Trờng THCS Đức Thắng đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 năm học 2010-2011 Môn Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x 2 -2x)(x 2 -2x-1) - 6 b, Cho x Z chứng minh rằng x 200 + x 100 +1 x 4 + x 2 + 1 Câu 2: (1.5đ) Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +Z = xyz và x 1 + y 1 + z 1 = 3 Tính giá trị của biểu thức P = 222 111 zyx ++ Câu 3: (2đ) Tìm x biết a, 23 +x < 5x -4 b, 57 43+x + 54 46+x = 48 52 51 49 + + + xx Câu 4: (2đ) a, Chứng minh rằng A = n 3 + (n+1) 3 +( n+2) 3 9 với mọi n N * b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = yx z xz y zy x + + + + + Câu 5: (2.5đ) Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b . Vẽ các đờng phân giác BD, CE a, Chứng minh rằng DE // BC b, Tính DE từ đó suy ra baDE 111 += Câu 6: Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x 2 = y 2 + 2y +13 Hết Họ tên Thí sinh: Trờng THCS Đức Thắng Hớng dẫn chấm hsg toán 8 Câu1(2đ) a,đặt a = x 2 -2x thì x 2 -2x -1 = a-1 A = (x+1)(x-3)(x 2 -2x+2) b, A = x 200 +x 100 + 1= (x 200 -x 2 ) + (x 100 -x 2 )+ (x 4 +x 2 +1) =x 2 (x 198 -1)+x 4 (x 96 -1) + (x 4 +x 2 +1) = x 2 ((x 6 ) 33 -1)+x 4 ((x 6 ) 16 -1) + (x 4 +x 2 =1)= x 2 (x 6 -1).B(x) +x 4 (x 6 -1).C(x) +(x 4 +x 2 +1) dễ thấy x 6 -1 =( x 3 -1)(x 3 +1)= (x+1)(x-1)(x 4 +x 2 +1) x 4 + x 2 + 1 A x 4 + x 2 + 1 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Cau 2 : (1.5đ) Có ( 2 ) 111 zyx ++ = 222 111 zyx ++ + 2( ) 111 yzxzxy ++ ( 2 )3 = p + 2 xyz xyz ++ ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz) suy ra P = 1 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 3: (2đ) a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4 làm đúng đợc x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung (x+100)( 48 1 51 1 54 1 57 1 + ) = 0 S = { } 100 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 4: (1.5đ) a, = n 3 +(n 3 +3n 2 +3n+1)+(n 3 +6n 2 +12n+8) =3n 3 +9n 2 +15n+9 = 3(n 3 +3n 2 +5n+3) Đặt B= n 3 +3n 2 +3n+1 = n 3 +n 2 + 2n 2 +2n + 3n+3 =n 2 (n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) 3 B 3 A =3B =3.3K =9K 9 b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 2 cba ++ x = 2 cba ++ ; y = 2 cba + ; z= 2 cba + P = c cba b cba a cba 222 + + + + ++ = )111( 2 1 c b c a b c b a a c a b ++++++ = ))()()(3( 2 1 b c c b c a a c b a a b ++++++ 2 3 Min P = 2 3 ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ Câu 5: (2đ) a, à à 1 2 B B= a b BC BA DC AD == (1) à à 1 2 C C= AE CA b EB CB a = = (2) Từ (1) và (2) suy ra AD AE DC EB = DE//BC b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD BC AC = hay x b x a b = ; ax +bx =ab ; x = ab a b+ = DE Suy ra 1 1 1a b DE ab a b + = = + x 2 1 2 1 x A B C D E 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Câu 6: 1đ -HS biến đổi đợc x 2 = y 2 + 2y +13 x 2 = (y + 1) 2 + 12 (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y N * nên (x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số nguyên dơng chẵn. Mà 12 = 2.6 Chỉ xảy ra một trờng hợp (x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 x = 4 và y = 1 0.25đ 0.25đ 0.5đ Trên đây chỉ là gợi ý chấm .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa . x, y thoả mãn x 2 = y 2 + 2y +13 Hết Họ tên Thí sinh: Trờng THCS Đức Thắng Hớng dẫn chấm hsg toán 8 Câu1(2đ) a,đặt a = x 2 -2x thì x 2 -2x -1 = a-1 A = (x+1)(x-3)(x 2 -2x+2) b, A = x 200 . Trờng THCS Đức Thắng đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 năm học 2010-2011 Môn Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x 2 -2x)(x 2 -2x-1)