Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO NỘI DUNG Định nghĩa quỹ tích Một hình (H) gọi quỹ tích điểm M có tính chất (hay tập hợp điểm M có tính chất ) chứa chứa điểm có tính chất Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất hình H Những thao tác tư cần thiết cho việc chuẩn bị giải toán quỹ tích Việc giải toán quỹ tích thực chất chứng minh dãy liên tiếp mệnh đề toán học Nhưng khác với toán chứng minh hình học, phần lớn toán quỹ tích, ta phải tìm cho ta cần phải chứng minh Những thao tác tư chuẩn bị giúp ta định hướng suy nghĩ, hình dung quỹ tích cần tìm chừng mực đó, giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v nào? Dưới xin trình bày kĩ thao tác tư chuẩn bị 2.1 Tìm hiểu kĩ toán Tìm hiểu kĩ toán tức nắm yếu tố đặc trưng cho toán Trong toán quỹ tích thường có loại yếu tố đặc trưng: a) Loại yếu tố cố định: thông thường điểm Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -1- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên b) Loại yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích hình v.v Các yếu tố cố định không đổi thường cho kèm theo nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi” c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường điểm mà ta cần tìm quỹ tích đoạn thẳng, hình mà có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v Ví dụ 1: Cho góc vuông xOy cố định đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển cạnh Ox, đỉnh B di chuyển cạnh Oy Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB Trong toán thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O góc xOy + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B kéo theo trung điểm M AB thay đổi Cần ý toán có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta tập trung vào yếu tố liên quan đến cách giải ta mà Cũng cần biết yếu tố cố định, không đổi, thay đổi lúc cho cách trực tiếp mà phải hiểu cách linh hoạt Chẳng hạn nói: “Cho đường tròn cố định ” ta hiểu tâm đường tròn điểm cố định bán kính đường tròn độ dài không đổi, hay ví dụ sau Ví dụ 2: Cho đường thẳng b điểm A cố định không thuộc đường thẳng b Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển đường thẳng b cho luôn đồng dạng với Tìm tập hợp đỉnh C Trong ví dụ ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -2- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C Còn yếu tố không đổi gì? hình dạng tam giác ABC Nếu dừng lại khái niệm chung hình dạng không đổi (tự đông dạng) ta giải toán Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC tự đồng dạng sau: - Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số cạnh, chẳng hạn AC số AB không đổi Như vậy, việc tìm hiểu kĩ toán đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm cách giải toán 2.2 Đoán nhận quỹ tích Thao tác tư đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung hình dạng quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều cho HS biết vị trí kích thước quỹ tích Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm điểm quỹ tích Muốn nên xét vị trí đặc biệt, tốt sử dụng điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình xác, trực giác giúp ta hình dung hình dạng quỹ tích - Nếu điểm ta vẽ thẳng hàng có nhiều khả quỹ tích đường thẳng - Nếu điểm ta vẽ không thẳng hàng quỹ tích cần tìm đường tròn Ta làm sáng tỏ điều ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Một điểm M di chuyển nửa đường tròn Nối AM đặt tia AM đoạn AN = BM Tìm tập hợp điểm N Đoán nhận quỹ tích - Khi M B BM O AN O hay N A Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -3- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên Vậy A điểm quỹ tích - Khi M đến vị trí điểm I, điểm cung AB, AI=BI nên N I Vậy I điểm quỹ tích t' B' I M N O A B - Khi M A dây cung AM đến vị trí tiếp tuyến At với đường tròn điểm A