ks hsg -toan 9 lan 1 06-07

Phòng GD Vĩnh Tờng Đề khảo sát đội tuyển HSG lớp 9 lần 1 năm học 2006-2007 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: a, Tìm các số tự nhiên a, b, c thoả mãn hệ phơng trình: += = )(2 3 2 333 cba abccba b, Giải hệ phơng trình: = =+ xyyzx xyz 4121 21 2 2 Câu 2: a, Cho a R thoả mãn: a 5 a 3 + a = 2 Chứng minh rằng: 3 < a 6 < 4 b, Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z 2 xy + 3y + 2z 4 Câu 3: a,Tìm x, y thoả mãn các phơng trình sau: 121 20072006 =+ xx và x 2 + y 2 2x = 11 b, Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: n 4 + n 3 +1 là số chính phơng Câu 4: a, Cho đờng tròn tâm O bán kính r nội tiếp trong ABC . Đờng tròn (O, r) tiếp xúc với BC, CA, AB tại M, N, P. Gọi p = 2 1 chu vi ABC . Biết =++ 3 4 3 4 3 4 NA CN MC BM BP AP p. Tính các góc của ABC . b, Với 2007 đờng tròn đồng tâm O. Qua B nằm ngoài 2007 đờng tròn đó, kẻ 2 * 2007 tiếp tuyến đến 2007 đờng tròn. Chứng minh 2 x 2007 tiếp điểm trên cùng thuộc một đờng tròn. Câu 5: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c > 0 thì: 3 959595 969696 abc cba cba ++ ++ Phòng GD vĩnh tờng Đáp án chấm khảo sát đội tuyển hsg lớp 9 lần I Năm học 2006-2007 Môn: Toán Câu 1: (2.5 điểm) a,Phân tích pt (1) thành nhân tử , ta đợc (a b c)(a 2 + b 2 + c 2 +ab bc + ac) = 0 Hay 2 1 (a b c) [(a + b ) 2 +(a + c ) 2 + (b - c ) 2 ] = 0 (a b c) = 0 hoặc (a + b ) 2 +(a + c ) 2 + (b - c ) 2 = 0 *Nếu a b c = 0 thì a = b + c thay vào pt (2) ta có: a 2 = 2a a(a 2) = 0. Do đó: a = 0 hoặc a = 2 +Với a = 0 thì b + c = 0 mà b, c N nên b = c = 0 +Với a = 2 thì b + c = 2 mà b, c N nên b = 0; c = 2 hoặc b = 2; c = 0 hoặc b = c = 1 *Nếu (a + b ) 2 +(a + c ) 2 + (b - c ) 2 = 0 thì a= -b; a = -c và b = c mà a, b, c N nên a = b = c = 0 Vậy các số tự nhiên a, b, c cần tìm là: a = b = c = 0; a= 2, b = 2, c = 0; a = 2, b = 0, c = 2 và a = 2, b = c =1 b, Từ pt (1) ta suy ra: xy 4 1 Từ pt (2) ta có: xy 4 1 Vậy xy = 4 1 . Từ đó ta có hệ = = = = =+ = 1 0 4 1 01 11 4 1 22 2 x z xy x z xy Vậy nghiệm (x, y, z) là (1; 4 1 ; 0) và (-1; - 4 1 ; 0) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Câu 2: (2.5 điểm) a, Từ ĐK bài toán suy ra a 0 nên ta có: a 6 + 1 = (a 2 + 1)(a 4 a 2 +1) )( 1 35 2 aaa a a + + = 00) 1 (2) 1 (2 2 >>+= + = a a a a a Do: 3412 1 66 ++ aaa a 0.25 đ Dấu = xảy ra a = 1 (loại) Vậy 3 6 > a (1) Mặt khác, ta có: 2 + a 3 = a 5 + a 2 1 1 2 2 2 3 >+=+ a a a (do a 1 ) Do đó: a 3 < 2 a 6 <4 (2) Từ (1), (2) suy ra đpcm. b, Ta có: 423 222 ++++ zyxyzyx 