Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất trong các bài toán kỹ thuật (2)

Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với chất lỏng, sao cho những hạt chất lỏng cùng nhau luôn ở trong nó, như hình 2.1b a b Hình 2.1: Thể tích kiểm soát hữu hạn Trong

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1 : 4

4

5

5

5

6

6

6

6

– CFD 7

7

? 7

2.1.2 Vai 7

12

12

12

2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler) 13

2.2.2.2 Phần tử chất lỏng vô cùng bé (quan điểm Lagrange) 14

15

19

21

27

32

39

2.2.8.1 Phương trình đối với dòng nhớt 39

42

48

48

49

50

50

51

51

51

51

53

3.1.2.1. 53

57

72

73

73

73

75

75

78

98

Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 99

99

99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101

102

LỜI NÓI ĐẦU

Từ xưa đến nay, con người từng bước chinh

kỹ thuật Nội dung gồm 4 chương sau:

- Chương 1: Đặt vấn đề

- Chương 2: Một số vấn đề cơ bản về tính toán động lực học lưu chất – CFD

- Chương 3: Kết quả nghiên cứu

- Chương 4: Thảo luận và đề xuất ý kiến

, nên Rất mong được sự xây dựng và góp ý kiến củ thầy và các bạn để nội dung đề tài hoàn thiện hơn

1.2

Sự phát triển của CFD bắt đầu nhờ xuất hiện của máy tính vào những năm 1950 Có 2 công cụ cơ bản để giải các phương trình vi phân từng phần nói chung và CFD nói riêng là phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Methods-FDM) và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Methods-FEM) Hai phương pháp này có xuất xứ khác nhau, bài báo đầu tiên về phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) giải bài toán phân tích ứng suất trong mô hình mô phỏng đê chắn sóng của Richardson trong năm 1910 trong khi công trình đầu tiên sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) dùng để phân tích ứng suất máy bay trong năm 1956 Kể từ đó cả hai phương pháp trên đều được phát triển mạnh mẽ trong các lĩnh vực động lực học chất lỏng, truyền nhiệt và các lĩnh vực có liên quan khác Gần đây đã có thêm một số phương pháp mới dùng để giải các bài toán CFD, trong đó nổi bật nhất là phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Methods-FVM) Phương pháp này được sử dụng r ng rãi bởi nó lợi dụng được ưu điểm của cả hai phương pháp FDM và FEM, đồng thời có cấu trúc dữ liệu tương đối đơn giản

Ngay từ những năm 1960 CFD đã được đưa vào ứng dụng trong việc thiết kế, nghiên cứu và phát triển, chế tạo máy bay và các động cơ phản lực trong ngành công nghiệp hàng không

Hiện nay thì những trường nổi tiếng như Học Viện Kĩ Thuật Quân Sự, đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh mới có giảng dạy về lĩnh vực này Và họ cũng đã đưa sinh viên sang một số nước như Nga, Mỹ để nghiên cứu

Chương 2:

– CFD

?

CFD-Computational Fluid Dynamics: Đây là lĩnh vực khoa học sử dụng các phương pháp số kết hợp với công nghệ mô phỏng trên máy tính để giải quyết các bài toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của môi trường, đặc tính lý hóa của các quá trình trong môi trường đang xét, đặc tính sức bền của môi trường, đặc tính nhiệt động, đặc tính động học, hay đặc tính động lực học hoặc khí động lực học, đặc tính lực, hoặc đặc tính lực moment và tương tác của các môi trường với nhau phụ thuộc vào từng đối tượng và phạm vi cụ thể của từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa học mà CFD có thể ứng dụng được

Những khía cạnh vật lý của bất kỳ dòng chất lỏng nào đều được kiểm soát bởi ba nguyên lý cơ bản sau:

1 Bảo toàn khối lượng

2 F = ma (định luật 2 Newton)

3 Bảo toàn năng lượng

Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của phương trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình đạo hàm riêng Tính toán động lực học chất lỏng là thuật thay thế những phương trình đạo hàm riêng chủ đạo của dòng chất lỏng bằng số và đưa những số này vào không gian và hoặc thời gian để nhận được sự mô tả số cuối cùng của trường dòng chảy đầy đủ cần quan tâm

Vai trò của CFD: Vai trò của CFD trong dự báo kĩ thuật công nghiệp đã trở nên mạnh đến mức ngày nay nó có thể được nhìn nhận như “chiều thứ ba” trong

của Isaac Newton cho tới giữa những năm 1960, những tiến bộ về cơ chất lỏng được thực hiện bằng cách kết hợp với các thực nghiệm tiên phong và phân tích lý thuyết cơ bản- những phân tích mà hầu như luôn yêu cầu sử dụng những mô hình dòng đơn giản đề nhận được lời giải dạng khép kín của các phương trình chủ đạo Những lời giải dạng khép kín có lợi thế nổi bật là đồng nhất ngay lập tức một vài tham số cơ bản của bài toán đã cho, và thể hiện rõ câu trả lời cho những bài toán bị ảnh hưởng bởi sự biến đổi các tham số như thế nào Tuy nhiên chúng có bất lợi là không đưa ra được mọi quá trình vật lý cần thiết của dòng Với khả năng kiểm soát các phương trình chủ đạo ở dạng chính xác cùng với việc xem xét các hiện tượng vật lý chi tiết như phản ứng hóa học ở mức độ hạn chế, CFD nhanh chóng trở thành một công cụ phổ biến trong phân tích kỹ nghệ

Ứng dụng của CFD: CFD được phát triển, ứng dụng và mang lại hiệu quả cao trong các lĩnh vực cơ học môi trường chất lưu (khí, lỏng, plasma, ) và môi trường biến dạng, đàn hồi Trên thực tế, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa học tiên tiến và công nghệ cao cũng như các ngành khoa học phục vụ dân sinh Chẳng hạn, CFD được ứng dụng mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói chung CFD được ng dụng vào ngành đại dương học để mô phỏng tìm các quy luật của dòng biển nóng , lạnh và tác động của chúng lên khí hậu toàn cầu, CFD được ứng dụng trong y tế để mô phỏng quá trình hoàn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng, toàn bộ cơ thể nói chung Thật khó có thể kể hết phạm vi ứng dụng của CFD, dưới đây ta có thể liệt kê những lĩnh vực mà CFD đóng vai trò như một công cụ hữu hiệu không thể thiếu để nghiên cứu, ứng dụng, cũng như phát triển chung lên cấp độ công nghiệp, mang lại nhiều thành tựu rực rỡ nhất Đó là:

Công nghiệp hàng không vũ trụ

• Mô phỏng dòng chảy bao các phương tiện bay, biên dạng cánh trong dòng chảy dưới âm thanh, lân cận âm thanh, siêu âm và siêu thanh

• Xác định các đặc tính khí động lực học

Ngành công nghiệp chế tạo ô tô

• Mô phỏng trên máy tính dòng chảy bao ngoài

• Van, khóa van, van tiết lưu

• Dòng chảy trong các gói ống dẫn

• Sự thoát khí từ ống xả

• Mô phỏng quá trình ăn mòn…

• Mô phỏng chuyển động của dầu và khí trong các ống dẫn

• Mô phỏng hoạt động của các trạm bơm

Kĩ thuật tàu thủy

• Mô phỏng dòng chảy xung quanh tàu

• Mô phỏng hoạt động của vùng rối phía sau chân vịt

• Tính toán sức cản và tối ưu hóa đường hình…

• Mô

không phản ứng trong lò phản ửng hóa học

•

1) Bảo toàn khối lượng

c) Bảo toàn năng lượng

2) Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp 3) Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học gồm những nguyên lý vật lý như vậy

Với một chất lỏng liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa dòng:

2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler)

Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 2.1 Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu

hạn của dòng Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S, xác định bề mặt khép kín bao quanh thể tích Thể tích kiểm soát này có thể

cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.1a Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với chất lỏng, sao cho những hạt chất lỏng cùng nhau luôn ở trong nó, như hình 2.1b

a b

Hình 2.1: Thể tích kiểm soát hữu hạn

Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho chất lỏng nằm trong thể tích kiểm soát, và với chất lỏng cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian) Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với chất lỏng trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó Những phương trình dòng chất lỏng mà chúng ta nhận được trực tiếp do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu hạn có dạng tích phân Những dạng tích phân này của những phương trình chủ đạo

có thể thao tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng Những

những phương trình chủ đạo Những phương trình nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn chuyển động cùng với chất lỏng ở dạng tích phân hoặc đạo hàm riêng, được gọi là dạng không bảo toàn của những phương trình chủ đạo

2.2.2.2 Phần tử chất lỏng vô cùng bé (quan điểm Lagrange)

Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 2.2 Ta hãy tưởng tượng một phần tử chất lỏng vô cùng bé trong dòng,

với một thể tích vi phân dV Phần tử chất lỏng là vô cùng bé theo khái niệm phép

tính vi phân; tuy nhiên là đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể nhìn nhận như một môi trường liên tục Phần tử chất lỏng có thể cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.2a Tương tự, nó có thể chuyển động dọc theo dòng chảy với vận tốc vector thể tích bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm như hình 2.2b

dạng bảo toàn của các phương trình Những phương trình nhận được trực tiếp từ phần tử chất lỏng chuyển động là dạng không bảo toàn của các phương trình chủ đạo

2.2.3 Đ

Theo mô hình hóa dòng, xét sự chuyển động của phần tử chất lỏng vô cùng

bé chuyển động cùng với dòng theo hình 2.3

Hình 2.3: Phần tử chất lỏng chuyển động trong trường dòng

Ở đây phần tử chất lỏng chuyển động trong không gian Descartes Những vector

đơn vị dọc theo trục x ,y, và z là , , tương ứng Trường vector vận tốc trong

không gian Descartes này bằng:

trong đó những thành phần x, y và z của vận tốc đã cho tương ứng với

Khai triển theo chuỗi Taylor hàm quanh điểm 1:

dấu 3 chấm ở đây là các phần tử bậc cao hơn

Chia cho (t 2 -t 1) và bỏ đi các số hạng bậc cao chúng ta nhận được

Khảo sát vế trái của phương trình (2.1) Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ trung bình thời gian của phần tử chất lỏng khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2

Trong giới hạn, khi t 2 tiến đến t 1 số hạng này trở thành

Ở đây Dρ/Dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử chất lỏng ở thời gian tức

thời khi nó di chuyển qua điểm 1 Theo định nghĩa, ký hiệu này được gọi là đạo

hàm thể chất D/Dt Chú ý rằng (Dρ/Dt) là suất biến đổi mật độ theo thời gian của phần tử chất lỏng đã cho khi nó di chuyển qua không gian Khác với (Dρ/Dt),

( / ) là suất biến đổi theo thời gian của mật độ của chất lỏng tại điểm cố định 1 Trong phương trình (2.1) ta thấy rằng:

Như vậy lấy giới hạn của phương trình (2.1) khi t2 tiến đến t1 được

Khảo sát phương trình (2.2) chúng ta có thể nhận được biểu thức cho đạo hàm thể chất trong tọa độ Descartes:

Trong tọa độ Descartes toán tử vector được định nghĩa là

Do đó phương trình (2.3) có thể viết lại như sau

Chúng ta có thể thỏa mãn với hầu hết các thảo luận trên bằng việc nhận thức rằng đạo hàm thể chất thực chất cũng như phép tính đạo hàm toàn phần Vậy nếu

Thì quy tắc dây chuyền từ phép tính vi phần cho ta

Từ phương trình (2.7) chúng ta có

Vì dx/dt = u, dy/dt= v và dz/dt= w, phương trình (2.8) trở thành

So sánh phương trình (2.8) và (2.9) chúng ta thấy rằng Dρ/Dt và dρ/dt là như nhau

Bởi vậy, đạo hàm thể chất không khác gì đạo hàm toàn phần theo thời gian Tuy nhiên, việc dẫn xuất phương trình (2.2) làm sáng tỏ nhiều ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất, trong khi xuất xứ của phương trình (2.9) thiên về hình thức toán học hơn

2.2.4

Xét một thể tích kiểm soát chuyển động với chất lỏng như hình 2.1b Thể tích kiểm soát này luôn luôn được tạo ra do cùng các hạt chất lỏng đều di chuyển cùng với dòng, do đó khối lượng của nó cố định, bất biến với thời gian Tuy nhiên

thể tích kiểm soát V và bề mặt kiểm soát S của nó đang thay đổi với thời gian trong

khi nó di chuyển những vùng khác nhau của dòng, trong đó những giá trị khác nhau

của ρ tồn tại Như vậy, thể tích kiểm soát đang chuyển động có khối lượng không

đổi này thường xuyên tăng hoặc giảm thể tích của nó và thay đổi hình dạng của nó, phụ thuộc vào những đặc trưng của dòng Xét thể tích kiểm soát này tại một thời

điểm nào đó Xét một phần tử vô cùng bé có bề mặt dS chuyển động với vận tốc

như hình 2.4

Hình 2.4: Thể tích kiểm soát chuyển động với dòng chảy

Sự thay đổi thể tích ΔV của thể tích kiểm soát chỉ do chuyển động của dS qua một diện tích đáy dS và độ cao ( Δt) , trong đó là vector đơn vị thẳng góc với bề mặt tại dS

trong đó vector được định nghĩa đơn giản là Sau bước thời gian Δt, thay đổi tổng cộng về thể tích của toàn bộ thể tích kiểm soát là tổng của phương

trình (2.10) trên toàn bộ diện tích kiểm soát Trong giới hạn, khi dS dần đến 0

Chia tích phân này cho Δt

Kết quả nhận được là suất biến đổi theo thời gian của thể tích kiểm soát V Áp dụng

định lý phân kỳ từ phép tính vector cho vế phải phương trình (2.11) ta nhận được phương trình

Xét thể tích kiểm soát chuyển động trong hình 2.4 đang co lại tới một thể tích rất nhỏ δV, tương đương với phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động như hình 2.2b Vậy phương trình (2.12) có thể viết lại như sau

Giả thiết rằng δV đủ nhỏ sao cho về thực chất có cùng giá trị đó khắp δV Như vậy, tích phân trong phương trình (2.13) có thể xấp xỉ như Thay vào phương trình (2.13) ta được

Đầu tiên, xét mô hình của một phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động với

dòng Khối lượng phần tử này cố định và bằng δm Biểu thị thể tích của phần tử này bởi δS như trong mục 2.1.4

động cùng với dòng Như vậy, chúng ta có

Kết hợp phương trình (2.15) và phương trình (2.16), chúng ta được

Tiếp theo, xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với dòng Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là và diện tích bề mặt của phần tử vector là Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu

hạn Áp dụng nguyên lý bảo toàn khối lượng

Xét vế trái của phương trình (2.19)

Dòng khối lượng của chất lỏng chuyển động qua bất kỳ bề mặt cố định nào bằng tích của mật độ thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt Do đó dòng khối lượng

phần tử qua vùng dS là

Khảo sát hình 2.5, theo quy ước luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát

Do đó, khi cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, như vậy là số dương Khi hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, dòng khối lượng về mặt vật lý là rời khỏi thể tích kiểm soát, tức là một sự chảy ra, do đó dương biểu thị sự chảy ra, ngược lại khi hướng vào thể tích kiểm soát thì âm, tức là biểu thị sự chảy vào

Hình 2.5: Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian

Suất giảm khối lượng trong thể tích kiểm soát theo thời gian

Khối lượng dòng chảy ra

khỏi thể tích kiểm soát

qua bề mặt S

giới hạn, nó trở thành một tích phân mặt

Xét vế phải của phương trình (2.19) Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là

dV Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích

Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là

Lần lượt, suất giảm khối lượng theo thời gian trong V là âm của nó là

Thay phương trình (2.22) và (2.23) vào phương trình (2.19) chúng ta có

Hoặc

Phương trình (2.24) là dạng tích phân của phương trình liên tục trong dạng bảo toàn

Đưa phương trình (2.24) về dạng phương trình vi phân Vì thể tích kiểm soát cố định trong không gian, những giới hạn tích phân trong phương trình (2.24) không thay đổi và do đó đạo hàm thời gian

nhận được phương trình đạo hàm riêng, phương trình (2.29) Bằng việc chọn mô hình cố định trong không gian, chúng ta nhận được dạng bảo toàn của phương trình liên tục

Chúng ta cũng có thể đưa phương trình liên tục ở dạng bảo toàn về dạng không bảo toàn và ngược lại bằng cách xét đồng nhất vector bao gồm sự phân kỳ của tích vô hướng vector theo thời gian

Thay phương trình (2.30) vào phương trình liên tục dạng bảo toàn (phương trình (2.29))

Biểu thức trong ngoặc là đạo hàm thể chất của mật độ Do đó, phương trình (2.31) trở thành

Đây chính là dạng không bảo toàn của phương trình liên tục

Kết luận: Việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình chủ đạo tạo nên sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học Ngược lại,

sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD

Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý cơ bản khác cho mô hình dòng, tức là:

Nguyên lý vật lý: F = ma (định luật thứ 2 của Newton)

Chúng ta sẽ sử dụng mô hình phần tử chất lỏng chuyển động được thể hiện ở phía bên phải của hình 2.2b Mô hình phần tử chất lỏng chuyển động được phác họa chi tiết hơn trong hình 2.6

Định luật thứ 2 của Newton biểu thị ở trên, khi ứng dụng cho phần tử chất lỏng chuyển động trong hình 2.6, nói rằng lực ròng tác động lên phần tử chất lỏng cân bằng với khối lượng của nó nhân với gia tốc của phần tử Đây là một quan hệ

vectơ, và do đó có thể chia ra ba quan hệ vô hướng dọc theo các trục x, y, z Chúng

ta hãy chỉ xét thành phần x của định luật thứ 2 Newton,

trong đó F x và a x là thành phần vô hướng của lực và gia tốc tương ứng

Hình 2.6: Phần tử chất lỏng chuyển động vô cùng bé, chỉ giới hạn minh họa trong

hướng x Mô hình được dùng để dẫn ra thành phần x của phương trình động lượng

Trước hết hãy xét vế trái của phương trình (2.33) Chúng ta nói rằng phần tử chất

lỏng chịu một lực trong hướng x Cái gì là nguồn của lực này? Có hai nguồn:

(2) Lực mặt, tác động trực tiếp lên bề mặt phần tử chất lỏng Chúng chỉ do hai

nguồn: (a) phân bố áp suất tác động lên bề mặt, ép bởi chất lỏng bên ngoài bao vây phần tử chất lỏng, và (b) những phân bố ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến tác động lên trên bề mặt, cũng bị ép bởi chất lỏng bên ngoài „kéo‟ hoặc

„đẩy‟ trên bề mặt bởi ma sát

Hình 2.7: Minh họa ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến

Chúng ta hãy biểu thị lực khối trên đơn vị khối lượng tác động lên phần tử

chất lỏng bằng f x với thành phần hướng x Thể tích của phần tử chất lỏng là

(dxdydz), do đó:

Lực khối tác động lên phần tử chất lỏng theo hướng x= f x (dxdydz) (2.34)

Ứng suất tiếp biểu thị bằng τ yx trong hình 2.7a, liên quan tới suất biến đổi theo thời gian của biến dạng trượt của phần tử chất lỏng, trong khi ứng suất pháp tuyến biểu thị bởi xx trong hình 2.7b, liên quan tới suất biến đổi theo thời gian của thể tích của phần tử chất lỏng Trong đa số các dòng nhớt, ứng suất pháp tuyến ( xx) nhỏ hơn nhiều so với ứng suất tiếp tuyến và nhiều lần được bỏ qua Lực mặt trong

hướng x tác động lên phần tử chất lỏng được phác họa trong hình 2.6 Quy ước sử

dụng ở đây là ij biểu thị ứng suất trong hướng j tác động thẳng góc lên mặt phẳng thẳng góc với trục i Trên mặt abcd, lực duy nhất trong hướng x là do ứng suất tiếp

tuyến yx dxdz Mặt efgh cách mặt abcd một khoảng dy, do đó lực ứng suất trong hướng x trên mặt efgh là

Tương tự và chú ý hướng của lực ứng suất trên các mặt còn lại, đối với phần

tử chất lỏng chuyển động chúng ta có thể viết

Lực mặt tổng hợp trong hướng

Lực tổng hợp Fx trong hướng x, bằng tổng phương trình (2.34) và (2.35) Cộng và giản ước các số hạng chúng ta nhận được:

Phương trình (2.36) biểu thị vế trái của phương trình (2.33)

Xét vế phải của phương trình(2.33), khối lượng của phần tử chất lỏng cố định và bằng

m = dxdydz (2.37) Cũng như vậy, gọi gia tốc của phần tử chất lỏng là suất biến đổi theo thời

gian của vận tốc của nó Do đó thành phần gia tốc trong hướng x biể bằng a x,

đơn giản là suất biến đổi theo thời gian của u, vì chúng ta theo phần tử chất lỏng

chuyển động, suất biến đổi theo thời gian này là đạo hàm thể chất Như vậy,

Kết hợp phương trình (2.33), (2.36), và (2.38), chúng ta nhận được:

Là thành phần x của phương trình động lượng cho một dòng nhớt Tương tự, những thành phần y và z có thể nhận được như sau

Và

Phương trình(2.39a-c) là các thành phần tương ứng x, y và z của phương trình động lượng Chú ý rằng chúng là dạng không bảo toàn Chúng là những

phương trình vô hướng, và được gọi là phương trình Navier-Stokes

Phương trình Navier-Stokes có thể nhận được trong dạng bảo toàn như sau

Viết vế trái của phương trình (2.39a) đối với số hạng theo định nghĩa của đạo hàm thể chất

Cũng như vậy, khai triển đạo hàm sau

Thay phương trình (2.44) vào phương trình (2.39a)

Tương tự, phương trình (2.39b và c) có thể biểu thị như (2.45b và c)

Và

Phương trình (2.45a-c) là phương trình Navier-Stokes trong dạng bảo toàn

Vào năm 1845 Stokes tìm ra quan hệ:

Trong đó µ là hệ số nhớt phân tử, λ hệ số nhớt tổng hợp Stokes đưa ra giả thuyết :

Thay phương trình (2.46) vào phương trình (2.45), chúng ta nhận được phương trình Navier-Stokes đầy đủ trong dạng bảo toàn:

2.2.7 P

Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý thứ ba như đã được liệt kê tại bắt đầu của phần 2.1.1, nghĩa là

Nguyên lý vật lý: Năng lượng được bảo toàn

Tiếp tục của sự dẫn xuất phương trình Navier-Stokes (nghĩa là phương trình động lượng) trong mục 2.1.6, chúng ta sẽ sử dụng lại mô hình dòng của phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động với dòng (thể hiện trên hình 2.2b) Phát biểu của những nguyên lý này là định luật thứ nhất của nhiệt động lực, mà khi ứng dụng cho phần tử chất lỏng chuyển động với dòng, định luật thứ nhất phát biểu rằng:

Suất biến đổi năng lượng trong phần tử chất lỏng = dòng tịnh của nhiệt đi vào phần + suất của công thực hiện trên phần tử do lực khối và lực mặt

Hoặc

Trong đó A, B, và C biểu thị những số hạng tương ứng ở trên

Trước hết đánh giá C, tức là nhận được biểu thức cho suất của công thực hiện trên phần tử chất lỏng chuyển động do lực mặt Có thể thấy rằng suất của công thực hiện bởi một lực tác động trên vật thể chuyển động bằng tích của lực và thành phần vận tốc trong hướng của lực Do đó suất của công thực hiện bởi lực khối tác động lên phần tử chất lỏng chuyển động với vận tốc là là :

Với lưu ý tới những lực mặt, chỉ xét những lực trong hướng x trong hình 2.8

Suất của công thực hiện trên phần tử chất lỏng chuyển động bởi áp suất và lực ứng

suất theo hướng x trong hình 2.6, đơn giản là thành phần vận tốc u nhân với lực, ví

dụ trên mặt abcd suất của công thực hiện bởi yx dxdz là u yx dxdz, có những biểu

thức tương tự với những mặt khác Để nhấn mạnh những xem xét năng lượng này, phần tử chất lỏng chuyển động được vẽ lại trong hình 2.6, trong đó suất của công

thực hiện trên mỗi mặt bằng lực mặt theo hướng x được chỉ rõ Để nhận được suất

ròng của công thực hiện trên phần tử chất chất lỏng bởi lực mặt, chú ý rằng những

lực đó trong hướng x dương thực hiện công dương và những lực đó trong hướng x

âm thực hiện công âm Dó đó so sánh lực áp suất trên mặt adhe và bcgf trong hình 2.8, suất ròng của công thực hiện bởi áp suất trong hướng x là

Tương tự suất ròng của công thực hiện bởi ứng suất tiếp theo hướng x trên những mặt abcd và efgh là

Xét tất cả các lực mặt đưa vào hình 2.8, suất ròng của công thực hiện trên phần tử chất lỏng chuyển động do những lực này đơn giản là

Biểu thức trên xét duy nhất lực mặt theo hướng x Khi xét lực mặt trong những hướng y và z, cũng nhận được những biểu thức tương tự

Hình 2.8: Những dòng năng lượng liên quan đến phần tử chất lỏng vô cùng bé

chuyển động Để đơn giản, chỉ xét những dòng trong hướng x

Tổng quát, suất tịnh của công thực hiện trên phần tử chất lỏng chuyển động là tổng

của những đóng góp lực mặt trong hướng x, y và z, cũng như đóng góp lực khối

Điều này được biểu thị bởi C trong phương trình (2.48), và cho bằng

Chú ý rằng trong phương trình (2.49) ba số hạng đầu tiên bên vế phải đơn giản là

Tiếp theo xét B trong phương trình (2.48), tức là thông lượng tịnh của nhiệt

đi vào trong phần tử Thông lượng nhiệt này do: (1) đốt nóng thể tích như hấp thụ hoặc phát xạ của bức xạ, và (2) truyền nhiệt qua bề mặt do gradient nhiệt độ, tức là dẫn nhiệt cho như suất bổ sung nhiệt thể tích trên đơn vị khối lượng

Khối lượng nhiệt của phần tử = dxdydz (2.50)

Trong hình 2.8, nhiệt do truyền nhiệt vào trong phần tử chất lỏng chuyển động qua mặt adhe là x dydz , trong đó x là nhiệt truyền theo hướng x trên đơn vị

thời gian trên đơn vị diện tích bởi sự dẫn nhiệt Nhiệt truyền ra khỏi phần tử qua

mặt bcgf là [ x + ( x/ ]dydz Như vậy, nhiệt tịnh chuyển theo hướng x vào

trong phần tử chất lỏng bởi dẫn nhiệt là

Xét sự truyền nhiệt trong các hướng y và z qua những mặt khác trong hình 1.2.8, chúng ta nhận được

Nhiệt của phần tử chất lỏng do dẫn nhiệt

Số hạng B trong phương trình (2.48) là tổng của phương trình (2.50) và (2.51)

Sự truyền nhiệt bởi dẫn nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ địa phương:

trong đó k là độ dẫn nhiệt Do đó phương trình (2.52) có thể viết

Cuối cùng A trong phương trình (2.48) biểu thị suất biến đổi theo thời gian của năng lượng phần tử chất lỏng Năng lượng toàn phần của một chất lỏng chuyển

động trên khối lượng đơn vị là tổng nội năng của nó trên đơn vị khối lượng e, và động năng của nó trên khối lượng đơn vị V 2

/2 Do đó năng lượng toàn phần là (e +

V 2 /2) Chúng ta có

Dạng cuối cùng của phương trình năng lượng nhận được bởi thay phương trình (2.49), (2.53) và (2.54) vào phương trình (2.48), nhận được

Đây là dạng không bảo toàn của phương trình năng lượng, cũng chú ý rằng

đó là đối với năng lượng toàn phần (e + V 2

/2) Thông thường phương trình năng lượng được viết ở dạng chỉ có nội năng e Cách dẫn xuất như sau Nhân phương trình (2.39a-c) với u, v và w tương ứng

Cộng các phương trình từ (2.56) đến (2.58) và chú ý là u 2 +v 2 +w 2 = V 2, chúng ta nhận được

Trừ phương trình (2.59) từ phương trình (2.45), chú ý rằng:

Chúng ta có

Phương trình (2.60) là phương trình năng lượng dưới dạng nội năng e, vẫn trong dạng không bảo toàn

Phương trình (2.45) và (2.60) có thể được biểu thị tổng thể dưới dạng những biến trường dòng bằng việc thay thế những số hạng ứng suất nhớt xy, xz, vv , bằng những biểu thức tương đương của chúng từ phương trình (2.46a-f) Ví dụ, từ phương trình (2.60), chú ý rằng xy = yx , xz = zx , yz = zy , ta có

Thay phương trình (2.46a-f) vào phương trình (2.61), chúng ta có

Phương trình năng lượng trong dạng bảo toàn có thể nhận được như sau Xét

vế trái của phương trình (2.62) Từ định nghĩa của đạo hàm thể chất,

Tuy nhiên

Theo đồng nhất vectơ, phân kỳ tích vô hướng của vectơ,

Thay phương trình (2.64) và (2.65) vào phương trình (2.63)

Số hạng trong dấu móc trong phương trình (2.66) bằng 0, từ phương trình liên tục

Như vậy, phương trình (2.66) trở thành

Thay phương trình (2.67) vào (2.62), chúng ta có

Lặp lại những bước từ phương trình (2.63) tới (2.67), thay vì chỉ là nội năng

e, chúng ta thao tác với năng lượng toàn phần (e + V 2 /2), nhận được

Thay phương trình (2.69) vào vế trái của phương trình (2.55), chúng ta nhận được

Phương trình (2.70) là dạng bảo toàn của phương trình năng lượng, viết dưới dạng năng lượng toàn phần (e + V 2 /2)…

2.2.8 T

Trong thảo luận của chúng ta, bạn đã thấy một số lượng lớn phương trình và dường như chúng hoàn toàn giống nhau đối với chúng ta Những phương trình chính chúng có thể gây chán ngắt Tuy nhiên, tất cả động lực học chất lỏng tính toán và lý thuyết đều dựa vào những phương trình này, và bởi vậy điều tuyệt đối quan trọng là bạn quen thuộc với chúng và bạn hiểu ý nghĩa vật lý của chúng

2.2.8.1 Phương trình đối với dòng nhớt

Những phương trình đã dẫn xuất trong những mục trước áp dụng cho dòng nhớt, tức là dòng xét đến hiện tượng vận chuyển, tiêu tán của nhớt và truyền nhiệt

Do đó những phương trình chủ đạo với dòng nhớt, chịu nén, không ổn định ba chiều là:

Phương trình liên tục

- Dạng bảo toàn: phương trình (2.29)

- Dạng không bảo toàn: phương trình (2.32)

Những phương trình động lượng

- Dạng không bảo toàn: phương trình (2.39a-c)

- Dạng bảo toàn : phương trình (2.45a-c)

Phương trình năng lượng

- Dạng không bảo toàn: phương trình (2.55)

2.2.8.2 Phương trình đối với dòng không nhớt

Dòng không nhớt, theo định nghĩa là một dòng trong đó hiện tượng vận chuyển, tiêu tán nhớt, khuế n khối lượng và dẫn nhiệt được bỏ qua Những phương trình chủ đạo cho dòng chảy không ổn định, không nhớt ba chiều, chịu nén nhận được bằng việc bỏ đi những số hạng nhớt trong những phương trình trên