Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 06)

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 6) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) x3 − ≤ x − x − + x + Ví dụ 2: Giải bất phương trình 10 x − 50 x − ≥ x − x + − x − Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi E trung điểm cạnh BC , 2 3  1  phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE  x −  +  y −  = ( C ) , biết đường thẳng DE 2  2  có phương trình: x − y − = Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ âm Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 5;3) , tia đối tia BC lấy điểm D ( 9;5) cho AB = BD , biết tâm đường tròn bàng tiếp góc A tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y − = x + y − 28 = Tìm toạ độ đỉnh B; C Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình 3x − 12 x + ≤ x3 − + x − x Lời giải 3 x − 12 x + ≥  Điều kiện  x ≥ ⇔ x ≥ x x − ≥ )  ( Bất phương trình cho tương đương với 3x − 12 x + ≤ x3 + x − x − + ⇔ x3 − x + 10 x − + ( x − 1)( x − ) (x ( x − 1) ( x + x + 1) x ( x − ) + x + 1) x ≥ ⇔ ( x3 + x + x ) − ( x − x + ) + x − x + x + x + x ≥ ⇔ − Đặt x2 − 3x + x − 3x + + ≥0 x3 + x2 + x x3 + x + x [∗] x − 3x + = t ( t ≥ ) x3 + x + x ≤ t ≤ ⇒ t ≤ ⇔ x − 3x + ≤ x3 + x + x ⇔ x3 + x + ≥ Nhận thấy [1] nghiệm với x ≥ Kết luận nghiệm S = [ 2; +∞ ) [∗] ⇔ − 3t + 2t ≥ ⇔ − Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình [1] x3 + x + 10 x + 20 − x3 − 27 ≤ x Lời giải  x3 + x + 10 x + 20 ≥  Điều kiện  x3 ≥ 27 ⇔ x ≥ x ≥  Bất phương trình cho tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY x3 + x + 10 x + 20 ≤ x3 + x − 27 + www.Moon.vn ( x − 3) ( x + x + ) x ⇔ x + x + 47 ≤ x ( x − 3) x + x + ⇔ x − 3x + ( x + x + ) ≤ x − 3x x + 3x + ⇔ x2 − 3x x2 − 3x + ≤ x + 3x + x + 3x + x − 3x = t ( t ≥ ) [1] ⇔ t + ≤ 4t ⇔ ( t − 1)( t − 3) ≤ ⇔ ≤ t ≤ ⇔ ≤ x + 3x +  x + 3x + ≤ x − x 6 x + ≤ ⇔ ⇔ [ 2] (Hệ vô nghiệm x ≥ )  2 8 x + 30 x + 81 ≥  x − 3x ≤ ( x + 3x + ) Kết luận bất phương trình cho vô nghiệm Đặt [1] x − 3x ≤3 x2 + 3x + Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ( −2;0 ) , gọi E hình chiếu A BC F điểm đối xứng E qua A, biết trực tâm tam giác BCF H ( −2;3) trung điểm BC thuộc đường thẳng d : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh B,C tam giác ABC Lời giải: Gọi K trung điểm BE dễ thấy AK đường trung bình tam giác  AK / / BF ⊥ AH EFB ta có:  ⇒ H trực tâm tam giác AKC  AE ⊥ CK KH ⊥ AC ⇒ HK / / AB HK đường trung bình ∆ABE 1  Do E ( −2;6 ) ⇒ BC : y = suy trung điểm AB M  ;6  2  t −2  Gọi B ( t ; ) ⇒ C (1 − t ; ) ; K  ;6   t = t+2 Lại có: CH AK = ⇔ ( t − 3) + ( −3) = ⇔   t = −6 Với t = ⇒ B ( 7; ) ; C ( −6; ) Với t = −6 ⇒ B ( −6; ) ; C ( 7; ) Đáp số: B ( 7;6 ) ; C ( −6;6 ) ngược lại điểm cần tìm  − x − y + 4x − = y ,  Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  y2 +1 x +1 = y + x2 +  Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ 0;3 − x − y ≥ Phương trình thứ hai tương đương ( x − y + 1) x2 + = y + ⇔ ( x − y ) x2 + + x2 + − y2 + =   x+ y =0 = ⇔ ( x − y )  x2 + + 2   x2 + + y + x + + y +   x+ y >0⇒ x= y Vì điều kiễn xác định dẫn đến x + + x +1 + y2 +1 ⇔ ( x − y ) x2 + + x2 − y Phương trình thứ trở thành − 2x + 4x − = x Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY Điều kiện 3 ≤ x ≤ Phương trình cho trở thành 4 www.Moon.vn 3 −2 + 4− = x x 3 − = a; 4 − = b, ( a ≥ 0; b ≥ ) , để ý a + b = 2; a ≥ 0; b ≥ ⇒ a; b ∈ [ 0; 2] ⇒ ab ≤ x x Ta thu hệ phương trình a + 2ab + b = a + b = 2 ⇔ ⇒ ( − 2ab ) − 2a 2b =  4 2 2 a + b = ( a + b ) − 2a b = Đặt ⇔ ( − ab ) − a 2b = ⇔ a 2b − 8ab + = ⇔ ( ab − 1)( ab − ) = Loại trường hợp ab = Với ab = ⇒ ( − x )( x − 3) = x ⇔ x − 18 x + = ⇔ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = y = Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm AB, N thuộc BD cho BN = 3ND, đường thẳng CN có phương trình x + y − = M (3;5) Xác định toạ độ đỉnh C hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ dương Lời giải: Gọi I tâm hình vuông G = BI ∩ CM suy G trọng tâm tam giác 2a ABC Đặt AB = 2a ta có: CG = CM = ; BD = 2a 3 Khi đó: GI = a a 5a a 10 ; IN = ⇒ GN = ; CN = CI + IN = Do vâỵ cos GCN = GC + CN − GN = ⇒ MCN = 450 2GC.CN Ta có: MC.sin GCN = d ( M ; CN ) = 10 ⇒ NC = 20 t = ⇒ C ( −16;3) ( loai ) 2  8 Gọi C ( − 3t ; t )  t <  ta có MC = 20 ⇔ ( − 3t ) + ( t − ) = 20 ⇔   3 t = ⇒ C ( 5;1) Vậy C ( 5;1) điểm cần tìm  y2 ( x2 + x x2 + ) = + y +  Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  ( 3x − x − ) x  = y 3x − x − x − 3x  Lời giải: ĐK : x ≥ 1; x ≠ 3; y > Xét phương trình (1) ta có y ( x + x x + ) = + y + ⇔ x2 + x x2 + = 1 + y2 y +5 y2 1 Xét hàm số f (t ) = t + t t + với t > ⇒ f ( x) = f    y Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY Ta có f '(t ) = 2t + t + + t2 t2 +1 www.Moon.vn > với ∀t ≥ 1 1 Mà f ( x) = f   ⇒ x = ⇔ y = y x  y 3x x − x vào phương trình (2) ta = 3x − x − ( ) x x x−3 3x + x − ⇔ = x − x − ⇔ x − x − + x − = ( x − 3) x − x − x −3 Thay y = t = Đặt t = 3x − x − , suy phương trình (2) tương đương với t − ( x − 3) t + x − = ⇔  t = x − x = ⇒ y = Với t = ⇒ x − x − = ⇒   x = − (loai )    x = 2(loai )    x − 27 x + 50 =    x = 25 ⇒ y = Với t = x − ⇒ x − x − = x − ⇔  ⇔  25 x ≥   x ≥    Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm (1;1)  25;  25   Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B (1;3) 5 5 diện tích 30 Gọi E điểm thuộc cạnh BC cho EC = EB , điểm H  ;  hình chiếu H 2 2 lên đường thẳng DE Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết C có tung độ âm Lời giải: Gọi K giao điểm DE ∩ AB EB BK Ta có: = ⇒ BK = CD Khi ta có: EC CD S ABCD = BC.CD = 3BE.2 BK = 30 ⇒ BE.BK = (1) Mặt khác: 1 + = = ⇔ BE + BK = 10 ( ) 2 BE BK BH Từ (1) (2) suy BE = BK = ⇒ BC = Phương trình đường thẳng DE qua H vuông góc với BH là: x − y − = t − xC = (1 − t ) Gọi E ( t;3t − ) ta có: CE = EB ⇔  ⇒ C ( 3t − 2;9t − 21) 3t − − yC = ( − 3t + ) t = ⇒ C ( 4; −3) 2 Khi đó: BC = 45 = ( 3t − 3) + ( 9t − 24 ) ⇔ t − 5t + = ⇔  t = ⇒ C ( 7;6 ) ( loai ) Do C ( 4; −3) phương trình CD là: x − y − 10 = ⇒ D ( 0; −5 ) ⇒ A ( −3;1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!