Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics - CFD) trong các bài toán kỹ thuật

NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THÁI PHƯỚC Lớp: 50DT-1 Tên đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất Computational Fluid Dynamics

NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THÁI PHƯỚC Lớp: 50DT-1

Tên đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kĩ thuật

Số trang: 79 Số chương: 4 Số tài liệu tham khảo: 9 Hiện vật: 1 bản thuyết minh, 1 CD

NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

Kết luận:

Nha Trang, ngày tháng năm 2012

Cán bộ hướng dẫn

PGS TS Trần Gia Thái

PHIẾU ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THÁI PHƯỚC Lớp: 50DT-1

Tên đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kĩ thuật

Số trang: 79 Số chương: 4 Số tài liệu tham khảo: 9 Hiện vật: 1 bản thuyết minh, 1 CD

NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

Điểm phản biện:

Nha Trang, ngày tháng năm 2012

Cán bộ phản biện

Nha Trang, ngày …… tháng …… năm 2012

Chủ tịch hội đồng Điểm chung

Bằng số Bằng chữ

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 2

1.1 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 2

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU 3

1.2.1 Tình hình ngoài nước 3

1.2.2 Tình hình trong nước 4

1.3 MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

1.3.1 Mục tiêu 4

1.3.2 Nội dung 4

1.3.3 Phương pháp 5

Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT - CFD 6

2.1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CFD 6

2.1.1 CFD là gì 6

2.1.2 Vai trò và ý nghĩa của CFD trong giải các bài toán kỹ thuật nói chung và kỹ thuật tàu thủy nói riêng 6

2.2 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO CỦA PHƯƠNG PHÁP CFD 10

2.2.1 Mở đầu 10

2.2.2 Mô hình hóa dòng 10

2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler) 10

2.2.2.2 Phần tử chất lưu vô cùng bé (quan điểm Lagrange) 11

2.2.3 Đạo hàm vật chất 12

2.2.4 Phương trình liên tục 15

2.2.5 Phương trình động lượng 18

2.2.6 Phương trình năng lượng 21

2.2.7 Điều kiện biên 24

2.3 RỜI RẠC VÀ LƯỚI 28

2.3.1 Rời rạc 28

2.3.1.1 Phương pháp vi phân hữu hạn 28

2.3.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 32

2.3.1.3 Phương pháp thể tích hữu hạn 35

2.3.2 Tạo lưới 36

2.3.2.1 Các dạng phần tử 36

2.3.2.2 Lưới cấu trúc 39

2.3.2.3 Lưới không cấu trúc 40

2.3.2.4 Đánh giá chất lượng lưới 41

2.4 TRÌNH TỰ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CFD 43

2.4.1 Đặt vấn đề 45

2.4.2 Mô hình tính toán 45

2.4.3 Quá trình rời rạc hóa 45

2.4.4 Mô phỏng CFD 46

2.4.5 Xử lí kết quả và phân tích 46

2.5 LỰA CHỌN PHẦN MỀM 46

2.5.1 Phần mềm GAMBIT 47

2.5.2 Phần mềm ANSYS FLUENT 48

Chương 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 49

3.1 BÀI TOÁN “VÁCH NGĂN BỊ VỠ” 49

3.1.1 Mô tả bài toán 49

3.1.1.1 Nội dung bài toán 49

3.1.1.2 Số liệu đầu vào 49

3.1.1.3 Số liệu đầu ra 50

3.1.2 Giải bài toán 50

3.1.2.1 Phương trình chủ đạo 50

3.1.2.2 Mô hình VOF 50

3.1.2.3 Lưới 52

3.1.2.4 Hội tụ bài giải 53

3.1.2.5 Phân tích kết quả 53

3.2 BÀI TOÁN “HỘP DI CHUYỂN TRÊN NƯỚC” 63

3.2.1 Mô tả bài toán 63

3.2.1.1 Nội dung bài toán 63

3.2.1.2 Số liệu đầu vào 64

3.2.1.3 Số liệu đầu ra 64

3.2.2 Trình tự tính toán 64

3.2.2.1 Các thông số cơ bản 64

3.2.2.2 Phương trình chủ đạo 65

3.2.2.3 Mô hình rối 65

3.2.2.4 Phương pháp VOF 65

3.2.2.5 Lưới 66

3.2.2.6 Hội tụ bài giải 66

3.2.2.7 Phân tích kết quả 67

3.2.3 Phát triển bài toán hộp di chuyển trên nước thành bài toán thuyền di chuyển trên nước 69

3.2.3.1 Mô tả bài toán 69

3.2.3.2 Lưới 70

3.2.3.3 Hội tụ bài giải 74

3.2.3.4 Phân tích kết quả 74

Chương 4 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Ý KIẾN 79

4.1 KẾT LUẬN 79

4.2 ĐỀ XUẤT Ý KIẾN 79

PHỤ LỤC 80

Phụ lục 1 TẠO LƯỚI VÀ THIẾT LẬP BÀI GIẢI CHO BÀI TOÁN “VÁCH NGĂN VỠ” 80

P1.1 Tạo hình học cho mô hình 80

P1.2 Chia lưới 80

P1.3 Thiết lập và giải trong ANSYS FLUENT 82

Phục lục 2 TẠO LƯỚI VÀ THIẾT LẬP BÀI GIẢI CHO BÀI TOÁN “HỘP DI

CHUYỂN TRÊN MẶT NƯỚC” 90

P2.1 Tạo hình học cho mô hình 90

P2.2 Chia lưới 91

P2.3 Thiết lập và giải bằng ANSYS FLUENT 93

Phục lục 3 TẠO LƯỚI CHO BÀI TOÁN “THUYỀN DI CHUYỂN TRÊN MẶT NƯỚC” 104

P3.1 Tạo hình học cho mô hình 104

P3.2 Chia lưới 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các máy vi tính tốc độ cao, thì các phương pháp tính toán số cũng ngày càng được quan tâm và đã đạt được những thành tựu lớn trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt trong các ngành kĩ thuật Việc tìm hiểu và nắm bắt các cơ sở lí thuyết cũng như ứng dụng các phương pháp số, cụ thể là tính toán động lực học lưu chất–CFD, là hết sức cần thiết đối với các ngành kĩ thuật nói chung và ngành công nghiệp tàu thủy nói riêng của nước ta

Được sự phân công của bộ môn, trong thời gian từ ngày 15/04/2012 đến

30/6/2012, chúng tôi đã thực hiện đề tài tốt nghiệp Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kĩ thuật Nội dung gồm 4 chương như sau:

- Chương 1: Đặt vấn đề

- Chương 2: Một số vấn đề cơ bản về phương pháp tính toán động lực học lưu chất – CFD

- Chương 3: Kết quả nghiên cứu

- Chương 4: Thảo luận kết quả

Trong quá trình thực hiện đề tài, do tài liệu và kiến thức còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những sai sót Kính mong quý thầy cô xem xét và bổ sung, góp ý để

đề tài có thể hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Gia Thái, các thầy cô của khoa Kỹ Thuật Giao Thông, trường Đại học Nha Trang cùng gia đình và bạn bè đã giúp đỡ cho chúng tôi hoàn thành đề tài này

Nha Trang, ngày 09 tháng 7 năm 2012 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thái Phước

Chương 1

ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

Như đã biết dòng chảy lưu chất chuyển động đóng một vai trò quan trọng trong đa số các bài toán kĩ thuật, chẳng hạn như dòng không khí bao quanh máy bay, gió thổi qua các công trình xây dựng, sự lưu thông và truyền nhiệt của dòng lưu chất trong các hệ thống làm mát, dòng nước trong các công trình thủy lợi, dòng nước và không khí bao quanh thân tàu thủy,… Việc nắm được các đặc tính dòng chảy, sự biến thiên của các đại lượng thuộc tính của dòng lưu chất sẽ giúp người kĩ

sư có các nhìn toàn diện về sự vận động của dòng, từ có có thể tính toán, tối ưu hóa thiết kế các thiết bị, phương tiện nhằm đạt được hiệu quả làm việc cao nhất Trong thực tế thông tin về cấu trúc dòng chảy có thể thu được từ đo đạc, kiểm tra thực nghiệm hoặc trong tính toán lí thuyết Những phương pháp này cung cấp những thông tin quan trọng, nhưng vẫn còn giới hạn bởi chưa đánh giá được hết các đặc tính dòng, mất khá nhiều công sức, thời gian và tiền bạc Sử dụng phương pháp tính toán động lực học chất lưu (Computational Fluid Dynamics – mà sau đây ta gọi tắt

là CFD) cho khả năng đánh giá tốt hơn, cung cấp những phân tích, đánh giá sâu hơn đối với các dòng chảy phức tạp, bao gồm các thuộc tính dòng như vận tốc, áp suất, chế độ chảy rối, nhiệt độ, nồng độ… bên ngoài cũng như bên trong vật thể phân tích, việc tính toán cũng trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn, chi phí cũng được giảm xuống đáng kể CFD có khả năng áp dụng cho các loại chất lưu như khí, lỏng, đa pha, di chuyển các hạt, sự đốt cháy… Vai trò của CFD trong dự báo kĩ thuật công nghiệp đã trở nên mạnh đến mức ngày nay nó được nhìn nhận như “phương pháp thứ ba” trong động lực học lưu chất, cùng với hai phương pháp cổ điển khác là lý thuyết thuần túy và thực nghiệm thuần túy

Với sự phát triển mạnh mẽ của CFD như hiện nay, đề tài này được thực hiện nhằm nghiên cứu những lí thuyết cơ bản của CFD, từ đó vận dụng vào giải một số bài toán kỹ thuật đơn giản, tạo tiền đề cho những nghiên cứu sâu hơn

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU

1.2.1 Tình hình ngoài nước

Vào những năm 1970, CFD đã bắt đầu được kết hợp với các ngành khoa học khác như toán học, vật lý, phương pháp số,… để tính toán, mô phỏng dòng chảy của chất lưu Sự phát triển của CFD đã tạo nên một bước phát triển mới cho ngành công nghệ tính toán Ứng dụng đầu tiên của phương pháp CFD là mô phòng dòng cận âm dựa trên phương pháp phương trình không tuyến tính Năm 1980, phương pháp đầu tiên được xây dựng để mô phỏng 2-D, và sau đó phát triển lên thành mô hình 3-D Phương trình Euler trở thành một phương pháp quan trọng Nhờ sự phát triển của tốc độ máy tính và phát triển kỹ thuật số, rất nhiều ứng dụng thực tế đã được CFD tính toán và mô phỏng để đưa ra được những dự báo trong những hoàn cảnh cụ thể như mô phỏng dòng chảy thổi qua máy bay, mô phỏng dòng chảy bên trong turbine Vào giữa năm 1980, các nhà khoa học đã phát triển trong việc mô phỏng dòng chảy xét đến độ nhớt bởi phương trình Navier-Stokes Từ đó mô hình mô phỏng dòng chảy rối đã được phát triển với mức độ phức tạp và chính xác hơn

