Tài liệu Bài tập hình học & đại số 7

BÀI TẬP HÌNH HỌC 7 CHƯƠNG TAM GIÁC Bài 1: Chứng minh rằng(cmr) góc tạo thành bởi hai tia phân giác của hai góc ngoài của một tam giác bằng một nửa góc ngoài thứ ba. Bài 2: Ba tia phân giác trong AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại O. Từ O dựng OG ⊥ BC , cmr góc BOD = góc COG. Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 90 0 . M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho CD nhận M làm trung điểm cmr AB ⊥ BD. Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác ADE có góc ở A là góc đối đỉnh, tia phân giác của hai góc C và góc E gặp nhau tại F, cmr góc E = (B + D):2. Bài 5: Cho ∆ABC có góc A nhọn, vẽ tia Ax ⊥ AB (tia AC nằm giữa 2 tia AB và Ax) và trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AB. Vẽ gia Ay ⊥ AC (tia AB nằm giữa 2 tia AC và Ay) và trên đố lấy điểm F sao cho AF = AC. a) cm BF = CE : b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BF, CE. Kẻ AM, AN, cm AM ⊥ AN. Bài 6: Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Dựng các đường thẳng vuông góc qua A và B với xy lần lượt tại H và K. Trên tia đối của các tia HA và KB lần lượt lấy các điểm A ’ và B ’ sao cho HA = HA ’ và KB = KB ’ . Gọi C là giao điểm của AB ’ với xy, cm: a) AC = A ’ C; BC = B ’ C; b) A ’ , B, C thẳng hàng. C) AB = A ’ B ’ Bài 7: Trên cạnh BC của ∆ABC, lấy điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E, F vẽ các đường thẳng song song với BA chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. C/m EG + FH = AB. Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Oy lấy các điểm A,B,C sao cho OA = AB = BC. Qua A,B,C kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt Ox theo thứ tự ở D, E, F. Chứng minh OD = DE = EF. Bài 9: Cho ∆ABC ( AB < AC), vẽ tia phân giác AL của góc A. Từ trung điểm M của cạnh BC, vẽ đường thẳng vuông góc với AL, đường này cắt AC ở e và cắt ÁB ở D. a) cm: AD =AE, b) Kẻ BB ’ // ED. C/m B ’ E = EC = BD c) C/m các hệ thức 2AD = AC + AB ; 2EC = AC - AB. d) Tính góc BMD theo các góc B, C Bài 10: Cho ∆ABC có góc A = 120 0 , BC = a, AC = b, AB = c. C/m a 2 = b 2 + c 2 +bc. Bài 11: Cho ∆ABC vuông ở A. Một đường thẳng cát hai cạnh Ab và AC ở D và E. C/m CD 2 - CB 2 = ED 2 - EB 2 . Bài 12: Cho ∆ABC có A = 90 0 + C. Qua A vẽ đường vuông góc với AB, đường này catw cạnh BC tại điểm D. Từ C vẽ đường vuông góc với cạnh BC, đường này cắt tia BA tại điểm E; ED cắt cạnh AC tại điểm N. a)C/m các ∆ ADE, ∆ AEC là các tam giác cân. b)C/m N là trung điểm của cạnh AC và DE ⊥AC. c) Cho góc B = 30 0 . Tính các góc A, C. Tam giác ABC là tam giác gì? Bài 13: Cho ∆ABC vuông ở A và AB = 2AC. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Trên tia đối của tia Ac lấy điểm D sao cho AB = AD. CMR: a) BC = DE; b) ACB + ADE < 180 0 . Bài 14: Qua trung điểm M của AB ta kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng AB. Trên tia Mx ta lấy hai điểm C và D, trên tia My lấy điểm E, chứng minh: a) AC = CB; b) ∆ ACD = ∆ BCD; c) EAD = EBD. Bài 15: Cho hai đường thẳng d và d ’ song song với nhau. Một đường thẳng c cắt d và d ’ lần lượt tại các điểm A,C. Qua trung điểm O của AC, ta vẽ một đường thẳng bất kỳ cắt d và d ’ lần lượt tại các điểm D,B. a)C/m AD = BC và AB // DC. b)Gọi M là trung điểm của DA và N là trnung điểm của BC. C/m O là trung điểm của đoạn MN. c)C/m CM // AN. Bài 16: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Từ H kẻ HM ⊥ AC (H ∈ AC) và trên tia HM lấy điểm E sao cho HM = EM. Kẻ HN ⊥ AB (N ∈ AB) và trên tia HN lấy điểm D sao cho NH = DN. a) C/m ba điểm D,A,E thẳng hàng; b) C/m MN // CE; c) C/m BD // CE d) C/m AD = AE = AH. Suy ra ∆DHE là tam giác vuông. Bài 17: Cho ∆ABC có D là trung điểm của BC, AD là tia phân giác của góc A. Kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. C/m: a) DE = DF; b) Góc B = góc C. Bài 18: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhỏ hơn 90 0 , kẻ BD,CE lần lượt vuông góc với AC, AB. Gọi K là giao điểm BD và CE. C/m: a) AD = AE ; b) AK là tia phân giác của góc A. Bài 19: Cho ∆ABC vuông ở A(AB < AC), M là một điểm thuộc cạnh AC. Kẻ MH vuông góc với BC(H ∈ BC). Biết MH = HB. C/m AH là tia phân giác của góc A. Bài 20: Cho ∆ABC cân ở A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). a) C/m DH = EK; b) Gọi M là trung điểm của HK. C/m ba điểm D, M, E thẳng hàng. Bài 21: Cho ∆ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. a) So sánh AE và DE.; b) Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính góc BAK. Bài 22: Cho ∆ABC vuông ở A có góc B bằng 60 0 . Vẽ tia Cx ⊥ BC, trên tia Cx lấy đoạn CE = CA ( CE, CA cùng một phía đối với BC). Kéo dài CB lấy F trên đó sao cho BF = BA, c/m: a) ∆ACE là tam giác đều; b) C/m ba điểm E,A,F thẳng hàng. Bài 23: Cho ∆ABC, ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Hãy xác định dạng của tam giác ABC, Biết rằng BD = CE. Bài 24: Cho ∆ABC vuông cân ở A, D là điểm bất kỳ trên BC. Vẽ hai tia Bx, Cy vuông góc với BC và nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa BC và điểm A. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx tại m và cắt Cy tại N. C/m: a) AM = AD; b) A là trung điểm của của MN; c) ∆DMN vuông cân. Bài 25: Cho ∆ABC vuông ở A, AB > AC. Trên cạnh BA lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AD. CD cắt BE tại O. Trên đường vuông góc với AB vẽ tại B, lấy điểm F sao cho BF = CE (F, C cùng nửa mặt phẳng bờ AB) a/ Chứng minh ∆ BDF = ∆ACD; b/ Chứng minh ∆ CDF vuông cân; c/ Tính số đo của góc COE. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 7 Bài 1: Tính a) 1 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 49.50 + + + + + ; b) 1 1 1 1 3.7 7.11 11.15 23.27 + + + + c) 1 1 1 1 1 . 5.6 6.7 7.8 8.9 2004.2005 − − − − − ; d) 2 2 2 2 1.3 3.5 5.7 49.51 + + + + e) 1 1 1 1 . 1.2.3 2.3.4. 3.4.5 98.99.100 + + + ; f) 1+ 1 1 1 (1 2) (1 2 3) . (1 2 . 100) 2 3 100 + + + + + + + + + Bài 2: Tính a) (1+2+3+ +90).(12.34-6.68): ( 1 1 1 1 ) 3 4 5 6 + + + ; b) -66. 1 1 1 124.( 37) 63.( 124) 2 3 11   − + + − + −  ÷   b) 1 1 1 3 3 3 3 3 5 7 8 16 32 64 2 2 2 1 1 1 1 3 5 7 4 8 16 32 − − − − − + − − − − − ; c) 3 3 3 1 1 1 7 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + − + + − + − + ; d) 1 1 1 3 3 3 3 11 7 9 5 25 125 625 4 4 4 4 4 4 4 9 7 11 25 125 625 5 + − − − − − − − + + − Bài 3: Rút gọn a) 6 4 13 9 4 3 6 3 .45 15 .5 27 .25 45 − − + ; b) 7 3 3 7 7 2 2 9 3 .5 : 5 4 16 2 .5 512       +  ÷  ÷  ÷       + ; c) 5 4 10 8 8 4 .9 2.69 2 .3 6 .20 − + ; d) 19 3 9 4 9 10 10 2 .27 15.4 .9 6 .2 12 + + Bài 4: Cho biết S = 2 2 +4 2 +6 2 + +20 2 = 1540. Tính M= 1 2 +2 2 +3 2 + +10 2 Bài 5: Cho biết 1 2 +2 2 +3 2 + +10 2 = 385. a) Tính (12 2 +14 2 +16 2 +18 2 +20 2 ) - (1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 ) b) Tính 3 2 +6 2 +9 2 + .+30 2 Bài 6: Tính S = 2 2010 -2 2009 - 2 2008 - .