Tài liệu luyện thi Đại học - Cao đẳng môn toán - TS. Nguyễn Viết Đông (chủ biên)

Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐH KHOA HỌC XÃ HỘI& NHÂN VĂN TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 -12 Đinh Tiên Hoàng, Q.1, TP.HCM ĐT: (08) 38 232 748 Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG MƠN TỐN Biên soạn TS Nguyễn Viết Đơng(Chủ biên) Trần Huỳnh Đàng, Nguyễn Duy Linh, Lê Hoàn Ngọc, ThS.Lê Thành Thái, Nguyễn Thành Phƣơng, Trƣơng Phƣớc Truyền LƢU HÀNH NỘI BỘ Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn Phần I KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT : Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định (a, b) a) Hàm số f (x) đƣợc gọi đồng biến (a, b) x1, x2 (a, b) ; x1 x2 f (x1 ) f (x ) b) Hàm số f (x) đƣợc gọi nghịch biến (a, b) x1, x2 (a, b) ; x1 x2 f (x1 ) f (x ) Điều kiện cần: Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm (a, b) a) f (x) đồng biến (a, b) : f '(x) 0, x (a,b) b) f (x) nghịch biến (a, b) : f '(x) 0, x (a,b) Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm (a, b) a) Nếu f '(x) 0, x (a,b) ( f '(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) hàm số đồng biến (a,b) b) Nếu f '(x) 0, x (a,b) ( f '(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a, b)) hàm số nghịch biến (a,b) BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Với giá trị m hàm số : y x3 (m 2)x (m2 4)x đồng biến R Giải Tập xác định : D = R y' 3x 2(m 2)x m2 y' 0, x R Hàm số đồng biến R Điều tƣơng đƣơng với m2 B2: Cho hàm số : y ' (m 2)2 3(m2 4) m m mx Định m để hàm số luôn đồng biến khoảng xác định x m Giải Tập xác định : D = R \ {m} Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn m2 (x m)2 Yêu cầu toán y’ > 0, x D m –1>0 m < –1 m > Đạo hàm : y' BÀI TẬP THỰC HÀNH : Với giá trị m hàm số sau luôn đồng biến với x x x (m 1)x a y (m 1)x mx (3m 2)x b y CMR : Hàm số y x3 (m 1)x (m 2)x m nghịch biến mx Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng x m (– , 1) (ĐS: –2 < m ≤ –1) Cho hàm số y Cho hàm số : y x 3x mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng (– , 0) (ĐS: m ≤ –3) Cho hàm số : y x (1 2m)x + ) (ĐS: m ≤ ) (2 m)x m Tìm m để hàm số đồng biến (0, Tìm giá trị tham số m để hàm số y độ dài (ĐS: m ) x 3x mx m nghịch biến đoạn có Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm điểm x đạt cực trị thì: f '(x ) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: a) Dấu hiệu 1: Giả sử y f (x) liên tục khoảng (a, b) chứa điểm x , có đạo hàm khoảng (a, b) f '(x ) 1) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dƣơng x qua điểm x hàm số đạt cực tiểu điểm x 2) Nếu f '(x) đổi dấu từ dƣơng sang âm x qua điểm x hàm số đạt cực đại điểm x b) Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai (a, b) chứa điểm x f '(x )  Nếu: f "(x ) hàm số đạt cực tiểu điểm x  Nếu: f "(x ) hàm số đạt cực đại điểm x BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm m để hàm số y Giải x (m 3)x mx m đạt cực tiểu x Tập xác định D = R y' 3x 2(m 3)x m y" 6x 2(m 3) Hàm số đạt cực tiểu x y'(2) y"(2) 3x m=0 B2: Với giá trị tham số m hàm số : y (m 2)x 3x mx m có cực đại cực tiểu Giải Tập xác định : D = R y ' 3(m 2)x 6x m y' có hai nghiệm phân biệt Hàm số có cực đại cực tiểu 3(m 2)x2 6x m có nghiệm phân biệt Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn m m ' 3m(m 2) Vậy: m m B3: Cho hàm số y x mx 2 3( m 2 3) m m Xác định m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại Giải Tập xác định : D = R y' 2x3 2mx x y' x m (1) y' có nghiệm y' đổi dấu từ Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại âm sang dƣơng x qua nghiệm pt (1) vơ nghiệm có nghiệm kép x m Vậy : m BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1 Tìm m để hàm số y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + đạt cực tiểu x = B2 Cho hàm số y = –(m2 + 5m) x3 + 6mx2 + 6x – Với giá trị m hàm số đạt cực đại x = B3 Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (ĐS: m (–3,1) \ {–2}) B4 Với giá trị m hàm số sau khơng có cực trị : y = (m – 3)x3 – 2mx2 + (ĐS: m = 0) B5 Cho hàm số y = x3 – (2m + 1) x2 + (m2 – 3m + 2) x + Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung (ĐS: < m < 2) B6 Cho hàm số y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 (a tham số) với giá trị a đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cách trục tung (ĐS: a = 0) B7 Cho hàm số y x (1 2m)x (2 m)x m (1) (m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ (ĐS: < m < ) B8 Cho hàm số y (m 2)x 3x mx (m tham số) Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dƣơng (ĐS: –3 < m < –2) x mx (1) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà 2 khơng có cực đại (ĐS: m ) B9 Cho hàm số y Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn B10 Cho hàm số y x4 2mx Xác định m để hàm số có điểm cực trị (ĐS: m > 0) B11 Cho hàm số : y x4 2mx m3 m Xác định m để hàm số có điểm cực trị ba điểm lập thành tam giác (ĐS: m = 3 ) B12 Cho hàm số y x (2m 1)x (m 3m 2)x Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung (ĐS: < m < 2) B13 Cho hàm số y x 2m x (1) (m hàm số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân (ĐS: m 1) x 3x 3(m 1)x 3m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực B14 Cho hàm số y đại, cực tiểu điểm cực trị (1) cách gốc tọa độ (ĐS: m = ) x 3mx 3(1 m )x m3 m (1) Viết phƣơng trình đƣờng B15 Cho hàm số : y = y thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) (ĐS: y = 2x - m + m ) x2 mx Xác định m để hàm số có cực trị Khi viết phƣơng trình x m đƣờng thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số (ĐS: y =2x + m) B16 Cho hàm số y B17 Cho hàm số y x 3mx 4m có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng đƣờng thẳng y = x (ĐS: m = ± ) B18 Cho hàm số y x 3x mx (1) với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đƣờng thẳng d : x 2y (ĐS: m = 0) x (m 1)x 3(m 2)x Xác định m để hàm số cho đạt cực trị 3 -4 ± 34 x1 , x cho x1 2x (ĐS: m = ) B19 Cho hàm số y B20 Cho hàm số y x 3(m 1)x x1 , x cho x1 x 9x m Xác định m để hàm số cho đạt cực trị (ĐS: -3 m < -1- -1 + < m ) Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT : Giá trị lớn nhất: Số M đƣợc gọi giá trị lớn (GTLN) f (x) D : x D : f (x) M x D : f (x ) M Kí hiệu : M max f (x) x D Giá trị nhỏ nhất: Số m đƣợc gọi giá trị nhỏ (GTNN) f (x) D : x D : f (x) m x D : f (x ) M Kí hiệu : m f (x) x D BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y f (x) 3x [0,2] x Giải Ta có y (x 3)2 0, x , f (2) Hàm nghịch biến [0, 2] f (0) y x [0,2] nên : max y x [0,2] x = 0, x = B2: Tìm GTLN – GTNN hàm số : y Giải x x2 TXĐ: D = [–2, 2] y' y' x2 x x x x2 Ta có : y( 2) x x2 x x 2, y( 2) 2 , y(2) Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn Vậy : max y x [ 2,2] 2 x ; y x [ 2,2] x BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1 Tìm GTLN – GTNN hàm số sau : y x3 y x 2x 3x 4, x [ 4;0] x , x [ 2;5] y 2x, x [ 3;1] (maxy = ; y = 1) y x (maxy = ; miny = x y x x ( max y 10 15 khơng có min) B2 Tìm giá trị tham số a, b cho hàm số y –1 (ĐS: a b hay a b 2) ax b có GTLN GTNN x2 ) B3 Xác định m để GTNN hàm số : y 4x (ĐS: a 4mx m hay a 2m đoạn [2, 0] 1) Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn TIỆM CẬN TÓM TẮT LÝ THUYẾT : Tiệm cận ngang: Đƣờng thẳng y y0 đƣợc gọi đƣờng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f (x) : lim f (x) lim f (x) y0 x x x0 Tiệm cận đứng: Đƣờng thẳng x x đƣợc gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f (x) điều kiện sau đƣợc thỏa : lim f (x)  lim f (x) ; x x0 x  lim f (x) x lim f (x) ; x0 x Tiệm cận xiên: Đƣờng thẳng y ax b (a y f (x) : x0 0) đƣợc gọi tiệm cận đứng xiên đồ thị hàm số lim f (x) (ax b) x x0 lim f (x) (ax b) x Cách tìm a, b : a lim f (x) ; x b lim f (x) ; x b x lim f (x) ax x a x lim f (x) ax x BÀI TẬP ÁP DỤNG : B1: Tìm đƣờng tiệm cận đồ thị hàm số : 2x x 2x a) y ; b) y 2x x Giải 2x a) y x  Tập xác định : D R \{1}  Ta có : lim x 2x 2x ; lim nên đƣờng thẳng y x x x đƣờng tiệm cận ngang Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -12, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn 2x x x 2x lim x x lim  1 1 nên x đƣờng tiệm cận đứng 2x x 2x b) y  Tập xác định : D  Ta có : lim y x R \{ } ) nên đƣờng thẳng x (hoặc lim f (x) x 3 đƣờng tiệm cận đứng  Ta có : y x lim y (x 2) x x Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x x lim x BÀI TẬP THỰC HÀNH : B1 Tìm đƣờng tiệm cận đồ thị hàm số : 1) y 3) y 5) y x 2) y x x 2x x 4) y 3x x x 2x 6) y x x B2 Tìm đƣờng tiệm cận đồ thị hàm số : 1) 3) y x 3x 2x 2) y x2 x 5x 2x y x 3x 2x x 4) y x x2 x (ĐS: y 2x y x x + – ) Trang 10 ... để hàm số cho đạt cực trị (ĐS: -3 m < -1 - -1 + < m ) Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -1 2, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08)... {m} Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -1 2, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn... đoạn có Trang Trƣờng Đại học Khoa học Xã hội Nhân văn, ĐHQG TP.HCM Trung tâm Bồi dƣỡng văn hóa Luyện thi Đại học 10 -1 2, Đinh Tiên Hòang, Q.1, ĐT (08) 38 232 748, Website: luyenthidaihocxhnv.edu.vn