Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 13)

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 13) Thầy Đặng Việt Hùng  x − = − x + ( x − 1)( x − y ) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  2 x − 11x + 20 x + y − y + = 13  3 y2 − = x − +  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  2 ( x + y − 3) x + y + = ( x − 3) x + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A ( −2; −1) , trực tâm H ( 2;1) , BC = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B, C tam giác lên cạnh AC, AB Viết phương trình BC biết trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x − y − = , tung độ M dương DE qua điểm N ( 3; −4 )  10  Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G  ;  , đường 3  tròn ( C ) qua A tiếp xúc với cạnh BC B có tâm I ( 0;3) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng AB qua E (1; −1) , điểm C thuộc đường thẳng x − y − = có hoành độ nguyên, điểm A có Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x3 − x − 18 x + 89 ≥ 17 − x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện − 17 ≤ x ≤ 17 Bất phương trình cho tương đương với x3 − x − 18 x + 88 + − 17 − x ≥ ⇔ ( x − ) ( x − x − 22 ) + x − 16 + 17 − x ≥0   x+4 ⇔ ( x − )  22 + x − x −  ≥ (1) + 17 − x   2 Nhận xét 22 + x − x = (17 − x ) + x + > 0, ∀x ∈  − 17; 17  nên xét hai trường hợp x+4 • Nếu x + < ⇒ x − < 0; 22 + x − x − > , (1) vô nghiệm + 17 − x x+4 • Nếu x + ≥ ⇒ 22 + x − x = (17 − x ) + x + ≥ x + > x + ≥ + 17 − x x+4 Suy 22 + x − x − > Do (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ + 17 − x Kết hợp với điều kiện thu nghiệm ≤ x ≤ 17 Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x − 1)( 3x − ) + x + > x3 + 3x ( x ∈ ℝ) Lời giải ∨x≤ Bất phương trình cho tương đương với Điều kiện x ≥ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn ( x − 1)( 3x − ) − > x3 − x + 3x − ⇔ x2 − x + ( x − 1)( x − ) + > ( x − 1) ( x − x + )   6x −1  < (1) ⇔ ( x − 1) 6 x − x + −  ( x − 1)( 3x − ) +  Nhận định x − x + > 0, ∀x ∈ ℝ nên kết hợp với điều kiện xác định ta có 6x −1 Nếu x − < ⇒ x − x + − > 0; x − < , (1) nghiệm ( x − 1)( 3x − ) + Nếu x − ≥ ⇒ 6x −1 ( x − 1)( 3x − ) + Suy ta có x − x + − < x − < x + ( x − 1)( 3x − ) = x − x + 6x −1 ( x − 1)( x − ) + > , đến (1) ⇔ x − < ⇔ x < hay ≤ x < 1 2   Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm S =  −∞;  ∪  ;1 2 3   Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hinh vuông ABCD với điểm N(1; 2) trung điểm BC, d : x − y + = đường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ADN Tìm tọa độ đỉnh A hình vuông ABCD Lời giải: Đặt AB = 2a ta có: BN = CN = a , tam giác ABN vuông B suy AN = AB + BN = 5a ⇒ AN = a ⇒ DN = a Tam giác AND có AM đường trung tuyến AN + AD DN 13a Ta có: AM = − = 4 AN + AM − MN Khi cos MAN = = AM AN 65 Khi d ( N ; AM ) = AN sin MAN ⇒ AN = 10  t = 2 Gọi A ( t ;5t + 1) ⇒ AN = ( t − 1) + ( 5t − 1) = ⇒   t =  1 7 A ;  2 2 −1  −1 21  ⇒ A ;  26  26 26  ⇒    21  Vậy A  ;  ; A  − ;  điểm cần tìm  2   26 26  Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình (x + 1) − x > ( x + x ) x ( x ∈ ℝ) Lời giải: ĐK: ≤ x ≤ (*) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY Khi (1) ⇔ x ⇔ ( ) ( 1− x − x + www.Moon.vn ) − x − 2x x > x (1 − x ) (1 − x ) ( x + x + 1) − x − x3 + >0⇔ + >0 1− x + x − x + 2x x x + 1− x 2x x + − x x (1 − x − )  x2 2x2 + x +  ⇔ (1 − x ) +  + >0  x + − x 2x x + 1− x  (2) x2 x2 + x + + > x + − x 2x x + − x Với ≤ x ≤ ⇒ 1 Do ( ) ⇔ − x > ⇔ x < Kết hợp với (*) ta ≤ x < thỏa mãn 2  1 Vậy (1) có nghiệm T =  0;   2 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp 32 đường tròn (T ) : ( x − 5)2 + ( y − 6)2 = Biết đường thẳng AC AB qua điểm M(7;8) N ( 6;9 ) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD Lời giải: Đường tròn (T ) tâm I ( 5;6 ) tâm hình thoi bán kính R= Khi PT đường thẳng AC : x − y + = Khi ta có BD : x + y − 11 = Gọi n AB = ( a; b ) ta có: AB : a ( x − ) + b ( y − ) = Ta có: d ( I ; AB ) = 2a + 2b a +b 2 = R ⇔ (a + b) = a + b2 ) ( ⇔ ( a − 3b )( 3a − b ) = • Với a = 3b chọn n AB = ( 3;1) ⇒ AB : x + y − 29 = ⇒ A ( 7;8 ) ; B ( 9; ) ⇒ C ( 3; ) ; D (1;10 ) • Với 3a = b chọn n AB = (1;3) ⇒ AB : x + y − 31 = ⇒ A ( 3; ) ; B (1;10 ) ⇒ C ( 7;8 ) ; D ( 9; ) Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải bất phương trình x − ≥ 3x − x + − 27 x − 98 x + 29 ( x ∈ ℝ) Lời giải 27 x − 98 x + 29 ≥  Điều kiện 3x − x + ≥ ⇔ x ≥ x ≥  Bất phương trình cho tương đương với 27 x − 98 x + 29 ≥ 3x − x + − x − Nhận xét: x ≥ ⇒ x − x + − x − = 12 x − 29 x + 44 3x − x + − x − (1) > Khi Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn (1) ⇔ 27 x − 98 x + 29 ≥ ( 3x − x + ) + x − 36 − 12 ( 3x − )( x − 1)( x − ) ⇔ 15 x − 87 x + 57 + 12 ( 3x − )( x − ) x −1 ≥ ⇔ ( x − 14 x + ) + 12 x − 14 x + x − − 17 ( x − 1) ≥ Đặt ( 2) 3x − 14 x + = u; x − = v ( u > 0; v > ) (2) trở thành 5u + 12uv − 17v ≥ ⇔ ( u − v )( 5u + 17v ) ≥ ⇔ u ≥ v ⇔ x − 14 x + ≥ x − + 13 − 13 ∨x≥ 2  + 13  Kết hợp điều kiện ta có tập hợp nghiệm S =  ; +∞    Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AD = 3BC , phương trình cạnh AD x − y + = , biết trung điểm canh AB E ( 0;5 ) đường thẳng CD qua điểm ⇔ x − 15 x + ≥ ⇔ x − x + ≥ ⇔ x ≥ P ( 2;3) diện tích hình thang ABCD 12 Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D có hoành độ dương Lời giải: Gọi h chiều cao hình thang ta có: h = 2d ( E ; AD ) = AD + BC BC Khi ta có: S ABCD = h = = 12 2 Do BC = , gọi F trung điểm cạnh CD ta có EF đường trung bình hình thang PT : EF : x − y + = BC + AB Suy EF = = BC = 2 Gọi F ( t; t + ) ta có: EF = 2t = ⇔ t = ±2 Với t = −2 ⇒ F ( −2;3) CD : y = ⇒ D ( −5;3) ( loai ) Với t = ⇒ F ( 2;7 ) ⇒ CD : x = ⇒ D ( 2;10 ) ⇒ C ( 2; ) ⇔ BC : x − y + = Gọi I = AB ∩ CD theo Talet ta có: IC  xI = = ⇒ ID = 3IC ⇔  ⇒ I ( 2;1) ID 10 − yI = ( − yI ) Phương trình đường thẳng AB là: x + y − = ⇒ B (1;3) ; A ( −1;7 ) Vậy B (1;3) ; A ( −1;7 ) ; C ( 2; ) ; D ( 2;10 ) điểm cần tìm  x3 + x y − y + = x + x, Ví dụ 12 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình   x ( x − 3) + − y = x − Lời giải Điều kiện x ( x − 3) ≥ 0; y ≤ Dễ thấy hệ có nghiệm x − ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với  x2 = 2 x − x + x y − y − x + = ⇔ ( x + y − ) ( x − 1) = ⇔  ⇒ y = 4− x x + y = Phương trình thứ hai trở thành Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY x ( x − ) + − y = x − ⇔  x ( x − ) − 3 +   ( www.Moon.vn ) x + − = x2 − x = 2x −  2x + ⇔ + = ( x − 3)( x + ) ⇔  + = x+3 x +1 + x ( x − 3) +  x ( x − 3) + x + +  2x + 2x + + < + < x + 3, ∀x ≥ −1 nên (1) vô nghiệm x +1 + x ( x − 3) + x − 3x − Do (1) Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = , hệ có nghiệm x = 3; y =  x + x y = x3 y + xy , Ví dụ 13 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  3  y − + x + x = y + y + Lời giải ( x; y ∈ ℝ )  x2   x2  Điều kiện y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với   +   = x3 + x  y   y Xét hàm số f ( t ) = t + 3t ; t ∈ ℝ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ (1)  x2  Hàm số liên tục đồng biến ℝ nên (1) ⇔ f   = f ( x ) ⇔ x = y  y  Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + x + x = ⇔ x − − + x3 + x − = ⇔ x − − + ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ 2x − 2   + ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ ( x − 1)  + x2 + x +  = 2x −1 +1  2x −1 +1  ( 2) 2  23  Để ý + x2 + x + = +x+  + > 0, ∀x ≥ 2 2x −1 +1 2x −1 +  nên ( ) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = Kết luận hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!