Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 14) Thầy Đặng Việt Hùng + = 2 y −1 2x + y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + y − x + ( y − ) ( x − ) = x + y2 +1 − x + = y y − x + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x ( y − 1) − x + = x + y − 17 ) ( ( ) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H ( 2;1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I (1; ) Trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x − y − = Tìm tọa độ điểm B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm N ( 6; −1) điểm B có hoành độ nhỏ Đ/s : B ( 2; 3) ,C ( 4;−1) Vi dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) đường kính BC, 7 5 phân giác góc ABC cắt đường thẳng AC đường tròn ( C ) điểm H ; D ( D ≠ B ), 2 2 biết đường thẳng AB CD cắt điểm K ( 3;1) điểm C thuộc đường thẳng x − y + = có hoành độ nguyên Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC viết phương trình đường tròn ( C ) Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x + + x − x − ≤ 3x − ( x ∈ ℝ ) Lời giải: ĐK: x ≥ ⇔ (*) Khi (1) ⇔ x + − x − + x − x − ≤ ( x − 2) x + − 3x + + ( x + 1)( x − ) ≤ ⇔ ( x + 1)( x − ) − ≤0 x + + 3x − x + + 3x − 2 ⇔ ( x − 2) x + − ≤0 x + + 3x − Với x ≥ 2 ⇒ x +1− ≥ +1− x + + 3x − (2) = +2 +0 Do ( ) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với (*) ta 10 − > ≤ x ≤ thỏa mãn 2 Vậy (1) có nghiệm T = ; 3 ( Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x + 1) < ( x + 10 ) − x + ) ( x ∈ ℝ) Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY ĐK: x ≥ − ( x + 10 )(1 − x − 3) (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) < 2 1+ 2x + ( ⇔ ( x + 1) < ( x + )( x + 1) (1 + x +1 ≠ ⇔ + x + ( ) 2x + ) 2 ( ⇔ ( x + 1) + x + www.Moon.vn ) ) < ( x + 1) ( x + ) x ≠ −1 ⇔ < ( x + 5) 2 x + + 2 x + < x + 10 x ≠ −1 x ≠ −1 x ≠ −1 ⇔ ⇔ ⇔ x + < 0 ≤ x + < − ≤ x < Kết hợp với (*) ta x ≠ −1 − ≤ x < thỏa mãn Vậy (1) có nghiệm T = − ;3 \ {−1} Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AD = AB , điểm A ( −4; −2 ) , đường phân giác góc ABC có phương trình d : x + y = , biết đường thẳng CD qua điểm K ( 3; −6 ) Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD Lời giải : Gọi M N trung điểm BC AD ABMN hình thoi BN phân giác góc ABC Gọi E = AM ∩ CD ⇒ M trung điểm AE Phương trình AE : x − y = ⇒ I ( 0;0 ) ⇒ M ( 4; ) ⇒ E (12;6 ) Phương trình CD : x − y − 30 = , MD : x + y − 10 = Suy D ( 6; −2 ) , C trung điểm ED nên C ( 9; ) Từ đo ta có: B ( −1; ) x ( x − y ) + y ( y − x ) = x + y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( x + y + ) − y + ( x − y − ) x − + x = y Lời giải: 2 x ( x − y ) ≥ 2 y ( y − x ) ≥ Điều kiện: 5 − y ≥ 0, x − ≥ x ≥ 0, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 2x ( x − y ) + y ( y − x) = x ( 2x − y ) + y ( y − x) ≤ ( x + y )( x − y + y − x ) = x + y x 2y = ⇔ xy − x = xy − y ⇔ x = y ⇔ x = y 2x − y y − x Với x = y thay vào phương trình (2) ta ta có: ⇒ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY ( x + 3) www.Moon.vn − x + ( x − ) x − + x = x ⇔ ( x + 3) − x + ( x − ) x − = (*) Đặt a = − x , b = x − phương trình (*) trở thành (b + ) a − ( a + ) b = ⇔ ab + 4a − a b − 4b = a = b ⇔ ab ( b − a ) − ( b − a ) = ⇔ ( b − a )( ab − ) ⇔ ab = +) Với a = b ⇒ − x = x − ⇔ − x = x − ⇔ x = ⇒ y = +) Với ab = ⇒ Ta có ( − x )( x − 1) = (**) ( − x )( x − 1) = (10 − x )( x − 1) ≤ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 2 < ⇒ (**) VN Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = 2 25 Lập phương trình cấc đường thẳng chứa cạnh hình vuông ABCD, biết cạnh hình vuông tiếp xúc với đường tròn trung điểm cạnh, đỉnh hình vuông thuộc đường thẳng d : x + y + 20 = Lời giải: Giả sử A thuộc d : x + y + 20 = , gọi M N trung điểm AB AD Dễ thấy AMIN hình vuông, IA = IM = R = −3t − 20 −3t − 20 Gọi A t ; − = 25 ⇔ t = −4 ta có: IA = ( t + 1) + 4 Khi A ( −4; −2 ) ⇒ C ( 2; ) ⇒ BD : 3x + y − = 3 x + y − = Khi toạ độ B,D nghiệm HPT: 2 ( x + 1) + ( y − ) = 25 x = −5; y = B ( −5;5 ) ; D ( 3; −1) ⇔ ⇒ x = 3; y = −1 B ( 3; −1) ; D ( 5; −5 ) Từ suy phương trình cạnh hình vuông là: x + y + 30 = 0; x + y − 20 = 0; x − y − 10; x − y + 40 = đường thẳng cần tìm ( x + y + 3) xy + y = y ( y + x + ) Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình − x + x − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 Lời giải: ĐK: y ≥ 1; xy + y ≥ 0; − x + x − 24 y + 417 ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 3) y x + = y ( y + x + ) Đặt x + = a ≥ 0; y = b ≥ ⇒ (1) trở thành (a + 6b ) ab = b ( 8b + 3a ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY ⇔ b ( a + 6ab − 8b3 − 3a 2b ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = www.Moon.vn (3) b 15b Với b ≥ có a − ab + 4b = a − + > Do ( 3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b 2 ⇒ x + = y ⇒ x + = y ⇔ x = y − − ( y − 3) + ( y − 3) − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 Thế vào (2) ta ⇔ −16 y + 32 y + 384 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ − y + y + 24 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔4 ( y + )( − y ) = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ y + − y = ( y + ) y − + y + 16 Áp dụng BĐT Cô-si ta có y + − y ≤ ( y + ) + ( − y ) = 20 Với y ≥ ⇒ ( y + ) y − + y + 16 ≥ + + 16 = 20 Do y + − y ≤ ( y + ) y − + y + 16 Dấu " = " xảy ⇔ y = ⇒ x = 4.1 − = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 3; ) , đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = Gọi (T) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC, BC D, E, F Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK, biết K ( 2; −3) giao điểm BI EF Lời giải: Ta có: BIA = 1800 − Lại có: IEF = A B C − = 900 + 2 C (cùng phụ với CIE ) Do AEK = 900 + C = BIA Từ suy tứ giác AEKI nội tiếp vây AKI = AEI = 900 ( chắn cung AI) hay AK ⊥ BK ⇒ AK : x + y + 19 = ⇒ A ( 9; −4 ) Do tam giác ABK vuông K nên tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm M ( 6;0 ) AB bán kính R= AB = Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK ( x − ) + y = 25 Ví dụ 12 [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x + ) x − x + > x + x − ( x ∈ ℝ) Lời giải: ĐK: x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + ≥ ⇔ x ∈ ℝ (*) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Khi (1) ⇔ x + x − − ( x + ) x − x + < ) ( ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − ( x + 2) x2 − x + < ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) + ( x + 2) (9 − x2 + x − 2) + x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) − x+2 ⇔ ( x2 − x − ) 1 − < ⇔ ( x − 2x − 7) + x − 2x + Với ∀x ∈ ℝ có (1 − x ) x2 − x + = (1 − x ) +1 > ( ( x + ) ( x2 − x − ) + x2 − x + Do ( ) ⇔ x − x − < ⇔ − 2 < x < + 2 ( ) Vậy (1) có nghiệm T = − 2;1 + 2 Ví dụ 13 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm B ( 9;5 ) , cạnh AD lấy điểm M, đường thẳng vuông góc với BM cắt đường thẳng CD N, phân giác góc MBN cắt cạnh CD E, biết phương trình đường thẳng ME : x + y − 38 = , điểm D thuộc đường thẳng x − y − = có hoành độ nguyên Tìm toạ độ đỉnh A, C, D Lời giải: Ta có: ABM = CBN ( phụ với góc MBC ) Do ∆ABM = ∆CBN ⇒ BM = BN Khi ∆MBE = ∆NBE ⇒ BH = BC (2 đường cao tương ứng tam giác ) Do BC = d ( B; ME ) = ⇒ BD = Gọi D ( t ; 2t − 1) ⇒ BD = ( t − ) + ( 2t − ) = 36 2 t = ⇒ D ( 3;5 ) ⇒ BD : y = ⇔ 27 27 49 t= ⇒ D ; ( loai ) 5 Khi AC : x = ⇒ I ( 6;5) tâm hình vuông A ( 6; ) ; C ( 6;8 ) ngược lại Vậy D ( 3;5) ; A ( 6; ) ; C ( 6;8 ) D ( 3;5) ; A ( 6;8 ) ; C ( 6; ) điểm cần tìm 17 − x = x + x + 63 − 14 x − 18 y Ví dụ 14 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y x x + x + + 12 y = 34 + (13 − y ) 17 − y ) ( ( ) Lời giải 17 ; x ≥ 0;63 − 14 x − 18 y ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 + x + x = (17 − y ) 17 − y + (17 − y ) + 17 − y Điều kiện ≤ y ≤ Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + 9t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + 4t + = ( t + ) + 2t + > 0, ∀t ∈ ℝ Suy hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực ℝ Hơn x = 17 − y f ( x ) = f 17 − y ⇔ x = 17 − y ⇔ x ≥ ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Phương trình thứ hệ lúc trở thành 6y = x + x + 63 − 14 x + ( x − 17 ) ⇔ = 3x + x + 3x − 14 x + 12 y ( − x ) − x = ( x2 − x + 4) − x ⇔ ( − x ) − x = ( − x ) − x Đặt − x = u; x = v ( v ≥ ) thu 3u − v ≥ 3u − v = 3u − 2v ⇔ 2 2 9u − 6uv + v = 12u − 8v • • 3u − v ≥ 3u − v ≥ 3u − v ≥ ⇔ ⇔ ⇔ u = v u − v u + v = ( )( ) u + uv − v = u = −3v 0 ≤ x ≤ 3u − v ≥ u ≥ 0; v ≥ 0 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x +2 =0 u = v u = v 2 − x = x x − 3u − v ≥ −10v ≥ v ≤ v = x = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ (Hệ vô nghiệm) u = −3v u = −3v u = −3v u = x = ( )( ) 8 Từ đến kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = 1; 3 Ví dụ 15 [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( 35 − 12 x ) x − > 12 x Lời giải: Bất phương trình ⇔ 35 x − > 12 x(1 + x − 1) Với x ∈ ( −∞; −1] nghiệm bất phương trình Với x = không nghiệm Với x ∈ (1; +∞ ) chia hai vế cho 12 x − ta : x x −1 +x< 35 12 2 x 35 2 x4 x2 35 ⇔ + x < ⇔ + − < x −1 x − 12 x −1 12 x2 25 25 25 5 ⇔ < ⇔ 144 x − 625 x + 625 < ⇔ < x2 < ⇔ < x< 16 x − 12 5 5 5 Với x > nên < x < Vậy bất pt có nghiệm : x ∈ ( −∞; −1] ∪ ; 3 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!