tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh tránh sai sót khi tính tích phân

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Học sinh trên địa bàn xã Võ Lao đa phần là con em nông thôn, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 6 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học. Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh lớp 12 trường THPT số 2 Văn Bàn. 2 Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số 2 Văn Bàn tránh sai sót khi tính tích phân” II. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. III. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào? - Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân? - Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân? - Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 12A1 trường THPT số 2 Văn Bàn - Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán. 3 V. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: ghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 4 PHẦN II: NỘI DUNG “TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1 TRƯỜNG THPT SỐ 2 VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH PHÂN” I. Những quan niệm chung Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh. II. Biện pháp, giải pháp thay thế . Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = ∫ − + 2 2 2 )1(x dx * Sai lầm thường gặp: I = ∫ − + 2 2 2 )1(x dx = ∫ − + + 2 2 2 )1( )1( x xd =- 1 1 +x 2 2− =- 3 1 -1 = - 3 4 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = 2 )1( 1 +x không xác định tại x= -1 [ ] 2;2−∈ suy ra hàm số không liên tục trên [ ] 2;2− nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Lời giải đúng Hàm số y = 2 )1( 1 +x không xác định tại x= -1 [ ] 2;2−∈ suy ra hàm số không liên tục trên [ ] 2;2− do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh: Khi tính dxxf b a )( ∫ cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên [ ] ba; không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: 5 Tính các tích phân sau: 1/ ∫ − 5 0 4 )4(x dx . 2/ dxxx 2 1 3 2 2 )1( − ∫ − . 3/ dx x ∫ 2 0 4 cos 1 π 4/ dx x xex x ∫ − +− 1 1 3 23 . Bài 2 :Tính tích phân: I = ∫ + π 0 sin1 x dx * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan 2 x thì dx = 2 1 2 t dt + ; xsin1 1 + = 2 2 )1( 1 t t + + ⇒ ∫ + x dx sin1 = ∫ + 2 )1( 2 t dt = ∫ − + 2 )1(2 t d(t+1) = 1 2 +t + c ⇒ I = ∫ + π 0 sin1 x dx = 2 tan 1 2 x − + π 0 = 2 tan 1 2 π − + - 2 tan 0 1+ do tan 2 π không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan 2 x x [ ] π ;0∈ tại x = π thì tan 2 x không có nghĩa. * Lời giải đúng: I = ∫ + π 0 sin1 x dx = 0 2 0 0 2 4 tan 2 4 1 cos cos 2 2 4 x d dx x x x π π π π π π π   −  ÷     = = −  ÷       + − −  ÷  ÷     ∫ ∫ = tan tan 2 4 4 π π −   − =  ÷   . * Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ ] ba; . *Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 6 1/ ∫ π 0 sin x dx 2/ ∫ + π 0 cos1 x dx Bài 3: Tính I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx * Sai lầm thường gặp: I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 9 2 1 2 3 333 4 0 4 0 2 4 0 2 −=−= − =−−=− ∫∫ x xdxdxx * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( ) 33 2 −=− xx với x [ ] 4;0∈ là không tương đương. * Lời giải đúng: I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫∫ −−+−−−=−−=− 3 0 4 3 4 0 4 0 2 3333333 xdxxdxxdxdxx = - ( ) ( ) 5 2 1 2 9 2 3 2 3 4 3 2 3 0 2 =+= − + − xx * Chú ý đối với học sinh: ( )( ) ( ) xfxf n n = 2 2 ( ) Nnn ∈≥ ,1 I = ( )( ) = ∫ b a n n xf 2 2 ( ) dxxf b a ∫ ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ ] ba; rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự: 1/ I = ∫ − π 0 2sin1 x dx; 7 2/ I = ∫ +− 3 0 23 2 xxx dx 3/ I = ∫       −+ 2 2 1 2 2 2 1 x x dx 4/ I = 3 2 2 6 tan cot 2x x π π + − ∫ dx Bài 4: Tính I = ∫ − ++ 0 1 2 22xx dx * Sai lầm thường gặp: I = ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 1 arctan 1 arctan1 arctan 0 4 1 1 d x x x π − − + = + = − = + + ∫ * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant ( ) 2 1 tandx t dt⇒ = + với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = 4 π Khi đó I = ( ) 2 4 4 4 0 0 0 1 tan tan 1 4 t dt dt t t π π π π + = = = + ∫ ∫ * Chú ý đối với học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học 8 sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng ∫ + b a dx x 2 1 1 ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ; ∫ − b a dx x 2 1 1 thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự: 1/ I = ∫ − 8 4 2 16 dx x x 2/ I = dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 322 3/ I = ∫ − 3 1 0 8 3 1 x dxx Bài 5: Tính :I = ∫ − 4 1 0 2 3 1 dx x x *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt ∫ ∫ = − dt t t dx x x cos sin 1 3 2 3 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x= 4 1 thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2 1 x− thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 4 1 không tìm được chính xác t = ? * Lời giải đúng: 9 Đặt t = 2 1 x− ⇒ dt = xdxtdtdx x x =⇒ − 2 1 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 4 1 thì t = 4 15 I = ∫ − 4 1 0 2 3 1 dx x x = ( ) ( ) ∫ ∫ −=−         −=         −=−= − 4 15 1 4 15 1 4 15 1 3 2 2 3 2 192 1533 3 2 192 1515 4 15 3 1 1 t tdtt t tdtt * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2 1 x− thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. *Một số bài tập tương tự: 1/ Tính I = dx x x ∫ + 7 0 2 3 1 2/ Tính I = ∫ + 2 1 2 1xx dx Bài 6: tính I = ∫ − + − 1 1 4 2 1 1 dx x x * Sai lầm thường mắc: I = ∫ ∫ − − −       +       − = + − 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx x x x x x x Đặt t = x+ dx x dt x       −=⇒ 2 1 1 1 Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; I = ∫ − − 2 2 2 2t dt = dt tt ) 2 1 2 1 ( 2 2 − − + ∫ − =(ln 2+t -ln 2−t ) 2 2 2 2 2 2 ln −− − + = t t = ln 22 22 ln2 22 22 ln 22 22 − + = −− +− − − + 10 * Nguyên nhân sai lầm: 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 x x x x x + − = + − là sai vì trong [ ] 1;1− chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = 12 12 ln 22 1 2 2 ++ +− xx xx F ’ (x) = 1 1 ) 12 12 (ln 22 1 4 2 2 2 + − = ′ ++ +− x x xx xx Do đó I = ∫ − + − 1 1 4 2 1 1 dx x x = 12 12 ln 22 1 2 2 ++ +− xx xx ln 2 1 1 1 = − 22 22 + − *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . III. Kết quả 1. Kết quả từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó. 11 [...]... liên quan đến tích phân 3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân 4 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân 5 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực 6 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện... học là chấp nhận được Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai. .. học sinh Cả bốn ý trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về tích phân 13 PHẦN III : KẾT LUAN Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây: 1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng 2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân 3 Chỉ ra một số. .. trong năm học 2011-2012 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn + Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến + Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp... sai lầm trong khi giải quyết nó Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày các vấn đề này trong những năm học tiếp theo 14 Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán... phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối 12 chứng Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo... Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) 3 Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục) 4 Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất bản giáo dục) 5 Sách giáo khoa Giải tích 12 ( Nhà xuất bản giáo dục) 6 Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) 7 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần... sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập Văn Bàn: 01/ 01 /2012 Người thực hiện Nguyễn Văn Công 15 TÀI LIỆU THAM... sinh) không áp dụng sáng kiến + Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Sau đây là nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra khảo sát 45 phút Tính các tích phân sau 5 3 dx 1/ ∫ 4 0 (x − 4) 1 2 2/ ∫ x( x − 1) dx 2 −2 π 2 1 − x 3 e x + x 2 dx 4/ ∫ x3 −1 3/ ∫ 14 dx 0 cos x Kết quả . toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số 2 Văn Bàn tránh sai sót khi tính tích phân II. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học. của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 4 PHẦN II: NỘI DUNG “TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1 TRƯỜNG THPT SỐ 2 VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH PHÂN” I nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng