Tổng hợp số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số Văn Bàn tránh sai sót tính tích phân PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Học sinh địa bàn xã Võ Lao đa phần em nông thôn, cha mẹ điều kiện chăm lo cho học hành Ngoài đến lớp em phải giúp đỡ bố mẹ công việc gia đình đồng áng, nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập học sinh yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết em sợ học môn Toán Là giáo viên dạy toán, có năm gắn bó với nghề, thông cảm với em trăn trở trước thực tế Bởi trình giảng dạy học hỏi đồng nghiệp tìm tòi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh yêu thích học tốt môn toán hơn, vững bước vào kỳ thi tốt nghiệp Đại học Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm toán tích phân thiếu, học sinh toán lại toán tương đối khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh lớp 12 trường THPT số Văn Bàn Để nâng cao hiệu việc rèn luyện kỹ giải toán tích phân cho học sinh chọn đề tài “Tổng hợp số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số Văn Bàn tránh sai sót tính tích phân” II Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Tích phân Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em III Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ gì? Cơ chế hình thành kỹ nào? - Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan đến Tích phân? - Trong trình giải vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan đến Tích phân? - Kết thực nghiệm sư phạm nào? IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 12A1 trường THPT số Văn Bàn - Các dạng toán tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trình tính toán V Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: ghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán PHẦN II: NỘI DUNG “TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1 TRƯỜNG THPT SỐ VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH PHÂN” I Những quan niệm chung Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II Biện pháp, giải pháp thay Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = dx (x 1) 2 * Sai lầm thường gặp: I = dx 2 (x 1) = d ( x 1) ( x 1) =- 2 x 1 2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên ( x 1) tục 2;2 nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên ( x 1) tục 2;2 tích phân không tồn b * Chú ý học sinh: Khi tính f ( x )dx cần ý xem hàm số y=f(x) có a liên tục a; b không? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: dx 1/ (x 4) 2 2/ x( x 1) dx 2 x e x x 4/ dx x3 1 3/ dx cos x Bài :Tính tích phân: I = dx sin x * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan dx 2dt sin x = (1 t ) I= dx = sin x tan x 2dt 1 t2 dx = ; = t sin x (1 t ) = 2(t 1) 2 d(t+1) = 2 x tan = +c t 1 2 tan tan không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x 0; x = tan nghĩa 2 * Lời giải đúng: x d dx dx tan x = tan tan I= = 0 4 4 sin x 2 x cos x cos 2 2 4 * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a; b *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1/ dx sin x dx cos x 2/ Bài 3: Tính I = x 6x dx * Sai lầm thường gặp: I= x x 3 6x dx = x 3 dx x 3d x 3 2 0 4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi x 3 x với x 0;4 không tương đương * Lời giải đúng: I= x 6x dx 4 = x 3 dx x d x 3 x 3d x 3 x 3d x 3 =- x 32 x 32 5 2 * Chú ý học sinh: 2n f x 2n f x b I= b f x 2n a n 1, n N 2n f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) a; b dùng tính chất a tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: 1/ I = sin x dx; 2/ I = x x x dx 3/ I = x dx x 4/ I = tan x cot x dx Bài 4: Tính I = x 1 dx 2x * Sai lầm thường gặp: I= d x 1 x 1 1 1 arctan x 1 1 arctan1 arctan * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant dx 1 tan t dt với x=-1 t = với x = t = Khi I = 1 tan t dt tan t dt t * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp Vì gặp tích phân dạng b 1 x dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx t = cotx ; a b a 1 x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: 1/ I = x 16 dx x 2x x 0 x dx 2/ I = 3/ I = x dx x8 Bài 5: Tính :I = x3 1 x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt x3 1 x2 dx sin t dt cos t Đổi cận: với x = t = với x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = xác t = ? * Lời giải đúng: không tìm x Đặt t = x dt = 1 x2 dx tdt xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I = x 15 dx = 1 x2 15 t = 15 1 t tdt 1 t dt t t t 15 1 15 15 15 33 15 192 192 * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đến phương pháp khác *Một số tập tương tự: 1/ Tính I = 2/ Tính I = x x3 1 x2 dx dx x2 1 Bài 6: tính I = x2 1 dx 1 x 1 x x * Sai lầm thường mắc: I = dx 2 1 x x x2 x 1 x Đặt t = x+ dt 1 1 dx x2 Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 I= = ( )dt =(ln t -ln t ) t 2 t 2 t = ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 10 2 ln t t 2 2 1 x2 x 1 sai 1;1 chứa x = nên 1 x4 x x2 * Nguyên nhân sai lầm: chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = F’(x) = ln 2 2 x2 x x2 x (ln x2 x 1 x2 x x2 1 x4 ) Do I = x2 x x2 1 = ln dx 2 x2 x 1 x 1 ln 2 2 *Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = III Kết Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 11