Với đòi hỏi độ chính xác và phức tạp hơn trong việc mô phỏng cấu trúc của dòng chảy như thế đã hình thành nên phương pháp lưới Phát triển bắt đầu với những cấu trúc lưới đơn giản bằng sự kết hợp của phương pháp đại số và sử dụng những phương trình đạo hàm riêng và sau đó là những dạng lưới phức tạp hơn như lưới cấu trúc-lưới không cấu trúc, lưới lục diện-lưới tứ diện… nhằm có được lưới khớp tốt nhất với các biên dạng hình học phức tạp mà vẫn đạt được tốc độ tính toán nhanh nhất có thể

Ngày nay, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa học tiên tiến và công nghệ cao cũng như các ngành khoa học phục vụ dân sinh Chẳng hạn, CFD được ứng dụng mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói chung Ngoài ứng dụng trong các ngành kỹ thuật, CFD còn được ứng dụng rộng rãi trong các ngành khác như sinh học, y tế, khí tượng,… Chẳng hạn, CFD được ứng dụng vào ngành đại dương học để mô phỏng các quy luật của dòng biển nóng, lạnh và tác

động của chúng lên khí hậu toàn cầu, Trong y tế, CFD được sử dụng để mô phỏng quá trình hoàn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng và toàn bộ cơ thể nói chung Thật khó có thể kể hết phạm vi ứng dụng của CFD mà các nước đã đạt được

Đặt biệt, với những ứng dụng to lớn và hiệu quả kinh tế mà CFD mang lại, ngày nay các công ty đóng tàu lớn trên thế giới cũng đã đưa CFD vào trong chương trình nghiên cứu và ứng dụng để mô phỏng, tính toán trường chất lỏng bao quanh thân tàu để nâng cao chất lượng thiết kế vỏ tàu, tối ưu hóa đường hình, thiết kế chân vịt, tính toán thủy động lực học chân vịt, thiết kế các hệ thống bơm,

1.2.2 Tình hình trong nước

CFD đã được nghiên cứu từ lâu trên thế giới và đã đi vào ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, quân sự lẫn dân sự Trong khi đó nước ta vẫn chỉ ở mức độ tiếp xúc với những vấn đề cơ bản, và chỉ hạn hẹp trong một số lĩnh vực mà chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu sâu, cũng như phổ biến học tập Hiện tại CFD chỉ được nghiên cứu ứng dụng trong các lĩnh vực quân sự, tính toán khí động học máy bay… các lĩnh vực khác vẫn chưa được ứng dụng nhiều Do sự hạn hẹp về nghiên cứu lẫn giảng dạy nên CFD vẫn còn là một khái niệm khá mới mẻ đối với phần lớn các kĩ

sư, giảng viên và sinh viên

Đề tài này được thực hiện với hi vọng sẽ góp một phần thúc đẩy nghiên cứu

và ứng dụng phương pháp CFD vào các ngành kỹ thuật nói chung và kỹ thuật tàu thủy nước ta nói riêng

1.3 MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.3.1 Mục tiêu

- Nắm được các lí thuyết cơ bản của phương pháp CFD

- Ứng dụng phương pháp CFD vào giải một số bài toán kỹ thuật

1.3.2 Nội dung

- Một số vấn đề cơ bản về phương pháp tính toán động lực học lưu chất CFD, bao gồm: các phương trình chủ đạo, các phương pháp rời rạc hóa

và lưới, trình tự thực hiện một bài toán bằng phương pháp CFD…

- Kết quả nghiên cứu ứng dụng CFD vào giải quyết một số bài toán kỹ thuật đơn giản mà cụ thể ở đây là bài toán về dòng hai pha nước–không khí

1.3.3 Phương pháp

Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp lí thuyết kết hợp với thực hành Tìm hiểu lí thuyết cơ bản về CFD, từ đó vận dụng vào mô phỏng và giải quyết một số bài toán kỹ thuật

Những yếu tố vật lí của bất kỳ một dòng chất lưu nào đều được kiểm soát bởi

ba nguyên lý cơ bản:

1 Bảo toàn khối lượng

2 F = ma (định luật 2 Newton)

3 Bảo toàn năng lượng

Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của phương trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình đạo hàm riêng Tính toán động lực học chất lưu là thuật toán thay thế những phương trình đạo hàm riêng chủ đạo của dòng lưu chất bằng rời rạc số và đưa những rời rạc số này vào không gian và/hoặc thời gian để nhận được sự mô tả số đầy đủ cho trường dòng đang xét

2.1.2 Vai trò và ý nghĩa của CFD trong giải các bài toán kỹ thuật nói chung và

kỹ thuật tàu thủy nói riêng

Ngày nay CFD đã phát triển hết sức mạnh mẽ, được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực Khó có thể kế hết những ứng dụng đó, nhưng nhìn chung trong các ngành

kỹ thuật thì CFD có những ứng dụng như sau:

 Ngành công nghiệp hàng không vũ trụ

- Mô phỏng dòng bao các phương tiện bay, biên dạng cánh trong dòng chảy dưới âm, cận âm, siêu âm và siêu thanh

