HSG toan 9,15 16

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thức Bài 1: (4 điểm) a/ Chứng minh với số nguyên dương n, số 9n + không chia hết cho b/ Chứng minh: với x số nguyên lẻ, giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – x + 21 chia hết cho Bài 2: (4 điểm) a/ Cho biểu thức y = x2 − x x + x +1 b/ Giải phương trình sau : Bài 3: (4 điểm) − x2 + x x − x +1 Hãy rút gọn A = - y + x + với ≤ x < x + + x −1 + x + − x −1 = a/ Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = Chứng minh + ≥ Đẳng thức a 4b xảy nào? b/ Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó: A = x − x − 2015 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB E, tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC D a/ Chứng minh tam giác AED ABC đồng dạng b/ Tính tổng ME2 + MD2, biết MC = 8cm DC = DA Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I (với I khác O) Tia DA cắt tia BC E nằm đường tròn Gọi H K theo thứ tự hình chiếu A B CD a/ Chứng minh EA.ED = EB.EC b/ Chứng minh CH = DK - HẾT - UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài 1a/ 1,5 đ 1b/ 2,5 đ 2a/ 2đ Nội dung đáp án Ta có: 9n + = (3n)2 + Số 3n số lẻ (tận 1,3,7,9) Do đó: 3n = 2k + Nên (3n)2 + = (2k + 1)2 + = 4k2 + 4k + + = 4k(k + 1) + 4k(k+1) M4 ; không chia hết cho Vậy 9n + = (3n)2 + không chia hết cho Do x số nguyên lẻ nên x3, 3x2, x số lẻ ⇒ A = x3 – 3x2 – x + 21 chẵn, hay A M2 Mặt khác ta có x3 – x = x(x – 1)(x + 1) M3, ∀x ∈ ¢ ⇒ A = x(x – 1)(x + 1) – 3x2 + 21 M3, ∀x ∈ ¢ Mà (2,3) = nên A M2.3 hay A M6 với x số nguyên lẻ x y= ( )( ) − x( x −1 x + x +1 x + x +1 A = − −2 x + x + = − ( )( ) =x− x +1 x − x +1 x − x +1 ) x −1 = 1− x − x − x = −2 x x −1 = 1+ x −1 = x Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 (do ≤ x < ⇒ x − < ) 2b/ 2đ x + + x −1 + x + − x −1 = ⇔ x −1 + x −1 + + x −1 − x −1 + = ⇔ ( x −1 + ) + ( x −1 − ) =5 x −1 − = 0,25 0,25 0,25 ⇔ x −1 + + ⇔ x − − = − x − (có thể chia trường hợp để giải) 0,25 ⇔ x − − ≤ 0(vi A = − A ⇔ A ≤ 0) 0,5 ⇔ 3a/ 2đ Đkxđ: x ≥ x − ≤ ⇔ ≤ x − ≤ 32 ⇔ ≤ x ≤ 10 Vậy nghiệm phương trình ≤ x ≤ 10 Từ a + b = ⇔ 4a + 4b = 4 4 Vế trái: + = + + − = + + 4a + 4b − = a 4b a 4b a 4b 4    =  + 4a ÷+  + 4b ÷− ≥ ×4a + ×4b − = 10 − = a 4b a   4b  0,5 0,25 0,25 3b/ 2đ 4  a =1  a = 4a  ⇔ Vậy + ≥ dấu “=” xảy  (vì a > 0; b > 0) a 4b  = 4b b =  4b A = x − x − 2015 có điều kiện: x ≥ 2015 Ta có A = x − x − 2015 = x − 2015 − x − 2015 + + 2014 4 1 3  =  x − 2015 − ÷ + 2014 ≥ 2014 2 4  1 Dấu “=” xảy x − 2015 − = ⇔ x − 2015 = ⇔ x = 2015 (thỏa điều 4 kiện) Vậy minA = 2014 x = 2015 4 0,5 0,25 0,5 0,5 0,75 0,25 A D E // B a/ 2đ b/ 2đ M C DC MC = (1) DA MA EB MB = (2) Vì ME phân giác góc AMB nên ta có: EA MA DC EB = Do MB = MC (gt) nên từ (1) (2) sauy ra: DA EA Theo định lí Ta-Let đảo ta có ED // BC Vậy ∆AED ∆ABC Theo giả thiết MB = MC = BC:2 ⇒ BC = 2MC = 2.8 = 16cm DC DC + DA + AC = ⇒ = ⇒ = mà DA DA AD BC AC 16 = ⇔ = ⇒ ED = 10cm ∆ABC ⇒ Vì ∆AED ED AD ED Mặt khác ME ⊥ MD (do phân giác hai góc kề bù) Xét ∆ EMD vuông M, theo Py-Ta-Go: ME2 + MD2 = ED2 = 102 =100 Vì MD phân giác góc AMC nên ta có: D K B O 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,75 0,5 0,5 0,25 N M I A H C a/ // E Ta có ∆ ABC nội tiếp (O), có AB đường kính nên ·ACB = 900 0,25 ∆ ABD nội tiếp (O), có AB đường kính nên ·ADB = 900 2đ Chứng minh: ∆ ECA ∆ EDB (g – g) EC EA = ⇒ EB.EC = EA.ED ED EB Kẻ OM ⊥ CD, OM cắt AK N ⇒ MC = MD ON//AH//BK OA = OB  Xét ∆ AKB có :  ⇒ AN = NK ON // BK  ⇒ b/ 2đ Xét ∆ AHK có : AN = NK   ⇒ MH = MK MN // AH  ⇒ MC – MH = MD – MK , hay CH = DK 0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5