Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 5) Thầy Đặng Việt Hùng x3 + xy = y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 y + x − + − x + y + = x − y + x + y + + x + y + = − x − y + y + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 x + x + + y + y − y − = + x − xy Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD gọi M trung điểm AB gọi H ( 6;3) hình chiếu vuông góc D lên CM K ( 6;1) hình chiếu vuông góc A HD Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD biết C có hoành độ lớn Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = AB , gọi ( C ) đường tròn qua điểm B,C tiếp xúc với cạnh AD E đồng thời cắt cạnh CD F, biết phương trình đường thẳng EF là: x − y − = , điểm A ( −2; −3) điểm E có hoành độ nguyên Tìm toạ độ đỉnh B,C,D viết phương trình đường tròn ( C ) 4 x − 10 y + + x + y + = Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 y + 11x − = y − + y + x − Lời giải: ĐK : x + y + ≥ 0;6 y + x − ≥ 0; y ≥ Xét phương trình (1) ta có x − 10 y + + x + y + = ⇔ ( x2 − y + 2) + ( ) x2 + y + − y = 2 ⇔ ( x2 − y + 2) + =0⇒ x − y+2=0⇔ y = x +2 x + 8y + + 3y >0 Thay y = x + vào phương trình (2) ta có y + 11x − = y − + y + x − ⇔ x + 11x + − x + − x + x + = ⇔ 3x + x + ( x + − x + ) + ( 3x + − x + x + ) = ⇔ ( 3x + x ) 1 + + =0 2 x + + x + 3x + − x + x + >0 x = ⇒ y = ⇒ 3x + x = ⇔ 34 x = − ⇒ y = 34 Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 0; ) , − ; x3 + y + xy = Ví dụ 6* [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2 x + x + + x + x + = x − 12 y + 32 Lời giải Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY ( x + y) www.Moon.vn − − xy ( x + y ) + xy = ⇔ ( x + y − ) ( x + y ) + ( x + y ) + − xy ( x + y − ) = x + y = 2 ⇔ ( x + y − ) ( x + y ) − xy + ( x + y ) + = ⇔ 2 x − xy + y + x + y + = (1) Ta có (1) ⇔ x − x ( y − ) + y + y + = ⇔ x − x ( y − ) + y + y + 16 = ⇔ x − x ( y − ) + y − y + + y + 12 y + 12 = 2 x − y + = y = −2 2 ⇔ ( 2x − y + 2) + ( y + 2) = ⇔ ⇔ y + = x = −2 Cặp nghiệm không thỏa mãn hệ, loại Với x + y = ta thu x + 3x + + x + 3x + = x + 12 x + 3 x x x + + = + + > 0, ∀x ∈ ℝ 2 Ta có 3 2 x + x + = x + + > 0, ∀x ∈ ℝ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có x + 3x + + + x + 3x + x + x + = 1.1 ( x + x + 3) ≤ = 3 2 x + 3x + + + x + x + 2 x + x + = 1.1 ( x + x + ) ≤ = 3 2 x + 3x + x + 3x + 3x + x + Từ dẫn đến x + x + + x + x + ≤ + = = x2 + x + 3 Ta lại có x + 12 x + = x + x + + ( x + 1) ≥ x + x + Do phương trình có nghiệm dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, tức x + 3x + = x + x + = ⇔ x = −1 x + = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1;3) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, trung tuyến BM Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC E ( 5; −2 ) Biết trọng tâm tam giác ABC G ( 3; −1) điểm A có tung độ âm Viết phương trình cạnh tam giác ABC Lời giải: Do tam giác ABC vuông cân A nên AN ⊥ BC Lại có AE ⊥ BM ⇒ G = AN ∩ BM trực tâm tam giác ABE GE EG ⊥ AB ⇒ GE / / AC ⇒ ∆GNE vuông cân N ⇒ GN = = 2 19 Phương trình trung trực GE x − y − = 3 − x A = ( t − 3) 19 Gọi N t ; 2t − ⇒ AG = 2GN ⇒ 19 2 −1 − y A = 2t − + 1 ⇒ A ( −2t + 9; −4t + 16 ) ta có: GA = 2GN = 10 ⇔ ( 2t − ) + ( 4t − 17 ) 2 t = = 10 ⇔ t = ⇒ A ( 0; −2 ) ⇒ A ( 2; ) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Phương trình AB x − y − = 0; AC : x + y + = 9 1 Mặt khác N ; − ⇒ BC : x + y − 13 = 2 2 Vậy AB : x − y − = 0; AC : x + y + = 0; BC : x + y − 13 = đường thẳng cần tìm ( ) y + 24 x − x −1 + y − = 0, Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y2 −1 ( x; y ∈ ℝ ) x + y − + − x + y = Lời giải Điều kiện x + y − ≥ 0;1 − x + y ≥ 0; x ≥ 1; y ≠ 6x − 6x − Ta có x + y − − − x + y = = = x −1 5x + y − + − x + y Kết hợp với phương trình thứ hai hệ x + y − − − x + y = x − 7 − x ≥ ⇒ 1− x + y = − x ⇔ 4 − x + y = x − 14 x + 49 x + y − + − x + y = x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇒ y ≥ 20 ⇔ y ≥ 2 4 y = x − 10 x + 45 4 y = ( x − ) + 20 Phương trình thứ hệ tương đương với y + 24 ( y − 5) y + y + x −1 − x −1 + + y +1 − = ⇔ x −1 − + =0 y2 −1 y2 −1 ( ) ( Vì y + y + = y + ( y + 1) + > 0, ∀y ∈ ℝ ⇒ 2 ) ( ( y − 5) ( y + y + 9) y2 −1 ) (1) > 0, ∀y ≥ x −1 = Vậy (1) có nghiệm y − = ⇔ x = y = ( x − ) = Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm AB, N ∈ BD cho BN = ND , Hlà hình chiếu vuông góc N lên MC Xác định toạ độ đỉnh C hình vuông ABCD, biết N(2; 2), H(4; 3) điểm C có hoành độ dương Lời giải: Gọi I tâm hình vuông G = BI ∩ CM suy G trọng tâm tam 2a giác ABC Đặt AB = 2a ta có: CG = CM = ; BD = 2a 3 Khi GI = a a 5a a 10 ; IN = ⇒ GN = ; CN = CI + IN = GC + CN − GN Do cos GCN = = ⇒ MCN = 450 2GC.CN Khi tam giác NHC vuông cân C ta có CH = NH , phương trình HC: x + y − 11 = t = ⇒ C ( 5;1) Gọi C ( t ;11 − 2t ) , ta có HC = HN ⇔ ( t − ) = ⇔ t = ⇒ C ( 3;5 ) Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Vậy, C ( 5;1) ; C ( 3;5 ) điểm cần tìm 2 ( x + ) ( x − ) ( y − + ) = y − y + 15 Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y − 10 x + 11 + x x − = Lời giải: ĐK : x ≥ ; y ≥ Xét phương trình (1) ta có ( x + ) ( x − ) ( y − + ) = y − y + 15 ⇔ x3 − x + x − = ( y + 3) ( y − − ) ⇔ x3 − x + x = ( y − ) − ( y − ) + ( y − ) Xét hàm số f (t ) = t − 2t + 4t với t > ⇒ f ( x) = f ( y − 1) Ta có f '(t ) = 3t − 4t + > với ∀t > Mà f ( x) = f ( y − 1) ⇒ x = y − ⇔ y = x2 + Thế y = x + vào phương trình (2) ta phương trình x − 10 x + 12 + x x − = x = u Đặt u = x − (t > 0) ⇒ 2u − xu − x = ⇔ x + 2u = (vn) x = ⇒ y = Vớ i x = t ⇔ x = x − ⇒ x − x + = ⇔ x = ⇒ y = 10 Đối chiếu với điều kiện ban đầu nghiệm hệ phương trình cho (2;5) (3;10) Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC, phân giác góc BAE cắt cạnh BC F ( 2;3) , đường thẳng qua F vuông góc với AE cắt cạnh CD K, biết phương trình đường thẳng AK x − y − 23 = điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A có tung độ âm Lời giải: Gọi M = KF ∩ AE ta có: ∆AMF = ∆ABF AM = AB = AD Khi ∆AMK = ∆ADK từ suy KAF = 450 Mặt khác : AF sin KAF = d ( F ; AK ) ⇒ AF = t = 10 ( loai ) 2 Gọi A ( t;3t − 23) ta có: AF = ( t − ) + ( 3t − 26 ) = 80 ⇔ t = ⇒ A ( 6; −5 ) Gọi B ( 0; u ) ( u > ) ta có: u = AB.BF = ⇔ −6.2 + ( u + )( − u ) = ⇔ u = −3 Khi đó: B ( 0;1) ta có: AB = BF = 2 F thuộc cạnh BC nên ta có: BC = 3BF ⇒ C ( 6;7 ) Từ suy D (12;1) kết luận Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015