GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO?PHầN I: Đặt vấn đề Trong chơng trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có từ quỹ tích đợc sử dụng trở lại mà các kiến thức
Trang 1GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO?
PHầN I: Đặt vấn đề
Trong chơng trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có từ quỹ tích đợc sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã đợc trả về vị trí xứng đáng của nó Điều này cũng có lí do chính đáng Không thể phủ nhận đợc ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện t duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện t duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con ngời Tuy vậy, cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chơng trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phơng pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các phơng pháp ấy vào việc giải bài tập Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu đợc một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cô giáo muốn truyền đạt cho họ
Bài toán quỹ tích đợc chính thức giới thiệu ở chơng III Góc với đờng tròn -trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh khá giỏi đã đợc làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chơng trình hình học lớp 7 và lớp 8 Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán nh thế nào?
Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế Vì:
- Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phơng pháp truyền thống, thiên
về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đa học sinh vào các tình huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đa các em vào hoạt
động rèn luyện kỹ năng t duy không gian
- Một số giáo viên có áp dụng phơng pháp mới, đa ra các tình huống có vấn
đề để hớng học sinh giải quyết nhng không giúp học sinh hình thành kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích
Trong chơng trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã đợc làm quen với một số bài toán quỹ tích cơ bản Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm quỹ tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhng việc giải bài toán quỹ tích ở lớp 9 đợc trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn quỹ tích), phần đảo, phần kết luận Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu dạng toán này Trớc hết là để xây dựng cho mình một
Trang 2ph-ơng pháp dạy học đạt kết quả tốt Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chơng trình THCS có thể tham khảo và áp dụng Trong bài viết này, tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tích các thao tác t duy để đi đến lời giải bằng cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng đợc các kĩ năng, tích luỹ đợc các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu nên các phơng pháp giải toán
PHầN II- Nội dung nghiên cứu
1 Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) đợc gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất
(hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa và chỉ chứa những
điểm có tính chất
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất là
một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H
2 Những thao tác t duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích.
Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học Nhng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho đợc cái ta cần
Trang 3phải chứng minh Những thao tác t duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hớng đợc suy nghĩ, hình dung ra đợc quỹ tích cần tìm là một hình nh thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v nh thế nào? Dới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác t duy chuẩn bị cơ bản nhất
2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán
Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc đợc những yếu tố đặc trng cho bài toán Trong một bài toán quỹ tích thờng có 3 loại yếu tố đặc trng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thờng là các điểm
b) Loại yếu tố không đổi: nh độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thờng đợc cho đi kèm theo các nhóm từ
“cố định”, “cho trớc”, “không đổi”
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thờng là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu tố thay đổi thờng cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”,
“chạy”, “thay đổi” v.v
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho
trớc; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB
Trong bài toán này thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy
+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi
Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi
Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng đợc cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải đợc hiểu một cách linh hoạt Chẳng hạn khi nói: “Cho một đờng tròn cố định ” thì ta hiểu rằng tâm của
đờng tròn là một điểm cố định và bán kính của đờng tròn là một độ dài không
đổi, hay nh trong ví dụ 2 sau đây
Ví dụ 2: Cho một đờng thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đờng thẳng
b Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đờng thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó Tìm tập hợp đỉnh C
Trang 4Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đờng thẳng b
+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C
Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải đợc bài toán Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra nh sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn
AB
AC
là một số không đổi
Nh vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm đợc những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác t duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung đợc hình dạng của quỹ tích (đờng thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đờng tròn), nhiều khi còn cho
HS biết cả vị trí và kích thớc của quỹ tích nữa Để đoán nhận quỹ tích ta thờng tìm 3 điểm của quỹ tích Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung đợc hình dạng quỹ tích
- Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đ-ờng thẳng
- Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đờng tròn
Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R Một điểm M di chuyển
trên nửa đờng tròn Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM Tìm tập hợp các điểm N
Đoán nhận quỹ tích
- Khi M B thì BM O
do vậy AN O hay N A
Vậy A là một điểm của quỹ tích
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N I Vậy I là một điểm của quỹ tích
Trang 5A O B
I
N
M
B'
t'
- Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đờng tròn tại
điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích
Do 3 điểm A, I, B không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên’
đờng tròn đi qua 3 điểm A, I, B , tức là đ’ ờng tròn đờng kính AB ’
Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên
Oy Ngời ta dựng hình chữ nhật OAMB Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trớc
Đoán nhận quỹ tích
Dễ thấy MA +MB = p
Khi A O thì B D trên Oy, mà
OD = p
Khi B O thì A C trên Ox,
mà OC = p
Dự đoán tập hợp của M là đoạn
thẳng CD.
A
D
C
o
y
x
Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó Một
góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt
Oy ở C
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC
Dự đoán quỹ tích
- Khi B O thì điểm C sẽ
dần đến vị trí điểm C1 thuộc
Oy và điểm M đến vị trí M1
sao cho M1O=M1C1=M1A
M1 nằm trên đờng trung
trực của OA
O
B
C
A
M1
M2
M
x
y
z
t
Trang 6- Khi C O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2
sao cho M2O=M2B1=M2A
M2 nằm trên đờng trung trực của OA
Dự đoán quỹ tích là đoạn M 2 M 1 thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy.
3 Giải bài toán quỹ tích nh thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phơng hớng để chứng minh phần thuận là đa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản Trong chơng trình học ở trờng Phổ thông cơ sở, học sinh đã đợc giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đờng trung trực của
đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.
3) Tập hợp tất cả những điểm cách đờng thẳng b một khoảng l cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng b và cách đờng thẳng b một khoảng l.
4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không
đổi r là đờng tròn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc
một góc AMB có số đo bằng ( không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB).
Trờng hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dới một góc vuông là đờng tròn đờng kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất
bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất ’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết (nh vậy ’
có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không
đổi”; “ cách một đờng thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v ) Nh vậy ta thay việc xét mệnh đề M( ) bằng việc xét mệnh đề M( ’) mà M( ) M( ’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC Tìm quỹ
tích trung điểm M của đoạn thẳng AD
Đoán nhận quỹ tích
Trang 7 Nếu D B thì M P, mà AP=BP P là một điểm thuộc quỹ tích.
Nếu D C thì M Q, mà AQ=QC Q là một điểm thuộc quỹ tích
Nếu D H (với AHBC tại H) thì M I, mà IH=AH H là một điểm thuộc quỹ tích
Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng
PQ, là đờng trung bình của tam giác ABC
Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK BC và kẻ đờng
cao AH của ABC
Dễ thấy MK=
2
AH
ABC cố định nên AH không
đổi suy ra MK không đổi
B
A
C H
D
M
K
- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng
2
AH
Ta có thể thấy ở đây là:
M( ): M là trung điểm của AD
M( ’): M cách BC một đoạn không đổi
Nh vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng
2
AH
, mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3
Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC Qua D ngời ta kẻ đờng thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đ-ờng thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF
Phân tích phần thuận
A
E
F
M
Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác AEDF là hình bình hành, hai đờng chéo EF và AD giao nhau tại trung
điểm, vậy M là trung điểm của EF cũng là trung điểm của AD Bài toán đợc đa về việc tìm quỹ tích của trung điểm M của đoạn thẳng AD
- Tính chất ở đây là: M( ) M là trung điểm của EF
- Tính chất ’ ở đây là: M( ’) M là trung điểm của AD
Trang 8Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đa về quỹ tích cơ bản trong ví dụ 6
Cần lu ý là khi thay các điểm M( ) bằng các điểm M( ’) mà M( )
M( ’) thì tập hợp các điểm M( ) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập hợp các điểm M( ’), nh trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M( ’) là hai đờng
thẳng song song và cách đờng thẳng BC một đoạn
2
AH
, còn tập hợp các điểm M( ) là đờng trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi Trong nhiều trờng hợp ta không thành công trong việc đa về các quỹ tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đờng cố
định nào đó Trong trờng hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định
Ví dụ 8: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và một điểm P di động trên nửa đờng
tròn Tiếp tuyến tại P cắt đờng thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đ-ờng tròn, tại điểm M Tìm tập hợp các điểm M
Phân tích phần thuận
Nối MB; do OM//AP nên
A
O
1 (đồng vị)
1
O
(so le trong)
Mặt khác A P1 (vì
OA=OP)
P
O
M
1
1 2
t
Vậy O1 O2
OM
OB OP
O O
chung
2 1
OBM OPM mà OPM 90 0 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua
tiếp điểm) Vậy OMB 900 BM AB
AB cố định, điểm B cố định mà MBAB M luôn chạy trên tia At vuông góc với AB tại B
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho đợc mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố
định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó
Trang 9- Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm là một đờng tròn
- Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB
- Nếu trong đầu bài xuất hiện một đờng thẳng cố định thì ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đờng thẳng cố định ấy
- Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đờng thẳng song song thì hãy liên tởng
đến tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng song song
Ví dụ 9: Cho một đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đờng tròn,
một điểm N di chuyển trên đờng tròn Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng PN
Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy ra
trung điểm I của OP cũng cố
định Nối IM Trong tam giác
PON thì
IM= ON R
2
1 2
1
=không đổi
- Vậy M thuộc đờng tròn tâm
I bán kính R
2
1
O
N
M
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm đợc hình (H’) chứa các điểm M có tính chất , nhng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H’) Trong trờng hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích Ta có thể coi phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo
Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận Làm nh vậy sẽ tránh đợc việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi tiến hành chứng minh phần đảo Thông thờng, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trờng hợp giới hạn, nh trong ví dụ sau:
Trang 10Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O Trên cạnh Ox có một điểm A cố
định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định Một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn thẳng OB Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC Tìm tập hợp các điểm H
Giải
1) Phần thuận.
Vì H là hình chiếu của B trên
AC nên BH AC BHA 90 0
Hai điểm A, B cố định Điểm H
luôn luôn nhìn hai điểm A, B dới
một góc vuông nên H nằm trên
đ-ờng tròn đđ-ờng kính AB
Chú ý: Đờng tròn này cũng đi qua
đỉnh O của góc vuông xOy
O B
A
C H
y
x
Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di chuyển trên cả đờng tròn đờng kính AB Ta phải tìm giới hạn
Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B
Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H cũng đến vị trí điểm O
- Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung OHB của đờng tròn đờng kính AB
Nh vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút của
đoạn thẳng OB, tức là khi C B và khi C O
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
.
PCB
MAB
Tìm tập hợp các điểm M
Phần thuận
Ta có: MAB PCB
2
P
(đối đỉnh)
0 1
MAB P PCB P
0
90
AMP hay AMC 90 0
D
C
M
P 1 2
Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dới một góc vuông nên M nằm trên đờng tròn đờng kính AC (cũng là đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD)