bGọi x x là hai nghiệm của phơng trình đã cho.. Gọi I là giao của hai đoạn AN và BM ; K là giao của hai đờng thẳng AM và.. bTính độ dài đoạn MN theo R.Tính bán kính của đờng tròn C.. cT
Trang 1sở giáo dục & đào tạo đề thi đề xuất vào lớp 10 Trung học phổ thông
- Môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ng
ời soạn đề: Nguyễn Ngọc Long-THPT Yên Lạc.
Câu 1: Cho phơng trình: x2−2(m−1)x+2m− =4 0 ( m là tham số)
a)Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Gọi x x là hai nghiệm của phơng trình đã cho Tìm m để biểu thức 1, 2 2 2
1 2
P x= +x đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 2:
a)Cho a b− =2 Tính giá trị của biểu thức: M =b b( − +3) a a( + −3) 2 ab
b)Cho biểu thức:
2
2
A
= − ữ ữ − ữữ
Hãy rút gọn A và tìm các giá trị của x để A 3
x >
Câu 3:
x+ − x+ + x + x+ =
b)Tìm các số nguyên ,x y thoả mãn đẳng thức: xy2+2(x y+ + =) 1 x2+2y2+xy
Câu 4:
Cho nửa đờng tròn ( )O đờng kính AB=2R ( R là một độ dài cho trớc) Gọi , M N là hai điểm
trên nửa đờng tròn ( )O sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A và B đến đờng
thẳng MN bằng R 3. Gọi I là giao của hai đoạn AN và BM ; K là giao của hai đờng thẳng AM và
BN
a)Chứng minh rằng bốn điểm ,K M N I cùng nằm trên một đờng tròn , , ( )C
b)Tính độ dài đoạn MN theo R.Tính bán kính của đờng tròn ( )C
c)Tìm diện tích lớn nhất của tam giác KAB khi , M N thay đổi nhng vẫn thoả mãn giả thiết của
bài toán
Câu 5:
Cho , ,x y z>0 Chứng minh rằng: x 25y 4z 2
y z+ z x+ x y >
H ế t
-Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Đáp án môn Toán đề thi đề xuất vào tHPT chuyên Vĩnh Phúc
(Môn chung)
Câu 1 a)1.0 đ Ta có ( )2
' m 1 (2m 4)
Trang 2=( )2
⇒ Phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 0.25 b)1.0 đ
Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2
1 2
x x m
x x m
0.25
1 2
P x= +x =( )2
1 2 2 1 2
( )2 ( )
2m 2 2 2m 4
Dấu bằng xảy ra khi 3
2
m=
Kết luận:
0.25
Câu 2
=( )2
( )2
1 4
x x
A
= − ữữ
0.25
= 1 x
x
4
x x
x
−
> ⇔ > ⇔ < Kết hợp ĐK ta có: 0 1
4
x
Câu 3
2.0 đ a)1.0 đ Giải phơng trình: ( x+ −6 x+3 1) ( + x2+9x+18) =3
ĐKXĐ: x≥ −3 Nhân hai vế của phơng trình với x+ +6 x+ >3 0 ta có:
2
1+ x +9x+18= x+ +6 x+3
0.5
6 1
3 1
x x
+ =
⇔
+ =
5 2
x x
= −
⇔ = −
Kết hợp ĐKXĐ ta có nghiệm của phơng trình là: x= −2.
0.25
b)1.0 đ PT ⇔ y x2( − −2) x x( − −2) y x( − + =2) 1 0 (1) 0.25
Ta thấy x=2 không là nghiệm của (1) Với x≠2 chia hai vế của PT cho 2
0 2
y x y
x
− (2)
0.25
PT có nghiệm ,x y nguyên nên suy ra: 1 (Mx−2) 2 1
x x x
∈
⇔ − =
− = −
Z
3 1
x x
=
⇔ =
0.25
Thay hai giá trị của x vào PT (2) và để ý rằng y nguyên ta có cặp số cần
tìm là: (3; 1 , 3; 2 , 1; 1 , 1; 2 − ) ( ) ( − ) ( )
0.25
Câu 4
3.0 đ a)1.0đ Ta có ãAMB ANB=ã =900
Vì chúng là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn
KMI KNI
0.5
'
B
'
A M
N
K
'
O
I H
ơ
Trang 3⇒bốn điểm ,K M N I cùng nằm trên một đờng tròn , , ( )C đờng kính KI 0.5
b) 1.5đ Dựng AA'⊥MN =A BB'; '⊥MN=B' Gọi H là trung điểm của MN khi
đó OH ⊥MN và OH là đờng trung bình của hình thang AA B B' '
0.25
R
Tính đợc
2
R
MN R
60 2
AKN = sd AB sd MN− = Gọi O'là trung điểm của IK
MO N MKN
0.25
3
3
R
c)0.5đ Vì ãAKB=600 nên điểm K nằm trên cung chứa góc 60 dựng trên đoạn0
2
AB= R
0.25
⇒diện tích tam giác KAB lớn nhất khi KAB∆ đều khi đó diện tích của tam
giác KAB là: 2 3 2
3
4
KAB
AB
0.25
Câu 5
1.0 đ
Đặt
a y z
b z x
c x y
= +
= +
= +
b c a a c b a b c
x + − y + − z + −
25
a c b
+ −
0.25
Vì , ,x y z>0 nên , ,a b c>0;a b c a c b b c a+ > ; + > ; + > (*)
15
P
= + ữ + + ữ + + ữ−
0.25
≥ 2 25 2 2 2 25 2 15 2
Đẳng thức xảy ra khi
5 2
b a
c a
c b
=
=
=
2
2
a b c a c
b a c a c
+
⇒ = = = ⇒ = + > +
điều này mâu thuẫn với (*) nên đẳng thức không xảy ra
Vậy ta có: x 25y 4z 2
y z+ z x+ x y >
0.25