- Xác định các đặc tính khí động lực học…

Hình 2.1 Mô phỏng trường vận tốc bao quanh máy bay

 Công nghiệp chế tạo ô tô

- Mô phỏng dòng bao ngoài vỏ ô tô

- Xác định hệ số ma sát mặt sườn

- Mô phỏng quá trình làm việc của hệ thống thải khí và làm lạnh…

Hình 2.2 Mô phỏng dòng không khí qua xe đua F1

- Mô phỏng quá trình ăn mòn…

 Công nghiệp dầu khí

- Mô phỏng chuyển động của dầu và khí trong các ống dẫn

- Mô phỏng hoạt động của các trạm bơm

- Xác định đặc tính thủy lực

- Dòng chảy với tạp chất…

 Xây dựng

- Tính toán phụ tải gió lên công trình và các phần tử kết cấu

- Mô phỏng hoạt động của đê kè và các công trình che chắn

- Thông gió và điều hòa trong các công trình

- Dòng chảy trong các ống dẫn

Hình 2.3 Mô phỏng gió qua một mô hình kiến trúc xây dựng

 Năng lượng

- Mô phỏng quá trình diễn ra trong các kết cấu tua-bin khí

- Các bài toán trao đổi nhiệt liên hợp…

 Năng lượng nguyên tử

- Đảm bảo độ tin cậy và an toàn sử dụng các trang thiết bị nhiệt điện khi tăng công suất các cụm phát điện của nhà máy điện hạt nhân…

 Ngành công nghiệp tàu thủy

- Mô phỏng quá trình sinh sóng trên mặt thoáng khi tàu di chuyển trên mặt nước

- Mô phỏng trạng thái dòng bao, hiện tượng tạo bọt khí của chân vịt khi hoạt động

- Tinh toán sức cản, tối ưu hóa đường hình tàu thủy…

Hình 2.4 Mô phỏng quá trình sinh sóng khi tàu di chuyển (a) phương pháp bể thử

(b) phương pháp CFD

Hình 2.5 Mô phỏng hiện tượng tạo bọt khí của chân vịt (a) phương pháp CFD (b)

phương pháp thực nghiệm

2.2 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO CỦA PHƯƠNG PHÁP CFD

 Phương trình năng lượng

Chúng là những phát biểu toán học của ba nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ cở sở động lực học chất lưu lấy làm nền tảng:

 Bảo toàn khối lượng

- Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ các định luật vật lý sau:

 Bảo toàn khối lượng

 F = ma (định luật 2 Newton)

 Bảo toàn năng lượng

- Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp

- Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học chứa đựng những nguyên lý vật lý đó

Với một lưu chất liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa dòng:

2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler)

Xét một thể tích khép kín trong một khu vực hữu hạn của dòng Thể tích này

xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S Thể tích kiểm soát

này có thể cố định trong không gian với chất lưu chuyển động vòng qua nó hoặc chuyển động cùng với chất lưu, sao cho những hạt chất lưu luôn ở cùng nhau trong

nó

Hình 2.6 Thể tích kiểm soát hữu hạn

Thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng Những nguyên lý vật lý

cơ bản được áp dụng cho lưu chất nằm trong thể tích kiểm soát, và với lưu chất cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian) Thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát ta chỉ cần xét lưu chất trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó Những phương trình tích phân hoặc đạo hàm riêng nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không được gọi là dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo Còn đối với thể tích kiểm soát hữu hạn chuyển động cùng với chất lưu được gọi là dạng không bảo toàn của những phương trình chủ đạo

2.2.2.2 Phần tử chất lưu vô cùng bé (quan điểm Lagrange)

Xét một phần tử chất lưu vô cùng bé trong dòng, với một thể tích vi phân dV, đủ

lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể xem như một môi trường liên

tục Phần tử chất lưu có thể cố định hoặc chuyển động dọc theo dòng chảy với

2.2.3 Đạo hàm vật chất

Đạo hàm vật chất (substantial/material derivative) D/dt biểu diễn suất biến đổi

theo thời gian của các thuộc tính lưu chất của một phần tử lưu chất khi nó di chuyển trong trường lưu chất

Theo mô hình hóa dòng, xét sự chuyển động của phần tử chất lưu vô cùng bé chuyển động cùng với dòng theo hình 2.8

Hình 2.8 Phần tử chất lưu chuyển động trong trường dòng

Trường vector vận tốc trong không gian Descartes:

k w j v i u

 2 2 2 22

2 1 1

2 1 1

2 1 1

t z

z z y

y y x

2

1 2 1 1

2

1 2 1 1

2

1 2 1 1

t

z z z t

t

y y y t

t

x x x t

Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ trung bình thời gian của phần tử chất lưu

khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2 Trong giới hạn, khi t 2 tiến đến t 1 số hạng này trở thành:

Dt

D t

t

t t

1 2

1 2

lim

Dρ/Dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử chất lưu ở thời gian tức thời khi

nó di chuyển qua điểm 1, được gọi là đạo hàm vật chất D/Dt Chú ý rằng (Dρ/Dt) là

suất biến đổi mật độ theo thời gian của phần tử chất lưu đã cho khi nó di chuyển qua

không gian Khác với (Dρ/Dt), (∂ρ/∂t) là suất biến đổi theo thời gian của mật độ của

chất lưu tại điểm cố định 1

Dρ/Dt và dρ/dt là như nhau Bởi vậy, đạo hàm vật chất không khác gì đạo hàm toàn

phần theo thời gian Tuy nhiên, đạo hàm vật chất mang tính chất vật lí còn đạo hàm toàn phần theo thời gian thì thiên về ý nghĩa toán học

2.2.4 Phương trình liên tục

- Xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với dòng

Thể tích là cố định và được giới hạn bởi mặt kiểm soát mà trên đó vận tốc dòng là V, diện tích bề mặt phần tử vector là dS Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm

soát hữu hạn Áp dụng nguyên lý bảo toàn khối lượng

* Xét B: Dòng khối lượng của chất lưu chuyển động qua bề mặt cố định bất kì (kg/s) = (mật độ) × (diện tích bề mặt) × (thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt)

