Động lực học lưu chất nhóm 4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỒNG NAI TIỂU LUẬN ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT Giảng viên hướng dẫn: ThS NGUYỄN THÀNH LUÂN Sinh viên thực : LƯU THANH THẢO LY MSSV: 1509247 NGUYỄN MINH ĐỨC MSSV: 1409088 BÙI VƯƠNG MSSV: 1409055 NGUYỄN MINH QUÂN MSSV: 1409089 Lớp : Khóa : 15DHO1LT2 2015 - 2016 Tp Biên Hòa, Tháng 10 Năm 2015 MỞ ĐẦU Cơ lưu chất hay gọi học chất lỏng nhánh rẽ môn học Trong mơn ta nghiên cứu đặc tính, diễn biến học môi trường vất chất riêng biệt lưu chất Lưu chất tên gọi chung chất lỏng khí Trong thực tế, ta thường gặp loại chuyển động chuyển động nước,dầu…trong ống, kênh, máy thủy lực…tức lưu chất chuyển động bên biên rắn; chuyển động khơng khí bao quanh nhà cửa, xe hơi, máy bay hay nước bao quanh tàu thuyền,… tức lưu chất chuyển động bên vật rắn hai trường hợp lưu chất xem môi trường liên tục, phần tử lưu chất mặt vật lí xem khối lượng vô nhỏ, mặt tốn học vị trí phần tử lưu chất điểm lưu chất Để nghiên cứu đặc trưng, quy luật chuyển động dịng chảy tự khơng gian vơ biên, mơi trường chất lỏng, chất khí lực tương tác chúng hay ngành khoa học kĩ khác như: thuỷ lực học, khí động học, động lực hàng khơng, lí thuyết lớp biên, lí thuyết luồng, lí thuyết cánh, lí thuyết dịng xốy, … Ngồi dựa vào kết giải phương trình vi phân chuyển động, việc thiết lập tìm hiểu phương trình liên tục( định luật bảo tồn dịng) quan trọng Với khả hiểu biết thân thời gian có hạn chế, nhóm tìm hiểu “Động lực học lưu chất” Mong muốn bảo, đóng góp thầy bạn để tiểu luận hoàn thiện tốt NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN Giáo viên hướng dẫn ThS Nguyễn Thành Luân MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH ẢNH ĐỀ TÀI: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT 1.1 Phương trình vi phân chuyển động lưu chất lý tưởng phương trình Euler) 1.1.1 Phương trình Euler Trong học, nguyên lý biến thiên động lượng phát biểu sau: ngoại lực tác dụng lên hệ thống lưu chất tốc độ thay đổi động lượng khối lưu chất → ∑F = → dK dt = d dt → = ∫∫∫ W ρ u dW (1.1) Xét khối lưu chất hình hộp vơ nhỏ ABCDEFGH (hình 1.1) có cạnh δx, δy, δz Hình 1.1 Gọi p, ρ, F uρ áp suất, khối lượng riêng, vectơ cường độ lực khối vectơ vận tốc trọng tâm khối Phương trình động lượng áp dụng cho khối lưu chất có dạng: (1.2) Trong đó: ∑ tổng ngoại lực tác dụng l ên khối lưu chất, bao gồm lực khối ∑, lực mặt ∑ Trên phương x, lực tác dụng lên khối lưu chất bao gồm: • • Lực khối: ρFxδxδyδz (với Fx hình chiếu F phương x) Lực mặt: ρδyδz – (1.3a) (1.3b) Lực mặt bốn bề mặt cịn lại khơng có thành phần phương x Phương trình (1.2) chiếu xuống phương x (1.3a), (1.3b) vào ta được: Từ suy ra: (1.4a) Tương tự, xét phương y phương z, ta c ũng có: (1.4b) (1.4c) Hệ phương trình (1.4 a,b,c) hệ phương trình vi phân chuyển động lưu chất lý tưởng, gọi hệ phương trình Euler Dưới dạng vector, hệ viết: (1.5) Trong trường hợp lưu chất lý tưởng, khơng nén được, hệ phương trình có ẩn ux, uy, uz áp suất p Để giải hệ phương trình ta áp dụng thêm phương trình liên tục: (1.6) Phương trình vi phân chuyển động viết dạng Lamb-Grơmekơ sau: Từ 1.4a, ta có: Cộng trừ vào vế phải phương trình số hạng: xếp ta có: (1.7) Ta ý rằng: Phương trình (1.7) trở thành: (1.8a) Tương tự, ta biến đổi phương trình cịn lại (4.16b) (4.17c) thành: (1.8b) (1.8c) Hay dạng vecto, phương trình (1.8 a,b,c): (1.9) Đây phương trình vi phân chuyển động lưu chất lý tưởng dạng Lamb – Grơmeko 1.1.2 Tích phân phương trình Euler: Trong nhiều trường hợp thường gặp thực tế, lực khối lượng Fρ lực có thế, đó, biết học lý thuyết, ta ln tìm hàm vô hướng cho: (1.10) Hàm π(x,y,z) gọi hàm Ta gọi Π (x,y,z) hàm áp suất với: (1.11) Phương trình (1.9) viết thành: (1.12) Ta xét số trường hợp đặc biệt sau: • Trường hợp chuyển động khơng quay (chuyển động thế) Khi tồn hàm vận tốc ϕ (x,y,z) : Do chuyển động không quay nên ω = , phương trình (4.24) trở thành: (1.13) Ta gọi (1.13) tích phân Cauchy – Lagrange Hằng số C có trị số cho điểm môi trường lưu chất chuyển động • Trường hợp chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường dịng: Ta có phương trình (4.24) bỏ bớt thành phần đạo hàm riêng phần theo thời gian: (1.14) Nhân vô hướng vế phương trình (1.14) cho đoạn vi phân đường dịng ta : Hay : (1.15) Với ký hiệu vi phân hàm f phương Theo hình 1.2 ta nhận thấy, vectơ tiếp tuyến với đường dòng, vectơ ln thẳng góc với vectơ nghĩa thẳng góc với Do = (1.16) Với số C có giá trị điểm đường dòng Còn đường dòng khác C có giá trị khác Ta gọi (1.16) tích phân Euler Hình 1.2 • Trường hợp chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đường xốy: Đường xoáy đường cong vạch lưu chất chuyển động cho vectơ vận tốc quay điểm đường tiếp tuyến với Tương tự tích phân phương trình Euler dọc theo đường dịng, phương trình (4.26) nhân vơ hướng với đoạn vi phân đường xoáy ta được: (1.17) Vectơ ln thẳng góc với vectơ Do : = Và: Ta suy : (1.18) 10 Ví dụ 1: Ống Pitô dùng để lưu điểm (lưu chất không nén được) Ống Pitô gồm đoạn ống hình 1.3 Ống M thẳng đứng dùng để đo cột áp tĩnh, ống N uốn ngang dùng để cột áp động Để đo vận tốc điểm A, người ta đặt đầu ống điểm A với đoạn ống N theo chiều vận tốc ta muốn đo Bỏ qua lượng Hình 1.3 Xác định lưu tốc uA theo độ chênh cột áp thẳng đứng h Cho h = 30m Giải Để tính lưu tốc điểm A, ta áp dụng phương trình Bernoulli (1.23) cho đường dòng qua điểm A, B (điểm B nằm phía ống sát miệng ống, uB = 0) = Ta suy vận tốc A là: U A = gh (1.27) Trường hợp ta đo h = 30mm Vận tốc A có giá trị u A = 2(9,81m / S ) (0,3m) = 2,42m / s Thực tế lượng nên u A = ϕ gh Với ϕ lớn Nếu đo vận tốc điểm A môi trường chất lỏng có mặt thống (ví dụ kênh) ta không cần dùng ống M, độ chênhh thẳng đứng tính từ mặt thống (p =p a) đến mực chấtn lỏng N Ví dụ 2: Xốy cưỡng Một bình chứa lưu chất quay quanh trục thẳng đứng, với vận tốc quay khơng đổi ω (hình 1.4) Xác định phương trình tính áp suất điểm lưu chất 13 Hình 1.4 Giải Tại vị trí M có bán kính r tính từ trục quay, vận tốc phân tử lưu chất M có giá trị : u = ωr Áp dụng phương trình (1.25) (ta ý trục pháp tuyến phương ngược chiều với trục bán kính chín khúc R = r), ta được: Tích phân phương trình ta được: Suy ra: 1.2 (1.28) Phương trình chuyển động lưu chất thực (phương trình Navier – Stokes) 1.2.1 Khái niệm