Chuyên đề 6 tổ hợp xác suất nhị thức niuton

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T.. + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt... Tài liệu ôn thi

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

Chuyên đề

Bài 1 NHỊ THỨC NEWTON

I Kiến thức cơ bản cần nắm vững

 Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:

0

n

k

=

 Nhận xét trong khai triển nhị thức:

+ Trong khai triển (a b± )n có n + số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu 1

và số hạng cuối thì bằng nhau: k n k

= + Số hạng tổng quát dạng: 1 k n k k

T+ =C a− b và số hạng thứ N thì k=N− 1 + Trong khai triển (a b− )n thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n

+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn như:

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + → + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

1

x

=−

−

• − = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − =

 Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):

+ Hoán vị: P n=n! =n n.( −1).(n−2) 3.2.1, (n≥1)

+ Chỉnh hợp: ! , 1( )

( )!

k n

n

n k

+ Tổ hợp: !

, (1 )

!.( )! !

k

n

A n

1

+

II Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước

(ax + bx ) kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P k n k n n

BT 1 Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:

a)

12

1 , 0

x

5 3 2

1

x x

c)

10

1

2x , x 0

x

12

3 3

x x

e)

12

1

, 0

x

+ ∀ >

18 5

1

2x , x 0

x

g)

7 3

4

1 , 0

x

+ ∀ >

17

4 3

3 2

1

, 0

x

BT 2 Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) (2x−3 ) y17 M=x y8 9 ĐS: 9 8 9

17

3 2 C

−

25

C

9

3 C

−

TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON

6

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

11

3 C

12

3 C

− f) (x2−2 ) x10 M=x16 ĐS: 3360

g)

40 2

1 , 0

x

31

40

C

h)

10

2 2

, 0

x

11

10

2 C

− i) (3x− 2 x) 7

j)

10

, 0, 0

x

y

6 2

k) (1+ +x x2+x3 5) M=x10 ĐS: 101

l) x(1 2 )− x5+x2(1 3 ) + x10 M=x5 ĐS: 3320

(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) +(2x+1) M=x5 ĐS: 896

BT 3 Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:

a)

5

1 , 0

x

c)

15

1 , 0

x

− ∀ >

5

15

C

25

2 3 C

BT 4 Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn C n3=5C1n Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị

thức Newton của 3

4

, 0 5

n

+ >

−

4

7 35

C =

b) Tìm hệ số của 4

x trong khai triển biểu thức 2 3 , 0,

n

x

  biết n là số tự nhiên thỏa mãn

hệ thức: 6 2

n

C − n A

c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: 3

5 28

1

n

x

  biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: C n n+C n n−1+C n n−2 =79 ? ĐS: 792

d) Cho 3 1

5

log 9 7

5 x

a= −+ và

1 5

1 log ( 3 1) 5

5

x

b

−

= Tìm các số thực ,x biết rằng số hạng chứa a trong khai 3

triển Newton: (a b+ )8 bằng 224 ĐS: x=1 ∨ x=2 e) Tìm các giá trị của ,x biết trong khai triển 2lg(10 3 )x 52( 2)lg 3

n x

+

  có số hạng thứ 6 bằng 21

và C1n+C3n=2C n2 ĐS: x=0 ∨ x= 2 f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C2n+2A2n=3n2+15 Tìm số hạng chứa x trong khai 10

triển nhị thức Newton: 3

2

3

n

x

4 6 4 10

10.2 3

∈ ℕ Biết rằng a3=2014a2

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3 2

, 0

n

x

+ >

  Biết rằng n thỏa mãn điều

2

15.2 320320

i) Cho n +

∈ ℤ và , , (a b b >0) Biết trong khai triển nhị thức Newton

n a b b

+

  có hạng tử chứa

4 9,

a b tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ? ĐS: 5005a b 6 6

j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3 2 1 2

C − −C − =C C− ++ Tìm hệ số của số hạng chứa x 11

trong khai triển: 3 8 , 0

3

n

x

−

8 8

12.4

C

k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 2

1

+ = + Tìm hệ số của x trong 7

khai triển: (1 2 )(2− x3 +x)n ? ĐS: 2224−

P= − +x x −x =a +a x a x+ + +a x Tìm a ? 7 ĐS: 40− m) Tìm hệ số của x trong khai triển: 5 P=x(1 2 )− x n+x2(1 3 ) ,+ x2n biết rằng 2 1

1 5

n

+

− = ĐS: 3320

P x = x+ x+ =x +a x +a x + +a x a+ Tìm a ? 5 ĐS: 672

o) Cho: ( )

3 2

, 0

x x

= −  + −  ∀ ≠

  Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm

2) Khai triễn dạng: (a + bx p + cx ) q n kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P k n k n n

Viết

n

0 0

.( ) ( ) ,

n k

k n k i k i i

k i

C a− C bx − cx

= =

=∑∑ với , k i ∈ ℕ

BT 5 Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) (1+ +x 3 ) x2 10 M=x4 ĐS: 1695

b) (1 2+ x+3 ) x2 10 M=x4 ĐS: 8085

c) (1+ +x 2 ) x2 10 M=x17 ĐS: 38400

d) (2+ x−3 ) , x2 5 ∀ ≥x 0 M=x2 ĐS: 230.−

f) 2 3 8

g) (1+ +x x2+x3 5) M=x10 ĐS: 101

h)

12

4 1

1 x , x 0

x

8

BT 6 Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

(1+ −x x ) =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 8 ĐS: a =8 45 b) Cho ( ) 1 2

( ) , 0

n

x

= − +  ∀ ≠

  Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển ( )

P x biết n thỏa: 3 2

1

2

c) Tìm hệ số x4 trong khai triển biểu thức 3 1 1 , ( 0)

n

x

  ? Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 3C1n+1+8C n2+2 =3C3n+1 ĐS: 4422

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

− + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Xác định hệ số a biết 6, rằng:

15 3

1 2

1

n

a

a + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =   ⋅

(1 2 ) (3 4+ x + x+4 )x =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tìm a ? 6 ĐS: a =6 482496 f) Tìm hệ số của x trong khai triển Newton: 10

2 2

3

1 ( 2) 4

n x

  với n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 3 n 2 14

3) Khai triển (ax p + bx ) ; a q n ( + bx p + cx ) q n kết hợp tính tổng đơn giản

Khai triển Newton: ( )n 0 n 1 n1 n1 n1 n n,

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + với:

 Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1

 Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng (a b− ) n

 Trong biểu thức có 0 2k 4k

C +C +C (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a b− )n và (a b+ )n khi chọn , a b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi

(khi toàn lẻ) theo từng vế

BT 7 Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x2)n là 1024 Tìm hệ số của x ? 12 ĐS: n =10; 210

BT 8 Tìm hệ số của x trong khai triển 6 1 3

,

n x x

+

  với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ

số trong khai triển bằng 1024 ? ĐS: n =10; 210

BT 9 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 ( ) 5

3

x

= + 

  với x > Biết n thỏa mãn 0 điều kiện: 1 2 n1 n 4095

12.2 7920

BT 10 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n 3 3 ( 1)n n 2048

− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ĐS: 10

10 11.2 22

BT 11 Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x−3 ) , (x2 n x>0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng các hệ số trong khai triển bằng 2048− ? ĐS: 4455.−

BT 12 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n3 3 ( )1 n n 2048

BT 13 Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức 9

(2 1) ( 2) ,n

P= x− x+ biết rằng n là số nguyên dương: C n0+C1n+C n2+ +C n n=2048 ? ĐS: 8960

BT 14 Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3 ) ,x2n trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn

+ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = ? ĐS : a = −7 2099520

BT 15 Tìm hệ số x4 trong khai triển (1+ +x 2 ) ,x2 n biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

2 2 2 2n 512

BT 16 Hãy tìm hệ số của x5 trong khai triển: P x( ) (1 2= − x+4x2 3)n

2014 2014 2014 2014 2014 2 n 1

C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C = − với n là số nguyên dương

5 2 12 34 8 12 44 ( 2) 12 5

BT 17 Tìm hệ số chứa x18 trong khai triển P x( ) (= x+2) (13 x2−2x+4)n Biết n nguyên dương thỏa mãn

C + +C + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C + = − ĐS: a =18 15138816

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

(a + bx)

Xét khai triển nhị thức Newton (a bx+ )n có số hạng tổng quát: 1 k n k k k

T C a−b x

Đặt k n k k, 0

= ≤ ≤ thì dãy hệ số là { }a Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa k

hệ phương trình: 1

1

k k

o

k k

k

+

−

 ≥



≥

o o o o

k n k k

BT 18 Trong khai triển

11

1 2

3 3

x

+

  thành

o

a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm k để hệ số a lớn nhất và k

tính nó ? (0≤ ≤k 11, :k nguy n)ê ĐS:

8 8 max 11 11

2 3

k

BT 19 Cho khai triển : (1 2 )n 0 1 n,

n

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ + trong đó n ∈ ℤ và các hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn n

hệ thức 1

n n a a

a + + ⋅ ⋅ ⋅ + = Tìm số lớn nhất trong các số a a0, , ,1 a ? ĐS: n amax =126720

BT 20 Cho khai triển 2

1

2 3

n

n n

x

+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

  Tìm số lớn nhất trong các số a a a0, , , ,1 2 a ? n

Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 2 n 2 2 n2 n1 1 n1 11025

C C − C −C − C C −

62208

BT 21 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong khai triễn trên bằng 7

(a + b)

Xét khai triển (a b+ )n có số hạng tổng quát:

m r

p q

k n k k k

C a−b C

= α β với , α β là các số hữu tỉ Số

hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ: ( , 0 ) o

m p

r q



∈





 ∈



ℕ ℕ ℕ

o o o

k n k k n

C a− b

⇒ là số hạng cần tìm

BT 22 Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: 3

( 3+ 2) ,n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ( )3

2 3 27

n n n

93 2

92

C

BT 23 Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển:

3 1 3

1

2

n+

+

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 2 2 3

2

2

+

0 6 3 2

10 102 5

;

⋅

III Chứng minh hoặc tính tổng

1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức A , C , P k n k n n

• Trong khai triển (a b− )n thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

• Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n

• Vận dụng linh hoạt tính chất: 1 1

1,

+

1

+ +

=

• Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp ( i j ),

n n

C C

⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ lúc đó thường so sánh

hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển: (1−x2)n với (1−x) (n x+1) n

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

BT 24 Tính các tổng sau:

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =3 5

2010 2010 2010 2010

S C= +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C ĐS: S =22010

2010 2 2010 2 2010 2 2010

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =32010

10 10 10 10 10

100 100 100 100

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 1(32010 1)

2

+

−

= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −

2 1

n S n

= +

2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!

2013

2014!

BT 27 Hãy tính các tổng sau:

1 1 2013 2 2013 3 2013 2013 2013

S = C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 2013.2014.22011 b) 02013 12013 22013 20132013

2

2014 2

2014

BT 28 Chứng minh: 0 2 1 2 2

2

C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C =C với n≥2, n∈ ℕ

BT 29 Cho số tự nhiên n ≥2, chứng minh đẳng thức:

2 2 2

1

+ +

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

BT 30 Tính 1212 1312 1412 122013 201412

11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014

2013

1 132

BT 31 Chứng minh ∀ ≥n 2, n∈ ℕ, ta luôn có:

1

1

n n n

n n n

n

−

 − 

−

 

BT 32 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây:

2 2 3 2k.3k 2n 3n 2n.3 n 2 (2 1)

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + = + ĐS: n = 8

2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng

a) Sử dụng đạo hàm cấp I

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ., hay 1 , 2 , ., )n 2 2 n hoặc 2

giảm dần dạng ( , ., 3, 2, 1 hay n n2, , 2 , 1 )2 2 (không kể dấu) Hay tổng quát hơn nó có dạng là k C hoặc dạng n k k C a n k n k k−b−1

• Phương pháp giải:

+ Bước 1 Xét khai triễn: ( )n 0 n 1 n 1 2 n2 2 n1 n1 n n

+ Bước 2 Lấy đạo hàm hai vế được:

( )n1 1 n1 2 2 n 2 ( 1) n1 n 2 n n1

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ( )i

+ Bước 3 Chọn giá trị x và a thích hợp dựa vào đề bài để thế vào (i)

BT 33 Chứng minh n 1, n ∗,

∀ ≥ ∈ ℕ thì: 1.3n1 2 2.3n 2 3 3.3n3 n 4 n–1

BT 34 Chứng minh n 1, n ∗,

∀ ≥ ∈ ℕ thì: 2n1 1 2n1 2 2n 3 3 2n4 4 n 3 n1

+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

BT 35 Tìm n +,

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 (2 1).2n 2n1 2005

+ − + + + − + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + = ĐS: 1002

BT 36 Tính tổng S trong các trường hợp sau:

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

2000 2 2000 3 2000 2001 2000

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =1001.22000

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ + C +C ĐS: S =2009.22006

BT 37 Cho 3

2

2

n

x

∗

= −  ∈

  ℕ Hãy tìm số hạng chứa

6,

x biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn

đẳng thức: 1.2n1 1 2.2n2 2 3.2n 3 3 n 12.3n1

12

2 C x

BT 38 Cho khai triển 100 100 99 2

(x−1) =a x o +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x +a x a+

100 2o 99 2 2 2 1 2 1

S= a + a + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a + a + ĐS: S =201

BT 39 Cho khai triển 2014 2 2014

(1 3 )− x =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tính tổng S=a o+2a1+3a1+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2015a2014 ? ĐS: S =3022.22014

2014 3 2014 5 2014 2015 2014

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: S =1008.22013

BT 41 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 2014

2014 2 2014 3 2014 1007 2014

A C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ĐS: 1007 2013

.2 2

b) Sử dụng đạo hàm cấp II

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, .,( n−1)n hoặc giảm dần (n 1) , , 2.3, 1.2n

  (không kể dấu), có dạng tổng quát: k C a k n k n −

hoặc ( 1) k

n

k k− C

• Phương pháp giải: Các bước giải tương tự như đạo hàm cấp 1

BT 42 Tính tổng: 2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C ĐS: 2007.2008.22005

BT 43 Chứng minh: 2 1 2 2 2 2012 2 2013 2011

1 C +2 C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2012C +2013 C =2013.2014.2

BT 44 Cho n ∈ ℤ thỏa mãn điều kiện: ,

3 3

35, ( 3)

( 1)( 2)

n

+

Hãy tính tổng: 2 2 2 32 3 42 4 ( 1) n 2 n

S= C − C + C − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − n C ? ĐS: S =30

3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng

• Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng

1

k n

C k

−

⋅ + ( có dạng phân số)

• Phương pháp giải:

+ Bước 1 Xét khai triễn: ( )n 0( )n 1( )n1 n1 n1 n n

+ Bước 2 Lấy tích phân hai vế với cận a và b

cx d dx+ = C cx +C cx − d+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C −cxd− +C d dx

1 ( )

b b

+

+ Bước 3 Chọn , , , a b c d phù hợp dựa vào đề bài

BT 45 Các bài toán mở đầu về sử dụng tích phân

a) Tính tổng: 0 1 1 1 2 1

n

n

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

1

1

n S n

+

−

+ b) Tính tổng: 0 22 1 1 23 1 2 2 1 1

n n

n

+

1

S n

−

+ c) Tính tổng: 2 0 2 1 1 20

S

−

= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1

2( 1)

n S n

+

−

+

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

S= − C + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C ⋅ ĐS:

2011 2011

4022

− −

⋅

n n

n

= + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

1

2( 1)

n S n

+

−

+

n

n

−

2

2 1

2 1

n S n

−

− g) 1 1 2 2 3 3

n

n

n

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1

n n S n

+ h) Tìm n +

n

n

n

− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅

+ ĐS: n =61

BT 46 Tìm hệ số của x trong khai triển Newton của biểu thức 20 5

3

2

,

n x x

+

  biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 0 1 1 1 2 ( ) 1 1

1

n

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅

12.2 25344

BT 47 Tìm hệ số chứa x trong khai triển 2

4

1 , 2

n x

x

+

  biết n là nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

2

n n

+

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

21

2

4

BT 48 Tìm n +

∈ ℤ thỏa:

2

n n

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 49 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 5 3 2 ( )

, 0

n

x

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 4C n3+1+2C n2=A n3

BT 50 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 3

2

1 3

n x x

−

  với x ≠0, biết rằng

∈ ℕ và thỏa mãn điều kiện: 2

2

2 (4 5) 3 n

−

BT 51 Tìm hệ số của 9

x trong khai triển (1−x 3) , 2n n∈ ℕ Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn ∗ điều kiện: 22 143 1

3

C + C = ⋅

BT 52 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 3

4

1 , 0

n

x

+ >

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2(C n2+C n3) 3= n2−5 n

BT 53 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5 n1 3

= Tìm số hạng chứa x trong khai 5

triển nhị thức Newton

2 1 , 0

14

n nx

x x

BT 54 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 2 2

n x x

−

  biết hệ số của số hạng thứ ba bằng 1080

BT 55 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức: 8 2

(x +2) ,n biết rằng số nguyên dương

n thỏa mãn phương trình: A n3−8C n2+C n1=49

BT 56 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức: 10 ( x−3 ) , (x2 n x>0), biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 2048−

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

BT 57 Tìm hệ số x trong khai triển 4 2 3

, 0

n

x

− >

  Biết n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 6 2

n

C − nA

BT 58 Tìm hệ số của số hạng chứa x− 1

trong khai triển 2

3

3 2

n x x

−

  thành đa thức Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 3 3 2 1

BT 59 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( ) 3 2 n

x

= + 

  Biết số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: 6 7 8 9 8

2

C + C + C +C = C+

BT 60 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Newton của nhị thức: 2 12 ,