Do đó dòng khối lượng phần tử qua vùng dS là

dS V dS

Khối lượng tổng thể của

dòng đi ra khỏi thể tích

kiểm soát qua bề mặt S



S

dS V

* Xét C: Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là dV Toàn bộ khối

lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích

     

dx dy dz

t dz dy dx z

w y

v x

w y

v x

u t

Phương trình (2.10) là phương trình liên tục dạng bảo toàn

- Xét mô hình của một phần tử chất lưu vô cùng bé chuyển động với dòng Khối

lượng cố định bằng δm và thể tích biến đổi là δV

V

Theo nguyên lý bảo toàn khối lượng

 0

D V Dt

Phương trình (2.14) là dạng phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn

- Chúng ta cũng có thể đưa phương trình liên tục ở dạng bảo toàn về dạng không bảo toàn và ngược lại bằng cách xét đồng nhất vector bao gồm sự phân kỳ của tích

vô hướng vector theo thời gian

Thay phương trình (2.15) vào phương trình liên tục dạng bảo toàn

0   

Đây chính là dạng không bảo toàn của phương trình liên tục

Nhận xét: Việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình chủ đạo tạo ra sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học Ngược lại, sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD

2.2.5 Phương trình động lượng

Xét thành phần x của định luật thứ 2 Newton,

trong đó F x và a x là thành phần vô hướng của lực và gia tốc tương ứng

Hình 2.10 Phần tử chất lưu chuyển động vô cùng bé, chỉ giới hạn minh họa trong

hướng x Mô hình được dùng để dẫn ra thành phần x của phương trình động lượng

Trước hết hãy xét vế trái Chúng ta nói rằng phần tử chất lưu chịu một lực

trong hướng x Có hai nguồn lực này:

(1) Lực khối: tác động trực tiếp lên khối lượng thể tích của phần tử chất lưu

Lực khối tác động lên phần tử chất lưu theo hướng x:

(2) Lực mặt: tác động trực tiếp lên bề mặt phần tử chất lưu

Lực mặt tổng hợp trong hướng x:

dy dx dz

z dz

dx dy

y

dz dy dx

x dz

dy dx x

p p p

zx zx

zx yx

yx yx

xx xx

dxdydz z

y x x

z y x x

p Dt

f z y x y

p Dt

z y x z

p Dt

Đây là dạng không bảo toàn Chúng là những phương trình vô hướng, và được gọi

là phương trình Navier-Stokes Chúng có thể nhận được trong dạng bảo toàn

 

zx yx

z y x x

p uV

f z y x y

p vV

 

zz yz

z y x z

p wV

w z

u z y

u x

v y

x

u V

x x

p z

uw y

uv x

u t

v y

w z

y

v V

y

y

u x

v x y

p z

vw y

v x

uv t

2

(2.27a)

       

z

f z

w V

z z

v y

w y

x

w z

u x z

p z

w y

vw x

uw t

2

(2.27a)

2.2.6 Phương trình năng lượng

Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học áp dụng cho phần tử chất lưu chuyển động với dòng:

Hình 2.11 Những dòng năng lượng liên quan đến phần tử chất lưu vô cùng bé

chuyển động Để đơn giản, chỉ xét những dòng trong hướng x

Suất biến đổi

+

Suất của công thực hiện trên phần tử do lực khối và lực mặt

Suất của công thực hiện trên phần tử chất lưu chuyển động bởi áp suất và lực

ứng suất theo hướng x đơn giản là thành phần vận tốc u nhân với lực, ví dụ trên mặt abcd, suất của công thực hiện bởi τ yx dxdz là uτ yx dxdz,

Suất toàn phần của công thực hiện trên phần tử chất lưu chuyển động do những lực này đơn giản là

 

dxdydz z

u y

u x

u x

Tương tự theo phương y và z

Tổng quát, suất toàn phần của công thực hiện trên phần tử chất lưu chuyển động là

tổng của những lực mặt trong hướng x, y và z, cũng như lực khối

dxdydz V f dxdydz z

w y

w x

v z

u y

u x

u z

wp y

vp x

up

C

zz yz

xz zy

yy xy

zx yx

xx





lượng

Khối lượng nhiệt của phần tử =  q dxdydz (2.30)

Với q x là nhiệt truyền theo hướng x trên đơn vị thời gian trên đơn vị diện tích bởi sự dẫn nhiệt Nhiệt truyền ra khỏi phần tử qua mặt bcgf là qxqx/xdxdydz Như

vậy, nhiệt toàn phần chuyển theo hướng x vào trong phần tử chất lưu bởi dẫn nhiệt

là

dxdydz x

q dydz dx

x

q q

x x

Tương tự cho phương y và z

Nhiệt của phần tử chất lưu do dẫn nhiệt :

dxdydz z

q y

q x

q y

q x

q q

T k z y

T k y x

T k x q

* Xét A : suất biến đổi theo thời gian của năng lượng phần tử chất lưu

Năng lượng toàn phần của một chất lưu chuyển động trên khối lượng đơn vị là tổng

nội năng của nó trên đơn vị khối lượng e, và động năng của nó trên khối lượng đơn

vị V 2 /2 Do đó năng lượng toàn phần là (e + V 2 /2) Chúng ta có

dxdydz

V e Dt

w y

w x

w z

v y

v x

v

z

u y

u x

u z

wp y

vp x

up

z

T k z y

T k y x

T k x q

V e

Dt

D

zz yz

xz zy

yy xy

zx yx

 

z

w y

w x

w z

v y

v x

v

z

u y

u x

u z

w y

v x

u p

z

T k z y

T k y x

T k x

q Dt De

zz yz

xz zy

yy xy

zx yx

2 2

2 2

2

22

2

v x

w z u

x

v y

u z

w y

v x

u

z

w y

v x

u z

w y

v x

u p

z

T k z y

T k y x

T k x q V e t

w y

w x

w z

v y

v x

v

z

u y

u x

u z

wp y

vp x

up

z

T k z y

T k y x

T k x q V V e V

e

t

zz yz

xz zy

yy xy

zx yx

2 2

2.2.7 Điều kiện biên

Các phương trình chủ đạo của sự vận động dòng có thể giải được khi các điều kiện biên và các điều kiện ban đầu được xác định Dạng của các điều kiện biên, được đòi hỏi bởi bất kì một phương trình vi phân từng phần nào, phụ thuộc vào phương trình của chính nó và cách mà nó được rời rạc Các điều kiện biên thông

thường được phân loại hoặc trong các hạng tử của các giá trị số hoặc trong các hạng

tử kiểu vật lí của điều kiện biên Đối với các bài toán trạng thái ổn định có ba kiểu điều kiện biên không gian:

 Điều kiện biên Dirichlet:  f1(x,y,z) (2.39)

Ở đây giá trị của biến ϕ trên biên là biết được, f 1 Nó cho phép một trạng thái

đơn giản được tạo ra để cố định giá trị biên Ví dụ, nếu vận tốc u là vận tốc dòng,

giá trị của nó có thể được cố định tại biên của miền Chẳng hạn, đối với các điều kiện biên không trượt và không xuyên qua trên các thành cứng, vận tốc dòng là giống với vận tốc trên thành

 Điều kiện biên Neuman: f2(x,y,z)

thay đổi xuôi theo dòng, ta có thể giả định rằng đạo hàm của u là bằng 0 tại biên

 Điều kiện biên hỗn hợp: f3(x,y,z)

n b

Các kiểu biên vật lí thường được sử dụng trong các bài toán lưu chất như sau:

2.2.7.1 Thành cứng (solid wall): Nhiều biên trong miền dòng lưu chất là thành

cứng, và có thể hoặc là thành đứng im hoặc là thành di chuyển Nếu dòng là chảy tầng thì các thành phần vận tốc có thể được đặt là vận tốc của thành Khi dòng là chảy rối thì trạng thái phức tạp hơn

2.2.7.2 Đầu vào (Inlet): Tại một đầu vào, lưu chất đi vào miền và do đó vận tốc

hoặc áp suất lưu chất, hoặc suất dòng khối lượng là có thể biết được Lưu chất cũng

có thể có những đặc trưng xác định, như đặc trưng rối, mà ta cần phải định rõ

2.2.7.3 Biên đối xứng (Symmetry Boundary): Khi dòng là đối xứng với một vài

mặt phẳng thì không có dòng qua biên và các đạo hàm của các biến theo hướng pháp tuyến với biên bằng 0

2.2.7.4 Biên tuần hoàn (Cyclic or periodic Boundary): Những biên này xuất hiện

thành cặp và được sử dụng để chỉ định dòng có các giá trị của các biến giống nhau tại các vị trí tương ứng trong cả hai biên

2.2.7.5 Điều kiện biên áp suất (Pressure Boundary Condition) Khả năng chỉ định

điều kiện áp suất tại một hay nhiều biên của một vùng tính toán là một công cụ tính toán quan trọng và hữu ích Biên áp suất mô tả vùng chứa giới hạn của lưu chất, các điều kiện phòng thí nghiệm xung quanh và các áp suất áp dụng xuất hiện từ các phương pháp vật lí Nhìn chung, một điều kiện áp suất không thể được sử dụng tại biên nơi mà vận tốc cũng được chỉ định, vì vận tốc bị ảnh hưởng vởi các gradient áp suất Chỉ có trường hợp ngoại lệ là khi áp suất là cần thiết để chỉ định các thuộc tính dòng, cụ thể là mật độ qua biên bằng một phương trình trạng thái

Có hai kiểu đặc trưng cho điều kiện biên áp suất, đó là các điều kiện áp suất tĩnh và ứ đọng Trong một điều kiện tĩnh, áp suất liên tục nhiều hơn hoặc ít hơn khi

đi qua biên và vận tốc tại biên được chỉ định một giá trị dựa vào điều kiện đạo hàm pháp tuyến bằng không khi đi qua biên Ngược lại, điều kiện áp suất ứ đọng giả thiết các điều kiện ứ đọng bên ngoài biên nên vận tốc tại biên bằng 0 Giải định này yêu cầu sự sụt giảm áp suất đi qua biên đối với dòng để đi vào vùng tính toán Vì điều kiện áp suất tĩnh không thể hiện các vận tốc lưu chất bên ngoài biên (ngoại trừ khi nó được cho là giống với vận tốc bên trong biên) nên nó ít đặc trưng hơn điều kiện áp suất ứ đọng Trong vấn đề này, điều kiện áp suất ứ đọng nói chung là mang tính vật lí hơn và được đề nghị sử dụng cho hầu hết các ứng dụng

Ví dụ, xét bài toán của dòng trong mặt cắt ngang của ống Nếu đoạn cuối của vùng tính toán theo hướng ngược dòng trùng với cửa vào vật lí của ống thì một điều kiện ứ đọng phải được sử dụng để mô tả điều kiện xung quanh bên ngoài như một vùng chứa lớn của lưu chất ứ đọng Mặt khác, nếu biên ngược dòng của vùng tính toán là bên trong ống, và nhiều đường kính xa khỏi cửa vào, khi đó điều kiện

áp suất tĩnh phải xấp xĩ hợp lí hơn với các điều kiện dòng tại vị trí đó

2.2.7.6 Điều kiện biên dòng ra (Outflow Boundary Condition): Trong nhiều mô

phỏng, cần thiết phải có dòng lưu chất đi ra từ một hoặc nhiều biên của vùng tính

toán Tại những biên “dòng ra” như vậy, xuất hiện câu hỏi yếu tố nào tạo nên một điều kiện biên tốt

Trong dòng có thể nén được, khi tốc độ dòng tại biên dòng ra là siêu âm, chỉ

có một sự khác biệt nhỏ trong việc các điều kiện biên được chỉ định như thế nào vì

sự nhiễu loạn không thể truyền ngược dòng Tuy nhiên, trong dòng tốc độ thấp và dòng không thể nén được, sự nhiễu loạn được đưa ra tại một biên dòng ra có thể gây ảnh hưởng cho cả vùng tính toán

Điều kiện dòng ra được sử dụng đơn giản nhất và thông dụng nhất là biên

“liên tục” Điều kiện biên liên tục gồm có các đạo hàm pháp tuyến bằng không tại biên cho tất cả các đại lượng Điều kiện đạo hàm bằng không được dùng để miêu tả

sự liên tục mượt mà của dòng khi qua biên

Phải nhấn mạnh rằng điều kiện biên liên tục không có cơ sở vật lí, đúng hơn

nó là phát biểu toán học mà có thể hoặc không thể cung cấp trạng thái dòng mong muốn Cụ thể, nếu dòng được tuân theo để đi vào vùng tính toán qua biên như vậy, thì phép tính sẽ không chính xác vì không có gì được chỉ định về điều kiện dòng tồn tại bên ngoài biên

Như một quy tắc chung, điều kiện biên có ý nghĩa vật lí, ví dụ như một điều kiện áp suất danh nghĩa, nên được sử dụng tại các điều kiện dòng ra bất cứ khi nào

có thể Khi một điều kiện liên tục được sử dụng, nó cần được định vị xa khỏi vùng dòng chính như trong thực tế để bất kì sự ảnh hưởng ngược nào trong miền dòng chính là nhỏ nhất

2.2.7.7 Điều kiện biên mở (Opening Boundary Condition): Nếu dòng đi qua bề

mặt biên theo bất kì hướng nào thì điều kiện biên mở cần được sử dụng Tất cả các lưu chất có thể chảy ra ngoài miền hoặc chảy vào miền, hoặc kết hợp cả hai trường hợp

2.2.7.8 Mặt thoáng và mặt phân giới (Free surface and Interface): Nếu lưu chất

có mặt thoáng, thì lực căng bề mặt cần được xét đến Điều này yêu cầu sử dụng

phương trình Laplace xác định bước nhảy gây căng bề mặt của ứng suất pháp p s

ngang qua bề mặt:

p s =σĸ (2.42) trong đó σ biểu diễn sự căng bề mặt lỏng-khí và ĸ là độ cong tổng cộng của mặt

phân giới Một điều kiện biên được yêu cầu tại đường liên kết, đường mà tại đó các pha rắn, lỏng, khí gặp nhau Nó là điều kiện biên được đưa ra trong thông tin mô hình về độ thấm ướt của bề mặt cứng

Hình 2.12 Các điều kiện biên cho một vòi hội tụ-phân kì

2.3 RỜI RẠC VÀ LƯỚI

2.3.1 Rời rạc

Để giải các phương trình chủ đạo của vận động dòng, thì đầu tiên các tương

tự số của chúng phải được tạo ra Chúng được thực hiện bởi quá trình rời rạc hóa Trong quá trình này, mỗi hạng tử trong phương trình vi phân từng phần mô tả dòng được viết theo cách mà có thể lập trình được cho máy tính Có rất nhiều kĩ thuật cho rời rạc số Ở đây sẽ đưa ra ba kĩ thuật thông dụng nhất: (1) Phương pháp vi phân hữu hạn, (2) Phương pháp phần tử hữu hạn, và (3) Phương pháp thể tích hữu hạn

2.3.1.1 Phương pháp vi phân hữu hạn

Phương pháp vi phân hữu hạn sử dụng khai triển chuỗi Taylor để viết đạo hàm cho một biến dưới dạng các vi phân giữa các giá trị của biến tại các điểm khác nhau trong không gian hoặc thời gian Sử dụng chuỗi Taylor để rời rạc đạo hàm của

các biến phụ thuộc, ví dụ vận tốc u, đối với các biến độc lập, ví dụ tọa độ riêng x trong hình 2.13 Xét đường cong trong hình 2.13 biểu diễn sự biến thiên của u với x,

ví dụ u(x) Sau khi rời rạc, đường cong u(x) có thể biểu diễn bởi một bộ các điểm rời rạc, u i

’

s Những điểm rời rạc này có thể kết nối với nhau bằng sử dụng khai triển chuỗi Taylor Xét hai điểm, (i+1) và (i-1), một khoảng cách nhỏ ∆x từ điểm giữa, (i) Do đó vận tốc u i có thể biểu diễn trong hạng tử của khai triển chuỗi Taylor đối

với điểm (i):

2 2

3 3

3 2 2 2

u x

x

u x x

u u

3 3

3 2 2 2

u x

x

u x x

u u

Những phương trình này là chính xác toán học nếu số lượng các hạng tử là vô hạn

và ∆x là rất nhỏ Chú ý rằng bỏ qua những hạng tử này là nguyên nhân dẫn đến sai

số trong tính toán số vì phương trình của các đạo hàm bị cắt cụt Những sai số này được gọi là sai số cắt cụt Đối với biểu thức chính xác bậc hai, sai số cắt cụt là:

n n

Hình 2.13 Vị trí các điểm của chuỗi Taylor

Bằng cách trừ hoặc cộng hai phương trình, ta có đạo hàm bậc nhất và bậc hai tại vị

trí i Những đạo hàm đó là:

 6 2

2 3

3 1

x

u x

u u x u

i

i i i

x O x

u u u x

2 1 1

2

2

) (

u u x u

i

i i i

u u x u

i

i i i

ví dụ, vi phân giữa là độ chính xác bậc hai, trong khi cả vi phân tiến và lùi đều là chính xác bậc nhất, vì các hạng tử bậc cao hơn bị bỏ qua

Ta có thể thu được phép gần đúng bậc cao hơn bằng cách áp dụng khai triển chuỗi Taylor cho nhiều điểm hơn Ví dụ, một bộ 3 điểm sẽ dẫn đến trong một phép gần đúng bậc hai cho vi phân tiến và lùi, hơn là phép gần đúng bậc nhất:

Vi phân tiến

2 1

432

1

x O u u u x x

u

i i i i

u

i i i i

26

1

x O u u u u x x

u

i i i i i

6

1

x O u u u u x x

u

i i i i i

Những phương trình trên được sử dụng để tạo các tương tự số cho các phương trình

vi phân từng phần mô tả dòng Để áp dụng phương pháp rời rạc này cho các trường dòng, nhiều điểm được đặt trong miền được mô phỏng Khi đó, tại mỗi điểm này đạo hàm của các biến dòng được viết dưới dạng vi phân, liên hệ giá trị của biến tại mỗi điểm với các điểm gần nó Khi quá trình này được áp dụng trong miền, một bộ các phương trình thu được bằng giải số Xem chi tiết ở tham khảo [8]

2.3.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, miền lưu chất đang xét được chia làm một số hữu hạn các miền con, tức là các phần tử Một hàm đơn giản được giả thiết cho sự biến thiên của mỗi biến bên trong mỗi phần tử Tổng hợp sự biến thiên của biến trong mỗi phần tử được sử dụng để mô tả cả trường dòng Xét phần tử hai nút

trong hình 2.14, trong đó biến u biến đổi tuyến tính bên trong phần tử Điểm mút của phần tử được gọi là nút của phần tử Đối với sự biến thiên tuyến tính của u, đạo hàm bậc nhất của u đối với x đơn giản là một hằng số Nếu u được giả thiết là biến

đổi tuyến tính bên trong phần tử thì ta không thể định đạo hàm bậc hai cho nó Vì hầu hết các bài toán lưu chất chứa đạo hàm bậc hai, nên kĩ thuật sau đây sẽ được thiết lập để giải quyết vấn đề này Đầu tiên, phương trình vi phân từng phần được nhân với một hàm chưa biết, và sau đó cả phương trình sẽ được tích phân trên miền

mà nó áp dụng Cuối cùng các hạng tử mà cần có bậc của các đạo hàm được rút gọn

sẽ được tích phân từng phần Đây là cách đưa ra một công thức biến thiên

Ví dụ, ta sẽ phát triển công thức phần tử hữu hạn cho phương trình Laplace trong một chiều:

Phương trình (2.54) có thể được tích phân từng phần:

du dx

dW

Trong đó Γ là biên của miền Ω và n x là vector pháp đơn vị hướng ra ngoài của biên

Γ Phương trình đạo hàm bậc hai (2.54) được biến đổi thành tích của các đạo hàm

bậc nhất Phương trình (2.55) được sử dụng để xác định dạng rời rạc của phương trình vi phân từng phần cho các phần tử trong miền Phương trình (2.55) là dạng biến thiên của phương trình vi phân từng phần (2.53) Mặc dù kĩ thuật này giảm bậc của các đạo hàm nhưng nó lại đưa ra các hạng tử tương ứng với biên của miền trong phương trình chủ đạo (2.55)

Hình 2.14 Phần tử tuyến tính hai nút

Bây giờ ta sẽ chia miền thành vài phần tử và giả thiết hàm cho sự biến thiên của

biến u trong mỗi phần tử Nếu phần tử tuyến tính hai nút được giả thiết, như hình (2.14), sự biến thiên của u trong mỗi phần tử:

1 1

1 1

i i

i i i i i i

x x

x x u u u

Hay

1 1

1 1

1 1

i i

i i i i i

i i i i

x x

x x u x x

x x u

Các hạng tử trong dấu ngoặc được gọi là hàm hình dáng và kí hiệu là N i ’ s u i-1 và

u i+1 là các giá trị nút của biến u và kí hiệu là u i ’ s Do đó biến u có thể viết dưới dạng:

1 1 1

1 1

i i i

x x

x x

Và

1 1

1 1

i i i

x x

x x

Ta có thể xác định đạo hàm của biến u, sử dụng phương trình (2.58)

i m i

i u dx

dN dx

du





1

(2.61)

Trong đó m là số lượng nút trong phần tử Chú ý rằng u i ’ s là giá trị nút của u và

chúng không phải là biến, do đó, chúng không được vi phân

Để giải phương trình (2.55) sẽ vẫn cần mô tả hàm W Có vài phương pháp được sử dụng cho xác định biến W Tuy nhiên, phương pháp thông dụng nhất là phương pháp Galerkin trong đó W được giả thiết là giống với hàm hình dáng cho mỗi phần

tử Do đó phương trình (2.55) được rời rạc bằng cách sử dụng các phương trình tương tự với phương trình (2.61) cho các đạo hàm của biến, và các phương trình tương tự với phương trình (2.59) và (2.60) cho W Đối với mỗi phần tử có thể có vài phương trình phụ thuộc và số lượng nút trong phần tử đó Bộ phương trình được tạo ra dưới dạng này được giải với nhau để tìm bài giải