CÁC ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN ( CỰC HAY VÀ ĐẦY ĐỦ )

sở giáo dục & đào tạo đề thi đề xuất vào lớp 10 Trung học phổ thông Vĩnh Phúc chuyên vĩnh phúc năm học 2008-2009 Môn thi: toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ______________________ Ng ời soạn đề: Nguyễn Ngọc Long-THPT Yên Lạc. Câu 1: Cho phơng trình: 2 2( 1) 2 4 0x m x m + = ( m là tham số) a)Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b)Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phơng trình đã cho. Tìm m để biểu thức 2 2 1 2 P x x= + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2: a)Cho 2a b = . Tính giá trị của biểu thức: ( 3) ( 3) 2 .M b b a a ab= + + b)Cho biểu thức: 2 1 1 1 . . 2 1 1 2 x x x A x x x + = ữ ữ ữ ữ + Hãy rút gọn A và tìm các giá trị của x để 3. A x > Câu 3: a)Giải phơng trình: ( ) ( ) 2 6 3 1 9 18 3.x x x x+ + + + + = b)Tìm các số nguyên ,x y thoả mãn đẳng thức: 2 2 2 2( ) 1 2 .xy x y x y xy+ + + = + + Câu 4: Cho nửa đờng tròn ( ) O đờng kính 2AB R= ( R là một độ dài cho trớc). Gọi ,M N là hai điểm trên nửa đờng tròn ( ) O sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A và B đến đờng thẳng MN bằng 3.R Gọi I là giao của hai đoạn AN và BM ; K là giao của hai đờng thẳng AM và .BN a)Chứng minh rằng bốn điểm , , ,K M N I cùng nằm trên một đờng tròn ( ) C . b)Tính độ dài đoạn MN theo .R Tính bán kính của đờng tròn ( ) C . c)Tìm diện tích lớn nhất của tam giác KAB khi ,M N thay đổi nhng vẫn thoả mãn giả thiết của bài toán. Câu 5: Cho , , 0x y z > . Chứng minh rằng: 25 4 2. x y z y z z x x y + + > + + + - - - - - - - - - - - - - - - - H ế t - - - - - - - - - - - - - - - - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh Đáp án môn Toán đề thi đề xuất vào tHPT chuyên Vĩnh Phúc (Môn chung) Câu Phần Nội dung chính điểm Câu 1 2.0 đ a)1.0 đ Ta có ( ) 2 ' 1 (2 4)m m = 0.5 = ( ) 2 2 1 0,m m + > 0.25 Phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. 0.25 b)1.0 đ Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2 1 2 2 2 . 2 4 x x m x x m + = = 0.25 2 2 1 2 P x x= + = ( ) 2 1 2 1 2 2x x x x+ 0.25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4m m= = ( ) 2 2 3 3 3m + 0.25 Dấu bằng xảy ra khi 3 2 m = Kết luận: 0.25 Câu 2 2.0 đ a)1.0 đ 2 2 2 3( )P a b ab a b= + + 0.25 = ( ) 2 3( )a b a b + 0.25 = 2 2 3.2 10+ = 0.5 b)1.0 đ Điều kiện: 0 1x< 0.25 ( ) 2 1 4 . 1 4 x x A x x = ữ ữ 0.25 = 1 x x 0.25 1 1 3 3 4 A x x x x > > < . Kết hợp ĐK ta có: 1 0 . 