Phương trình Navier-Stokes, đặt tên theo Claude-Louis Navier George Gabriel Stokes, miêu tả chuyển động dòng chảy loại dung dịch loại khí Những phương trình thiết lập thay đổi momentum thể tích vô nhỏ chất lỏng đơn tổng lực nhớt tiêu tán dần (tương tự ma sát), thay đổi áp suất, trọng lượng, lực khác tương tác bên chất lỏng: ứng dụng định luật Newton 1.2.2 Phương trình Navier-Stokes Phương trình Euler viết cho lưu chất lý tưởng, nghĩa bỏ qua lực ma sát Ngoại lực tác dụng gồm có lực khối lực mặt, lực mặt áp lực Chuyển động lưu chất thực ln có ma sát Ứng suất bề mặt điểm gồm đủ thành phần 14 Hình 1.5 Trong theo phương x có thành phần σxx, τyx τyx Các ứng suất xác định theo định luật ma sát nhớt Newton mở rộng: (1.29a) (1.29b) (1.29c) Và: (1.29d) Hoặc viết dạng tensor: (1.30) Tương tự thiết lập phương trình Euler, ta xét khối lưu chất hình hộp vơ nhỏ ABCDEFGH Ngoại lực tác dụng gồm có lực khồi lực mặt, thành phần phương x lực khối tính cũ: (1.31) Cịn lực mặt chiếu lên phương x tính : (1.32) 15 Phương trình (1.2) chiếu xuống phương x (1.31 ), (1.32) vào ta được: (1.33) Phương trình (1.2) chiếu xuống phương x (1.31), (1.33) vào, ta : Hoặc : Sau đơn giản ta có phương trình: (1.34a) Tương tự, xét phương y phương z, ta có: (1.34b) (1.34c) Dưới dạng vector, hệ (1.34a) - (1.34b) viết sau: (1.35) Với tốn tử: Phương trình (1.35) gọi phương trình Navier-Stokes Đối với lưu chất khơng nén được, divu = nên phương trình cịn dạng sau: 16 (1.36a) Ta viết phương trình Navier-Stokes dạng tensor sau: (1.36b) Phương trình Navier – Stokes phương trình phi tuyến, khó giải Bằng phương pháp giải tích, phương trình giải số trường hợp đặc biệt, phương trình đơn giản hóa Ví dụ phương trình lớp biên Từ máy tính điện tử đời với tiến phương pháp số, việc giải phương trình vi phân có bước tiến rõ rệt Phương trình Navier-Stokes giải phép giải gần 1.3 Ứng dụng phương trình cho đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực khơng nén, chuyển động ổn định 1.3.1 Phương trình lượng Sau tính tốn tốn học ta phương trình lượng sau: Hay:  Ý nghĩa số hạng phương trình: − gz: lượng đơn vị khối lượng lưu chất vị trí so với mặt chuẩn nằm ngang bất kỳ, ta gọi l vị − Z vị đơn vị trọng lượng lưu chất − P/ lượng đơn vị khối lượng lưu chất áp suất gây nên, ta gọi áp − P/ áp đơn vị trọng lượng lưu chất 17 − Tổng z + p/ gọi hay cột áp tĩnh − V2/2 động của đơn vị khối lượng lưu chất − V2/2g động đơn vị trọng lượng lưu chất, gọi cộtnước vận tốc − Tổng gọi lượng toàn phần hay cột áp toàn phần cột áp động − hf gọi (tổn thất lượng cột áp), có thứ nguyên chiều dài, đơn vị m 1.3.2 Phương trình động lượng  Ý nghĩa số hạng phương trình 1.4 − động lượng phần tử lưu chất khỏi thể tích kiểm soát đơn vị thời gian − động lượng phần tử lưu chất vào thể tích kiểm sốt đơn vị thời gian Một số ứng dụng phương trình lượng phương trình động lượng 1.4.1 Ống Venturi dùng để đo lưu lượng Một ống Venturi gồm hai đoạn ống ngắn có đường kính khác D1 D2 (với D1 > D2) Tại đoạn ta lắp ống đo áp hình 1.6 Xác định biểu thức tính lưu lượng chất lỏng Q chảy ống theo độ ch ênh cột áp h Với chất lỏng nước D1= 300 mm, D2= 150 mm h=100 mm Hình 