Một số kỹ năng giải bài toán đếm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN THUẬN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN THUẬN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM Chuyên ngành: Mã số: Phương pháp toán sơ cấp 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG Hà Nội - 2014 Mục lục Một số kỹ giải toán đếm 1.1 Sử dụng khái niệm 1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân 1.1.2 Hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Tổ hợp 1.2 Phép tương ứng 1- 1.2.1 Mô tả phần tử đếm 1.2.2 Mã hóa 0, phần tử đếm 1.2.3 Phương pháp đánh số 1.3 Một số phương pháp giải nâng cao 1.3.1 Nguyên lí bao gồm loại trừ 1.3.2 Phương pháp truy hồi toán đếm 3 10 13 17 17 19 24 26 26 30 Một số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm 34 2.1 Nguyên lí bất biến 34 2.1.1 Phát đại lượng bất biến toán 34 2.1.2 Giải toán đại lượng bất biến 39 2.1.3 Bất biến đơn điệu 41 2.1.4 Một số toán nâng cao 44 2.2 Phân hoạch 47 2.2.1 Chứng minh không tồn phân hoạch thỏa mãn tính chất (G) 47 2.2.2 Chứng minh có tồn phân hoạch thỏa mãn tính chất (G) 48 2.2.3 Xây dựng phân hoạch tính chất (G) 49 2.2.4 Phân hoạch cân 52 2.2.5 Một số toán minh họa 53 2.3 Nguyên lí Dirichlet 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Lời mở đầu Trong dạng toán tổ hợp toán đếm số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm dạng quan trọng Những dạng toán xuất nhiều kì vào trường chuyên, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc giải toán dạng nhiều gặp nhiều khó khăn dễ mắc phải sai lầm dạng toán khó không nắm phương pháp, kỹ giải Liên quan đến toán đếm có hai vấn đề quan tâm nghiên cứu - Một số kỹ giải toán đếm; - Một số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm Để giải nhanh chóng xác toán đếm cần phải nắm kỹ giải việc giải thành thạo toán đếm giúp ta nhiều việc giải toán tổ hợp liên quan đến toán đếm Hiện có nhiều sách tham khảo, tài liệu viết dạng toán tổ hợp số kỹ giải toán đếm đặc biệt số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm nguyên lí bất biến, phân hoạch chưa đề cập nhiều Chính vậy, xin chọn đề tài cho luận văn là: “Một số kỹ giải toán đếm” Trong luận văn việc trình bày số kỹ giải toán đếm, đưa số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm Nội dung luận văn gồm hai chương: - Chương 1: Trình bày số kỹ giải toán đếm sử dụng khái niện bản, phép tương ứng 1- số phương pháp giải nâng cao - Chương 2: Đưa số dạng toán tổ hợp liên quan đến toán đếm nguyên lí bất biến, phân hoạch nguyên lí Dirichlet kèm theo tập lời giải chi tiết Các kết luận văn nằm mục 1.2 chương mục 2.2 chương Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Vũ Lương Cảm ơn thầy hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình suốt trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội hết lòng đào tạo, dạy dỗ giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Mặc dù vây, lực cá nhân hạn chế thời gian hạn hẹp luận văn không tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung hình thức, mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn Chương Một số kỹ giải toán đếm Bài toán đếm nội dung không dành cho toán thi đại học mà cần thiết giải toán tổ hợp khó kỳ thi học sinh giỏi Một đặc điểm đặc thù nội dung giải toán, học sinh thường nhận đáp số khác sai sót mà thân không nhận Chính xây dựng kỹ giải thực cần thiết nội dung phần trình bày kỹ 1.1 1.1.1 Sử dụng khái niệm Quy tắc cộng, quy tắc nhân Quy tắc cộng Nội dung quy tắc: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj n (1 ≤ i ≤ n, i = j ) có mk cách chọn đối tượng a1 , a2 , , k=1 an Quy tắc nhân Nội dung quy tắc: Cho n đối tượng a1 , a2 , , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn đối tượng a3 , Cuối với cách chọn a1 , a2 , a3 , , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như có m1 m2 mn−1 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , a3 an Sau ta xét số toán minh họa: Bài 1.Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm bốn chữ số khác số thiết phải có chữ số Bài giải Gọi số cần lập abcd Xét trường hợp: Trường hợp 1: a = có cách chọn a, có A35 cách chọn chữ số b, c, d Trường hợp 2: a = Có cách chọn a ( a = 0) - Nếu b = có cách chọn b có A24 cách chọn c, d; - Nếu c = có cách chọn c có A24 cách chọn b, d; - Nếu d = có cách chọn d có A24 cách chọn b, c; Vậy theo quy tắc cộng lập 1.A35 + 4.A24 + 4.A24 + 4.A24 = 204 (số) Bài Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường nối từ thành phố A đến thành phố D Bài giải Trường hợp 1: Đi từ A đến B đến D Có cách từ A đến B có cách từ B đến D Theo quy tắc nhân số cách chọn đường từ A đến D qua B 3.2 = 6; Trường hợp 2: Đi từ A đến C đến D Có cách từ A đến C có cách từ C đến D Theo quy tắc nhân số cách chọn đường từ A đến D qua C 2.4 = Vì cách chọn đường từ A sang D qua B cách chọn đường từ A sang D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số đường để từ A sang D + = 14 (cách) Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau? Tìm tổng tất số Bài giải Gọi số cần lập có dạng abcd Có cách chọn a; Có cách chọn b (b = a); Có cách chọn c (c = a, c = b); Có cách chọn d (d = a, d = b, d = c) Vậy theo quy tắc nhân số số lập 9.8.7.6 = 3024 (số) Số lớn nhất, số nhỏ số dạng 9876 1234 có tổng 11110, nên số abcd tồn số a b c d , mà abcd + a b c d = 11110 Khi đó, ta có đẳng thức: (a+a ).1000+(b+b ).100+(c+c ).10+d+d = 10.1000+10.100+10.10+1.10 Từ đó, ta có đẳng thức a + a = b + b = c + c = d + d = 10 a=a ⇔b=b ⇔c=c ⇔d=d Bởi vậy, abcd có chữ số không trùng a b c d có chữ số không trùng Do có 9.8.7.6 cặp số abcd, a b c d gồm chữ số không trùng thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vậy tổng tất số dạng : 9.8.7.6.11110 = 16798320 Bài Một ngựa bàn cờ vua 8x8 Hỏi có bao cách di chuyển ngựa bàn cờ Bài giải Các ô bàn cờ đặt theo quy tắc aij (i=1 ,j=1 8) a11 có cách di chuyển a12 có cách di chuyển a13 , a14 , a22 có cách di chuyển a23 , a24 có cách di chuyển a33 , a34 , a44 có cách di chuyển Lấy đối xứng vị trí qua trục đối xứng bàn cờ, ta có tổng số cách là: n = 4.2 + 8.3 + 20.4 + 16.6 + 16.8 = 336 Bài Cho bàn cờ vua 8x8 Có cách chọn ô trắng ô đen? Có bao cách chọn ô trắng, ô đen nằm hàng hay cột? Bài giải Trên bàn cờ có 32 ô trắng, 32 ô đen Có 32 cách chọn ô đen, 32 cách chọn ô trắng Vậy số cách chọn n1 =32.32=1024 (cách) Có 32 cách chọn ô trắng Số ô đen hàng, cột với ô trắng chọn Vậy số cách chọn n2 =32.8=256 (cách) Bài Có 28 quân domino đầu có x,y chấm ≤ x, y ≤ Có cách chọn quân domino nối với (số chấm đầu quân số chấm đầu quân khác) Bài giải Lấy quân domino thuộc loại: Loại (7 quân): (0,0), (1,1), ,(6,6) Loại (21 quân): có số chấm đầu khác - Nếu quân domino chọn loại (sẽ có cách chon) nối với quân khác Ví dụ (1,1) nối với (1,0), (1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6) Vậy số cặp nối trường hợp là: n1 = 7.6 = 42 - Nếu quân domino chọn loại (sẽ có 21 cách chọn), nối với 12 quân khác Ví dụ (2,3) nối với (2,0), (2,1), (2,4), (2,2), (2,5), (2,6),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6) Vậy số cặp nối đươc trường hợp n2 = 21.12 = 252 Theo quy tắc cộng số cách nối đươc 252+42=294 (kể thứ tự) Vì thứ tự đầu quân domini xác định, cặp quân 294 domino nối đến lần, ta suy số cặp nối n = = 147 1.1.2 Hoán vị Hoán vị không lặp Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) gọi hoán vị n phần tử cho Kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Ta có công thức Pn = n! Sau ta xét số oán minh họa: Bài 7.Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm năm chữ số khác nhau? Bài giải Mỗi số cần lập hoán vị năm chữ số cho Vậy số số lập số hoán vị năm phần tử P5 = 5! = 120 Bài Trong hội nghị có báo cáo viên A, B, C, D, E người báo cáo lần? Có cách xếp thứ tự cho báo cáo viên Có cách xếp thứ tự cho báo cáo viên yêu cầu báo cáo viên B báo cáo sau báo cáo viên A? Có cách xếp thứ tự cho báo cáo viên B không báo cáo trước A? Bài giải Số cách xếp thứ tự cho báo cáo viên 5! = 120 B báo cáo sau A ta thay cặp báo cáo viên X= AB Khi đó, xem X báo cáo viên Vậy số cách n2 = 4! = 24 Trong cách xếp khả A đứng trước B hay đứng sau B Vậy số cách xếp B không báo cáo trước A 5! = 60 Bài Có cách xếp người đàn ông, người đàn bà xung quanh bàn tròn 10 ghế cho người đàn ông người đàn bà ngồi cạnh Bài giải Lấy ghế Nếu xếp người đàn ông ghế đàn bà Số cách xếp đàn ông vào vị trí có sẵn 5!, số cách xếp đàn bàn vào vị trí 5! Số cách xếp theo vị trí 5!5! Nếu xếp người đàn bà số cách xếp tương tự 5!5! Đáp số:: 2.(5!)2 Hoán vị có lặp Định nghĩa: Hoán vị phần tử xuất lần gọi hoán vị có lặp Số hoán vị lặp n phần tử thuộc k loại, mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k ) xuất ni lần kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính công thức P (n1 , n2 , , nk ) = n! n1 !.n2 ! nk ! Sau ta xét số toán minh họa: Bài 10 Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số gồm chín chữ số, chữ số 1, 2, 3, xuất lần, chữ số xuất hai lần chữ số xuất ba lần Bài giải Xét số tùy ý x = 154626356 kí hiệu vị trí x cách hình thức, ta có x = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Khi đó, số x tương ứng với hoán vị lặp chín phần tử a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 Số hoán vị khác chín phần tử (1 ≤ i ≤ 9) 9! song a2 = a8 = nên đổi chỗ a2 a8 cho hoán vị x = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 cho ta số x Tương tụ đổi chỗ hai ba phần tử a4 , a6 , a9 cho cho số x Như vậy, thực 2! hoán vị a2 , a8 3! hoán vị a4 , a6 , a9 , ta số cần tìm x Vậy số số lập 9! = 30240 S= 2!3! Bài 11 Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số chia hết cho gồm 11 chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số có mặt lần tổng số lần xuất chữ số chữ số Bài giải Để số cần lập x = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 chia hết cho 5, x phải tận chữ số chữ số Vì tổng số lần xuất x nên x tận mặt ngược lại x tận chữ số không xuất Bởi (1 ≤ i ≤ 10) chữ số 1, 2, 3, Bởi số khả lập phần đầu độ dài 10 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 x số hoán vị lặp 10 phần tử thuộc loại chữ số: 1, 2, 3, với xuất lần, xuất lần, xuất lần xuất lần P (1, 2, 3, 4) Ngoài a11 lại nhận nên lập 10! = 25200 2.P (1, 2, 3, 4) = 1!2!3!4! Bài 12 Có cách đảo từ PARABOLA cho phụ âm nguyên ân xếp xen kẽ Bài giải Vì có phụ âm nguyên âm nên ta xếp phụ âm (có 4! cách xếp) 4! xếp vào vị trí xem kẽ nguyên âm 3! Vị trí ban đầu phụ âm nguyên âm hoán vị 4! phụ âm Suy số cách xếp: n = 2.4! = 192 3! Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1 ] Các giảng PGS.TS Nguyễn Vũ Lương - Trường THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên [2 ] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 [3 ] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề toán tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2010 [4 ] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục [5 ]Các tài liệu sưu tầm từ internet: Mathscope.org Tiếng Anh [6 ] Titu Andreescu, Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates Counting Strategies, Birkhauser, 2004 [7 ] Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa, Counting and Configurations, Spinger-Verlag, 2003 58 [...]...Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1 ] Các bài giảng của PGS.TS Nguyễn Vũ Lương - Trường THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên [2 ] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2008 [3 ] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề toán tổ hợp, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2010 [4 ] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục [5 ]Các tài