UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 Đề thức ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,0 điểm) a/ Cho 3a + 2b + c chia hết cho Chứng minh 23a + 13b + 17c chia hết cho b/ Cộng tử mẫu phân số 23 với số tự nhiên n rút gọn, ta 40 Tìm số tự nhiên n Bài 2: (4,0 điểm) Không dùng máy tính, so sánh hai số trường hợp đây: a/ x = 9920 y = 999910 b/ M = 7520 N = 4510.530 c/ A = 108 + 108 ; B = 108 − 108 − Bài 3: (6,0 điểm) 1 1 x+4 a/ Tìm số nguyên x, biết: − ÷×3 − 4.3 = − 4.3 2 6 b/ Tìm x, biết: x − + 3x = c/ Tìm số x, y, z, biết rằng: 2x = 3y ; 4y = 3z x2 – y2 + 2z2 = 108 Bài 4: (2,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC có ·ABC − ·ACB = 200 Tia phân giác BAC cắt cạnh BC D, tia phân giác A cắt tia CB E Tính số đo ·AEB , ·ADB ? Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC, K trung điểm AB, E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối tia EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A trung điểm MN - HẾT x 16 13 UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài 1a 2đ 1b 2đ Nội dung đáp án 23a + 13b + 17c = (14a + 7b + 14c) + (9a + 6b + 3c) = 7(2a + b + 2c) + 3(3a + 2b + c) Ta có : 7(2a + b + 2c) M 3(3a + 2b + c) M (giả thiết) Vậy 23a + 13b + 17c = (14a + 7b + 14c) + (9a + 6b + 3c) M Sau cộng n vào tử mẫu phân số cho ta phân số 23 + n 40 + n Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Khi tử mẫu (40 + n) – (23 + n) = 17 Ta có sơ đồ sau: Tử số mới: Mẫu số mới: Tử số mới: 17.3 = 51 Số n phải tìm: 51 – 23 = 28 Thứ lại: 4đ 3a 1,0đ 23 + 28 51 = = 40 + 28 68 y = 999910 = (99.101)10 = 9910.10110 9910.10110 > 9910.9910 = 9920 Vậy x < y M = 7520 = (3.52)20 = 320.540 N = 4510.530 = (5.32)10.530 = 320.510.530 = 320.540 Vậy M = N 108 + A= =1 10 − 10 − 108 B= =1 10 − 10 − 3 Vì < nên A < B 10 − 10 − 1 x+4 x 16 13 Tìm số nguyên x, biết: − ÷×3 − 4.3 = − 4.3 2 6 x ×3 ×3 − 4.3x = 313.33 − 4.313 3x ( 33 − ) = 313 ( 33 − ) 3x = 313 x = 13 3b 1,0đ x − + 3x = 0,5 0,5 0,5 1,5 1,0 1,5 1,0 * Xét x ≥ ta có: x – + 3x = ⇔ 4x = 3c 4đ ⇔ x= (loại) 0,5 x A * Xét x < ta có: – x + 3x = ⇔ 2x = ⇔ x = (nhận) Vậy x = Tìm số x, y, z, biết rằng: 2x = 3y ; 4y = 3z x2 – y2 + 2z2 = 108 x y y z 2x = 3y ⇒E = ; 4y = 3z ⇒ = 3 2 2 2 x y 2z x − y + 2z 108 ⇒ = = = = =4 32 + + 32 27 ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4 ⇒ y = 36 ⇒ y = ±6 ⇒ z2 = 128 ⇒ z2 = 64 ⇒ z = ±8 x B⇒ D= 0,5 y z =C 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy x1 = ; y1 = ; z1 = x2 = - ; y2 = - ; z2 = - 1,0 0,25 µ =B ¶ −µ A3 (góc ngoài) Xét ∆ ABC có E 0,25 2đ µ =A ¶ −C µ (góc ngoài) Xét ∆ AEC có E 0,25 0,25 µ =B ¶ −C µ + ¶A − µ ⇒ 2E A3 ¶ µ µ = B2 − C (do µ ¶ ) ⇒E A3 = A µ = 20 = 100 ⇒E 0,25 0,25 · Vì AE AD phân giác A nên EAD = 900 µ + EDA · · µ = 900 − 100 = 800 Xét ∆ AED có E = 900 ⇒ EDA = 900 − E 4đ M 0,25 0,25 N A K x B Chứng minh ∆ AKM = ∆ BKC (c – g – c) · · AM // BC ⇒ AM = BC ; KAM = KBC Chứng minh ∆ AEN = ∆ CEB (c – g – c) · · AN // BC ⇒ AN = BC ; EAN = EBC x // 0,5 E // C 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ AM // BC AN // BC suy M, A, N thẳng hàng (1) Từ AM = BC AN = BC suy AM = AN (2) Từ (1) (2) suy A trung điểm MN 0,5 0,5 0,5