = Nếu ( ) 0P x ≠ , chia hai vế PT cho P(x) và đặt ( ) ,( 0) ( ) Q x t t P x = ≥ PT trở thành 2 0at bt c+ + = .Giải PT tìm t , suy ra x. 10) PT dạng : ( ) ( ) 2 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) 0,( 0)a P x Q x b P x Q x a P x Q x c a b+ + ± ± + = + ≠ (5) ĐK : ( ) 0 ( ) 0 P x Q x ≥   ≥  Đặt ẩn phụ : 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( )t P x Q x P x Q x P x Q x t= ± ⇒ + ± = PT trở thành 2 0at bt c+ + = .Giải PT tìm t , suy ra x. 11) PT dạng : ( ) ( ) k k f x g x c± = ; trong đó: ( ) ( )f x g x a± = (a là hằng số) Đặt hai ẩn phụ : ( ); ( ) k k u f x v g x= = Thu được hệ : k k u v c u v a ± =   + =   VD : Giải phương trình: 4 4 47 2 35 2 4x x− + + =  Giải: TXĐ 35 47 ; 2 2 D −   =     Đặt: 4 4 47 2 0 35 2 0 u x v x  = − ≥   = + ≥   Ta thu được hệ phương trình: 4 4 4 82 0; 0 u v u v u v + =   + =   ≥ ≥  Đặt 2 4 4 3 32 87 0 29 S S u v S P uv P P P P =  = + =    ⇒ ⇔ =     = − + =     =   TH1: 3 1 4 17 3 23 1 3 u v S x P x u v  =    = = = −     ⇒ ⇒    = = =      =    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 5 ĐINH VĂN QUYẾT TH2: 4 29 S P =   =  vô nghiệm. 12) Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai dạng : ( ) ( ) ( ) 2 a f x b g x c= + (6) ĐK: ( ) 0f x ≥ Đặt hai ẩn phụ: ( ) ( ) 0u f x v g x  = ≥   =   PT đã cho trở thành hệ phương trình hai ẩn.  VD: Giải phương trình 2 6 4x x x+ = +  Giải: TXĐ: [ ) 6;D = − +∞ ( ) 2 2 2 2 2 2 6 4 6 2 4 4 4 6 0 1 0 2 4 4 x x x x x u v v u u v u x v u v x u v u v + = + ⇔ + = + −    = − = + =  = + ≥    ⇒⇔ ⇔ ⇔     + + = = + = + = +        * 2 173 +− =⇒= xvu * 2 135 01 +− =⇒=++ xvu 13) Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba dạng : 3 3 ( )ax b r ux v dx e+ = + + + (7) Đặt ẩn phụ : 3 3 ( )ax b uy v uy v ax b+ = + ⇔ + = + . PT đã cho trở thành hệ : 3 3 ( ) ( ) ( ) r uy v arx br r ux v uy ar u x br  + = +   + = + − +   Trừ theo vế các PT trong hệ tìm được u , v , x.  VD : 3 2 3 3 5 8 36 53 25x x x x− = − + − II. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 1. Tích của hai cơ số bằng 1(Các cơ số dương và khác 1) a. Đối với mũ : ( ) ( ) . . f x f x a A b B c+ = và A.B=1 Đặt : ( ) ( ) 1 0 f x f x t A B t = > ⇒ = Thu được phương trình : 2 0at ct b− + = với t > 0 Giải phương trình tìm t , suy ra x. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 6 ĐINH VĂN QUYẾT  VD1 : ( ) ( ) 3 5 21 3 5 21 2 x x x+ − + + =  Giải : Chia cả hai vế PT cho 2 x và đặt ( ) 2 5 21 0 8 3 0 2 x x t t t − = > ⇒ − + = ( ) 5 21 2 4 2 3 log 4 2 3t x − ⇔ = ± ⇒ = ± b. Đối với logarit (cơ số dương và khác 1) log ( ) log ( ) a b f x g x c+ = với a.b=1 Đặt log ( ) log ( ) log ( ) a b a t f x g x g x= ⇒ = − . Khi đó đưa phương trình về cùng một cơ số  VD : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2log 1 log 1 1 1x x x x + − + + + + − =  Giải: Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 * 2 3 2 3 1 2 3 2 3 * 1 1 1 1 1x x x x x x x x − − + − = ⇒ − = + + + + − = ⇒ + − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2log 1 log 1 1 1 log 1 1 2 3 3 x x x x x x x x α + + + ⇔ + + + + + = ⇔ + + = ⇔ + + = + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * 1 1 1 2 1 * 1 2 x x x x x x x x hn α α α α α α α α α α α ≥  ≥    + = − ⇔ ⇔   − + = − =     − ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥ − ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 2 3 x α α + − − ⇒ = = + 2. Đặt toàn bộ PT bằng một ẩn phụ t PP : - Đặt toàn bộ phương trình bằng một ẩn phụ , chẳng hạn ẩn t - Chuyển PT về hệ PT , giải tìm t sau đó tìm x.  VD : ( ) 3 2 log log 1 0x x− + =  Giải: ĐK: x>0 Đặt ( ) 3 2 log log 1t x x= = + ⇒ ( ) 3 2 log log 1 t x t x =    = +   ⇒ 3 1 2 t t x x  =   + =   ⇒ ( ) 3 1 3 2 t t t x  =   + =   ( ) 1 3 1 3 2 1 2 2 t t t t     ⇔ + = ⇔ + =  ÷  ÷  ÷     GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 7 ĐINH VĂN QUYẾT Vế trái là hàm số nghòch biến ,vế phải là hàm số không đổi , suy ra phương trình có nghiệm duy nhất t = 2. Vậy x= 9 là nghiện của PT đã cho. 3. Đặt ẩn phụ nhưng ẩn của x vẫn còn PP : - Có thể đặt ẩn phụ t nhưng ẩn củ x vẫn còn - Đưa PT về PT ẩn phụ t và xem x là tham số - Giải tìm t theo x , sau đó tìm x.  VD : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 log 1 4 1 log 1 16x x x x+ + + + + =  Giải: ĐK: x>-1 Đặt: ( ) ( ) ( ) 2 3 log 1 2 4 1 16 0t x x t x t= + ⇒ + + + − = ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 80 4 1 81 ' 4 3 0 4 4 log 1 * 2 2 t x x x t x x x −  = − ⇒ = > −  ∆ = + ≥ ∀ ⇒   = ⇒ + =  + +  Xét PT(*) ta có: ( ) 2 4 4 : ' 0 2 2 2 VP y y x x x − = ⇒ = < ∀ ≠ − + + hàm số nghòch biến ( ) ; 2−∞ − và ( ) 2;− +∞ ( ) 3 : log 1VT y x= + hàm số đồng biến trên ( ) 1;− +∞ Suy ra PT(*) có nghiệm duy nhất x=2. Vậy PT có hai nghiệm: 80 2; 81 x x − = = III. PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẤU HIỆU Ẩn phụ Điều kiện ẩn phụ Biểu thức cần tính sin cos t ax t ax =   =  1 1t− ≤ ≤ Phụ thuộc vào bài toán cụ thể sin cost x x= + 2 2t− ≤ ≤ 2 1 sin .cos ; 2 t x x − = cos sint x x= − 2 2t− ≤ ≤ 2 1 sin .cos ; 2 t x x − = GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 8 ĐINH VĂN QUYẾT tan cott x x= + 2t ≥ 2 2 2 tan cot 2x x t+ = − 3 3 3 tan cot 3x x t t+ = − tan cott x x= − t R∈ 2 2 2 tan cot 2x x t+ = + 1. Phương trình dạng : ( ) sin cos sin .cosa x x b x x c+ + = Đặt ẩn phụ : sin cos 2 cos 4 t x x x π   = + = −  ÷   ĐK của ẩn phụ là : 2 2;t− ≤ ≤ Suy ra : 2 1 sin .cos ; 2 t x x − = Thu được PT mới ẩn phụ t như sau : 2 2 ( 1) 2 ( 2 ) 0 2 b t at c bt at b c − + = ⇔ + − + = . * Chú ý 1: Nếu phương trình dạng : ( ) cos sin sin .cosa x x b x x c− + = thì đặt ẩn phụ: cos sin 2 cos 4 t x x x π   = − = +  ÷   ĐK của ẩn phụ là : 2 2t− ≤ ≤ Suy ra : 2 1 sin .cos 2 t x x − = Thu được PT mới ẩn phụ t như sau : 2 2 (1 ) 2 2 0 2 b t at c bt at b c − + = ⇔ − + + − = * Chú ý 2: Phương trình có dấu giá trò tuyệt đối dạng sin cos sin .cosa x x b x x c+ + = Thì ta đặt: 2 1 sin cos ;0 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = + ≤ ≤ ⇒ = * Chú ý 3: Phương trình có dấu giá trò tuyệt đối dạng cos sin sin .cosa x x b x x c− + = Thì ta đặt: 2 1 cos sin ;0 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = − ≤ ≤ ⇒ =  VD1 : Giải phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 9 ĐINH VĂN QUYẾT ( ) 3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + =  Giải : Đặt ẩn phụ : sin cos 2 cos 4 t x x x π   = + = −  ÷   ĐK của ẩn phụ là : 2 2;t− ≤ ≤ Suy ra : 2 1 sin .cos ; 2 t x x − = Thu được PT mới ẩn phụ t như sau: 2 2 1 4( 1) 3 3 0 2 3 1 0 1 2 2 t t t t t t = −  −  + + = ⇔ + + = ⇔ −  =  Với 1 sin cos 2 cos 1 cos 4 4 2 t x x x x π π −     = + = − = − ⇒ − =  ÷  ÷     Với 1 1 sin cos 2 cos cos 4 2 4 2 2 t x x x x π π − −     = + = − = ⇒ − =  ÷  ÷      VD2: Giải phương trình sin cos sin .cos 1x x x x+ + =  Giải: Đặt 2 1 sin cos ;0 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = + ≤ ≤ ⇒ = Thu được phương trình: 2 2 1 1 1 2 3 0 3 2 t t t t t t =  − + = ⇔ + − = ⇔  = −  * 3:t PTVN = − 1 1 * 1 sin cos 1 cos cos 4 4 2 2 t x x x x π π ±     = ⇒ + = ⇔ − = ⇔ − =  ÷  ÷      VD3: Giải phương trình 3 3 3 1 sin 2 cos 2 sin 4 2 x x x+ + =  Giải: ( ) ( ) 3 3 3 1 sin 2 cos 2 sin 4 2 1 sin 2 cos 2 1 sin 2 .cos2 3sin 2 .cos 2 x x x x x x x x x + + = ⇔ + + − = Đặt: sin 2 cos 2 2 cos 2 4 t x x x π   = + = −  ÷   Điều kiện: 2 2t− ≤ ≤ 2 1 sin 2 .cos 2 2 t x x − ⇒ = Thu được phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 2 5 0 1 1 2 5 0 2 t t t t t t t t  + + − = = −   ⇔ ⇔ = −   + − = ≤    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 10 [...]... PT đã cho có nghiệm  Giải: π + kπ ⇒ cos x = 0 ⇒ m = 2 vậy m=2 là một giá trò cần tìm 2 π Nếu x ≠ + kπ ⇒ cos x ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 thì ta chia hai vế của phương trình cho cos x ≠ 0 Thu được phương 2 trình: Nếu x = tan 2 x − tan x − 1 = m ( 1 + tan 2 x ) ⇔ ( 2 − m ) tan 2 x − tan x − m − 1 = 0 2 Đặt t = tan x; t ∈ R ⇒ ( 2 − m ) t − t − m − 1 = 0 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 11 ĐINH VĂN QUYẾT m... ta chia hai vế của phương trình cos x ≠ 0 ta thu được phương trình: ( ) 3 tan 2 x + 3 + 3 tan x + 3 = 0   tan x = −1 x =  ⇔ ⇔  tan x = − 3 x =  3     VD2 : Giải phương trình: −π + kπ 4 −π + kπ 6 3sin 2 x + 2 3 sin x cos x + cos 2 x = 1  Giải: Nhận thấy cos x = 0 không là nghệm của phương rình đã cho nên ta chia hai vế của phương trình cos x ≠ 0 ta thu được phương trình: 3 tan 2 x + 2 3 tan...  4 2 Phương trình dạng: a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos 2 x = d * Cách giải : B1 :Kiểm tra cos x = 0 có phải là nghiệm của PT hay không ? B2 : Khi cos x ≠ 0 chia cả hai vế của PT cho cos 2 x và đặt ẩn phụ t = tan x ta thu được một PT mới như sau : at 2 + bt + c = d (1 + t 2 ) ⇔ (a − d )t 2 + bt + c − d = 0  VD1: Giải phương trình: ( ) 3sin 2 x + 3 + 3 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0  Giải: Nhận thấy... Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  1 + 10 ≤m≤ ∆ ≥ 0   2 2 Vậy phương trình có nghiệm khi 1 − 10 1 + 10 ≤m≤ 2 2 2 2 3 Phương trình dạng: a ( tan x + cot x ) + b ( tan x + cot x ) + c = 0 Đặt ẩn phụ: t = ( tan x + cot x ) = Điều kiện: t = 2 sin 2 x 2 ≥2 sin 2 x Khi đó: tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 2 2 Thu được phương trình: a ( t − 2 ) + bt + c = 0 ⇔ at + bt + c − 2a = 0  VD: Tìm m để phương trình. .. < 0 ∀t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t Vậy hàm số nghòch biến trên các khoảng xác đònh, ta có: f(-2) = 4 và f(2) = -4 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: m ∈ ( −∞; −4] ∪ [ 4; +∞ ) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 12 ... + c = 0 ⇔ at + bt + c − 2a = 0  VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 ( tan 2 x + cot 2 x ) + m ( tan x + cot x ) + 2 = 0  Giải: Đặt ẩn phụ: t = ( tan x + cot x ) = Điều kiện: t = 2 sin 2 x 2 ≥2 sin 2 x Khi đó: tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 −3t 2 + 4 Thu được phương trình: 3 ( t − 2 ) + mt + 2 = 0 ⇔ 3t + mt − 4 = 0 ⇔ m = t 2 2 −3t 2 + 4 ; t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) ⇒ f ' ( t ) < 0 ∀t ∈ ( −∞; −2] . phương trình bằng cách đặt ẩn phụ * Phương pháp Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ. Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ. = + 2. Đặt toàn bộ PT bằng một ẩn phụ t PP : - Đặt toàn bộ phương trình bằng một ẩn phụ , chẳng hạn ẩn t - Chuyển PT về hệ PT , giải tìm t sau đó tìm x.