Tự chọn : Bài tập chương I đại số

Bài tập về nhân đa thức – Hằng đẳng thức Bài 1 : Thực hiện các phép nhân các đa thức sau : a. ( 2x + 4) ( x 2 – 3x + 5) b. ( x 2 – x + 1 )(x 2 + x + 1) c. ( x 2 – 2x + 1)(x 2 + 2x + 1) d. ( 2x 2 + x – 1)(x 2 – 2x + 3) e. ( x + 1)(x + 2)(2x – 1) f. (2x 3 + 3y)(2x 4 y – 3x 2 y 2 + 4y 3 ) h. (a + b + c – d)(a + b – c + d) g. (x – a) 2 – (2x – 3a) 2 + ( x + 2a)(3x + 4a) Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau : a. 3x(2x – 5y) + (3x – y)(-2x) – ½ (2 – 26xy) b. (2x + 3)(x – 1) + (x –3) 2 – 3(x +4)(x – 4) c. (3 – 2x )(x + 3) – (7x – 2)(x + 5) + (3x + 2) 2 d. 2x 2 +3(x –1)(x + 1) – 5x(x + 2) e. (8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) + 10 f. 4(x – 1)(x + 5) – (x + 2)(x + 5) – 3(x –1)(x + 2) g. (y – 3)(y + 3)(y 2 + 9) – (y 2 + 2)(y 2 – 2) h. (a + b – c) 2 – (a – c) 2 – 2ab + 2bc i. (a + b + c) 3 + (a – b – c) 3 – 6a(b + c) 2 Bài 3 : Chứng minh các đẳng thức sau : a. (x – 2)(x 2 – 5x + 1) – x(x 2 + 11) = - 7x 2 – 2 b. (a + b)(b + c) – (c + d)(d + a) – (a + c)(b – d) = b 2 – d 2 c. (a – 1)(a – 2) + (a – 3)(a + 4) – (2a 2 + 5a – 34) = - 7a + 24 d. (a + c)(a – c) – b(2a – b) – (a – b + c)(a – b – c) = 0 e. (5x – 11) 2 + (4 – 5x) 2 + 2(5x – 11)(4 – 5x) = 49 f. ½ (a + b + c )[(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 ] = a 3 + b 3 + c 3 – 3abc g. (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a +b)(b + c)(c + a) Bài 4 : Rút gọn rồi tính giá trò của biểu thức a. 2x(x – 3y) – 4y(x + 2) – 2(x 2 – 3y – 4xy) tại x = -2/3 ; y = ¾ b. 1 1 290 1 2 2 337 291 291 337 291 337 − −g g g c. 1 1 116 118 3 2 3 5 117 119 117 119 119 − −g g d. (2x 2 + x – 1)(3x – 2) + (x – 3)(5 – 6x 2 ) với x = - 2 e. (4m 3 – 3m 2 + 2m – 7)(2m 2 – ½ ) – (m + ½ )(8m 2 – 2/3m – 4/7) tại m = - ½ f. 5(x + 2y) 2 – (3y + 2x) 2 + (4x – y) 2 + 3(x – 2y)(x + 2y) tại x = - ½ , y = 0,725 g. (x – a) 2 – (2x – 3a) 2 + (x + 2a)(3x + 4a) tại x = 0,004 , a = 225 Bài 5 : Chứng minh rằng nếu x + y = a , xy = b thì a. x 2 + y 2 = a 2 – 2b b. x 3 + y 3 = a 3 – 3ab c. (x – y) 2 = a 2 – 4b Bài 6 : Chứng tỏ rằng giá trò của biểu thức a. A = (x + y + x) 2 + (x – y) 2 + ( x – z) 2 – 3(x 2 + y 2 + z 2 ) không phụ thuộc vào các biến . b. B = (3x – 5)(2x + 11) – (2x + 3)(3x + 7) không phụ thuộc vào x c. C = (x + y) 3 + (x – y) 3 – 6xy 2 không phụ thuọc vào y d. D = (1 – x + y) 2 + 2(1 – x + y)(x – y) + (x – y) 2 không phụ thuộc vào biến . e. E = (15x – 1) 2 + 3(7x + 3)(x + 1) – (x 2 - 73) luôn dương với mọi x f. F = (6x + 1) 2 – ( 3x – 4)(3x + 4) – 1,5(18x 2 + 1) + 2,5 luôn chia hết cho 6 với mọi x là số nguyên . Bài 7 . Tìm x biết a. (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) = 4 b. 5(2x + 3)(x + 2) = 75 + 2(5x – 4)(x – 