1.6 Giải 18 Để xác định lưu lượng chất lỏng chảy ống, trước tiên ta áp dụng phương trình lượng để xác định vận tốc trung bình mặt cắt Sau sử dụng phương trình liên tục để xác định lưu lượng Ta chọn mặt cắt ướt 1-1 2-2 Áp dụng phương trình lượng cho đoạn dòng chảy giới hạn hai mặt cắt 1-1 2-2 (giả sử = = 1) Suy ra: Ta cần xác định hiệu số Biết mặt cắt ướt 1-1 2-2 hai mặt phẳng, áp suất điểm tr ên mặt cắt phân bố theo quy luật thủy tĩnh chất lỏng ống đo áp trạng thái tĩnh Từ phương trình thủy tĩnh ta có: Vì lưu chất MN khí nên ta xem PN= PM Ta suy ra: Thế phương trình (b) vào (a) ta có: Áp dụng phương trình liên tục: V1A1 = V2A2 = Q Ta được: Với phụ thuộc hình dạng ống Venturi Trị số lượng hf phải xác định thí nghiệm Để đơn giản người ta thường viết lại dạng sau: với C < C hệ số hiệu chỉnh lưu lượng, hệ số sinh ra, tùy thuộc vào hình dạng ống Venturi số Reynolds Nếu chuyển động với số Re lớn, C phụ thuộc vào hình dạng ống Venturi Thay số bỏ qua ma sát: 19 1.4.2 Đo lưu lượng chất lỏng chảy qua lỗ tháo nhỏ Dòng chảy từ bể qua lỗ tháo nhỏ có diện tích A, chiều cao e nh hình vẽ Chiều cao cột chất lỏng H tính từ tâm lỗ tháo không đổi Xác định vận tốc v lưu lượng chất lỏng chảy qua lỗ tháo Hình 1.7 Giải Dòng chảy qua lỗ tháo bị co hẹp Tại mặt cắt co hẹp đ ường dòng gần thẳng song song với nên mặt cắt ướt phẳng Đối với dòng tia mặt bên tiếp xúc với khí trời nên áp suất tâm B mặt cắt co hẹp l áp suất khí trời pB = Viết phương trình lượng cho đoạn dòng giới hạn mặt cắt – c – c, mặt chuẩn qua tâm B Giả sử = = Vì mặt thống bể rộng lỗ tháo nên V1 nghĩa lực F chiều với trục x Gọi R lực đẩy tia nước lên chắn: R= –F lực đẩy R có chiều ngược với chiều trục x có cường độ Q0V0sin 1.4.4 Lực đẩy tia nước tác dụng vào chắn di động Một turbine Pelton đặt cột nước cao 750m Ở cuối ống dẫ n cao áp ta có khóa nước dùng để phun vịi nước có đường kính d = 180mm vào gầu Pelton Bỏ qua ma sát 1) Tính lực đẩy tia nước lên gầu Pelton biết tốc độ gầu làu 2) Tính cơng suất hấp thụ gầu Pelton So sánh với công suất cung ứng cột nước Hình 1.9 Giải  Tính vận tốc tia nước khỏi vòi (so với vòi nước) Nước chảy từ hồ chứa có mặt thống -0 chảy vào ống cao áp qua vịi nước phun ngồi khơng khí Vi ết phương trình lượng cho khối nước giới hạn hai mặt cắt 0-0 1-1 (bỏ qua năng) mặt chuẩn qua tâm v òi phun 22 = 121,3 m/s Lưu lượng nước chảy khỏi vòi: Q = VA = Vπd2/4 = (121.3m/s)( π/4)(0.18m) = 3.09 m3/s Công suất cung ứng cột nước: N = γQH = (9810 N/m3)(3.09m3/s)(750m) = 22.7MW Xét chuyển động tia nước hệ tọa độ tương đối gắn liền với gầu: gầu đứng yên, tia nước đến gầu với tốc độ V1 = V – u Áp dụng phương trình động lượng cho chuyển động ổn định tương đối khối nước nằm thể tích kiểm soát giới hạn mặt cắt ướt 1, hình Hình 1.10 Các lực tác dụng lên khối nước là: − Trọng lực G theo phương z − Áp lực = mặt bên tiếp xúc với khí trời − Áp lực mặt cắt 1, 2, − Phản lực F gầu lên tia nước Phương trình động lượng viết là: Chiếu xuống hai trục x, y nằm ngang: Fy = Fx = ρ(–Q2V2 – Q3V3 – Q1V1) Do bỏ qua mức nên ta có: 23 V1 = V = V = V – u Và lưu lượng: Q2 = Q3 = Q1/2 = (V – u)A/2 Vậy: Fx = – 2ρQ1(V – u) = – 2ρA(V – u)2 Fx