Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán phần Mũ Logarit được phân chia thành từng dạng rất tiện cho học sinh luyện tập những phần kiến thức còn bỏ sót hoặc chưa hiểu. Những câu hỏi thường được trích dẫn từ các đề thi thử hoặc các đề thi đại học các năm, chắc chắn sẽ giúp các e thật nhiều trong việc luyện thi môn Toán.
Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT Loại 1: Phương trình mũ & lôgarit Phương trình mũ: a) Dạng bản: Với < a = af (x) b > = b ⇐⇒ f (x) = log x a b) Một số phương pháp giải phương trình mũ: • Phương pháp đưa số: Với < a = af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) • Phương pháp đặt ẩn số phụ: Đặt t = af (x) , t > để đưa phương trình cho phương trình ẩn t • Phương pháp lôgarit hóa: Thường sử dụng giải phương trình af (x) = bg(x) Khi ta lấy lôgarit số c (0 < c = 1) hai vế phương trình Để đơn giản ta thường chọn c = a c = b • Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ: Thông thường ta tiến hành theo bước – Đoán nghiệm phương trình (thường nghiệm đơn giản) – Chứng minh nghiệm cách sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ.i 0 < a = Phương trình lôgarit: Điều kiện tồn loga f (x) f (x) > a) Dạng bản: loga f (x) = b ⇐⇒ 0 < a = f (x) = ab b) Một số phương pháp giải phương trình lôgarit: • Phương pháp đưa số: Với < a = loga f (x) = loga g(x) ⇐⇒ f (x) > g(x) > f (x) = g(x) • Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t = loga f (x) để đưa phương trình cho phương trình với ẩn t • Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số lôgarit: (Tương tự phần phương trình mũ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 2x+1 5x = 2.102x+5 b) log3 (2x + 1) − log (3 − x) = √ x √ x c) + 15 + − 15 = 62 d) 3.49x + 2.14x − 4x = x e) 3x x+2 = f) 2x −4 = 3x−2 g) 3x = − log5 x h) log3 (x + 1) = x+2 Loại 2: Bất phương trình mũ & lôgarit1 Bất phương trình mũ: a) Dạng bản: af (x) > b ⇐⇒ b) Đưa số: af (x) a > 0 < a < ∪ f (x) > log b f (x) < log b a a a > 0 < a < > ag(x) ⇐⇒ ∪ f (x) > g(x) f (x) < g(x) Bất phương trình lôgarit: a) Dạng bản: loga f (x) > b ⇐⇒ a > 0 < a < ∪ f (x) > ab f (x) < ab a > 0 < a < b) Đưa số: loga f (x) > logg (x) ⇐⇒ ∪ f (x) > g(x) > 0 < f (x) < g(x) Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau a) log5 (4x + 144) − log5 < + log5 (2x−2 + 1) √ b) 5−2 x−1 x+1 ≤ √ 5+2 x−1 + >3 log2 2x log2 x2 c) √ d) 10 + log3 x − √ 10 − log3 x ≥ 2x e) log3 (3x+1 − 2) > 2x f) 32 log2 x − 2x1+log2 x − 8x2 ≤ Loại 3: Hệ phương trình mũ & lôgarit Để giải hệ phương trình mũ & lôgarit với hai ẩn x, y ta dùng phương pháp sau: a) Đưa hệ phương trình đại số theo x, y b) Dùng phương pháp Ở xét dạng đại diện, dạng khác giải tương tự c) Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đại số theo hai ẩn số phụ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 5 log x − log y = −8 a) 10 log x − log y = −10 √ x − + √2 − y = b) 3 log (9x2 ) − log y = c) lg2 x = lg2 y + lg2 (xy) lg2 (x − y) + lg x lg y = √ √x + − 3y = − x x d) (ĐHBK HN 1991) log3 x + y = 4log3 (xy) = + (xy)log3 e) (ĐHBK HN 1992) x2 + y − 3x − 3y = 12 CÁC BÀI TOÁN THI Bài tập 1: Giải phương trình sau a) (D_2003) 2x −x − 22+x−x = b) (D_2006) 2x +x − 4.2x −x − 22x + = c) (A_2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = d) (D_2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + log2 =0 −3 4.2x √ √ x 2+1 −2 2=0 √ f) (CĐ 2008) log22 (x + 1) − log2 x + + = e) (B_2007) √ 2−1 x + g) (A_2008) log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = h) (D_2010) 42x+ √ x+2 √ 3 + 2x = 42+ x+2 + 2x +4x−4 √ √ i) (D_2011) log2 (8 − x2 ) + log 1+x+ 1−x −2=0 j) (D_2013) log2 x + log (1 − √ x) = √ √ log2 x − x + 2 Bài tập (A_2002): Cho phương trình log23 x + log23 x + − 2m − = a) Giải phương trình m = √ b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1; 3 Bài tập 3: Giải phương trình sau a) (DB2 2002) 1 log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x) b) (DB5 2002) 16 log27x3 −3 log3x x2 = c) (DB2 D_2003) log5 (5x − 4) = − x 4x − 2x+1 + (2x − 1) sin (2x + y − 1) + = log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = d) (DB2 D_2006) (log2 x + 1) log4 x + log2 41 = √ e) (DB1 B_2006) log√2 x + − log (3 − x) − log8 (x − 1)3 = x2 +x−1 f) (DB2 B_2006) x2 +x−2 − 10.3 +1=0 g) (DB2 A_2006) log2 x + log2x = log√2x h) (DB2 D_2007) log2 2x − = + x − 2x |x| i) (DB1 B_2007) log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = j) (DB2 B_2007) (2 − log3 x) log9x − =1 − log3 x k) (DB2 A_2007) log4 (x − 1) + = √ + log2 x + 2 log(2x+1) √ √ x x l) (DB2 D_2008) + + − = 3.2x m) (DB1 B_2008) log2 (2x + 2) + log (9x − 1) = n) (DB2 B_2008) + √ o) (DB2 2009) 4x− = logx 9x − log3 x x x2 −5 − 12.2x−1− p) (DB3 2009) logx+3 − √ x2 −5 +8=0 √ x2 − 2x + = q) DB5 2009 log3 (x − 1)2 + log√2 (2x − 1) = r) (DB6 2009) log27 (x2 − 5x + 6) = log√3 x−1 s) (DB6 2010) log5 (5x − 1) log25 (5x+1 − 5) = Bài tập 4: Giải phương trình sau a) log x2 x2 − 14 log16x x3 + 40 log4x √ x=0 b) x1−lg x = 0, 01 c) lg (20 − x) = lg3 x + log9 (x − 3)2 d) logx 3xlog5 x + = log5 x e) lg (x2 − x − 6) + x = lg (x + 2) + 2x f) log5 x + 125 = log5 + + g) log3 (4.3x − 1) = 2x + log3 4x +1 h) log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3) i) log2 cos2 xy + cos2 xy j) log3 |πx| + log|πx| = = y2 , cos xy = − 2y + 2 sin (x + y) − sin (x + y) + 2 k) 2log5 (x+3) = x Bài tập 5: Giải bất phương trình sau a) (B_2002) logx (log3 (9x − 72)) ≤ b) (B_2006) log5 (4x + 144) − log5 < + log5 (2x−2 + 1) c) (A_2007) log3 (4x − 3) + log (2x + 3) ≤ d) (D_2008) log x2 − 3x + ≥0 x e) (B_2008) log0,7 log6 f) (CĐ 2011) 4x − 3.2x+ x2 + x x+4 √ 0 g) (CĐ 2012) log2 (2x) log3 (3x) > Bài tập 6: Giải bất phương trình sau a) (DB1 2002) log (4x + 4) ≥ log (22x+1 − 3.2x ) 2 √ b) (DB2 A_2003) 15.2x+1 + ≥ |2x − 1| + 2x+1 c) (DB2 B_2003) log x + log (x − 1) + log2 ≤ √ d) (DB1 A_2004) log π4 log2 x + 2x2 − x < x2 −2x e) (DB2 D_2005) −2 2x−x2 ≤3 f) (DB1 A_2006) logx+1 (−2x) > √ 1 log2 (x − 1)2 ≥ 2 √ h) (DB1 A_2007) (logx + log4 x2 ) log2 2x ≥ g) (DB1 D_2007) log 2x2 − 3x + + i) (DB1 D_2008) 22x −4x−2 − 16.22x−x −1 −2≤0 j) (DB2 B_2008) 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ k) (DB1 A_2008) log log2 2x + x+1 ≥0 l) (DB3 2010) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ m) (DB4 2010) √ x2 − 4x + log5 x √ + −2x2 + 8x − + ≤ x n) (BD5 2010) log4 (2x2 + 3x + 1) > log2 (2x + 1) Bài tập 7: Giải hệ phương trình sau 23x = 5y − 4y a) (D_2002) 4x + 2x+1 =y 2x + log (y − x) − log4 = y b) (A_2004) 2 x + y = 25 √ x − + √2 − y = c) (B_2005) 3 log (9x2 ) − log y = log (x2 + y ) = + log (xy) 2 d) (A_2009) 3x2 −xy+y2 = 81 e) (D_2010) x2 − 4x + y + = 2 log (x − 2) − log√ y = 2 log (3y − 1) = x f) (B_2010) 4x + 2x = 3y x2 + 2y = 4x − g) (B_2013) 2 log (x − 1) − log√ (y + 1) = 3 x − |y| + = h) (DB3 2002) log x − log y = log (x3 + 2x2 − 3x − 5y) = x i) (DB6 2002) log (y + 2y − 3y − 5x) = y log √xy = log y y x j) (DB1 A_2003) 2x + 2y = x + y = y + x k) (DB1 D_2004) 2x+y − 2x−1 = x − y l) (DB2 D_2006) ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y x2 − 12xy + 20y = 2xy = x2 + y x + √ x − 2x + m) (DB2 B_2007) 2xy = y2 + x y + y − 2y + x + √x2 − 2x + = 3y−1 + n) (DB1 A_2007) y + y − 2y + = 3x−1 + 4x−2y − 7.2x−2y = o) (DB1 2009) log (log x) − log (log y) = 3 x + log y = 3 p) (DB6 2010) (2y − y + 12) 3x = 81y Bài tập 8: Cho hệ phương trình 2|x| + |x| = y + x2 + a x + y = a) Giải hệ phương trình a = b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x2 + 1)a + (b2 + 1)y = Bài tập 9: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm với b a + bxy + x2 y = log (x + y) + log (x − y) = Bài tập 10: Giải hệ phương trình y+1 2x − 5.2 x+y−1 +2 = log22 x − log2 x < Bài tập 11: Giải hệ bất phương trình x3 − 3x2 + 5x + >