1) c. (5x + 1) 2 – (5x + 3)(5x – 3) = 30 d. (x + 3)(x 2 – 3x + 9) – x(x – 2)(x + 2) = 15 e. (x + 2)(x + 3) + (x – 2)(x + 5) = 2(x + 3) 2 – 18 f. (x + 2) 3 + (x – 2) 3 = 2x(x – 2)(x + 2) + 56 g. (x + 3) 3 – x(3x + 1) 2 + (2x + 1)(4x 2 – 2x + 1) – 3x 2 = 54 h. (x – 3) 3 – (x –3)(x 2 + 3x + 9) + 6(x + 1) 2 = -33 Bài 8 : Cho biết a + b + c = 2y . Chứng minh rằng a. 2bc + b 2 + c 2 – a 2 = 4y(y – a) b. (y – a) 2 + (y – b) 2 + (y – c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 – p 2 Bài 9. Cho biết x – y = 7 . Hãy tính giái trò của các biểu thức sau : a. A = x(x + 2)+ y(y – 2) - 2xy + 37 b. B = x 3 – 3xy(x – y) – y 3 - x 2 + 2xy – y 2 + 7x – 7y c. C = x 2 )x + 1) – y 2 (y – 1) + xy – 3xy(x – y + 1) – 95 Bài 10 : a. Cho x + y = 3 và x 2 + y 2 = 5 . Tính x 3 + y 3 b. Cho x – y = 5 và x 2 + y 2 = 15 . Tính x 3 – y 3 ; x 3 + y 3 c. Cho x + y = a , xy = 1 . Hãy tính x 2 + y 2 ; x 3 + y 3 ; x 4 + y 4 ? Bài 11 . Cho x + y = 5 . Hãy tính giá trò của các biểu thức sau a. P = 3x 2 – 2x + 3y 2 – 2y + 6xy – 100 b. Q = x 3 + y 3 – 2x 2 – 2y 2 + 3xy(x + y –2) + 4xy + 3(x + y) + 10 Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi giá trò của x thì biểu thức sau : a. 4x 2 – 12x + 12 luôn dương b. – 5 + 4x – x 2 luôn âm c. x 2 – x + 1 luôn dương Bài 13 . Với giá trò nào của x thì các biểu thức sau có giá trò lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất ) ? a. 2x(4 – 2x) + 17 b. 9x 2 – 6x + 5 c. 3x 2 + 5x + 3 Bài 14 . a. Cho 3 số lẻ liên tiếp . Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 180 . Timd mỗi số ? b. Có hai cái sân hình chữ nhật và hình vuông . Sân hình chữ nhật có chiều dài hơn cạnh của hình vuông là 3 m , chiều rộng kém cạnh hình vuông 8 m . Diện tích của sân hình vuông lớn hơn diện tích của sân hình chữ nhật là 149 m 2 . Tính cạnh của hình vuông ? c. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tổng các tích của hai trong ba số ấy bằng 74 ? Bài 15 . Cho hai số A = 3 32 ; B = (3 + 1)(3 2 + 1)(3 4 + 1) (3 8 + 1)(3 16 + 1) . Hãy so sánh A và B ? Bài 16 : Cho x 2 = y 2 + z 2 . Chứng minh rằng : (5x – 3y + 4z)(5x – 3y – 4z) = ( 3x – 5y) 2 Bài 17 . Tính giá trò của các biểu thức sau a. 123 2 + 2. 123 . 77 + 77 2 b. 234 2 – 234 . 68 + 34 2 c. 2007 2 – 2010 . 2004 d. 100 2 – 99 2 + 98 2 – 97 2 + 96 2 – 95 2 + … + 2 2 – 1 2 e. 1000 2 + 1003 2 + 1005 2 + 1006 2 –1001 2 – 1002 2 – 1004 2 – 1007 2 f. 2 2 2 2 780 220 125 150.125 75 − + + Bài 18 : Tính giá trò của biểu thức sau a. x 17 - 80x 16 – 80x 15 – 80x 14 - ……. – 80x – 1 tại x = 79 b. x 17 – 12x 16 + 12x 15 – 12x 14 + 12x 13 - ……+ 12x 3 – 12x 2 + 12x – 1 tại x = 11 . Bài 19 . Chứng minh rằng : 55554 . 55559 . 55552 – 55556 . 55551 . 55558 = 66665 . 66670 . 66663 – 66667 . 