tài liệu ôn tập hình học - đại số lớp 10 tham khảo hay (2)

Phương pháp toạ độ mặt phẳng CHƯƠNG III CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ u ≠ đgl vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ r r Nhận xét:– Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r Vectơ n ≠ đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT r r r r – Nếu u VTCP n VTPT ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) Phương trình tham số ∆:  x = x0 + tu1   y = y0 + tu2 (1) ( t tham số)  x = x0 + tu1 Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:   y = y0 + tu2 – Gọi k hệ số góc ∆ thì: + k = tanα, với α = ·xAv , α ≠ 90 +k= u2 , u1 với u1 ≠ Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) Phương trình tắc ∆: x − x y − y0 = u1 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tham số đường thẳng PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: r r r VTPT n = (a; b) VTCP u = (−b; a) u = (b; −a) r – Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = Các trường hợp đặc biệt: Trang 96 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Các hệ số c=0 a=0 b=0 Phương trình đường thẳng ∆ ax + by = by + c = ax + c = Tính chất đường thẳng ∆ ∆ qua gốc toạ độ O ∆ // Ox ∆ ≡ Ox ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a1 x + b1y + c1 =  a x + b y + c = (1)  2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ a1 b1 ≠ a2 b2 • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n , n ) (n1, n2 ) ≤ 900  (·∆1 , ∆2 ) =  r r r r 180 − (n1 , n2 ) (n1, n2 ) > 90  r r a1b1 + a2 b2 r r ·∆ , ∆ ) = cos(·n , n ) = n1.n2 = cos( r r 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Trang 97 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1x + b1y + c1 a x + b2 y + c2 =± 2 2 a1 + b1 a2 + b2 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác r định điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ VTCP u = (u1; u2 ) ∆ x − x y − y0  x = x0 + tu1 = PTTS ∆:  ; PTCT ∆: (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) y = y0 + tu2 u1 u2  • Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm r M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ VTPT n = (a; b) ∆ PTTQ ∆: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = • Một số tốn thường gặp: + ∆ qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A ≠ xB , y A ≠ yB ): PT ∆: x − xA y − yA = x B − x A yB − y A x y + = a b + ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d – Xác định I = d ∩ ∆ (I hình chiếu M d) – Xác định M′ cho I trung điểm MM′ Cách 2: Gọi I trung điểm MM′ Khi đó: uuu u ur r  MM ′ ⊥ u  d (sử dụng toạ độ) M′ đối xứng M qua d ⇔  I ∈ d  + ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT ∆: • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta thực sau: – Nếu d // ∆: + Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d – Nếu d ∩ ∆ = I: Trang 98 Phương pháp toạ độ mặt phẳng + Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ I • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta thực sau: – Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d r r c) M(3; –1), u = (−2; −5) r f) M ≡ O(0; 0), u = (2;5) Bài Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTCP u : r a) M(–2; 3) , u = (5; −1) r d) M(1; 2), u = (5; 0) r b) M(–1; 2), u = (−2;3) r e) M(7; –3), u = (0;3) r Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTPT n : r r r a) M(–2; 3) , n = (5; −1) b) M(–1; 2), n = (−2;3) c) M(3; –1), n = (−2; −5) r r r d) M(1; 2), n = (5; 0) e) M(7; –3), n = (0;3) f) M ≡ O(0; 0), n = (2;5) Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = f) M ≡ O(0; 0), k = Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy  x = − 2t x −1 y + d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d: = y = + 4t  −2 Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy  x = − 2t x −1 y + d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d: = y = + 4t  −2 Baøi Cho tam giác ABC Viết phương trình cạnh, đường trung tuyến, đường cao tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình đường cao tam giác, với: a) AB : x − 3y − = 0, BC : x + 3y + = 0, CA : x − y + = b) AB : x + y + = 0, BC : x + 5y − = 0, CA : x − y − = Baøi Viết phương trình cạnh trung trực tam giác ABC biết trung điểm cạnh BC, CA, AB điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M  ; − ÷, N  ; − ÷, P(2; −4) 2 2 2 2   3  7  3 1 c) M  2; − ÷, N  1; − ÷, P(1; −2) d) M  ;2 ÷, N  ;3 ÷, P(1; 4)  2  2 2  2  Baøi 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M chắn hai trục toạ độ đoạn nhau, với: Trang 99 Phương pháp toạ độ mặt phẳng a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Bài 11 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = b) M(2; 1), S = c) M(–3; –2), S = d) M(2; –1), S = Bài 12 Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : x + y − = b) M(3; – 1), d : x + 5y − 30 = c) M(4; 1), d : x − y + = d) M(– 5; 13), d : x − 3y − = Bài 13 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d : x − y + = 0, ∆ : x − y + = b) d : x − y + = 0, ∆ : x + y − = c) d : x + y − = 0, ∆ : x − 3y + = d) d : x − 3y + = 0, ∆ : x − 3y − = Bài 14 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d : x − y + = 0, I (2;1) b) d : x − y + = 0, I (−3; 0) c) d : x + y − = 0, I (0;3) d) d : x − 3y + = 0, I ≡ O(0; 0) VẤN ĐỀ 2: Các tốn dựng tam giác Đó tốn xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại toán ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác Sau số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′ – Dựng AB qua B vuông góc với CC′ – Dựng AC qua C vng góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Dựng AB qua A vuông góc với CC′ – Dựng AC qua A vng góc với BB′ – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′ Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN – Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy BA′ // CN, CA′ // BM) – Dựng dB qua A′ song song với CN – Dựng dC qua A′ song song với BM – Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB ∩ AC – Dựng d1 qua M song song với AB – Dựng d2 qua M song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC ∩ d1 – Xác định trung điểm J AB: J ur ABu∩ d2 ur u r = u u u u r – Xác định B, C cho JB = AJ , IC = AI uu ur uu ur Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB = − MC Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường cao Viết phương trình Trang 100 Phương pháp toạ độ mặt phẳng hai cạnh đường cao lại, với: (dạng 1) a) AB : x + y − 12 = 0, BB′ : x − y − 15 = 0, CC′ : x + y − = b) BC : x − 3y + = 0, BB′ : x − 3y + = 0, CC′ : x + y − 22 = c) BC : x − y + = 0, BB′ : x − 7y − = 0, CC ′ : x − y − = d) BC : x − 3y + = 0, BB′ : x − y − = 0, CC′ : x + 3y − = Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường cao Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: (dạng 2) a) A(3; 0), BB′ : x + y − = 0, CC′ : x − 12 y − = b) A(1; 0), BB′ : x − y + = 0, CC ′ : x + y − = Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: (dạng 3) a) A(1;3), BM : x − y + = 0, CN : y − = b) A(3;9), BM : x − y + = 0, CN : y − = Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác đó, với: a) AB : x − y + = 0, AM : x + y − = 0, BN : x + y − 11 = HD: a) AC :16 x + 13y − 68 = 0, BC :17 x + 11y − 106 = Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh toạ độ trung điểm cạnh thứ ba Viết phương trình cạnh thứ ba, với: (dạng 4) a) AB : x + y − = 0, AC : x + 3y − = 0, M (−1;1) b) AB : x − y − = 0, AC : x + y + = 0, M (3; 0) c) AB : x − y + = 0, AC : x + y − = 0, M (2;1) d) AB : x + y − = 0, AC : x + y + = 0, M (−1;1) Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh, phương trình đường cao trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: A(4; −1), BH : x − 3y + 12 = 0, BM : x + 3y = a) b) A(2; −7), BH : x + y + 11 = 0, CN : x + y + = c) A(0; −2), BH : x − y + = 0, CN : x − y + = d) A(−1;2), BH : x − y − = 0, CN : x + y − 20 = VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Trang 101 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a1 x + b1y + c1 =  a x + b y + c = (1)  2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ a1 b1 ≠ a2 b2 • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a1 b1 c1 = = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm ⇔ Bài Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau, chúng cắt tìm toạ độ giao điểm chúng: a) x + 3y + = 0, x + 5y − = x = + t  x = + 2t ,  c)   y = −3 + 2t  y = −7 + 3t x = + t , x + y−5= e)   y = −1 b) x − y + = 0, x = 1− t , d)   y = −2 + t − 8x + 2y + =  x = + 3t  y = −4 − 6t  f) x = 2, x + y − = Baøi Cho hai đường thẳng d ∆ Tìm m để hai đường thẳng: a) b) c) d) Baøi a) b) c) d) Baøi a) i) cắt ii) song song iii) trùng d : mx − 5y + = 0, ∆ : 2x + y − = d : 2mx + (m − 1) y − = 0, ∆ : (m + 2) x + (2m + 1) y − (m + 2) = d : (m − 2) x + (m − 6) y + m − = 0, ∆ : (m − 4) x + (2m − 3) y + m − = d : (m + 3) x + y + = 0, ∆ : mx + y + − m = Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: y = x − 1, x + 5y = 8, (m + 8) x − 2my = 3m y = x − m, y = − x + 2m, mx − (m − 1)y = 2m − x + 11y = 8, 10 x − y = 74, 4mx + (2m − 1) y + m + x − y + 15 = 0, x + y − = 0, mx − (2m − 1) y + 9m − 13 = Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm hai đường thẳng d1 d2 và: d1 : x − y + 10 = 0, d2 : x + 3y − = 0, d qua A(2;1) b) d1 : x − 5y + = 0, d2 : x − y + = 0, d song song d3 : x − y + = c) d1 : x − y + = 0, d2 : x + y − = 0, d vuông góc d3 : x − 3y + = Bài Tìm điểm mà đường thẳng sau qua với m: a) (m − 2) x − y + = b) mx − y + (2m + 1) = c) mx − y − 2m − = d) (m + 2) x − y + = Baøi Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0) a) Viết phương trình đường trung tuyến, phương trình đường cao, phương trình đường trung trực tam giác b) Chứng minh đường trung tuyến đồng qui, đường cao đồng qui, đường trung trực đồng qui Baøi Hai cạnh hình bình hành ABCD có phương trình x − 3y = 0, x + 5y + = , đỉnh Trang 102 Phương pháp toạ độ mặt phẳng C(4; –1) Viết phương trình hai cạnh cịn lại Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2) VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1x + b1y + c1 a x + b2 y + c2 =± 2 2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC ta thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngồi (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ∆ABC với đường phân giác AD phân giác AE (D, E ∈ BC) uu ur ur u u AB u u u r ur AB u u ta có: DB = − DC , EB = EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình đường phân giác d1, d2 góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 d1 đường phân giác + Nếu B, C nằm phía d1 d1 đường phân giác ngồi Bài Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; −5), d : x − y + =  x = 2t c) M (4; −5), d :   y = + 3t b) M (3;5), d : x + y + = x − y +1 d) M (3;5), d : = Baøi a) Cho đường thẳng ∆: x − y + = Tính bán kính đường trịn tâm I(–5; 3) tiếp xúc với ∆ b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: x − 3y + = 0, x + y − = đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật c) Tính diện tích hình vng có đỉnh nằm đường thẳng song song: Trang 103 Phương pháp toạ độ mặt phẳng d1 : x − y + = d2 : x − 8y − 13 = Bài Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song cách đường thẳng ∆ khoảng k, với:  x = 3t , k =3 a) ∆ : x − y + = 0, k = b) ∆ :   y = + 4t c) ∆ : y − = 0, k = d) ∆ : x − = 0, k = Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ cách điểm A khoảng k, với: a) ∆ : x − y + 12 = 0, A(2;3), k = b) ∆ : x + y − = 0, A(−2;3), k = c) ∆ : y − = 0, A(3; −5), k = d) ∆ : x − = 0, A(3;1), k = Baøi Viết phương trình đường thẳng qua A cách B khoảng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = b) A(–1; 3), B(4; 2), d = c) A(5; 1), B(2; –3), d = d) A(3; 0), B(0; 4), d = Baøi Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5) Bài Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A khoảng h cách điểm B khoảng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = Baøi Cho đường thẳng ∆: x − y + = điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2) a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB b) Chứng minh hai điểm O, A nằm phía đường thẳng ∆ c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ d) Trên ∆, tìm điểm M cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn Baøi 10 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C đường thẳng ∆: x − y + = cho diện tích tam giác ABC 17 (đvdt)  76 18  HD: C (12;10), C  − ; − ÷  5 Bài 11 Tìm tập hợp điểm a) Tìm tập hợp điểm cách đường thẳng ∆: −2 x + 5y − = khoảng b) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d : x + 3y − = 0, ∆ : x + 3y + = c) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d : x − 3y + = 0, ∆ : y − = d) Tìm tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng sau : 13 d : x − 12 y + = ∆ : x − 3y − 10 = Bài 12 Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: a) x − y + 12 = 0, 12 x + 5y − 20 = b) x − y − = 0, x − y + = c) x + 3y − = 0, x + y + = d) x + y − 11 = 0, x − y − = Baøi 13 Cho tam giác ABC Tìm tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x − 3y + 21 = 0, BC : x + 3y + = 0, CA : x − y − = d) AB : x + 3y + 12 = 0, BC : x − y − 24 = 0, CA : x + y − = VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng Trang 104 Phương pháp toạ độ mặt phẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n1, n2 ) ≤ 900  ·∆ , ∆ ) = (n1 , n2 ) (  r r r r 180 − (n1 , n2 ) (n1, n2 ) > 90  r r a1b1 + a2 b2 r r ·∆ , ∆ ) = cos(·n , n ) = n1.n2 = cos( r r 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: ( ) • 0 ≤ ·∆1 , ∆2 ≤ 900 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 • Cho ∆ABC Để tính góc A ∆ABC, ta sử dụng cơng thức: uu u u u ur r uu u u u ur r AB AC cos A = cos ( AB, AC ) = u u u u u ur r AB AC Bài Tính góc hai đường thẳng: a) x − y − = 0, x + 3y − 11 = b) x − y + = 0, x + y − = c) x − y + 26 = 0, x + 5y − 13 = d) x + y − = 0, x − 3y + 11 = Bài Tính số đo góc tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x − 3y + 21 = 0, BC : x + 3y + = 0, CA : x − y − = d) AB : x + 3y + 12 = 0, BC : x − y − 24 = 0, CA : x + y − = Baøi Cho hai đường thẳng d ∆ Tìm m để góc hai đường thẳng α, với: a) d : 2mx + (m − 3) y + 4m − = 0, ∆ : (m − 1) x + (m + 2) y + m − = 0, α = 450 b) d : (m + 3) x − (m − 1) y + m − = 0, ∆ : (m − 2) x + (m + 1) y − m − = 0, α = 90 Baøi Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A tạo với đường thẳng ∆ góc α, với: a) A(6;2), ∆ : x + y − = 0, α = 450 b) A(−2; 0), ∆ : x + 3y − = 0, α = 450 c) A(2;5), ∆ : x + 3y + = 0, α = 60 d) A(1;3), ∆ : x − y = 0, α = 300 Bài Cho hình vng ABCD có tâm I(4; –1) phương trình cạnh x − y + = a) Viết phương trình hai đường chéo hình vng b) Tìm toạ độ đỉnh hình vng Trang 105 Phương pháp toạ độ mặt phẳng III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 + y2 =1 (a > b > 0, b2 = a2 − c2 ) a b • Toạ độ tiêu điểm: F1 (−c;0), F2 (c; 0) • Với M(x; y) ∈ (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 = a + c c x , MF2 = a − x a a Hình dạng elip • (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) • Toạ độ đỉnh: trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b • Độ dài trục: c (0 < e < 1) a • Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b (ngoại tiếp elip) • Tâm sai (E): e= Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) • Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x ± • Với M ∈ (E) ta có: MF1 MF2 = =e d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆2 ) a =0 e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) Các yếu tố: x2 y2 = Xác định a, b, c a2 b2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (E) dạng tắc: + – Toạ độ đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) – Tâm sai e = c a – Phương trình đường chuẩn x ± Trang 113 a =0 e Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi 18 Cho elip (E) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường chuẩn (E), với (E) có phương trình: x y2 x y2 x y2 a) b) c) d) + =1 + =1 + =1 16 25 x y2 + =1 e) 16 x + 25y = 400 f) x + y = g) x + y = h) x + 25y = VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (E): c + b2 = a2 − c + e= + Các tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) Bài Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự qua điểm M ( 15; −1) e) Độ dài trục nhỏ qua điểm M ( −2 5;2 ) e) Một tiêu điểm F1 (−2; 0) độ dài trục lớn 10  3 f) Một tiêu điểm F1 ( − 3;0 ) qua điểm M  1; ÷     g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1 ÷   h) Đi qua hai điểm M ( 4; − ) , N ( 2;3 ) Bài Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình đường chuẩn x ± 16 = d) Một đỉnh A1 (−8; 0) , tâm sai  5 e) Đi qua điểm M  2; − ÷ có tâm sai  3 b) Một tiêu điểm F1 (−8;0) tâm sai Trang 114 Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (E): c c MF1 = a + x , MF2 = a − x a a Baøi Cho elip (E) đường thẳng d vng góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho: i) MF1 = MF2 ii) MF2 = 3MF1 c) x + 16 y = 112 iii) MF1 = MF2 a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 60 , với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 + MF2 = 2a ⇒ Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2 + y2 b2 = (a > b) ⇒ Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b Bài Cho đường trịn (C): x + y − x − 55 = điểm F (−3;0) : a) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C′) di động qua F1 tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai đường tròn (C): x + y + x − 32 = (C′): x + y − x = : a) Chứng minh (C) (C′) tiếp xúc b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (T) di động tiếp xúc với hai đường tròn c) Viết phương trình tập hợp Bài Tìm tập hợp điểm M có tỉ số khoảng cách từ đến điểm F đến đường thẳng ∆ e, với: 1 a) F (3; 0), ∆ : x − 12 = 0, e = b) F (2; 0), ∆ : x − = 0, e = 2 c) F (−4; 0), ∆ : x + 25 = 0, e = d) F (3; 0), ∆ : x − 25 = 0, e = 5 Baøi Cho hai điểm A, B chạy hai trục Ox Oy cho AB = 12 a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB Trang 115 Phương pháp toạ độ mặt phẳng b) Tìm tập hợp điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Tìm tâm sai (E) trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc vng c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 60 d) Độ dài trục lớn k lần độ dài trục nhỏ (k > 1) e) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục nhỏ tiêu cự x y2 + = Một góc vng đỉnh O quay quanh O, có cạnh cắt (E) lần Baøi Cho elip (E): a2 b2 lượt A B 1 + a) Chứng minh không đổi OA2 OB2 b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB Suy đường thẳng AB tiếp xúc với đường trịn (C) cố định Tìm phương trình (C) ab 1 1 1 = + = + HD: a) + b) ⇒ OH = 2 a b OH OA2 OB a2 b2 a +b x2 y2 = Gọi F1, F2 tiêu điểm, A1, A2 đỉnh trục lớn, M a2 b2 điểm tuỳ ý thuộc (E) Baøi Cho elip (E): a) Chứng minh: + MF1.MF2 + OM = a2 + b2 b) Gọi P hình chiếu M trục lớn Chứng minh: Trang 116 MP b2 = A1P A2 P a2 Phương pháp toạ độ mặt phẳng IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ (H ) ⇔ MF1 − MF2 = 2a (a < c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc hypebol x2 − y2 =1 (a, b > 0, b2 = c2 − a2 ) a b • Toạ độ tiêu điểm: F1 (−c;0), F2 (c; 0) • Với M(x; y) ∈ (H), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF = a + c c x , MF2 = a − x a a Hình dạng hypebol • (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (−a; 0), A2 (a; 0) • Toạ độ đỉnh: • Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c e= • Tâm sai (H): (e > 1) a • Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b b y = ± x • Phương trình đường tiệm cận: a Đường chuẩn hypebol a • Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x ± = e MF1 MF2 = =e • Với M ∈ (H) ta có: (e < 1) d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆2 ) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (H) Các yếu tố: x2 y2 = Xác định a, b, c a2 b2 – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (H) dạng tắc: − – Toạ độ đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0) – Tâm sai e = c a – Phương trình đường tiệm cận: y = ± b x a a =0 e Baøi 19 Cho hypebol (H) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ – Phương trình đường chuẩn x ± Trang 117 Phương pháp toạ độ mặt phẳng đỉnh, tâm sai, phương trình đường tiệm cận, phương trình đường chuẩn (H), với (H) có phương trình: x y2 x y2 x y2 a) b) c) d) − =1 − =1 − =1 16 16 25 x y2 − =1 e) 16 x − 25y = 400 f) x − y = g) x − y = h) x − 25y = VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (H) Để lập phương trình tắc (H) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (H) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (H): c + b2 = c − a + e= + Các tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0) Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Độ dài trục thực 6, trục ảo b) Độ dài trục thực 8, tiêu cự 10 x 13 d) Độ dài trục thực 48, tâm sai 12 e) Độ dài trục ảo 6, tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(5; 0), tiêu điểm F(6; 0) b) Một tiêu điểm F(–7; 0), tâm sai e = c) (H) qua hai điểm M ( 2; ) , N (−3; 4) d) Độ dài trục thực qua điểm A(5; –3) e) Tiêu cự 10 qua điểm A(–4; 3) c) Tiêu cự 13 , tiệm cận y = f) Có tiêu điểm với elip (E): 10 x + 36 y − 360 = , tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(–3; 0) tiệm cận d: x − 3y = b) Hai tiệm cận d: x ± y = khoảng cách hai đường chuẩn c) Tiêu cự hai tiệm cận vng góc với d) Hai tiệm cận d: x ± y = hai đường chuẩn ∆: x ± 16 = e) Đi qua điểm E(4; 6) hai tiệm cận d: 3x ± y = Trang 118 Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: • Các cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (H): c c MF = a + x , MF2 = a − x a a • Nếu M thuộc nhánh phải x ≥ a c c ⇒ MF1 = x + a , MF2 = x − a (MF1 > MF2) a a • Nếu M thuộc nhánh trái x ≤ – a c  c  ⇒ MF1 = −  x + a ÷, MF2 = −  x − a ÷ (MF1 < MF2) a  a  Baøi Cho hypebol (H) đường thẳng d vng góc với trục thực tiêu điểm bên trái F cắt (H) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) 16 x − y = 144 b) 12 x − y = 48 c) 10 x + 36 y − 360 = Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) cho: i) MF2 = 3MF1 ii) MF1 = 3MF2 iii) MF1 = MF2 iv) MF1 = MF2 a) x y2 − =1 16 b) x y2 − =1 12 c) x y2 − =1 d) x2 − y2 = Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: x2 x y2 x y2 a) b) c) d) − y2 = − =1 − =1 4 12 x y2 − =1 16 Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm góc α, với: a) x y2 − = 1, α = 120 b) x y2 − = 1, α = 120 36 13 c) x y2 − = 1, α = 600 16 VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 − MF2 = 2a ⇒ Tập hợp hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục thực 2a 2 x y Dạng 2: − = ⇒ Tập hợp hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b a2 b2 Baøi Cho đường tròn (C): x + y + x = điểm F2 (2; 0) a) Tìm toạ độ tâm F1 bán kính R (C) Trang 119 Phương pháp toạ độ mặt phẳng b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C′) di động qua F2 tiếp xúc với (C) c) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai đường tròn (C): x + y + 10 x + = (C′): x + y − 10 x + 21 = a) Xác định tâm tính bán kính (C) (C′) b) Tìm tập hợp tâm M đường tròn (T) tiếp xúc với (C) (C′) c) Viết phương trình tập hợp y2 HD: c) (H): x − = 24 Baøi Cho hai đường thẳng ∆: x − y = ∆′: x + y = 100 a) Tìm tập hợp (H) điểm M có tích khoảng cách từ M đến ∆ ∆′ 29 b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi N điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ N đến đường tiệm cận (H) số khơng đổi Bài Tìm tập hợp điểm M có tỉ số khoảng cách từ đến điểm F đến đường thẳng ∆ e, với: 3 ,e= 3 d) F ( 3; ) , ∆ : 3x − = 0, e = a) F (4; 0), ∆ : x − = 0, e = c) F (6; 0), ∆ : x − = 0, e = b) F (3 2; 0), ∆ : x − VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Cho hypebol (H): x − 16 y − 144 = a) Viết phương trình đường chuẩn (H) b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi M điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số không đổi Baøi Cho hypebol (H): x − 16 y − 144 = a) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái lần bán kính qua tiêu điểm bên phải M b) Tìm điểm N (H) cho ·F NF = 90 c) Chứng minh đường thẳng d cắt (H) P, Q cắt hai đường tiệm cận P′, Q′ PP′ = QQ′ HD: c) Chứng tỏ hai đoạn PQ P′Q′ có chung trung điểm x2 y2 = a2 b2 a) Gọi M điểm tuỳ ý (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số không đổi b) Từ điểm N (H), dựng hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận, với hai đường tiệm cận tạo thành hình bình hành Tính diện tích hình bình hành a2 b HD: a) b) ab 2 a +b Baøi Cho hypebol (H): − Trang 120 Phương pháp toạ độ mặt phẳng V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL Định nghĩa Cho điểm F đường thẳng ∆ không qua F M ∈ ( P ) ⇔ MF = d ( M , ∆) p = d (F , ∆) : tham số tiêu F: tiêu điểm, ∆: đường chuẩn, Phương trình tắc parabol (p > 0) y = px • Toạ độ tiêu điểm: p  F  ; ữ ã Phng trỡnh ng chun: : x + p = • Với M(x; y) ∈ (P), bán kính qua tiêu điểm M MF = x + p Hình dạng parabol • (P) nằm phía bên phải trục tung • (P) nhận trục hồnh làm trục đối xứng O(0; 0) • Toạ độ đỉnh: • Tâm sai: e = VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (P) Đưa phương trình (P) dạng tắc: y = px Xác định tham số tiêu p Các yếu tố: p  – Toạ độ tiêu điểm F  ; ÷ 2  – Phương trình đường chuẩn ∆: x + p = Baøi 20 Cho parabol (P) Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P), với: a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x Bài 21 a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (P) Để lập phương trình tắc (P) ta cần xác định tham số tiêu p (P) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (P): p  p – Toạ độ tiêu điểm F  ; ÷ – Phương trình đường chuẩn ∆: x + = 2  Bài Lập phương trình tắc (P), biết: a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) Trang 121 c) Đi qua điểm M(1; –4) Phương pháp toạ độ mặt phẳng c) Đường chuẩn ∆: x + = d) Đường chuẩn ∆: x + = e) Đi qua điểm M(1; –2) Baøi Lập phương trình tắc (P), biết: a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải elip (E): x + y = 45 b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải hypebol (H): 16 x − y = 144 c) Tiêu điểm F trùng với tâm đường tròn (C): x − x + y + = VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (P): p MF = x + Baøi Cho parabol (P) đường thẳng d vng góc với trục đối xứng tiêu điểm F cắt (P) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF , MN a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x Baøi 10 Cho parabol (P) i) Tìm điểm M ∈ (P) cách tiêu điểm F đoạn k ii) Chọn M có tung độ dương Tìm điểm A ∈ (P) cho ∆AFM vuông F a) ( P ) : y = x , k = 10 b) ( P ) : y = x , k = c) ( P ) : y = 16 x , k = Baøi 11 Cho parabol (P) đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm M, N i) Chứng minh x M x N khơng đổi ii) Tính MF, NF, MN theo m a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF = d ( M , ∆) ⇒ Tập hợp (P) có tiêu điểm F p  Dạng 2: y = px ⇒ Tập hợp (P) có tiêu điểm F  ; ÷ 2  Bài Tìm tập hợp tâm M đường tròn (C) di động qua điểm F tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: a) F (2; 0), ∆ : x + = b) F (3;0), ∆ : x + = c) F (1;0), ∆ : x + = Baøi 10 Cho parabol (P) Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) điểm thứ hai A Tìm tập hợp của: i) Trung điểm M đoạn OA a) y = 16 x b) y = x uu u u r ur ur ii) Điểm N cho NA + NO = c) y = x d) y = x Trang 122 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trang 123 Phương pháp toạ độ mặt phẳng BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài 22 Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y) a) Tìm hệ thức x y cho tam giác AMB vng M b) Tìm phương trình tham số phương trình tổng quát đường trung trực đoạn AB c) Tìm phương trình đường thẳng d qua A tạo với AB góc 60 HD: a) x + y − 3y − = b) x − y + = c) ( m1) x − ( ± ) y ± − = Baøi 23 Cho ba đường thẳng d1 : x + y − 12 = , d2 : x + y − = , d3 : x − y + = a) Chứng tỏ d1 d2 song song Tính khoảng cách d1 d2 b) Tìm phương trình đường thẳng d song song cách d1 d2 c) Tìm điểm M d3 cách d1 đoạn HD: a) b) x + y − = c) M(3; 2) M(1; 1)  x = − 2m  x = −5 + t Baøi 24 Cho điểm A(2; –3) hai đường thẳng d :  , d′ :   y = −3 + m  y = −7 + 3t a) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A cắt d, d′ B, B′ cho AB = AB′ b) Gọi M giao điểm d d′ Tính diện tích tam giác MBB′  x = + 6t HD: a) ∆ :  b) S =  y = −3 + 2t Baøi 25 Cho đường thẳng dm: (m − 2) x + (m − 1) y + 2m − = a) Chứng minh dm qua điểm cố định A b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0) c) Tìm phương trình đường thẳng qua A tạo với BC góc 450 d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = HD: a) A(1; –3) b) ≤m≤ c) x + 5y + 14 = 0, x − y − = Baøi 26 Cho hai đường thẳng: d : x cos t + y sin t − 3cos t − 2sin t = d ′ : x sin t − y cos t + cos t + sin t = a) Chứng minh d d′ qua điểm cố định A, A′ d ⊥ d′ b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M d d′ Viết phương trình tiếp tuyến tập hợp vẽ từ điểm B(5; 0) HD: a) A(3; 2), A′(–1; 4) b) (C): ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = ; x + 11y − 10 = 0; x + y − 10 = d) m = 3, m = Baøi 27 Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) trung điểm ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC a) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C b) Tìm phương trình trung tuyến AM, BN, CP c) Tính diện tích tam giác ABC HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1) b) x + y − 19 = 0, y = 3, x + y − 53 = c) S = 20 Baøi 28 Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3) Gọi H chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB a) Tìm phương trình cạnh AB đường cao CH b) Gọi I, K hình chiếu C Ox Oy Chứng minh I, H, K thẳng hàng Trang 124 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi 29 Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2) Viết phương trình đường thẳng d biết: a) d qua A khoảng cách từ B đến d hai lần khoảng cách từ C đến d b) d qua C cắt trục Ox, Oy E F cho: OE + OF = −3 c) d qua B, cắt trục Ox, Oy M, N với x M > 0, yN > cho: i) OM + ON nhỏ ii) + nhỏ ON HD: a) x − y − = 0, x − 3y − = b) x − y − = 0, x − y + = c) i) x + y − = ii) x + y − 17 = Bài 30 Viết phương trình cạnh tam giác ABC, biết: a) Đỉnh B(2; 6), phương trình đường cao phân giác vẽ từ đỉnh là: x − y + 15 = 0, x + y + = b) Đỉnh A(3; –1), phương trình phân giác trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là: x − y + 10 = 0, x + 10 y − 59 = HD: a) x − 3y + 10 = 0, x + y − 20 = 0, x + y − = b) x + y − 65 = 0, x − y − 25 = 0, 18 x + 13y − 41 = Baøi 31 Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) đường thẳng d : x + y − = a) Viết phương trình đường trịn (C) qua A, B có tâm I ∈ d 1  b) Viết phương tiếp tuyến (C) kẻ từ điểm E  ; ÷ Tính độ dài tiếp tuyến 2  tìm toạ độ tiếp điểm c) Trên (C), lấy điểm F có xF = Viết phương trình đường trịn (C′) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF HD: a) x + y − x + y − 15 = b) y − = 0, x − 3y + 10 = , d = / , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2) OM c) (C′): x + y − 16 x − 8y + 55 = Baøi 32 Cho đường cong (Cm): x + y + mx − y − m + = a) Chứng minh với m, (Cm) ln đường trịn (Cm) ln qua điểm cố định A, B b) Tìm m để (Cm) qua gốc toạ độ O Gọi (C) đường trịn ứng với giá trị m vừa tìm Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : x + 3y − = chắn (C) dây cung có độ dài r c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có vectơ phương a = (−2;1) d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung Viết phương trình đường trịn ứng với m HD: a) A(1; 1), B(1; 3) b) m = 2, (C): x + y + x − y = , ∆1 : x + 3y − = 0, ∆2 : x + 3y + = c) x + y − = 0, x + y + = d) m = –2, x + y − x − y + = Baøi 33 Cho đường cong (Ct): x + y − x cos t − y sin t + cos 2t = (0 < t < π) a) Chứng tỏ (Ct) đường tròn với t b) Tìm tập hợp tâm I (Ct) t thay đổi c) Gọi (C) đường trịn họ (Ct) có bán kính lớn Viết phương trình (C) d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục Ox góc 450 π , (C ) : x + y − y − = d) x − y − = 0, x + y + = 0, x − y + = 0, x + y − = Baøi 34 Cho hai đường thẳng d1 : x − 3y + = 0, d2 : x + y + = HD: b) x + y = c) t = Trang 125 Phương pháp toạ độ mặt phẳng a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O tiếp xúc với d1, d2 Xác định tâm bán kính đường trịn Gọi (C1) đường trịn có bán kính lớn b) Gọi A B tiếp điểm (C1) với d1 d2 Tính toạ độ A B Tính góc ·AOB c) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) tạo dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm d) Trên đường thẳng d3 : x + y − 18 = , tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến (C1) vng góc với HD: a) (C1 ) : x + y − x + y = 0, (C2 ) : x + 5y + x − y = b) A(2; 2), B(0; –2), ·AOB = 1350 c) ∆: x − y − = d) (5; 3), (7; –3) Bài 35 Cho đường trịn (C) qua điểm A(1; –1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + = điểm B có yB = a) Viết phương trình đường trịn (C) b) Một đường thẳng d qua M(4; 0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (C) HD: a) x + y − x − y − = 5 : điểm chung, k = : điểm chung, k > : không điểm chung 12 12 12 2 a + b = Baøi 36 Cho số thực a, b, c, d thoả điều kiện:  Bằng phương pháp hình học, c + d = b) k < 9+6 HD: Xét đường tròn (C): x + y = đường thẳng d : x + y = Gọi M(a; b) ∈ (C), N(c; d) ∈ d.Gọi A, B giao điểm (C) d với đường thẳng y = x  2 3 3 ( 3− 2)2 2 ⇒ A ; ÷, B  ; ÷ Tính MN = 10 – 2(ac + cd + bd ) , AB = 2 2  2  Từ MN ≥ AB ta suy đpcm chứng minh rằng: ac + cd + bd ≤ Baøi 37 Cho elip (E): x + y − 36 = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (E) b) Tính diện tích hình vng có đỉnh giao điểm (E) với đường phân giác góc toạ độ 144 HD: b) S = 13 Baøi 38 Cho elip (E): 16 x + 25y − 400 = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (E)  16  b) Viết phương trình đường phân giác góc ·F1MF2 với M  3; − ÷ F1, F2  3 tiêu điểm (E) 27 HD: b) x − 5y − 25 = 0, x + 3y − =0 Baøi 39 Cho elip (E): x + y − 20 = điểm A(0; 5) a) Biện luận số giao điểm (E) với đường thẳng d qua A có hệ số góc k b) Khi d cắt (E) M, N, tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN Trang 126 Phương pháp toạ độ mặt phẳng  k < − HD: a)  : giao điểm, k >  b) x + y = 100 − 1 < k < : không giao điểm, k = ± : giao điểm 4 Baøi 40 Cho họ đường cong (Cm): x + y − 2mx + 2m − = (*) a) Tìm giá trị m để (Cm) đường trịn b) Tìm phương trình tập hợp (E) điểm M mặt phẳng Oxy cho ứng với điểm M ta có đường trịn thuộc họ (Cm) qua điểm M x2 HD: a) –1 ≤ m ≤ b) (E): + y = (Đưa PT (*) PT với ẩn m Tìm điều kiện để PT có nghiệm m nhất) 2 x y Baøi 41 Cho elip (E): + = 16 a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có đỉnh tiêu điểm (E) tiêu điểm đỉnh (E) b) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm M vng góc với c) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm N (H) đến hai đường tiệm cận (H) số  9 63 x y2 HD: a) b) điểm M  ± − =1 ; ± ÷ c) 16  4 Bài 42 Cho hypebol (H): x − y − = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (H) b) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 4) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (H) Baøi 43 Cho điểm A1 (−2; 0), A2 (2; 0) điểm M(x; y) Gọi M′ điểm đối xứng M qua trục tung a) Tìmutoạ độ điểm M′ theo x, y Tìm phương trình tập hợp (H) điểm M thoả u ur u u u u u ur MA2 M ′ A2 = Chứng tỏ (H) hypebol Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường tiệm cận (H) b) Viết phương trình elip (E) có đỉnh trục lớn (E) trùng với đỉnh (H) 2 2  (E) qua điểm B  ; ÷ 3  c) Tìm toạ độ giao điểm (H) với đường chuẩn (E)  3 HD: a) x − y = b) (E): x + y = c) điểm  ± ;± ÷  3  Baøi 44 Cho hypebol (H): x − 5y − 20 = a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận (H) b) Gọi (C) đường trịn có tâm trùng với tiêu điểm F (có hồnh độ âm) (H) bán kính R độ dài trục thực (H) M tâm đường tròn qua tiêu điểm F tiếp xúc với (C) Chứng minh M (H) HD: b) (C): ( x + 3)2 + y = 20 Kiểm chứng MF1 − MF2 = = 2a ⇒ M ∈ (H) Baøi 45 Cho hypebol (H): x2 − y2 = Trang 127 ... e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm F(x; y) = với phần giới hạn d) Tập hợp điểm đường tròn Thực tương tự Bài Tìm tập hợp tâm I đường trịn (C) có phương trình (m tham số) : a) x + y − 2(m − 1)... B(–6; 4), C(–6; –2), D(4; –2) a) Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật b) Tìm tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến cạnh hình chữ nhật 100 Trang 109 Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 4:... Phương pháp toạ độ mặt phẳng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Baøi 22 Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y) a) Tìm hệ thức x y cho tam giác AMB vuông M b) Tìm phương trình tham số phương trình tổng quát đường