- 3 - 1 Bài 7: Cho S n = 1-2+3-4+ +(-1) n-1 .n, Với n = 1;2;3; Tính S 35 + S 60 Bài 8: Rút gọn a) A = 2 100 - 2 99 + 2 98 - 2 97 + . + 2 2 - 2; b) B = 3 100 -3 99 + 3 98 - 3 97 + . +3 2 -3+1 Bài 9: Cho C = 2 3 99 1 1 1 1 . 3 3 3 3 + + + + ; C/m: C < 1 2 Bài 10: a) Cmr : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 19 . 1 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 + + + + < ; b) Cmr: 2 3 3 100 1 2 3 4 100 3 3 3 3 4 3 4 + + + + + < Bài 11: Cho A = 2+2 2 +2 3 +2 4 + . + 2 12 a) Chứng tỏ A M 3; b) Chứng tỏ A M 7 Bài 12: a) C/m: 43 43 - 17 17 M 10; b) C/m: 36 36 - 9 10 M 45; c) C/m: 7 1000 - 3 1000 M 10 Bài 13: a) C/m: A = 7+ 7 2 + 7 3 + 7 4 M 50; b) B = 10 6 -5 7 M 59 Bài 14: Cho A = 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+ -99 - 100. C/m: A M 2 Bài 15: cho B = 8 7 - 2 18 C/m B M 14 Bài 16: a) Cmr : (2 10 + 2 11 + 2 12 ) : 7, được thương là số tự nhiên. b)Cmr : (8 10 - 8 9 - 8 8 ) : 55, được thương là số tự nhiên. Bài 17: a) C/m: 3 1 1 ( 1) ( 1)n n n n < − + ; n là số nguyên lớn hơn 1. b) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2005 2006 4 + + + + + < Bài 18: a) Cmr : 3 1 1 ( 1)( 2)n n n n > + + Với n là số nguyên dương. b) cmr : 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2005 2006 15 + + + + + > Bài 19: So sánh A và B, biết A = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . +2 50 ; B = 2 51 Bài 20: Không dùng máy tính hãy so sánh A = 2006 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2006 + + + với 4 Bài 21: Tìm chữ số tận cùng của a) 4 21 ; b) 9 53 ; c) 3 103 ; d) 8 4n+1 ( n ∈ N); e) 14 23 + 23 23 + 70 23 Bài 22: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 7 1992 ; b) 99 101 ; c) 1945 1945 ; d) 24 100 ; e) 2 1000 Bài 23: Tìm x biết rằng: a) (x- 2) 3 = -27; b) (2x- 3) 2 = 25 ; c)3 x- 1 = 1 243 ; d) 2 x + 2 x+ 3 = 144 ; e) 81 -2x . 27 x = 9 5 Bài 24: Tìm các số x, y, biết ; 3 4 3 5 x y y z = = và 2x- 3y +z = 6 Bài 25: Cho 2 3 4 a b c = = và a 2 - b 2 +2bc= 76. Tính a, b, c. Bài 26: Tìm x biết: a) 5│2x- 7│- 3= 12; b) (x- 1) 4 = (x- 1) 2 c) (x+1)+ (x+2)+(x+3)+ .(x+1999)+ (x+2000)+ 2001=2001 Bài 27: Cho a b c b c a = = và a+ b+ c= 2007. Tính a, b, c. Bài 28: a) Tìm x, y biết: 4 4 7 7 x y + = + và x+ y= 22 ; b) Cho y à . 3 4 5 6 x y z v= = Tính M= 2 3 4 3 4 5 x y z x y z + + + + Bài 29: Tìm x biết a) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 2 4 6 8 10 12 62 64 x = ; b) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 . 2 3 3 3 2 2 x + + + + + + + + = + + + Bài 30: Tìm x biết 2 4 1 7 x x x x − + = − + Bài 31: Tìm x, y, z, biết rằng: 1 1 2 x y z x y z y z x z x y = = = + + + + + + + − Bài 32: Tìm x ∈ Q bết a) (x - 2 5 ) (x + 3 7 ) > 0 ; b) (x + 1 5 ) (x - 2 7 ) < 0; c) ( 2 1 3 2 ).( ) 3 5 5 3 x x− + < 0 Bài 33: Tìm x ∈ Q bết (x - 2 3 3 ).( ).( ) 5 7 4 x x+ + > 0 Bài 34: Tìm x ∈ Q biết a) │x + 2 5 │= 2x b) │x - 2 15 │= │ 3 20 − │ Bài 35: Tìm x,y biết: a) x 2 + y 4 = 0; b) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0; c) (x -11+y) 2 + (x-4-y) 2 = 0 . c/ Tính số đo của góc COE. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 7 Bài 1: Tính a) 1 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 49.50 + + + + + ; b) 1 1 1 1 3 .7 7.11 11.15 23. 27 + + +. 10 M 45; c) C/m: 7 1000 - 3 1000 M 10 Bài 13: a) C/m: A = 7+ 7 2 + 7 3 + 7 4 M 50; b) B = 10 6 -5 7 M 59 Bài 14: Cho A = 1+2-3-4+5+6 -7- 8+9+10-11-12+