66662 . 66669 . Bài 20 . Tính bằng cách hợp lý : 1 1 116 118 5 3 4 1 5 117 119 117 119 119 × − × − Bài 21 : Chứng tỏ rằng a. (a – b) 2 + (ab + 1) 2 = (a 2 + 1)(b 2 + 1) b. (x – 2)(x – 3)(x + 3)(x + 2) + x 2 = (x 2 – 6) 2 c. Nếu a + c = 2b thì a 2 + 8bc = ( 2b + c) 2 d. Nếu a + b = ab thì (a 3 + b 3 – a 3 b 3 ) 3 + 27a 6 b 6 = 0 e. Nễu x = a – b thì x 3 + 3abx + b 3 – a 3 = 0 Bài 22 . Nếu x = a + 5b , y = 5a – b , f = 3a – 2b , t = 2a + 3b thì ta có đẳng thức x 2 + y 2 = 2(f 2 + t 2 ) Bài 23 : Biết x = y 2 – 16x 2 ; y = f 2 – 4x 2 ; t = x – 1 . Hãy tìm x ? Bài 24 : Biết a + b = 1 . Hãy tính giá trò của biểu thức M = 2(a 3 + b 3 ) - 3(a 2 + b 2 ) BÀI TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1 : Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đắt nhân tử chung a. 21x 2 y – 12xy 2 + 15xy b. x 3 + 2 2 – 2x c. 9x 2 y 2 + 15x 2 y – 21xy 2 d. x 2 y 2 z 3 + x 3 y 2 z 2 + x 2 y 3 z 2 e. 3x(x- 1) + 7(x – 1) 2 f. 3x(x – a) + 4a (a – x) g. x(x 2 – 4) + 4(x + 2) h. (4x(x – 2y) – 8y(2y – x) k. 3x(x + 1) 2 – 5x 2 (x + 1) + 7(x + 1) Bài 2 . Tìm x biết a. x 2 – 5x = 0 b. 2x(x – 4) + 5(x – 4) = 0 c. x(x – 7) = 14 – 2x d. x 2 (x + 1) + 2x(x + 1) = 0 e. 2(2x – 3) – 2(3 – 2x) = 0 Bài 3 . Phân tích thành nhân tử a. 40a 3 b 3 c 2 x + 12a 3 b 4 c 2 – 16a 4 b 5 cx b. ( b – 2c)(a – b) – (a + b)(2c – b) Bài 4. Tính bằng cách hợp lý : a. 3,71 . 34 + 66 . 3,71 b. 170 . 22,89 - 128,9 . 17 c. 1,43 . 141 – 14,3 . 4,1 + 100 . 59 d. 121 2 . 75 + 121 . 150 . 79 + 75 . 79 2 II/ Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài 1 . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 4x 2 + 4xy + y 2 b. 9x 4 – 30x 2 y + 25y 2 c. – 9a 2 + 12ab – 4b 2 d. 0,25a 6 + 0,25a 3 b 2 + 1/16b 4 e. x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3 f. 8x 3 – 36x 2 y + 54xy 2 – 27y 3 g. 2 2 4 4 12 4 x y 9x y 5 25 − − h. 9x 2 – 25y 4 i. (2x _ 1) 2 – 9x 2 j. (x 2 + 1) 2 – 4x 2 k. 2 2 2 1 4x 4x 4   + −  ÷   l. 16x 2 – (5x +y) 2 m. 16(x – y) 2 – 25(x 2 + 2xy + y 2 ) n. x 3 + 64 o. 27x 3 – 8y 3 p. (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 q. (x – y + 4) 2 – (2x + 3y – 1) 2 r. 49(y – 4) 2 – 9y 2 – 36y – 36 s. (x + y) 3 – x 3 – y 3 Bài 2 . Tìm x biết a. x 3 – 16x = 0 b. (2x + 1) 2 = (2 – x) 2 c. 28 – ( 2x – 3) 2 = 5 d. 12x 2 + 12 = 36x e. (x – 5) 2 – 9x 2 – 12x – 4 = 0 f. (x + 2) 3 + 2x – 3) 3 = 0 Bài 3 : Tính giá trò của các biểu thức sau : a. 2 2 2 2 43 11 36,5 27,5 − − b. 2 2 97 83 97.83 180 + − III/ Phương pháp nhóm các hạng tử Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 3a 2 c 2 + bd + 3abc + acd b. x 3 – 2x 2 – x + 2 c. 8x 2 + 4xy – 2ax – ay d. a 2 c – a 2 d – b 2 d + b 2 c e. a 2 x + a 2 y – 7x – 7y f. 8xy 3 – 5xyz – 24y 2 + 15z g. 5xy 3 + 30x 2 z 2 – 6x 3 yz – 25y 2 z h. 15m 3 n 2 p – 28p 2 nq 3 + 35mn 3 q 2 – 12m 2 p 3 q k. 8abc 3 – 3a 2 b 2 c – 15a 3 b 3 + 40a 2 b 2 c 2 m. 2x 3 + 7x 2 – 8x – 28 Bài 2 . Nhóm các số hạng để xuất hiện các dạng của các hằng đẳng thức , rồi phân tích thành nhân tử a. 4x 2 – 9y 2 + 4x – 6y b. x 2 + 3x + 3y + 2xy + y 2 c. 4x 2 – 6x - 4xy + 3y + y 2 d. x 2 – y 2 + 2x + 1 e. 4x 2 – 4 – 4y – y 2 f. x 2 – y 2 + 2yz – z 2 g. 3a 2 – 6ab + 3b 2 – 12c 2 h. 1 – 2a + 2bc + a 2 – b 2 – c 2 k. (x + y) 3 – x 3 – y 3 m. a 3 + b 3 + c 3 – 3abc n. 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2 ) 2 l. 81 – x 4 – 12x 3 – 36x 2 Bài 3 : Sử dụng nhận xét sau : a – b = - [(b – c) + (c – a)] để phân tích các biểu thức sau thành nhân tử a. bc(b – c) + ac(c – a) + ab(a – b) b. a 2 b 2 (b – a) + b 2 c 2 (c – b) + a 2 c 2 (a – c) c. a 3 (b – c) + b 3 (c – a) + c 3 (a – b) d. ab(a – b) - ac(a + c) + bc(2a + c – b) e. (a – b) 3 + (b – c) 3 + ( c – a) 3 Bài 4 . Phân tích thành nhân tử a. ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc b. ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc IV / Một số phương pháp khác Bài 1 . Tách một số hạng thành nhiều hạng tử , rồi phân tích thành nhân tử a. x 2 – 7xy + 10y 2 b. 5x 2 + 6xy + y 2 c. x 2 – 5xy – 14y 2 d. 2x 2 – 5x + 2 e. x 2 – x – 6 e. x 2 + 2xy – 15y 2 g. x 3 – 7x + 6 h. 4x 2 + 4xy – 8y 2 k. x 2 – 5x + 4 Bài 2 . Thêm hoặc bớt một hạng tử rôi phân tích thành nhân tử a. 64a 4 + 1 d. x 4 4y 4 b. x 4 + 324 e. x 5 + x + 1 c. x 4 + x 2 + 1 f. x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz Bài 3 . Đặt một biểu thức là ẩn phụ , rồi phân tích thành nhân tử a. (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 d. (x 2 + 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 b. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 e. (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x + 4) – 24 c. (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) - 6 f. 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x 2 Bài 4 . Chứng minh rằng với mọi x, y, z là các số nguyên thì biểu thức sau là bình phương của một số nguyên : M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2 z 2 . V / Một số dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 : Tìm x biết a. 2x 3 – 50x = 0 f. x 2 – 5x + 4 = 0 m. x 3 + 27 + (x + 3)(x-9) = 0 b. 2x 3 – 3x 2 – 8x + 12 = 0 g. x 3 + x 2 – 4x = 4 l. x 4 – 9x 3 + 81 x – 81 = 0 c. x 2 – 3 = 2x h. x 3 – 4x 2 + 4x = 1 n. x 4 – 6x 3 + 54x – 81 = 0 d. 5x 2 – 3(x + 1) 2 – 5 = 0 i. x 3 – 4x 2 - 8x – 8 = 0 p. x 4 – 4x 3 + 16x – 16 = 0 e. x 2 + 2x – 16 = 0 k. 4x 2 – 25 – (2x – 25)(2x + 7) = 0 Bài 2 . Chứng minh rằng với mọi x là số nguyên lẻ thì biểu thức x 3 + 3x 2 – x - 3 luôn chia hết cho 48 Bài 3 . Chứng minh biểu thức có dạng : 2(3a – 2) 2 – 3a(3a – 2) + 1 luôn không âm với mọi giá trò của a . Bài tập về phép chia đa thức 1/ Chia đơn thức cho đơn thức Bài 1. Chia các đơn thức sau a. 15a 2 b 3 c : (-3a 2 b) c. 3 4 5 2 5 1 3 a b c : a bc 2 2   −  ÷   e. (-3m 3 n 2 p) 2 : (27m 3 np . 