giải một bài toán quỹ tích như thế nào

Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên GII MT BI TON QU TCH NH TH NO? PHầN I: Đặt vấn đề Trong chơng trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có từ quỹ tích đợc sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã đợc trả về vị trí xứng đáng của nó. Điều này cũng có lí do chính đáng. Không thể phủ nhận đợc ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện t duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện t duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con ngời. Tuy vậy, cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chơng trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phơng pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các phơng pháp ấy vào việc giải bài tập. Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu đợc một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cô giáo muốn truyền đạt cho họ. Bài toán quỹ tích đợc chính thức giới thiệu ở chơng III- Góc với đờng tròn - trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh khá giỏi đã đợc làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chơng trình hình học lớp 7 và lớp 8. Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán nh thế nào? Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế. Vì: - Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phơng pháp truyền thống, thiên về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đa học sinh vào các tình huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đa các em vào hoạt động rèn luyện kỹ năng t duy không gian. - Một số giáo viên có áp dụng phơng pháp mới, đa ra các tình huống có vấn đề để hớng học sinh giải quyết nhng không giúp học sinh hình thành kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích. Trong chơng trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã đợc làm quen với một số bài toán quỹ tích cơ bản. Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm quỹ tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhng việc giải bài toán quỹ tích ở lớp 9 đợc trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn quỹ tích), phần đảo, phần kết luận. Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu dạng toán này. Trớc hết là để xây dựng cho mình một ph- Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 1 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên ơng pháp dạy học đạt kết quả tốt. Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chơng trình THCS có thể tham khảo và áp dụng. Trong bài viết này, tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tích các thao tác t duy để đi đến lời giải. bằng cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng đợc các kĩ năng, tích luỹ đợc các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu nên các phơng pháp giải toán. PHầN II- Nội dung nghiên cứu 1. Định nghĩa quỹ tích. Một hình (H) đợc gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất . Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất . Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H. 2. Những thao tác t duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích. Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho đợc cái ta cần Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 2 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên phải chứng minh. Những thao tác t duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hớng đợc suy nghĩ, hình dung ra đợc quỹ tích cần tìm là một hình nh thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v nh thế nào? Dới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác t duy chuẩn bị cơ bản nhất. 2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc đợc những yếu tố đặc trng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thờng có 3 loại yếu tố đặc trng: a) Loại yếu tố cố định: thông thờng là các điểm. b) Loại yếu tố không đổi: nh độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v Các yếu tố cố định hoặc không đổi thờng đợc cho đi kèm theo các nhóm từ cố định, cho trớc, không đổi. c) Loại yếu tố thay đổi: thông thờng là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thờng cho kèm theo nhóm từ: di động, di chuyển, chạy, thay đổi v.v Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trớc; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Trong bài toán này thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi. Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi. Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng đợc cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải đợc hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: Cho một đờng tròn cố định thì ta hiểu rằng tâm của đờng tròn là một điểm cố định và bán kính của đờng tròn là một độ dài không đổi, hay nh trong ví dụ 2 sau đây. Ví dụ 2: Cho một đờng thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đờng thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đờng thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 3 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đờng thẳng b. + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C. Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải đợc bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra nh sau: - Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn AB AC là một số không đổi. Nh vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm đợc những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán. 2.2 Đoán nhận quỹ tích Thao tác t duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung đợc hình dạng của quỹ tích (đờng thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đờng tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thớc của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích ta thờng tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung đợc hình dạng quỹ tích. - Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đ- ờng thẳng. - Nếu 3 điểm ta vẽ đợc là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đờng tròn. Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. Đoán nhận quỹ tích - Khi M B thì BM O do vậy AN O hay N A. Vậy A là một điểm của quỹ tích. - Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N I. Vậy I là một điểm của quỹ tích. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 4 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên A BO I N M B' t' - Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đờng tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B trên tiếp tuyến At sao cho AB=AB=2R; B là một điểm của quỹ tích. Do 3 điểm A, I, B không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đờng tròn đi qua 3 điểm A, I, B , tức là đ ờng tròn đờng kính AB . Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên Oy. Ngời ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trớc. Đoán nhận quỹ tích Dễ thấy MA +MB = p Khi A O thì B D trên Oy, mà OD = p Khi B O thì A C trên Ox, mà OC = p. Dự đoán tập hợp của M là đoạn thẳng CD. B M A D C o y x Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt Oy ở C. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC. Dự đoán quỹ tích - Khi B O thì điểm C sẽ dần đến vị trí điểm C 1 thuộc Oy và điểm M đến vị trí M 1 sao cho M 1 O=M 1 C 1 =M 1 A M 1 nằm trên đờng trung trực của OA. O B C A M 1 M 2 M x y z t Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 5 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên - Khi C O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B 1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M 2 sao cho M 2 O=M 2 B 1 =M 2 A M 2 nằm trên đờng trung trực của OA. Dự đoán quỹ tích là đoạn M 2 M 1 thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy. 3. Giải bài toán quỹ tích nh thế nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo. Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này. 3.1 Chứng minh phần thuận Một trong những phơng hớng để chứng minh phần thuận là đa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chơng trình học ở trờng Phổ thông cơ sở, học sinh đã đợc giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau: 1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy. 3) Tập hợp tất cả những điểm cách đờng thẳng b một khoảng l cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng b và cách đờng thẳng b một khoảng l. 4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đờng tròn tâm O, bán kính r. 5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc một góc AMB có số đo bằng ( không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB). Trờng hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dới một góc vuông là đờng tròn đờng kính AB. Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất và quỹ tích của những điểm thoả tính chất là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (nh vậy có thể là cách đều hai điểm cố định; cách một điểm cố định một đoạn không đổi; cách một đờng thẳng cố định một đoạn không đổi v.v ). Nh vậy ta thay việc xét mệnh đề M( ) bằng việc xét mệnh đề M( ) mà M( ) M( ) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD. Đoán nhận quỹ tích Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 6 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Nếu D B thì M P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích. Nếu D C thì M Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích. Nếu D H (với AH BC tại H) thì M I, mà IH=AH. H là một điểm thuộc quỹ tích. Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng PQ, là đờng trung bình của tam giác ABC. Phân tích phần thuận Từ M kẻ MK BC và kẻ đờng cao AH của ABC. Dễ thấy MK= 2 AH . ABC cố định nên AH không đổi suy ra MK không đổi. B A CH D M P Q K - Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng 2 AH . Ta có thể thấy ở đây là: M( ): M là trung điểm của AD. M( ): M cách BC một đoạn không đổi. Nh vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng 2 AH , mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3. Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Qua D ngời ta kẻ đờng thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đ- ờng thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF. Phân tích phần thuận A B C D E F M P Q Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác AEDF là hình bình hành, hai đờng chéo EF và AD giao nhau tại trung điểm, vậy M là trung điểm của EF cũng là trung điểm của AD. Bài toán đợc đa về việc tìm quỹ tích của trung điểm M của đoạn thẳng AD. - Tính chất ở đây là: M( ) M là trung điểm của EF. - Tính chất ở đây là: M( ) M là trung điểm của AD. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 7 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đa về quỹ tích cơ bản trong ví dụ 6. Cần lu ý là khi thay các điểm M( ) bằng các điểm M( ) mà M( ) M( ) thì tập hợp các điểm M( ) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập hợp các điểm M( ), nh trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M( ) là hai đờng thẳng song song và cách đờng thẳng BC một đoạn 2 AH , còn tập hợp các điểm M( ) là đờng trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi. Trong nhiều trờng hợp ta không thành công trong việc đa về các quỹ tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đờng cố định nào đó. Trong trờng hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định. Ví dụ 8: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và một điểm P di động trên nửa đờng tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đờng thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đờng tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M. Phân tích phần thuận Nối MB; do OM//AP nên AO = 1 (đồng vị) 12 PO = (so le trong) Mặt khác 1 PA = (vì OA=OP) P O M A B 1 1 2 t Vậy 21 OO = OBMOPM OM OBOP OO = = = chung 21 OPMOBM = mà 0 90=OPM (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm). Vậy ABBMOMB = 0 90 AB cố định, điểm B cố định mà MB AB M luôn chạy trên tia At vuông góc với AB tại B. Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm ra cho đợc mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó. Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 8 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên - Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm là một đờng tròn. - Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB. - Nếu trong đầu bài xuất hiện một đờng thẳng cố định thì ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đờng thẳng cố định ấy. - Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đờng thẳng song song thì hãy liên tởng đến tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng song song Ví dụ 9: Cho một đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đờng tròn, một điểm N di chuyển trên đờng tròn. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng PN. Phân tích phần thuận P cố định, O cố định, suy ra trung điểm I của OP cũng cố định. Nối IM. Trong tam giác PON thì IM= RON 2 1 2 1 = =không đổi. - Vậy M thuộc đờng tròn tâm I bán kính R 2 1 . O N P I M Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm đợc hình (H) chứa các điểm M có tính chất , nhng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H). Trong trờng hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích. Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo. Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm nh vậy sẽ tránh đợc việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi tiến hành chứng minh phần đảo. Thông thờng, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trờng hợp giới hạn, nh trong ví dụ sau: Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 9 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp các điểm H. Giải 1) Phần thuận. Vì H là hình chiếu của B trên AC nên ACBH 0 90= BHA Hai điểm A, B cố định. Điểm H luôn luôn nhìn hai điểm A, B dới một góc vuông nên H nằm trên đ- ờng tròn đờng kính AB. Chú ý: Đờng tròn này cũng đi qua đỉnh O của góc vuông xOy. O B A C H y x Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di chuyển trên cả đờng tròn đờng kính AB. Ta phải tìm giới hạn. Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B. Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H cũng đến vị trí điểm O. - Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung OHB của đờng tròn đờng kính AB. Nh vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút của đoạn thẳng OB, tức là khi C B và khi C O. Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho: .PCBMAB = Tìm tập hợp các điểm M. Phần thuận Ta có: PCBMAB = 21 PP = (đối đỉnh) 0 12 90=+=+ PPCBPMAB 0 90= AMP hay 0 90=AMC D A B C M P 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 10 - [...]... chất T 2 Nh thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán 4 Thực nghiệm dạy toán quỹ tích 4.1 Lớp khảo sát - Sau khi nghiên cứu chơng III hình học 9 và tìm hiểu tình hình dạy toán quỹ tích ở trờng THCS Giao Thanh, tôi đã chọn dạy thực nghiệm dạng toán quỹ tích ở lớp 9B, tôi chia lớp thành 2 nhóm, nhóm 1 dạy các em phân tích dạng toán quỹ tích theo hớng... phân tích, dẫn giải học sinh đi giải các bài toán quỹ tích dới dạng chuyên đề ở nhóm 1 nh sau: - Tên bài tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12 - Mục đích, yếu cầu: Sau khi giải xong các bài tập, HS nắm đợc yếu tố cố định, yếu tố di động, yếu tố không đổi, biết dự đoán quỹ tích là hình gì, biết dựng bài toán ở phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích - Phơng pháp: Phân tích, nêu vấn đề - Phơng tiện:... nghiên cứu sâu về các bài toán quỹ tích, dạy dạng toán quỹ tích ở trờng THCS, tôi xin nêu ra những điểm cần lu ý khi dạy dạng toán quỹ tích nh sau: 1 Lựa chọn phơng pháp cho phù hợp với từng nhóm đối tợng học sinh, lựa chọn từng đơn vị kiến thức phù hợp với trình độ học sinh 2 Các bài toán đa ra phải đi từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh tất cả các tình huống xảy ra của bài toán, hớng dẫn học... cầu bài toán, và dự đoán quỹ tích các điểm cần tìm để giải bài toán nhanh chóng chính xác Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 16 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên 3 Cần làm cho học sinh hiểu, khi chứng minh phần đảo là đi đặt ra bài toán dựng hình, và chứng minh bài toán đó 4 Đa ra các bài toán tơng tự để học sinh vận dụng và rèn kỹ năng trình bày, phân tích. .. phơng tiện dạy học hiện đại vào việc dạy dạng toán này sẽ đạt hiệu quả cao hơn (vì khi minh hoạ các điểm di động học sinh sẽ nhìn thấy ngay những yếu tố cố định, những yếu tố thay đổi, và quỹ tích các điểm cần tìm một cách trực quan, sinh động) Trên đây là những tìm hiểu, nghiên cứu của tôi về dạng toán quỹ tích, hớng phân tích bài toán quỹ tích để tìm lời giải ngắn gọn, chính xác, nhanh chóng Tôi tin... kết quả phiếu điều tra và kết quả bài kiểm tra cho thấy sau khi tôi áp dụng phơng pháp dạy toán qũy tích theo chuyên đề, phân tích để rút ra hớng giải, đã làm cho học sinh lắm đợc bài tốt hơn, hiểu sâu hơn, nhớ bài lâu hơn so với nhóm đối chứng Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao hơn nhóm đối chứng, yêu thích dạng toán quỹ tích hơn, kết quả các bài kiểm tra toán cũng cao hơn so với nhóm đối... Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên - Ra bài tập kiểm tra học sinh cả hai nhóm Kết quả nh bảng 3 Bảng 2 Kết quả nhóm 1 Kết quả nhóm 2 Nội dung điều tra Số HS TL% Số HS TL% 1 Đợc GV hớng dẫn vẽ hình, phân tích bài 22 100 22 100 toán 2 Sau khi học xong bài, hiểu bài và nhớ lâu 20 90.90 14 63,63 hơn 3 Tự xây dựng đợc phần đảo và chứng 15 68,18 10 45,45 minh tốt bài toán quỹ tích Bảng 3 Điểm tốt Điểm khá Điểm... trong nhiều bài toán, ta chứng minh phần đảo bằng cách lấy một điểm M thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí khác của các yếu tố chuyển động mà M phụ thuộc, sau đó ta chứng minh trong những điều kiện ấy M có tính chất Chúng ta sẽ xét ví dụ cụ thể sau đây Ví dụ 12: Cho một góc vuông xOy Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l... về quỹ tích cần tìm 3.2 Chứng minh phần đảo Thông thờng điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn Trong phần đảo ta làm nh sau: Lấy một vị trí P khác của P và ứng với nó ta đợc điểm M trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh đợc đó là hình chứa những điểm M có tính chất Ta sẽ phải chứng minh M cũng có tính chất Ví dụ 10: 2) Phần đảo Lấy một. .. khăn trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay Sáng kiến kinh nghiệm môn hình học 9 Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ - 14 - Trờng THCS Giao Thanh Tổ khoa học tự nhiên Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm đợc, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài Tính chất T này thờng đợc tách làm hai nhóm tính chất . 7 và lớp 8. Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán nh thế nào? Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế đoán quỹ tích là đoạn M 2 M 1 thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy. 3. Giải bài toán quỹ tích nh thế nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là. . Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H. 2. Những thao tác t duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích. Việc giải một bài toán quỹ tích về thực