HSG toan 8,15 16 (1)

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 Đề thức ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm) a/ Tìm số nguyên dương n để n5 + chia hết cho n3 + b/ Chứng minh rằng: n(n + 2(25n2 – 1) chia hết cho 24 với số tự nhiên n Bài 2: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 b/ (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 Bài 3: (4 điểm) a/ Tìm x, y cho A = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2044 có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ? b/ Cho a b c x y z x2 y2 z + + = + + = Chứng minh rằng: + + = x y z a b c a b c Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Các đường trung tuyến AM, BD, CE cắt G Chứng minh : a/ BD + CE > a b/ AM + BD + CE > (a + b + c) Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD, CE Gọi H K hình chiếu B C đường thẳng DE a/ Chứng minh EH = DK b/ Nếu tam giác ABC cân A tứ giác BCKH hình ? Vì sao? - HẾT - UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Khóa ngày 15/11/2015 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài 1a 2đ 1b 2đ 2a 2đ 2b 2đ 3a 2đ 3b 2đ Nội dung đáp án n5 + M n3 + ⇔ n2(n3 + 1) – (n2 – 1) M n3 + ⇔ (n + 1)(n – 1) M (n + 1)(n2 – n + 1) ⇔ (n – 1) M (n2 – n + 1) (vì n + khác 0) Nếu n = ta chia hết cho Nếu n > n – < n(n – 1) + = n2 – n + n – không chia hết cho n2 – n + Vậy giá trị n n(n + 2(25n2 – 1) = n(n + 2)(n2 – + 24n2) = n(n + 2)(n2 – 1) + 24n2.n(n + 2) = (n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 24n3(n + 2) Vì (n – 1)n(n + 1)(n + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, cho 3, cho Do (n – 1)n(n + 1)(n + 2) M 2.3.4 hay (n – 1)n(n + 1)(n + 2) M 24 Mặt khác 24n3(n + 2) M 24 Vậy n(n + 2(25n2 – 1) chia hết cho 24 với số tự nhiên n Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c ⇒ a + b + c = ⇔ a + b = - c ⇔ (a + b)3 = (-c)3 ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 ⇔ a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc Vậy (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = = (x2 + 7x + 11 – 1)(x2 + 7x + 11 + 1) – 24 = [(x2 + 7x + 11)2 – 1] – 24 = (x2 + 7x + 11)2 – 52 = (x2 + 7x + 16)(x2 + 7x + 6) = (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6) A = (x2 – 6xy + 9y2) + (4x – 12y) + (x2 – 10x + 25) + 2019 A = (x – 3y)2 + 4(x – 3y) + + (x – 5)2 + 2015 A = (x – 3y + 2)2 + (x – 5)2 + 2015 ≥ 2015  x=5  x−5 =  ⇒ Vậy minA = 2015  x − y + =   y =  a b c ayz + bxz + cxy = ⇔ ayz + bxz + cxy = Từ + + = ⇔ x y z xyz Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x y z x y z Từ + + = ⇒  + + ÷ = 12 a b c a b c 0,5 ⇔ x2 y2 z  xy xz yz  + + +  + + ÷= a b c  ab ac bc  0,5 x2 y2 z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = ⇒ dpcm a b c a/ Trong ∆GBC có GB + GC > BC 2 Mà GB = BD ; GC = CE 3 Nên GB + GC = (BD + CE) 3 3 ⇔ BD + CE = (GB + GC) > BC = a 2 ⇔ 4a 2đ 4b 2đ b/ Từ câu a/ BD + CE > 0,5 0,5 A _ 0,5 x D E G _ B C // // 0,5 x M 0,5 a Chứng minh tương tự câu a ta có: 3 c ; CE + AM > b 2 ⇒ 2(AM + BD + CE) > (a + b + c) ⇒ AM + BD + CE > (a + b + c) BD + AM > 5a 2đ Gọi M trung điểm BC ∆ EBC vuông E có EM trung tuyến, nên EM = BC : ∆ DBC vuông D có DM trung tuyến, nên DM = BC : ⇒ EM = DM hay ∆ MDE cân M 0,5 0,5 A K E H I x 0,75 B 5b 2đ x D // M Gọi I trung điểm DE IM ⊥ DE ⇒ MI // BH // CE ⇒ MI đường trung bình hình thang BHKC ⇒ IH = IK ⇒ IH – IE = IK – ID hay HE = DK Nếu ∆ ABC cân A AB = AC Khi ∆ ABD = ∆ ACE (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ AD = AE hay ∆ ADE cân A ⇒ ∆ ABC cân A ∆ ADE cân A, có góc A chung ⇒ ·ABC = ·AED ⇒ ED // BC · ⇒ BHKC hình bình hành có BHK = 900 nên hình chữ nhật // C 0,75 0,5 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25