Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 4) Thầy Đặng Việt Hùng x + y + 2x + y + x − y = 3 y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x2 − y + 1 − y + x = y − 3x + x3 + x + x = y + y + y + xy ( x − y ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình − x + x − y + x ( y + 1) = Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB qua điểm E ( −5; −1) Gọi M , N ( 2; −2 ) trung điểm BC DC; H giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB hoành độ điểm A không âm Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có điểm C (1;7 ) nội tiếp đường tròn ( C ) tâm I Đường thẳng vuông góc với AI A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC điểm thứ K ( −2;6 ) , biết điểm I có hoành độ dương đường thẳng AI qua E ( 0; ) Tìm toạ độ đỉnh A, B ( y + 1) x + = + ( x + 1)( y − 1) (1) Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + ( x − 1) + y ( y − x ) = + 3x −1 + x + (2) Lời giải x + ≥ ĐK: ⇔ ( x − 1) + y ( y − x ) ≥ (*) ( x − 1) + y ( y − x ) ≥ Khi (1) ⇔ y x + + x + = + xy − x + y − ⇔y ⇔ ( ) x + − x + x + + x − y − = ⇔ y 3y −3+ x − y + x +3 = ⇔ x+ x +3 x2 + − x2 x +3 + x ( y − x − x2 + x+ x +3 − + x − y + x2 + = )− (y−x− ) x2 + = y − x − x2 + = y = x + x2 + ⇔ y− x− x +3 − 1 = ⇔ ⇔ = x + x + = x+ x +3 x + x + ( • ) 3 − x ≥ x ≤ x ≤ TH1 x + x + = ⇔ x + = − x ⇔ ⇔ ⇔ x =1 ⇔ 3 = − x x = x + = ( − x ) Thế x = vào (2) ta y + y ( y − ) = + + Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn y ≤ y ≤ 4 − y ≥ y − 2y = − y ⇔ ⇔ 8⇔ y= ⇔ −2 y = 16 − y y = y − y = ( − y ) ⇔ 8 Kết hợp với (*) ⇒ ( x; y ) = 1; nghiệm hệ 3 • TH2 y = x + x + Ta có (2) ⇔ y − x + − − 3x −1 + x − xy + y − x + = ⇔ y − x + − − 3x −1 + ( y − x) − x + = (x + Mà y = x + x + ⇒ x + x + − x + − − 3x −1 + ⇔ x − − 3x −1 + x − x + + = ⇔ x − + ( x − 1) ) x2 + − x − x + = + = 3x −1 Đặt x − = t ( t ∈ ℝ ) Phương trình t + t + = 3t (3) t + > t = t ≥ −t ⇒ t + t + > 0, ∀t ∈ ℝ Với ∀t ∈ ℝ có ) ( ) ( Do (3) ⇔ ln t + t + = ln ( 3t ) ⇔ ln t + t + − t ln = (4) ) ( Xét hàm số f ( t ) = ln t + t + − t ln = với t ∈ ℝ có t t2 + + t f '(t ) = 1 + = > 0, ∀t ∈ ℝ = 2 2 t + t +3 t +3 t + t +3 t +3 t +3 ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ Do ℝ phương trình f ( t ) = có nghiệm có nghiệm Mà f (1) = ⇒ t = nghiệm (4) Với t = ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = + 22 + = + ( ) Kết hợp với (*) ⇒ ( x; y ) = 2; + nghiệm hệ ( ) Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = 2; + , 1; x + + x + y − xy ( x − y ) = + y + (1) Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình (2) − y + x + = x ( y − 1) + x − x + y − xy ( x − y ) ≥ ĐK: x ≥ −2 (*) −4 ≤ y ≤ Lời giải: Khi (1) ⇔ x + − y + + x + y − xy ( x − y ) − = (3) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY x + y − xy ( x − y ) + > Với ĐK (*) Từ (2) ⇒ x − = x (1 − y ) + − y + x + ≥ ⇒ x ≥ Do (3) ⇔ www.Moon.vn ( x + 2) − ( y + 4) + x+2 + y+4 x + y − xy ( x − y ) − ⇒ x + + y + > x + y − xy ( x − y ) + =0 (4) Ta có x + y − xy ( x − y ) − = ( x − y ) − + xy − xy ( x − y ) = ( x − y − )( x − y + ) − xy ( x − y − ) = ( x − y − )( x − y − xy + ) Do (4) ⇔ ( x − y − )( x − y − xy + ) = x− y−2 + x+2 + y+4 x + y − xy ( x − y ) + x − y − xy + =0 ⇔ ( x − y − 2) + 2 x+2 + y+4 x + y − xy x − y + ( ) (5) Lại có x − y − xy + = x (1 − y ) + (1 − y ) + = ( x + 1)(1 − y ) + Do x ≥ ; y ≤ ⇒ ( x + 1)(1 − y ) ≥ ⇒ ( x + 1)(1 − y ) + > ⇒ x − y − xy + > ⇒ x − y − xy + + > x+2+ y+4 x + y − xy ( x − y ) + Khi (5) ⇔ x − y − = ⇔ y = x − Thế y = x − vào (2) ta − x + x + = x ( x − 3) + x − ⇔ x3 − 3x + x − − x + − − x = (6) 3 Xét hàm số f ( x ) = x3 − x + x − − x + − − x với x ∈ ;3 có 4 f ' ( x ) = 3x − x + − 1 x + − 3− x + = ( x − 1) + + x + 2 3− x x + − x 3 3 Do ( x + ) − ( − x ) = x − > 0, ∀x ∈ ;3 ⇒ x + > − x > 0, ∀x ∈ ;3 4 4 3 3 ⇒ x + > − x , ∀x ∈ ;3 ⇒ x + − − x > 0, ∀x ∈ ;3 4 4 ⇒ ( x − 1) + + x + − 3− x 3 3 > 0, ∀x ∈ ;3 ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ;3 x + − x 4 4 3 ⇒ f ( x ) đồng biến đoạn ;3 4 3 Do đoạn ;3 phương trình f ( x ) = có nghiệm có nghiệm 4 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 3 2 ∈ ;3 Mà ⇒ x = nghiệm (6) f ( 2) = Với x = ⇒ y = Đã thỏa mãn (*) Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A (AD) : x + y + = 0; phương trình đường cao qua B (BH): 2x – y + = 27 Cạnh AB qua điểm M(1; 1) diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải: Gọi N điểm đối xứng M qua đường phân giác AD, N thuộc AC Ta có MN ⊥ AD ⇒ n MN = (1; −1) Phương trình (MN): 1(x – 1) – 1(y – 1) = hay x – y = x − y = Gọi I = ( MN ) ∩ ( AD ) ⇒ x + y + = x = −1 ⇔ ⇒ I ( −1; −1) y = −1 Do I trung điểm MN nên N(–3; –3) Đường thẳng AC qua N(–3; –3) vuông góc với (BH): 2x – y + = nên AC có phương trình (AC): 1(x + 3) + 2(y + 3) = ⇔ x + 2y + = x + y + = x = A = ( AC ) ∩ ( AD ) ⇒ tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⇔ ⇒ A ( 5; −7 ) x + y + = y = −7 Đường thẳng AB qua A M nên có véc tơ phương u = AM = ( −4;8 ) = −4 (1; −2 ) x = 1+ t ⇒ ( AB ) : y = − 2t t = − x = 1+ t 1 Mà B = ( AB ) ∩ ( BH ) ⇒ tọa độ điểm B thỏa mãn hệ y = − 2t ⇒ x = ⇒ B ;2 2 2 x − y + = y = +4+9 2S 27 27 Ta có BH = d ( B ;( AC ) ) = =2 = Mà S ∆ABC = BH AC ⇒ AC = ∆ABC = 27 BH 5 Gọi C ∈ ( AC ) : x + y + = ⇒ C ( −9 − 2c; c ) ⇒ AC = (14 + 2c)2 + (−7 − c) c = −5 ⇒ C (1; −5 ) (14 + 2c) + (−7 − c) = ⇔ 5c + 70c + 225 = ⇔ c = −9 ⇒ C ( 9; −9 ) Do AD phân giác góc A nên B C phải nằm hai phía đường thẳng AD 1 Với C (1; −5 ) ⇒ + + (1 − + ) < ⇒ B, C nằm khác phía với (AD) 2 Từ ta có Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 1 Với C ( 9; −9 ) ⇒ + + ( − + ) > ⇒ B, C nằm phía với (AD) 2 1 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A ( 5; −7 ) , B ; , C (1; −5 ) 2 ( x − 1) x − y + + ( x − y ) x + = x − y − Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 ( x + 3) x − x + y + = x − x + ( x + y − 1) Lời giải: x − y +1 ≥ ĐK: (*) Khi (1) ⇔ ( x − 1) x x y − + + ≥ ⇔ ( x − 1) ⇔ ( x − 1)( x − y ) + 1+ x − y +1 ) x − y + −1 + ( x − y ) ( ) x+7 −2 = x − y +1 −1 x + 7−8 + ( x − y ) =0 x − y +1 +1 ( x + 7) + x + + ( x − 1)( x − y ) =0 3 x + + x + + ( ) ⇔ ( x − 1)( x − y ) + 1+ x − y +1 Do ( ( x + 7) =0 + x + + ( x + 7) ( + x + + = 1+ x + ) 2 (3) x = + > ( 3) ⇔ ( x − 1)( x − y ) = ⇔ x = y y =0 y = ⇔ +) TH1 x = vào (2) ta y = y ⇔ y y = y = 16 Kết hợp với (*) ta có ( x; y ) = (1;0 ) nghiệm hệ +) TH2 x = y vào (2) ta ⇔ x − x +1 = (x + 3) x − x + = x − x + ( x − 1) x ( x + 3) + ( x + 3) − x − x +3 ⇔ x2 − x + = x + − 7x + x2 x − x + 1) − ( x + 3) x + ( 7x + ⇔ x − x + − ( x + 3) + =0⇒ + =0 x +3 x +3 x2 − x + + x + 2 ⇔ 7x + 7x + − = ⇔ ( x + 8) − =0 2 x + x + + x2 − x + x + x + + x − x +1 7 x + = ⇔ 2 x + = x + + x − x + • 8 Ta có x + = ⇔ x = − ⇒ y = − Thử lại thỏa mãn hệ cho 7 • Lại có x + = x + + x − x + ⇔ ( x − x + 1) − x − x + − = ⇔ x − x + = 1± Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY ⇔ x2 − x + = ⇔ x= www.Moon.vn 1+ 6+ 3+ 1+ ⇔ x2 − x + = = ⇔ x2 − x − =0 2 1± + 1± + ⇒y= Thử lại thỏa mãn hệ cho 2 8 Đ/s: ( x; y ) = (1; ) , − ; − , 7 ± + ± + ; 2 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 20 Biết AC = 2BD, điểm B có hoành độ dương thuộc đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình cạnh AB hình thoi Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I (1; −1), bán kính R = Đặt BI = x, ( x > 0) Do AC = BD ⇒ AI = BI = x , Kẻ IH ⊥ AB ⇒ IH = R = B H A d C I D 1 1 1 + = ⇔ 2+ = ⇔ x = ( Do x > 0) 2 IA IB IH 4x x 20 Suy IB = Gọi B (t ; 2t − 5), (t > 0) +) Trong tam giác AIB ta có: t = (tm) Do IB = ⇔ (t − 1) + (2t − 4) = 25 ⇔ −2 t = (ktm) +) Với t = ⇒ B(4;3) Phương trình cạnh AB có dạng a ( x − 4) + b( y − 3) = 2 (a + b ≠ 0) a = 2b Ta có d ( I ; AB) = IH = R ⇔ = ⇔ 11a − 24ab + 4b = ⇔ 2 a = b a +b 11 +) Với a = 2b, chọn a = 2, b = , phương trình AB là: x + y − 11 = +) Với a = b, chọn a = 2, b = 11 , phương trình AB là: x + 11 y − 41 = 11 Vậy phương trình cạnh AB x + y − 11 = x + 11 y − 41 = −3a − 4b 2 ( y − 2) 2 ( ) x + x + − x − = ( y + 3) y − − Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + y −1 xy + 21 = x + y + x − Lời giải: ( y − 2) Từ phương trình (1) ta có ( x + ) x + − x − = ( y + 3) y − − y + y −1 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn ⇔ ( x + ) x + − x − = ( y + 3) y − − y + y − ⇔ ( x2 + ) − ( x2 + ) + ( x2 + ) = ( y − 1) − ( y − 1) + ( y − 1) Xét hàm số f (t ) = t − t + 6t với t > ⇒ f ( x2 + ) = f ( y −1) Ta có f '(t ) = 3t − 2t + > với ∀t > suy hàm số đồng biến với ∀t > Mà f ( x2 + ) = f ( y − 1) ⇒ x2 + = y − ⇒ y = x2 + Thay y = x + vào phương trình (2) ta có xy + 21 = x + y + x − ⇔ x3 − 3x − x + − x − = ⇔ ( x − x + ) x + + =0 x + + 7x − >0 x =1⇒ y = ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = ⇒ y = 20 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = {(1;5) , ( 4; 20 )} Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 4;6 ) , gọi H điểm thuộc cạnh BC cho HB = HC AH vuông góc với BC, E điểm thuộc cạnh AB cho AB = AE , đường thẳng CE cắt đường cao AH D ( 0;3) Biết trung điểm AC thuộc đường thẳng x + y − = tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải: Gọi M trung điểm AB, D trung điểm AH Gọi N ( t ;1 − 2t ) trung điểm AC ta có: 2 ( t − ) = − xM DN = MD ⇔ ⇒ M ( −2t ; 4t + ) 2 (1 − 2t − 3) = − yM Khi A ( −4t − 4;8t + 8) t = −1 Giải AD.DN = ⇔ ( 4t + ) t + ( −8t − )( −2t − ) ⇔ −1 t = +) Với t = −1 ⇒ A ( 0; ) , N ( −1;3) ; C ( −2; ) +) Với t = − ⇒ N − ; ; A ( −2; ) ; C (1;0 ) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015