0423 222 +++ zyxyzyx 0)1()1 2 (3) 2 ( 222 ++ z yy x (*) Từ (*) thấy VT 0 Do đó, ta có: = = = = = = 1 2 1 01 01 2 0 2 z y x z y y x 0.5 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ Câu 3 ( 2 điểm) a, Giải pt (1) ta có: + Nếu x < 1 loại do VT > 1 + Nếu x > 2 loại do VT > 1 + Nếu 1 < x < 2 thì 1)2()1(21 2007 2006 =++<+ xxxx loại *Với x = 1; x = 2 thoả mãn. Vậy pt (1) có 2 nghiệm là x = 1 hoặc x = 2 + Nếu x = 1 thì pt (2) 1212 2 == yy + Nếu x = 2 thì pt (2) 1111 2 == yy *Vậy các (x,y) thoả mãn cả 2 pt (1) và (2) là: (1; 12 ); (1; - 12 ); (2; 11 ); (2; - 11 ) b, Giả sử n 4 +n 3 +1 là số chính phơng Vì 2234 )(1 nnn =++ nên ta có: 2242234 2)(1 kknnknnn ++=+=++ (Với k là 1 số nguyên dơng nào đó) 01)2( 22 = kknn Đặc biệt 22 1 nk Do đó: k 2 = 1 hoặc 1 22 kn *Nếu k 2 = 1 thì k = 1; n 2 (n 2) = o ta có n = 2 ( thoả mãn) *Khi k 1 thì 222 1 nkk > 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ B C M P A N nk > suy ra n 2 k < 0 (Mâu thuẫn với ĐK 01)2( 22 = kknn Vậy n = 2 thoả mãn ĐK bài toán. 0.5 đ Câu 4 (2 điểm) áp dụng Bđt CôSi ta có: APBP BP AP BPBPBP BP AP 4*4 4 3 3 4 3 4 =+++ (1) Tơng tự MBMC MC BM 43 3 4 + (2) CNNA NA CN 43 3 4 + (3) Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta đợc: )(4)(3 3 4 3 4 3 4 NCMBPANAMCBP NA CN MC BM BP AP +++++++ pNAMCPB NA CN MC BM BP AP =++++ )( 3 4 3 4 3 4 Dấu = xảy ra tơng đơng với xảy ra các dấu bằng ở (1); (2); (3) tức là AP = BP; MB = MC; CN= NA hay AB = BC = AC hay góc A, góc B, góc C bằng nhau và bằng 60 0 . b, BP, BM là tiếp tuyến của (O) Suy ra == PMBOPBMO ,90 0 đờng tròn đờng kính BO. Nh vậy 2 * 2007 tiếp điểm ( do 2*2007 tiếp tuyến kẻ từ B đến 2007 đờng tròn) đềo thuộc đờng tròn đờng kính OB. Vậy 2*2007 tiếp điểm thuộc đ- ờng tròn đờng kính BO. 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Câu 5 (1 điểm) Do vai trò bình đẳng của các số a, b, c nên ta có thể giả sử cba < 0 959595 cba áp dụng Bđt Trê B Sép ta có: 3.(a.a 95 + b.b 95 + c.c 95 ) ))(( 959595 cbacba ++++ 3 959595 969696 cba cba cba ++ ++ ++ (1) áp dụng Bđt Cô Si ta có: O 3 3 abc cba ≥ ++ (2) Tõ (1), (2) suy ra §pcm. CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LÒNG VÀO WEBSITE: http://phantu2010.violet.vn . 2, b = c =1 b, Từ pt (1) ta suy ra: xy 4 1 Từ pt (2) ta có: xy 4 1 Vậy xy = 4 1 . Từ đó ta có hệ = = = = =+ = 1 0 4 1 01 11 4 1 22 2 x. (1) và (2) là: (1; 12 ); (1; - 12 ); (2; 11 ); (2; - 11 ) b, Giả sử n 4 +n 3 +1 là số chính phơng Vì 2234 ) (1 nnn =++ nên ta có: 2242234 2) (1 kknnknnn ++=+=++