Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 2) Thầy Đặng Việt Hùng 2 y ( x − y + 1) + ( x − y + ) x + y = y − Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + y − + x + = x + y + x x + = y + ( x + y − 1) x + y + − 3x x + y + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 x + + x = x + y + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác 1 trung tuyến qua đỉnh B d1 : x + y − = 0; d : x + y − = Điểm M 2; thuộc cạnh AB bán 2 15 kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD : x + y − = , gọi I điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn ( C ) tâm I qua A C cắt 23 đường thẳng AB AD E ( 3; −3) F ; Tìm toạ độ đỉnh hình thoi viết 5 phương trình đường tròn ( C ) biết C có tung độ dương x2 − y + = x y + − x Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 4− y = x + −1 y − x x Lời giải: ĐK: −1 ≤ y ≤ 4; x > Từ phương trình (1) ta có x − y + = x y + − x ⇔ ( x − y +1) x + = ⇒ x − y + = ⇒ y = x2 − x + y +1 >0 4− y 5− x = x + −1 ⇔ x2 −1 − = x + −1 x x x x x+2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + + =0⇒ x=2⇒ y =3 + − x2 Thay y = x − vào phương trình (2) ta có: y − >0 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = (2;3) x3 + x − y + + xy = y + x y + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x−2 = 3y +1 x + Lời giải: ĐK: x − y + ≥ 0; x ≥ Từ phương trình (1) ta có x3 + x − y + + xy = y + x y + ⇔ ( x − y ) x2 + y2 + = ⇒ x = 2y x − y + + >0 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + www.Moon.vn x−2 = 3y +1 ⇔ y − y − + y − = ⇔ y − 12 y + + ( y − + y − ) = y =1⇒ x = y − 3y + = ⇔ y = ⇒ x = ⇔ ( y − y + 2) + = ⇔ y − − y − = 0, (3) 4+ y −1− y −1 Xét phương trình (3) ta có + =0 y −1 − y −1 Đặt t = y − ⇒ + = ⇔ 4t − 4t + = ∆ < nên phương trình (3) vô nghiệm t −t Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = {(2;1); (4; 2)} Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y = 25 tâm I, trung tuyến AE đường cao CD cắt đường tròn (C) điểm thứ M ( −2; −4 ) N ( 4; −4 ) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC viết phương trình đường tròn ( C ) biết B có tung độ âm Lời giải: Do tam giác ABC cân nên tâm I đường tròn ( C ) thuộc trung tuyến AE Do I trung điểm AM nên A ( 4; ) Phương trình đường thẳng AM: x − y − = Gọi H = AM ∩ CD trực tâm tam giác ABC Ta có : BAE = BCD ( phụ với góc ABC ) BN = BM Khi : BN = BM , lại có IN = IM nên IB trung trực MN Phương trình IB là: x = ⇒ B (1; t ) ⇒ t = 25 ⇒ B (1; −5 ) 19 Điểm C đối xứng với B qua AM nên C − ; − 5 19 Đáp số: A ( 4; ) ; B (1; −5 ) ; C − ; − điểm cần tìm 5 2 x + x + = y + y + x + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y − x − − x − + x − − x − = Lời giải ĐK: y + x + ≥ 0; x ≥ Xét phương trình (1) ta có x + x + = y + y + x + ⇔ ( x + 1) − y + x + − y + x + = 2 ⇔ ( x + 1) − y + = ⇒ y = ( x + 1) x + + y + 2x + >0 Thay y = ( x + 1) vào phương trình (2) ta có y − x − − x − + x − − x − = ⇔ ( x + 1) − 3x − − x + + x − − x − = ⇔ ( x − 2) + ( x − 2) + x − = ( x −1) + 2x −1 + 2 2x −1 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Xét hàm số f (t ) = t + 5t + t với t > Ta có f '(t ) = 2t + + > ∀t > , suy hàm số f (t ) đồng biến ∀t > t x = (loai ) Mà f ( x − ) = f x + ⇒ x − = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = ⇒ y = 36 ( ) Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (5;36) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông C có phân giác 7 7 AD với D ; − thuộc BC Gọi E, F điểm thuộc cạnh AB AC cho AE = AF 2 2 3 5 Đường thẳng EF cắt BC K Biết E ; − , F có hoành độ nhỏ phương trình đường thẳng 2 2 AK : x − y − = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Lời giải: Gọi I giao điểm AD EF Do tam giác AEF cân A có phân giác AI nên AI phân giác đồng thời đường cao trung tuyến EK ⊥ AD Ta có: ⇒ DF ⊥ AK AC ⊥ KD −7 Do đương thẳng DF qua D ; vuông góc với AK Ta có DF : x + y − = 2 Vì F thuộc DF nên ta gọi F t ; − 2t 2t + − 2t Mặt khác I trung điểm EF nên I ; − 2t 11 − 2t Ta có: IE = ; −3 + t , ID = ; −4 + t Khi đó, IE.ID = ⇔ ( − 2t )(11 − 2t ) + 16 ( t − 3)( t − ) = t = ⇔ 20t − 140t + 225 = ⇔ t = −11 ⇒ F ; ( loai ) 2 −3 ⇒ F ; ⇒ I ( 2; −2 ) 2 x + y = x = PT đường thẳng AD : x + y = ⇒ A = AD ∩ AK ⇒ ⇔ ⇒ A (1; −1) x − y − = y = −1 Từ ta có AF : x + y + = 0, AE : x + y − = 0, BC : x − y − 14 = 2y − 3 x − y + x + = x + Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 y + 12 x + = y + 2 x + − x Lời giải: ĐK: y > 0; x > 2y − Xét PT(1): x − y + x + = x +1 ⇔ x + x + − ( x + 1) y + x + − y = ⇔ ( x + 1) x + − y + x + + ( x − y ) = ( ( ) ) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY ⇔ ( x + 1) x2 + 4x + − ( y + x + 4) x + + y + 4x + www.Moon.vn x +1 + ( x2 − y ) = ⇔ ( x2 − y ) + 2 = x + + y + 4x + >0 ⇒ x − y = ⇔ y = x Thế y = x vào PT(2) ta được: 2 4 − ⇔ x + 3x + 12 = ( x + x + ) x + − x x Do x = không nghiệm PT(2) nên chia hai vế PT cho x ta được: 12 4 4 4 3x + + = x + + x + − ⇔ x + + = x + + x + − x x x x x x 3x + 3x + 12 = ( x + ) Đặt t = x + x+ 4 − 1, ( t > ) ⇒ t = x + − ⇒ x + = t + x x x t − = ⇔ t = ⇒ PT(2) ⇔ t + + = t + + t ⇔ t − 3t + 5t − = ⇔ ( t − 2) t − t + ⇔ t − t + = ( ) x = 1⇒ y = 4 V ới t = ⇒ x + − = ⇔ x + − = ⇔ x − x + = x x x = ⇒ y = 16 Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm ( x; y ) = {(1;1) , ( 4;16 )} ( ) ( ) ( ) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015