4 x< < 0.25 Câu 3 2.0 đ a)1.0 đ Giải phơng trình: ( ) ( ) 2 6 3 1 9 18 3.x x x x+ + + + + = ĐKXĐ: 3x Nhân hai vế của phơng trình với 6 3 0x x+ + + > ta có: 2 1 9 18x x+ + + = 6 3x x+ + + 0.5 ( ) ( ) 6 1 3 1 0x x + + = 0.25 6 1 3 1 x x + = + = 5 2 x x = = Kết hợp ĐKXĐ ta có nghiệm của phơng trình là: 2.x = 0.25 b)1.0 đ 2 ( 2) ( 2) ( 2) 1 0PT y x x x y x + = (1) 0.25 Ta thấy 2x = không là nghiệm của (1). Với 2x chia hai vế của PT cho 2x ta có: 2 1 0 2 y x y x + = (2) 0.25 PT có nghiệm ,x y nguyên nên suy ra: 1 ( 2)x M 2 1 2 1 x x x = = Z 3 1 x x = = 0.25 Thay hai giá trị của x vào PT (2) và để ý rằng y nguyên ta có cặp số cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 1 , 3; 2 , 1; 1 , 1;2 . 0.25 Câu 4 3.0 đ a)1.0đ Ta có ã ã 0 90AMB ANB= = Vì chúng là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ã ã 0 60KMI KNI = = . 0.5 2 A B 'B 'A M N K 'O O P I H ơ bốn điểm , , ,K M N I cùng nằm trên một đờng tròn ( ) C đờng kính KI . 0.5 b) 1.5đ Dựng ' '; ' 'AA MN A BB MN B = = . Gọi H là trung điểm của MN khi đó OH MN và OH là đờng trung bình của hình thang ' 'AA B B 0.25 Ta có ( ) 1 3 ' ' 2 2 R OH AA BB= + = 0.25 Tính đợc 2 R MH = 0.25 MN R = 0.25 Ta có: ã ằ ẳ ( ) 0 1 60 2 AKN sd AB sd MN= = . Gọi 'O là trung điểm của IK ã ã 0 ' 2 120MO N MKN = = 0.25 3 ' 3 ' 3 R MN MO MO = = 0.25 c)0.5đ Vì ã 0 60AKB = nên điểm K nằm trên cung chứa góc 0 60 dựng trên đoạn 2AB R= 0.25 diện tích tam giác KAB lớn nhất khi KAB đều khi đó diện tích của tam giác KAB là: 2 2 3 3. 4 KAB AB S R= = 0.25 Câu 5 1.0 đ Đặt a y z b z x c x y = + = + = + ; ; 2 2 2 b c a a c b a b c x y z + + + = = = ( ) 25 25 4 4( ) 2 2 2 a c b x y z b c a a b c y z z x x y a b c + + + + + = + + + + + = P 0.25 Vì , , 0x y z > nên , , 0; ; ;a b c a b c a c b b c a> + > + > + > (*) 25 2 25 2 15 2 2 2 2 b a c a c b P a b a c b c = + + + + + ữ ữ ữ 0.25 25 2 25 2 2 . 2 . 2 . 15 2 2 2 2 2 b a c a c b a b a c b c + + = 0.25 Đẳng thức xảy ra khi 5 2 5 2 b a c a c b = = = 2 2 1 5 2 5 a b c a c b a c a c + = = = = + > + điều này mâu thuẫn với (*) nên đẳng thức không xảy ra. Vậy ta có: 25 4 2. x y z y z z x x y + + > + + + 0.25 3 4 . nên suy ra: 1 ( 2)x M 2 1 2 1 x x x = = Z 3 1 x x = = 0.25 Thay hai giá trị của x vào PT (2 ) và để ý rằng y nguyên ta có cặp số cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 1 , 3; 2. thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh Đáp án môn Toán đề thi đề xuất vào tHPT chuyên Vĩnh Phúc (Môn chung) Câu Phần Nội dung chính điểm Câu 1 2.0 đ a)1.0 đ Ta có ( ) 2 ' 1 (2 4)m m = . 2.x = 0.25 b)1.0 đ 2 ( 2) ( 2) ( 2) 1 0PT y x x x y x + = (1 ) 0.25 Ta thấy 2x = không là nghiệm của (1 ). Với 2x chia hai vế của PT cho 2x ta có: 2 1 0 2 y x y x + = (2 ) 0.25 PT