2m 3 n 2 ) b. – 21xy 5 z 3 : 7xy 2 z 3 d. 5 3 2 2 3 1 11 5 a b c : a b 2 2 −     −  ÷  ÷     f. 4 3 5 4 2 12 4 x y z : x yz 25 5   −  ÷   Bài 2 : Làm các phép chia sau : a. 4x 2 (y + z) 5 : 2x(y + z) 3 c. x m+1 (y + 2) 3 :x m-1 (y +2) 3 e. 30(x –y) 7 : 5(x –y) 5 b. – x 2 (y –1) 3 (z +2) 2 : ½ x 2 (y-1) 2 d. 5 4 3 2 12 16 (a b) a : (a b) a 25 35     − + − +  ÷  ÷     f. 6 3 3 16 (a b) : (a b) 2 35     − − − −  ÷  ÷     Bài 3 : Tìm x biết a. x 5 (3x – 1) m + 3 : x 5 (3x – 1) m - 1 – 5 6 : 5 2 = 0 ( x ≠ 0 , x ≠ 1/3 ) b. 3a 3 (x 2 – 1) 4 : 3a 3 (x 2 – 1) 3 = 15 ( x ≠ ± 1) c. x 3 (2x – 1) m + 2 : x 3 (2x – 1) m – 1 = 3 5 : 3 2 Bài 4 : Điền vào dấu * cho hợp nghóa : a. 4y 5 : x 2  = 1/3 x 3 y 2 b. 20x n+2  : x n – 1 = 5y n –1 Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phép chia sau thực hiện được : a. 12x 4 y n : 16x 3 y 7 b. 6 n 3 16 (a b) : (a b) 2 35     − − − −  ÷  ÷     c. 5 n 3 n 3 2 32 16 x a y : x a y 25 35     − −  ÷  ÷     d. x n + 3 y 4 : x 7 y n e. (x +y) 6n (x –y) 5 : (x+y) 18 (x –y) n 2/ Chia đa thức cho đơn thức Bài 1 : Làm các phép chia sau a. (21a 4 b 2 x 3 – 6a 2 b 3 x 5 + 9a 3 b 4 x 4 ) : 3a 2 bx 2 b. ( 81a 4 x 4 y 3 – 36x 5 y 4 – 18x 6 y 5 ) : ( - 9x 3 y 3 ) c. (10x 3 y 2 + 12x 4 y 3 – 6x 5 y 4 ) : ( - ½ x 3 y 2 ) d. 2 3 3 4 2 2 10 15 5 x yz xy z 5xyz : xyz 3 2 3   − + −  ÷   e. [15(x – y) 5 – 10(x – y) 4 + 20(x – y) 3 ] : 5(x – y) 3 f. [3(x + y) 7 + 5(x + y) 5 – 10(x + y) 4 ] : (x + y) 4 g. [(x 4 + 1) 5 – 2(x 4 + 1) 4 + 3(x 4 + 1) 3 ] : (x 4 + 1) 3 Bài 2 : Thực hiện phép tính sau : a. ( 2 .3 7 – 5 . 3 4 + 3 3 ) : 3 3 b. ( 15 . 3 11 + 4 . 27 4 ) : 9 7 c. (27 10 – 5 . 81 4 . 3 12 + 4. 9 8 . 3 8 ) : (41 . 3 24 ) d. (10 12 + 5 11 . 2 9 – 5 13 . 2 8 ) : 4 . 5 5 . 10 6 e. (9 30 – 27 19 ) : 3 57 + ( 125 9 – 25 12 ) : 5 24 Baøi 3 : Tìm x bieát a. (5ax 3 – 3ax 2 ) : ax 2 = 7 b. (3x 6 – 4x 3 ) : x 3 – (3x + 1) 2 : (3x + 1) – 3x 7 : x 5 = 0 c. (5a 2 x 4 – 3a 2 x 2 ) : a 2 x 2 = 42 d. (5x 3 – 7x 2 + 12x) :x + (x 3 – 11x 2 ) : x 2 = 0 e. (x 2 + ½ x) : ½ x – (2x + 1) 3 : (2x + 1) 2 + (x + 1) 5 : (x + 1) 2 = 0 . 5x + 3 B i 14 . a. Cho 3 số lẻ liên tiếp . Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 180 . Timd m i số ? b. Có hai c i sân hình chữ nhật và hình. của hình vuông ? c. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tổng các tích của hai trong ba số ấy bằng 74 ? B i 15 . Cho hai số A = 3 32 ; B = (3 + 1)(3