2

n x

x

−

  biết

∈ ℕ và thỏa mãn phương trình: 2C n1+C n2 =90

BT 61 Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: A n3+6C n2−4C1n=100 Tìm hệ số chứa x trong 8

khai triển nhị thức Newton của

3

2 2 5

n n x

+

BT 62 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2

3

2

, 0

n

x

  Biết rằng n là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: 1 2 3 28

C + +C + +C + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C + = −

BT 63 Tìm số hạng chứa x của 10 ( ) 3 1

n

x

= −  ≠

  Biết rằng n ,

+

∈ ℤ thỏa: 2 1

n

+

− = +

BT 64 Khai triển nhị thức: (2+x)n theo lũy thừa tăng dần của x ta được số hạng thứ tám là 144 Tìm x biết n thỏa mãn phương trình: C n n+13 2C n n2 16(n 2), n *

+ + + = + ∈ ℕ

BT 65 Tìm hệ số của 6

x trong 1 3 ,

n x x

+

  biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 ?

BT 66 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của

31 ,

2

n

x x

 +  biết n thỏa mãn n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 4 2 3 322 4 423 n2n1 6561

+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

BT 67 Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 19 P=(2x−1) (9 x+2) ,n biết rằng n là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: 0 1 2 n 2048

C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C =

(1+ +x x ) =a o+a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Tính a 4

BT 69 Tìm hệ số x trong khai triễn 4 P x( ) (1= − −x 3 )x3 n, biết n +,

∈ ℤ thỏa: 2 2

1

6 5

n

+

+ + =

BT 70 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 1 2 n1 n 255

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x trong khai triển: 14 2

( ) (1 3 ) n

P x = + +x x

BT 71 Tìm hệ số của x trong khai triển 13 ( )

3

3 2

1

2 1 4

n

  với n là số tự nhiên thay đổi thỏa mãn phương trình: 3 n 2 14

BT 72 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 2 1

255

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = Hãy tìm số hạng chứa x trong khai triển: 14 P x( ) (1= + +x 3 ) x2 n

BT 73 Tìm hệ số chứa x trong khai triển 10 P x( ) (1= − +x x3−x4)n Biết rằng n là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: 1 2 3 2 1 2 8

2n 1 2n 1 2n 1 2n1 2n1 2 1

+ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + = −

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

BT 74 Tìm n +,

n

x + +x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x và a1+2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2na2n=81 ?

BT 75 Tìm hệ số của x trong khai triển: 5 P x( )=x(1 2 )− x n+ (1 3 ) x2 + x 2n Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2 1

1 5

n

+

− =

BT 76 Khai triển nhị thức ( ) (1 6 )n 0 1 k n

P x = − x =a +a x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tính giá trị của biểu

n n a a

T=a + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2C2n−8C1n=n

BT 77 Tìm số hạng hữu tỉ trong các khai triển nhị thức Newton sau:

a/ ( )7

316+ 3 b/ ( )9

3

3+ 2 c/

10 5

1 5 3

+

10 5

2 2 3

−

BT 78 Hãy tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton:

P x = x+ =a x +a x +a x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x a+

BT 79 Cho khai triển nhị thức 2

n

P x = + x =a +a x a x+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x Hãy tìm hệ số lớn nhất trong khai triển biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 1 3 2 1 27

2 2 2n 2

2014 2014 2014 2014 2014

T=C +C +C +C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C

BT 81 Tính tổng: 02013 20131 20132 20132013

S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1.2 2.3 2012.2013

S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C

BT 83 Tính tổng: 12 0 22 1 32 2 ( 1)2 n

S= C + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + n+ C

BT 84 Tìm n ∗

∈ ℕ thỏa mãn điều kiện sau:

a/ C02n+2C22n+3C24n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (n+1)C22n n=22n+1

2011 2011 2011 2010 2011k 2011 k 2011 1 2011.2 n

k

−

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

2 1.2 n 2 2 1.2n 3 2 2n1.2.3n (2 1) 2n1.3n 2011

+ − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + + + + =

1

n n

n

− + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅

e/

2

(1 )

, (1 – 1)

k n

 + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +



⋅





BT 85 Tính tổng trong các trường hợp sau đây:

2000 2 2000 3 2000 2001 2000

S C= + C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C

b/ S=1.2C162 −2.3C163 +3.4C164 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −14.15C1615+15.16C1616

c/

n n

n

+

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ d/

e/ 1 0 1 1 1 2 1 3 ( 1)

n n

n

−

= − + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ f/

S C= + − C + − C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + − C

g/

S= C + − C + + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − C + + C

h/ ( 1 )2 ( 2 )2 ( 99)2 ( 100)2

S= C + C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C + C

S= C − C + C − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C − C