BM=BA nên điểm N dần đến vị trí điểm B’ tiếp tuyến At cho AB’=AB=2R; B’ điểm quỹ tích Do điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán điểm N nằm đường tròn qua điểm A, I, B’, tức đường tròn đường kính AB’ Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy Một điểm A chạy Ox, điểm B chạy Oy Người ta dựng hình chữ nhật OAMB Tìm tập hợp điểm M cho chu vi hình chữ nhật OAMB độ dài 2p cho trước Đoán nhận quỹ tích y D Dễ thấy MA +MB = p B M Khi A O B D Oy, mà OD = p Khi B O A C Ox, o A C mà OC = p Dự đoán tập hợp M đoạn thẳng CD Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -4- x Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên Ví dụ 5: Cho góc vuông xOy điểm A cố định nằm góc Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox B Az cắt Oy C Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng BC Dự đoán quỹ tích y M1 - Khi B O điểm C dần đến vị trí điểm C1 thuộc Oy điểm M đến vị trí M1 A C M z O cho M1O=M1C1=M1A M2 x B t M1 nằm đường trung trực OA - Khi C O điểm B dần đến vị trí B1 thuộc Ox điểm M đến vị trí M2 cho M2O=M2B1=M2A M2 nằm đường trung trực OA Dự đoán quỹ tích đoạn M2M1 thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA, phần nằm góc xOy Giải toán quỹ tích nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải toán quỹ tích tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm phần giới hạn quỹ tích) chứng minh phần đảo Sau sâu vào phần 3.1 Chứng minh phần thuận Một phương hướng để chứng minh phần thuận đưa việc tìm quỹ tích quỹ tích Trong chương trình học trường Phổ thông sở, học sinh giới thiệu quỹ tích (các tập hợp điểm) sau: 1) Tập hợp điểm cách hai điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm 2) Tập hợp điểm cách hai cạnh góc tia phân giác góc Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -5- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên 3) Tập hợp tất điểm cách đường thẳng b khoảng l cho trước hai đường thẳng song song với đường thẳng b cách đường thẳng b khoảng l 4) Tập hợp tất điểm cách điểm cố định O khoảng không đổi r đường tròn tâm O, bán kính r 5) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước góc AMB có số đo ( không đổi) hai cung tròn đối xứng qua AB (gọi cung chứa góc vẽ đoạn AB) Trường hợp đặc biệt: Tập hợp điểm M nhìn hai điểm cố định A, B góc vuông đường tròn đường kính AB Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất ’ quỹ tích điểm thoả tính chất ’ quỹ tích mà ta biết (như ’ “cách hai điểm cố định”; “cách điểm cố định đoạn không đổi”; “ cách đường thẳng cố định đoạn không đổi” v.v ) Như ta thay việc xét mệnh đề M( ) việc xét mệnh đề M( ’) mà M( ) M( ’) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh đáy BC Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AD Đoán nhận quỹ tích Nếu D B M P, mà AP=BP P điểm thuộc quỹ tích Nếu D C M Q, mà AQ=QC Q điểm thuộc quỹ tích Nếu D H (với AH BC H) M I, mà IH=AH H điểm thuộc quỹ tích Do điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M đoạn thẳng PQ, đường trung bình tam giác ABC Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -6- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên Phân tích phần thuận A Từ M kẻ MK BC kẻ đường cao AH ABC Dễ thấy MK= P Q M AH B D K H C ABC cố định nên AH không đổi suy MK không đổi - Vậy điểm M luôn cách BC đoạn không đổi AH Ta thấy là: M( ): M trung điểm AD M( ’): M cách BC đoạn không đổi Như ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm đoạn thẳng AN, việc tìm quỹ tích điểm M cách cạnh BC đoạn không đổi AH , mà quỹ tích ta biết tìm, dạng toán quỹ tích thứ Ví dụ 7: Cho tam giác cố định ABC Một điểm D di chuyển cạnh đáy BC Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB E đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC F Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng EF Phân tích phần thuận Vì DF//AE DE//AF nên tứ giác A AEDF hình bình hành, hai đường F P chéo EF AD giao trung Q M điểm, M trung điểm EF E B D trung điểm AD Bài C toán đưa việc tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AD - Tính chất là: M( ) M trung điểm EF Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -7- Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên - Tính chất ’ là: M( ’) M trung điểm AD Và ta thay việc tìm quỹ tích trung điểm EF việc tìm quỹ tích trung điểm AD, mà quỹ tích ta có cách đưa quỹ tích ví dụ Cần lưu ý thay điểm M( ) điểm M( ’) mà M( ) M( ’) tập hợp điểm M( ) tập hợp (một phận) tập hợp điểm M( ’), ví dụ tập hợp điểm M( ’) hai đường thẳng song song cách đường thẳng BC đoạn AH , tập hợp điểm M( ) đường trung bình PQ song song với cạnh BC tam giác ABC mà Trong nhiều trường hợp ta không thành công việc đưa quỹ tích mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích đường cố định Trong trường hợp ta tìm cách chứng minh hình chứa điểm quỹ tích hình cố định Ví dụ 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm P di động nửa đường tròn Tiếp tuyến P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O nửa đường tròn, điểm M Tìm tập hợp điểm M t Phân tích phần thuận M Nối MB; OM//AP nên O1 A (đồng vị) P O2 P1 (so le trong) Mặt khác A P1 (vì OA=OP) A O Vậy O1 O2 O1 O2 OP OB OPM OBM OM chung Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -8- B Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên OBM OPM mà OPM 90 (góc tiếp tuyến với bán kính qua tiếp điểm) Vậy OMB 90 BM AB AB cố định, điểm B cố định mà MB AB M chạy tia At vuông góc với AB B Qua ví dụ đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm cho mối liên hệ điểm cần tìm tập hợp với điểm cố định, tìm cách sử dụng yếu tố không đổi việc biểu diễn liên hệ - Nếu đầu có điểm cố định, ta nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm đường tròn - Nếu đầu có hai điểm cố định A, B ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B thử tính góc AMB thử chứng minh MA=MB - Nếu đầu xuất đường thẳng cố định ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định - Nếu đầu xuất hai đường thẳng song song liên tưởng đến tập hợp điểm cách hai đường thẳng song song Ví dụ 9: Cho đường tròn tâm O, bán kính R điểm P đường tròn, điểm N di chuyển đường tròn Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng PN Phân tích phần thuận P cố định, O cố định, suy trung điểm I OP cố N định Nối IM Trong tam giác PON M I P IM= ON R =không đổi - Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -9- O Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên Trong nhiều tập, chứng minh phần thuận, ta tìm hình (H’) chứa điểm M có tính chất , điều kiện hạn chế khác toán, tập hợp điểm M cần tìm hình (H) phận hình (H’) Trong trường hợp này, ta phải thức thêm công việc nữa: giới hạn quỹ tích Có nhiều cách nhìn nhận vị trí phần giới hạn quỹ tích Ta coi phần giới hạn phận việc chứng minh phần thuận Ta đặt phần giới hạn vào phần đảo, tách phần giới hạn thành phần riêng biệt, ngang với phần thuận phần đảo Trong trình dạy học sinh, đặt giới hạn vào phần thuận Làm tránh việc chọn nhầm phải điểm không thuộc quỹ tích tiến hành chứng minh phần đảo Thông thường, ta tìm điểm giới hạn quỹ tích cách xét điểm quỹ tích trường hợp giới hạn, ví dụ sau: Ví dụ 10: Cho góc vuông xOy, đỉnh O Trên cạnh Ox có điểm A cố định cạnh Oy có điểm B cố định Một điểm C thay đổi di chuyển đoạn thẳng OB Gọi H hình chiếu điểm B tia AC Tìm tập hợp điểm H Giải 1) Phần thuận Vì H hình chiếu B y B AC nên BH AC BHA 90 Hai điểm A, B cố định Điểm H H C luôn nhìn hai điểm A, B góc vuông nên H nằm O A đường tròn đường kính AB Chú ý: Đường tròn qua đỉnh O góc vuông xOy Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường - 10 - x