Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 3) Thầy Đặng Việt Hùng 2 x + x − y = y + x + y + x + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + + x + y = y − x + 14 x − 20 x + y + x − xy + y = x + y + xy Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( x + y + 1) x + x + y + = xy + x + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD cạnh AD, AB lấy AB điểm E , F cho AE = AF = , K hình chiếu F CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng 6 2 BE H ; , biết điểm F (1; ) Tìm toạ độ đỉnh C hình vuông ABCD 5 5 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A, gọi M trung điểm BC, G 5 1 trọng tâm tam giác ABM, điểm D ; − điểm thuộc đoạn MC cho GA = GD Tìm toạ 3 đỉnh tam giác ABC biết A có hoành độ không dương đường thẳng AG có phương trình y + = y2 − y xy x y + + − = + y +2 Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + x + = xy + x − Lời giải: y − 4y Từ phương trình (1) ta có xy + x + − y = + y +3 y +2 ⇔ (x − y ) y + x+3+ =0⇒ x= y + y +3 y hay y = x >0 Thay y = x vào phương trình (2) ta có y + 3x + = xy + y + x + ⇔ ( x + x + ) + ( x − 1) = ( x + 1) ( x + x + ) Đặt A = x + x + 4; A > B = x + 1; B > ⇒ A + B = AB ⇔ A2 + AB + B = AB ⇔ ( A − B )( A − B ) = A = B ⇔ x + x + = x + (vn0 ) ⇔ x = ⇒ y = A = 4B ⇔ x2 + x + = x + ⇔ x = −3 (loai ) Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = (0; 0) x3 − xy + x + x + = x + y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x 11 − y + = y Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn x2 − y + ≥ ĐK: x ≥ 0 ≤ y ≤ 11 Từ PT đầu ta có ⇔ x3 − xy + x + x + = x + y ⇔ x3 − xy + x − x = x3 − xy + x x3 − xy + x + x = y − x2 − y + x2 + y − x2 − = x ⇔ = x − xy + x + x x ( x − y + 1) ⇔ −1 y + x2 + ( L) x3 − xy + x + x = y − x2 + y − x2 − y + x2 + ⇒ y = x2 + Thay vào PT ta có x 11 − ( x + 1) + = x + ⇔ x 10 − x + − x = t = ⇒ x = ±3 ⇒ y = 10 Đặt: t = x − ⇒ x − t = t ⇒ x ( − t ) = t ⇔ ( t + )( − t ) = t ⇔ t = ⇒ x = ± 10 ⇒ y = 11 { Kết hợp ĐK ta có: ( x; y ) = ( 3;10 ) , ( )} 10;11 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông B có phân giác 15 AD với D ; thuộc BC Gọi E, F điểm thuộc cạnh AB AC cho AE = AF 2 11 Đường thẳng EF cắt BC K Biết điểm F ; , E có tung độ dương phương trình đường thẳng 2 AK : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC Lời giải: Gọi I giao điểm AD EF Do tam giác AEF cân A có phân giác AI nên: AI phân giác đồng thời đường cao trung tuyến KE ⊥ AD Ta có: ⇒ DE ⊥ AK Do đương thẳng DE qua AB ⊥ KD 15 D ; vuông góc với AK Khi ta có phương trình 2 31 31 DE : x + y − = Vì E thuộc DE nên ta gọi E t ; − 2t 2 15 Dễ thấy DE = DF ⇔ t − + (15 − 2t ) = 2 17 17 t = ⇒ E ; − ( loai ) ⇔ ( 2t − 15 ) = ⇔ 13 13 t = ⇒ E ; ⇒ I ( 6; ) ⇒ AD : x + y − = 2 Khi A = AD ∩ AK ⇒ A ( 5;3) ⇒ AC : x + y − 18 = 0; AB : x + y − 14 = 0; BC : 3x − y − 22 = 20 Do A ( 5;3) ; B ( 8; ) ; C ; −2 toạ độ điểm cần tìm x3 + y + ( x + y )( 3xy + 1) = 2, Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 x + + − y + x ( − y ) = x + 10 Lời giải Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Điều kiện x ≥ −1; y ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với x3 + y + xy ( x + y ) + x + y = ⇔ ( x + y ) + x + y = Đặt x + y = t ⇒ t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + ) = ⇔ t = ⇒ y = − x Phương trình thứ hai trở thành x + + x + + x ( x + 1) = x + 10 ⇔ x + − + x + − 15 = x − x − x − ⇔2 ⇔ ( ) ( x +1 − + ( x − 3) + ) x + − = ( x − ) ( x3 + x + x + 3) ( x − 3) = ( x − 3) ( x + 1) + x+6 +3 x +1 + x = ⇔ + = ( x + 1) + (1) x + + x+6 +3 5 Để ý + ≤ + < 2, ∀x ≥ −1 ( x + 1) + ≥ 2, ∀x ≥ −1 x +1 + x+6 +3 +3 Do + < ( x + 1) + 2, ∀x ≥ −1 ⇒ (1) vô nghiệm x +1 + x+6 +3 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x = , hệ có nghiệm x = 3; y = −2 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1) Gọi M trung điểm BC N thuộc AC cho AC = 4AN Biết MN: 3x − y − = yM > Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải: Do NDM = IDC = ICM = 45 tứ giác NDCM tứ giác nội Gọi I tâm hình vuông ABCD ta có: tan NDI = tan MDC = tiếp suy DNM = 900 ⇒ ∆DNM vuông cân N Phương trình đường thẳng DN : x + y − = ⇒ N = DN ∩ MN ⇒ N ( 2; ) , gọi M ( t ;3t − ) ta có: MN = ND ⇒ M ( 3;5 ) Dễ thấy KD = −2 KM ( với K trọng tâm tam giác BCD) 5 − xK = −2 ( − xK ) 11 11 Khi ⇒K ; 3 3 1 − y K = −2 ( − y K ) Lại có: KN 5 5 11 11 5 = ⇒ KN = − KC ⇔ − ; − = − xC − ; yC − ⇒ C ( 5;5 ) KC 4 4 3 3 ( ) ( x + + x + x + ) y + − y = y Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x − 16 y + 42 = + x − Lời giải: ĐK: x ≥ Xét phương trình (1) ta có ( x + + x + x + ) ( ) y2 +1 − y = y Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY ⇔ ( x + 1) + x + Xét hàm số f (t ) = t + t t + với t > ⇒ Ta có: f '(t ) = 2t + t + + Mặt khác: f Thay ( t t2 +1 ( f( www.Moon.vn x + 1) + = y + y y + x + ) = f ( y) > Suy hàm số f (t ) đồng biến với ∀t > x + ) = f ( y) ⇒ x + = y x + = y vào phương trình (2) ta có x − 16 y + 42 = + x − ⇔ x − 16 x + 28 = + x − ⇔ x − x + 15 − x − = ⇔ x − x + 12 + x − − x − = ⇔ ( x − x + 12 ) + =0 x − + 2x − x = ⇒ y = x − x + 12 = ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 1 + =0 x − + x − x − x + ⇔ x = 3− ⇒ y = 2− ≤ x ≤ { ( Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 6; ) ; ( 2; ) ; − 2; − )} Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015