Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng ( ) x ( x + y ) − y2 + x = y y + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x ( y + 1) + = ( x + y − 1) + y + x3 + ( x + y ) x + y − + 2 y − = y − 33 y + 29 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 4 x + x + y + = ( x + 1) y + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, 1 N − ; điểm cạnh AC cho AN = AC Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD 2 biết đường thẳng DM có phương trình x − = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có M điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB , đường tròn tâm I ( 0;3) đường kính CM cắt đường thẳng BM D (D khác M), biết đường thẳng CD: x + y − 13 = đường thẳng BC qua điểm K ( 7;14 ) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C điểm C có hoành độ dương x + x − xy + y = xy + xy − y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x + y x + = x − y Lời giải: 2 ĐK: x − xy ≥ 0; xy − y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ Từ phương trình (1) ta có x + x − xy + y = xy + xy − y 2 ⇔ ( x − y ) 1 + x − xy + xy − y = ⇒ (x − y) = ⇒ x = y >0 Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + y x + = x − y ⇔ x2 + x x + = x − x ⇔ ( x + x ) − ( x + x ) + = 2 −1 + −1 + x + x = x = −1 ± ⇔ ⇒ ⇒ x = ⇒ y = 2 x + x = x=4 y=4 x = −1; x = −1 + −1 + 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; , ( 4; ) x − y + y2 + x − y + = y + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x − 16 y + = y x + y Lời giải: Từ phương trình (1) ta có x − y + y2 + x − y + = y + Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 1 ⇔ ( x − 2y) + = ⇔ x = 2y x − 2y + + x − 2y + y + y >0 Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + = x x + ⇔ x2 + = 2x x + y 4 ⇔ x + − x + −8 = x x x t=2 Đặt t = x + (t > 0) ⇒ t − 2t = ⇔ x t = (loai ) = ⇔ x2 − x + = ⇔ x = ⇒ y = x Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y ) = (2;1) Với t = ⇒ x + Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tia đối tia BA 12 29 cạnh BC lấy điểm E F cho BE = BF , gọi N ; giao điểm 5 đường thẳng CE AF, biết phương trình đường thẳng EF : y − = B ( 3; ) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Lời giải: Dễ thấy EF / / BD (vì tạo với AB góc 45 ) EF ⊥ AC Khi đó: ⇒ AF ⊥ CE ( F trực tâm ) CB ⊥ AB Phương trình BD : y − = , gọi I ( t ; ) ta có: IB = IN 2 29 12 Khi đó: ( t − 3) = − t + − ⇔ t = ⇒ I ( 0; ) Từ suy D ( −3; ) phương trình AC : x = u = ⇒ A ( 0;1) Gọi A ( 0; u ) ta có: AB AD = ⇔ −9 + ( − u ) = ⇔ u = ⇒ A ( 0;7 ) Vì A B phía với EF nên ta loại A ( 0;7 ) Khi đó: A ( 0;1) ; C ( 0;7 ) Vậy A ( 0;1) ; B ( 3; ) ; C ( 0;7 ) ; D ( −3; ) điểm cần tìm ( y − 2) 2 x y + 3y + x +1 = y + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y − y −1 xy + x + y − = ( x + ) x + Lời giải ĐK : y ≥ 1; x ≥ − ; y − y − ≠ Xét phương trình (1) ta có x y + y + x + = y + 2 ( y − 2) y − y −1 ⇔ x2 y + y − y2 + x2 + − y − = 2 ⇔ ( x2 + − y ) y + = 0⇒ x +2− y = ⇔ y = x +2 x +1 + y −1 >0 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Thay ⇔ y = x + vào phương trình ta có xy + x + y − = ( x + ) x + ⇔ x3 + x + x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + ) + ( x + ) + ( x + ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + 5t với t > Ta có 3t + 2t + > với ∀t > Suy hàm số đồng biến f ( t ) với ∀t > x = ⇒ y = x + 1) ⇒ x + = 4x + ⇒ x2 − x = ⇔ x = ⇒ y = Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, hệ phương trình cho có nghiệm (2; 6) (0; 2) Mà f ( x + 1) = f ( Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm AB, N thuộc BD cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình x + y − 13 = N (2; 2) Xác định toạ độ đỉnh C hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn Lời giải: Gọi I tâm hình vuông G = BI ∩ CM suy G trọng tâm tam 2a giác ABC Đặt AB = 2a ta có: CG = CM = ; BD = 2a 3 Khi GI = a a 5a a 10 ; IN = ⇒ GN = ; CN = CI + IN = Do vâỵ cos GCN = GC + CN − GN = ⇒ MCN = 450 2GC.CN Ta có NC.sin GCN = d ( N ; CM ) = ⇒ NC = 10 t = ⇒ C ( 4;1) 2 Gọi C ( t ;13 − 3t ) ( t > 3) ta có NC = ⇔ ( t − ) + (11 − 3t ) = ⇔ t = loai ( ) Vậy C ( 4;1) điểm cần tìm Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015