Bài toán quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III- Góc với đường tròn - trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh khá giỏi đã được làm quen
Trang 1Giải một bài toán quỹ tích như thế nào?
I: Đặt vấn đề
Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những chỉ có từ quỹ tích được sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã được trả về vị trí xứng đáng của nó Điều này cũng có lí do chính đáng Không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện
tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con người Tuy vậy, cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của chương trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các phương pháp ấy vào việc giải bài tập Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cô giáo muốn truyền đạt cho họ
Bài toán quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III- Góc với đường tròn - trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các học sinh khá giỏi đã được làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chương trình hình học lớp 7 và lớp 8 Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán như thế nào? Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế Vì:
- Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phương pháp truyền thống, thiên về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đưa các em vào hoạt động rèn luyện kỹ năng tư duy không gian
- Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa ra các tình huống có vấn đề để hướng học sinh giải quyết nhưng không giúp học sinh hình thành kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích
Trong chương trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã được làm quen với một
số bài toán quỹ tích cơ bản Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm
Trang 2quỹ tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhưng việc giải bài toán quỹ tích ở lớp 9 được trình bày theo ba phần: Phần thuận (và tìm giới hạn quỹ tích), phần đảo, phần kết luận Xuất phát từ thực tế dạy học, tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu dạng toán này Trước hết là để xây dựng cho mình một phương pháp dạy học đạt kết quả tốt Sau nữa, tôi mong rằng sau bài viết này, các giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chương trình THCS có thể tham khảo và áp dụng Trong bài viết này, tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán quỹ tích trên cơ sở phân tích các thao tác tư duy để đi đến lời giải bằng cách này, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng được các
kĩ năng, tích luỹ được các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu nên các phương pháp giải toán
II- Nội dung nghiên cứu
1 Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất
Trang 3Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất
là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình H
2 Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích.
Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất
2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán
Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm
b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm
từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v
Trang 4Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho
trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB
Trong bài toán này thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy
+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi
Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi
Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định ” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường
thẳng b Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó Tìm tập hợp đỉnh C
Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b
+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C
Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn AC AB là một
số không đổi
Trang 5Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa Để đoán nhận quỹ tích
ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là
sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn
Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Một điểm M di
chuyển trên nửa đường tròn Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM Tìm tập hợp các điểm N
Đoán nhận quỹ tích
- Khi M B thì BM O
do vậy AN O hay N A
Vậy A là một điểm của quỹ tích
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N
I Vậy I là một điểm của quỹ tích
Trang 6A O B
I
N
M
B'
t'
- Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích
Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’.
Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên
Oy Người ta dựng hình chữ nhật OAMB Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước
Đoán nhận quỹ tích
Dễ thấy MA +MB = p
Khi A O thì B D trên Oy,
mà OD = p
Khi B O thì A C trên Ox,
mà OC = p
Dự đoán tập hợp của M là đoạn
thẳng CD.
A
D
C
o
y
x
Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó
Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và
Az cắt Oy ở C
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC
Trang 7Dự đoán quỹ tích
- Khi B O thì điểm C sẽ
dần đến vị trí điểm C1 thuộc
Oy và điểm M đến vị trí M1
sao cho M1O=M1C1=M1A
M1 nằm trên đường trung
trực của OA
O
B
C
A
M1
M2
M
x
y
z
t
- Khi C O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2
sao cho M2O=M2B1=M2A
M2 nằm trên đường trung trực của OA
Dự đoán quỹ tích là đoạn M 2 M 1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy.
3 Giải bài toán quỹ tích như thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ
sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.
3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l.
Trang 84) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng ( không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB) Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A,
B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất
bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất ’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết (như vậy
’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v ) Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M( ) bằng việc xét mệnh đề M( ’) mà M( )
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC Tìm
quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD
Đoán nhận quỹ tích
Nếu D B thì M P, mà AP=BP P là một điểm thuộc quỹ tích
Nếu D C thì M Q, mà AQ=QC Q là một điểm thuộc quỹ tích
Nếu D H (với AHBC tại H) thì M I, mà IH=AH H là một điểm thuộc quỹ tích
Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng
PQ, là đường trung bình của tam giác ABC.
Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK BC và kẻ
đường cao AH của ABC
Dễ thấy MK= AH2
ABC cố định nên AH không
đổi suy ra MK không đổi
B
A
C
H
D
M
K
Trang 9- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng AH2 Ta có thể thấy ở đây là:
M( ): M là trung điểm của AD
M( ’): M cách BC một đoạn không đổi
Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng AH2 , mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3
Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F Tìm quỹ tích trung điểm
M của đoạn thẳng EF
Phân tích phần thuận
A
E
F
M
Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác AEDF là hình bình hành, hai đường chéo EF và AD giao nhau tại trung điểm, vậy M là trung điểm của EF cũng là trung điểm của AD Bài toán được đưa về việc tìm quỹ tích của trung điểm M của đoạn thẳng AD
- Tính chất ở đây là: M( ) M là trung điểm của EF
- Tính chất ’ ở đây là: M( ’) M là trung điểm của AD
Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản trong ví dụ 6
Cần lưu ý là khi thay các điểm M( ) bằng các điểm M( ’) mà M( )
M( ’) thì tập hợp các điểm M( ) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của
Trang 10tập hợp các điểm M( ’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M( ’) là hai đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn AH2 , còn tập hợp các điểm M( ) là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi
Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đường cố định nào đó Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định
Ví dụ 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa
đường tròn Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đường tròn, tại điểm M Tìm tập hợp các điểm M
Phân tích phần thuận
Nối MB; do OM//AP nên
A
O
1 (đồng vị)
1
O
(so le trong)
Mặt khác A P1 (vì
OA=OP)
P
O
M
1
1 2
t
Vậy O1 O2
OM
OB OP
O O
chung
2 1
OBM OPM mà OPM 90 0 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm) Vậy OMB 900 BM AB
AB cố định, điểm B cố định mà MBAB M luôn chạy trên tia At vuông góc với AB tại B
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó
Trang 11- Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm là một đường tròn
- Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB
- Nếu trong đầu bài xuất hiện một đường thẳng cố định thì ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định ấy
- Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đường thẳng song song thì hãy liên tưởng đến tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song
Ví dụ 9: Cho một đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đường
tròn, một điểm N di chuyển trên đường tròn Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng PN
Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy ra
trung điểm I của OP cũng cố
định Nối IM Trong tam
giác PON thì
IM= ON R
2
1 2
1
=không đổi - Vậy M thuộc đường
tròn tâm I bán kính R
2
1
O
N
M
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’) chứa các điểm M có tính chất , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H’) Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích Ta có thể coi phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận Ta cũng có thể đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo