Quy hoạch thực nghiệm

Với mô hình địa phương, triển khai hàm fx1, x2,…,xk dưới dạng chuỗi Taylor: Với 1 ≤ i ≤ j ≤ kCác hệ số β0, βj, βjj,… được xác định từ số liệu thực nghiệm thì phương trình thu đượcgọi là

Chương 6: MÔ HÌNH HÓA VÀ TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM

6.1 Các phương pháp qui hoạch thực nghiệm

Trong công nghệ hóa học, chúng ta nghiên cứu một đối tượng công nghệ thường phụthuộc đồng thời vào nhiều yếu tố mà bản chất qui luật của quá trình xảy ra bên trong đốitượng chưa được biết rõ Dựa vào những hiểu biết ban đầu về đối tượng, trước khi tiếnhành thực nghiệm chúng ta cần xác định sơ bộ mô hình toán học của đối tượng, cần giảithích những yếu tố nào phải thay đổi trong quá trình làm thí nghiệm, những yếu tố nào giữ ởmức cố định và mục tiêu cần đạt được tối ưu

Phương pháp mô hình hóa toán học là phương pháp tính toán và phân tích các quátrình kỹ thuật, là vấn đề chọn công thức thực nghiệm và ước lượng các tham số của côngthức đó Để ước lượng giá trị thực của các đại lượng được khảo sát và độ chính xác củacác ước lượng cần phải tiến hành xử lý các số liệu thực nghiệm Phương pháp xử lý số liệuđược sử dụng là phương pháp phân tích hồi qui

Đối tượng trong công nghệ hóa học phụ thuộc vào các yếu tố công nghệ có thể điềuchỉnh như nồng độ, áp suất, nhiệt độ, độ pH,… và các yếu tố của biến ngẫu nhiên khôngđiều khiển được Hàm mục tiêu của đối tượng là hiệu suất, chất lượng sản phẩm, chi phísản xuất,… Để tìm mối quan hệ giữa hàm mục tiêu y và các yếu tố đầu vào xi bằng thựcnghiệm, chúng ta cho thay đổi tác động các biến đầu vào xi (đại lượng có thể đo và điềukhiển được) và đo hàm đáp ứng đầu ra y (đại lượng đo được nhưng không điều khiển được)theo mô hình thực nghiệm như hình 6.1

xi – biến đầu vào (1 ≤ i ≤ k)

y – thông số đầu ra (biến bị điều khiển)

ξ - biến ngẫu nhiên không điều khiển được

Hình 6.1 Mô hình nghiên cứu thực nghiệm các đối tượng công nghệ.

Ta cần thiết lập quan hệ: y = f(x1, x2,…,xk) + ξ (6.1)

Khi giả thiết biến ngẫu nhiên có phương sai D(ξ) = σ2 và có kỳ vọng toán học E(ξ) = 0 thì đạilượng ngẫu nhiên này tuân theo một luật phân bố nào đó (như phân bố chuẩn) dạng:

ξ = N(0, σ2) (6.3)Nếu loại trừ được ảnh hưởng của nhiễu (ξ = 0) thì ta thu được các dạng mô hình thống kênhư sau:

- Nếu mô hình thống kê với các biến đầu vào chứa yếu tố thời gian thì gọi là mô hìnhđộng, không chứa yếu tố thời gian là mô hình tĩnh

- Nếu mô hình chỉ áp dụng cho một miền giới hạn nhất định của biến (điều kiện ràngbuộc của biến) gọi là mô hình cục bộ (địa phương)

Với mô hình địa phương, triển khai hàm f(x1, x2,…,xk) dưới dạng chuỗi Taylor:

Với 1 ≤ i ≤ j ≤ kCác hệ số β0, βj, βjj,… được xác định từ số liệu thực nghiệm thì phương trình thu đượcgọi là phương trình hồi qui thực nghiệm của hệ thống, khi đó:

Phương trình hồi qui thực nghiệm (6.5) phụ thuộc vào bộ n thí nghiệm và phươngpháp xứ lý số liệu thực nghiệm

Quá trình tiến hành thí nghiệm sao cho số lần thí nghiệm ít nhất, tính toán đơn giản vàthu được kết quả chính xác nhưng vẫn khảo sát được ảnh hưởng đồng thời của nhiều thông

số tác động đến đối tượng công nghệ để phản ánh chính xác bản chất của quá trình và giảmchi phí tiến hành thí nghiệm Do đó, cần tiến hành thí nghiệm theo kế hoạch định trước saocho có tính trực giao, nghĩa là bố trí thực nghiệm theo ma trận biến đầu vào có dạng: (matrận n dòng, (k + 1) cột)

(6.6)

Ma trận các hệ số hồi qui tuyến tính có dạng: (6.8)

Ma trận chuyển vị của ma trận X có dạng: (ma trận (k + 1) dòng, n cột)

(6.9)Nếu các kết quả thực nghiệm được biểu diễn theo phương trình hồi qui tuyến tínhbằng phương pháp bình phương cực tiểu thì ta có dạng ma trận của hệ phương trình chuẩn:

(6.10)

Với (XTX)-1 là ma trận nghịch của ma trận XTX khi định thức của ma trận XTX khác không hay

ma trận XTX không suy biến

Ma trận trực giao X có những tính chất sau:

- Tính trực giao: tích vô hướng của hai vectơ cột bất kỳ của X bằng 0

- Tính chất đối xứng: tổng các phần tử trong một cột bất kỳ đều bằng 0

Áp dụng tính chất của ma trân trực giao, chúng ta có ma trận XTX trở thành ma trậnđường chéo:

Khi đó, ma trận nghịch đảo (XTX)-1 trong qui hoạch trực giao có dạng:

Với:

Ta tính ma trận XTY:

Khi đó ma trận các hệ số hồi qui được tính theo công thức (6.11)

Trường hợp tổng quát, nếu các số liệu thực nghiệm được biểu diễn bằng đa thức bậc

α thì số hệ số hồi qui trong phương trình hồi qui bằng Sử dụng một số phép biến đổi, chúng

ta biến đổi phương trình hồi qui đa thức bậc α về phương trình hồi qui tuyến tính bằng cáchthay các số hạng phi tuyến của thức bằng các số hạng tuyến tính Phương trình này đượcgọi là phương trình tuyến tính hóa theo thông số Nếu bậc của đa thức chưa biết trước thìviệc tính toán thường phải tiến hành vài lần, tăng dần bậc của đa thức đến khi nào phươngtrình hồi qui nhận được tương thích với thực nghiệm Mỗi lần tăng bậc đa thức, toàn bộ việctính toán liên quan đến phân tích hồi qui đều phải tính toán lại Sự thay đổi bậc của đa thứchoặc loại bỏ một phần các số hạng trong phương trình hồi qui dẫn đến thay đổi các giá trịtính toán các hệ số còn lại trong đa thức Khi đó xuất hiện sự không xác định trong việc ướclượng các hệ số hồi qui, gây khó khăn cho việc giải thích ảnh hưởng của các biến độc lậpvào đại lượng nghiên cứu

Để loại bỏ các khó khăn nói trên, chúng ta tiến hành thực nghiệm theo qui hoạch trựcgiao và ma trận thực nghiệm trực giao phải thỏa mãn các điều kiện sau:

- Công thức tính các hệ số phương trình hồi qui bj

- Hệ số bj là ước lượng trúng của các hệ số βj

- Phương trình hồi qui là ước lượng trúng của y.

6.1.1 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần 2 k

Qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần là thực nghiệm mà mọi tổ hợp các mức của cácyếu tố đều được thực hiện để nghiên cứu Bố trí thực nghiệm yếu tố toàn phần theo ma trậntrực giao và phân bố đối xứng các biến độc lập với tâm đối xứng Ma trận X thỏa mãn điềukiện trực giao và có thêm tính chất chuẩn hóa:

Tổng bình phương các phần tử của một cột bằng số thí nghiệm

Với k là các yếu tố, n là số mức thì số thí nghiệm N = nk

Nếu các thí nghiệm chỉ thực hiện ở hai mức, thường là hai giá trị biến của mỗi yếu tốkhảo sát thì N = 2k Giả sử khảo sát biến Zj với hai giá trị biên là aj < bj (1 ≤ j ≤ k), chúng tathực hiện một số phép biến đổi sau:

Khi đó phương trình hồi qui có dạng:

Trong trường hợp phương trình hồi qui được mô tả dưới dạng:

Các hệ số bij được xác định theo công thức sau:

Với số lượng hệ số bij được xác định theo công thức:

6.1.2 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần 2 k - p

Khi số biến k trong mô hình qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần 2k càng lớn thìlàm cho số thí nghiệm N càng lớn Điều này làm cho qui hoạch trở nên cồng kềnh, chi phílớn, kém hiệu quả Để khắc phục điều đó, người ta dùng qui hoạch thực nghiệm yếu tố từngphần N = 2k – p, với p là giá trị đặc trưng cho độ từng phần, là số hiệu ứng tương tác đượcthay bằng số hiệu ứng tuyến tính.

Thực chất đây là qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần bớt đi p cột của k thông số độclập, số thí nghiệm giảm đi 2p lần nhưng vẫn đảm bảo tính trực giao của ma trận X

Quá trình qui hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần theo các bước sau:

Bước 1: chọn ra r thông số chính ảnh hưởng đến hàm mục tiêu trong k thông số đầuvào: r = k – p Lập qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần 2r với số thí nghiệm là N = 2r Tuynhiên, khi lựa chọn giá trị p phải đảm bảo điều kiện sau:

k + 1 ≤ N = 2r = 2k-p ≤ 2k (6.24)

Bước 2: tiến hành thiết lập các biểu thức tương quan sinh biểu diễn các mối tươngquan giữa mỗi thông số p với một tích các thông số trong r thông số chính Các biểu thứctương quan sinh có thể là tích của các thông số trong r thông số chính mang dấu dương hayâm

Bước 3: kiểm tra tính tiện lợi của mô hình đã được lập: nếu ma trận X không có cáccột giống nhau hoặc ngược dấu nhau thì vẫn đảm bảo tính trực giao, qui hoạch thực nghiệmđạt yêu cầu

Bước 4: tiến hành xác định và kiểm tra ý nghĩa của các hệ số hồi qui bj, kiểm tra sựtương thích của phương trình hồi qui thu được

6.1.3 Qui hoạch trực giao cấp 2

Qui hoạch trực giao cấp 2 là qui hoạch thực nghiệm và xử lý số liệu thực nghiệm theophương pháp xây dựng mô hình hồi qui cấp 2 với các điều kiện tương tự như qui hoạchthực nghiệm yếu tố toàn phần (qui hoạch trực giao cấp 1)

Phương trình hồi qui bậc 2 đầy đủ có dạng:

Xây dựng ma trận trực giao X bao gồm ba loại thí nghiệm:

- Phần cơ sở gồm n = 2k thí nghiệm theo qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần

- Phần điểm “*” gồm nk = 2k điểm nằm trên các trục tọa độ của không gian k yếu tố vàcách tâm phương án khoảng cách α > 0

- Phần tâm gồm n0 (n0 ≥ 1) thí nghiệm ở tâm phương án dùng để xác định phương saitái hiện trong công thức kiểm tra ý nghĩa của các hệ số hồi qui

Tổng số thí nghiệm trong phương án là N = 2k + 2k + n0

Tuy nhiên, những phương án cấu trúc có tâm không trực giao do > 0 nên:

Vì vậy, khi xây dựng ma trận trực giao X cần chọn α sao cho trực giao hóa công thức(6.26), (6.27)

Giả sử xét qui hoạch thực nghiệm k = 2 yếu tố và n0 = 1 thì ma trận X có dạng:

(6.28)Đặt (i = 1, 2) thì ta có:

(6.29)

Sử dụng các điều kiện trực giao của ma trận X:

Tích vô hướng của vectơ cột 1 và cột 6 bằng 0, tức là ta có đẳng thức sau:

6.1.4 Qui hoạch thực nghiệm để tìm cực trị

Các phương trình hồi qui thu được là biểu diễn gần đúng đối tượng công nghệ mà tađang khảo sát Vấn đề đặt ra là tìm , ,…, sao cho:

(6.32)Khi hàm hồi qui đạt đủ độ chính xác cần thiết, ta dùng qui hoạch toán học để tìm cực trị:

- Nếu hàm tuyến tính ta dùng phương pháp qui hoạch tuyến tính;

- Nếu hàm phi tuyến ta áp dụng phương pháp qui hoạch phi tuyến

Nếu độ chính xác chưa đạt yêu cầu, kết quả còn thô, kém tin cậy thì trước khi sử dụngphương pháp qui hoạch toán học cần thu hẹp vùng chứa điểm cực trị, tức là có thể tìm vùngcực trị bẳng qui hoạch thực nghiệm

Phương pháp qui hoạch thục nghiệm để tìm cực trị được chia làm hai giai đoạn:

- Tìm vùng chứa điểm cực trị bằng qui hoạch trực giao cấp 1.

- Tìm phương trình hồi qui cấp 2 bằng qui hoạch trực giao cấp 2 và cuối cùng là dùngphương pháp qui hoạch phi tuyến để tìm cực trị: qui hoạch lồi hoặc qui hoạch toànphương

Vectơ gradient của hàm y = f(x) tại x* (ký hiệu là grad[f(x*)]) là vectơ có chiều biểu thị sựbiến thiên nhanh nhất của hàm y tại x*, giá trị của grad[f(x*)] thay đổi từ điểm này sang điểmkhác trong không gian yếu tố Với mô hình tuyến tính k yếu tố:

(6.33)Với: + : đạo hàm riêng của hàm f(x) theo biến xj tại x*

+ ij (j = 1, 2, …,k) : vectơ đơn vị theo các trục tọa độ

Xét một miền con D0 có tâm Z0 ứng với x0, giả sử phương trình hồi qui có dạng:

Kiểm định sự tương hợp của , nếu tương hợp thì có nghĩa là mặt cong được xấp xỉbằng mặt phẳng thì D0 không chứa điểm cực trị Chuyển sang vùng D1 theo hướng gradient[f(x0)] cho đến khi y không tăng được nữa Lặp lại quá trình này đến khi hàm không tươnghợp thì đã chuyển sang vùng chứa điểm cực trị, cần chuyển sang bước 2

Theo thuật toán leo Box – Wilson như sau:

Tính các thành phần của gradient theo triển khai Taylor:

Nếu ta lấy gần đúng đến số hạng bậc nhất và đặt:

Lượng mà hàm f(x) đã tăng là:

Bước tiến nhanh nhất tương ứng với số hạng làm (6.37) tăng nhanh nhất j* là:

j = (6.38)

Độ dài các bước hj của các yếu tố được tính theo j*:

Chú ý: độ dài các bước không nên quá lớn hoặc quá nhỏ Chuyển động theo grad phảibắt đầu từ điểm 0 Mức cơ sở của mỗi yếu tố và ngừng lại nếu tìm được điểm tối ưu hoặcnếu những hạn chế đặt vào các yếu tố làm cho chuyển động tiếp tục theo grad không hợp lýnữa

Cách tiến hành: gọi Z0 là tâm miền D0 trong tọa độ biến thật ký hiệu là M0 Điểm M1 cócác tọa độ xác định theo: Tại đây ta làm thí nghiệm xác định được y2 Lặp lại ta sẽ thuđược dãy: y0, y1, …, yn.

Khi thực hiện: y0 < y1  tiếp tục làm y2

y2 < y3  tiếp tục làm y3

y3 < y4  tiếp tục làm y4

yp-1 > yp  mặt cong bắt đầu

Dừng lại ở Mp-1 với tâm mới Mp-1 = Zp-1

Tại Xp-1 lại tiếp tục quá trình xấp xỉ bằng mặt phẳng Kiểm định sự phù hợp của môhình bậc nhất, nếu thỏa mãn thì tiếp tục tìm độ dài bước làm thí nghiệm Tiến hành cho đếnkhi mô hình bậc nhất không phù hợp thì đó là vùng cực trị

6.2 Xác định các hệ số của phương trình hồi qui

Chọn phương án thí nghiệm với k biến độc lập, thực hiện n thí nghiệm, không có thínghiệm lập lại và bố trí thực nghiệm sao cho ma trận X có tính trực giao

6.2.1 Tính hệ số hồi qui b j của phương trình hồi qui tuyến tính

Áp dụng công thức (6.11), (6.15), (6.16), (6.17) ta có:

Suy ra:

6.2.2 Tính hệ số hồi qui b j của phương trình hồi qui bậc 2

Tiến hành qui hoạch thực nghiệm theo mô hình qui hoạch trực giao cấp 2 thì các hệ sốhồi qui được xác định theo công thức (6.11) sau khi lập được ma trận trực giao X, hay xácđịnh theo các công thức sau:

Khi đó phương sai được xác định theo công thức:

6.3 Kiểm tra sự tương hợp của phương trình hồi qui

Sau khi tính toán được các hệ số của phương trình hồi qui, chúng ta cần tiến hànhkiểm định sự tương hợp của phương trình hồi qui với số liệu thực nghiệm Quá trình kiểmđịnh được tiến hành theo hai bước sau:

Bước 1: kiểm tra sự có nghĩa của các hệ số phương trình hồi qui bằng tiêu chuẩn thống kê

(chuẩn số) Student tα (với α: mức ý nghĩa) Bản chất của phương pháp là kiểm tra các hệ số

bj = 0 hay không, hoặc kiểm định xem thực chất có bao nhiêu yếu tố ảnh hưởng đến hàmmục tiêu

sbj: độ lệch quân phương của hệ số thứ i

Phươn sai được xác định theo công thức:

Với phương sai tái hiện được tính theo số thí nghiệm lặp ở tâm n0 theo công thức:

Trong đó:

- N: số thí nghiệm

- n0: số thí nghiệm lặp ở tâm

- fth = n0 – 1 : bậc tự do tái hiện

Thông thường chọn mức ý nghĩa α = 0,05 Tra theo chuẩn Student ta có được giá trị tα(fth)

- Nếu tbi > tα(fth) thì hệ số bi được giữ lại trong phương trình hồi qui, ảnh hưởng của yếu

tố xi có ý nghĩa đối với việc thay đổi thông số tối ưu y

- Ngược lại, nếu tbi < tα(fth) thì hệ số bi bị loại khỏi phương trình hồi qui

Bước 2: kiểm tra sự tương thích của phương trình hồi qui theo tiêu chuẩn Fisher:

Phươn sai được xác định theo công thức:

Trong đó:

- L: số hệ số có ý nghĩa trong phương trình hồi qui

Tra theo chuẩn Fisher ta có được giá trị Fα(α, ftt, fth), với ftt = N – L , fth = n0 – 1

- Nếu F < Fα thì mô hình thống kê phù hợp với số liệu thực nghiệm

- Nếu F ≥ Fα thì mô hình thống kê không phù hợp với số liệu thực nghiệm

6.4 Ứng dụng Excel để tối ưu hóa thực nghiệm

Để giải bài toán tối ưu hóa thực nghiệm chúng ta cần tiến hành các bước sau:

- Bước 1: chọn phương án tiến hành thí nghiệm

- Bước 2: lập ma trận thực nghiệm X

- Bước 3: tiến hành thí nghiệm để xác định giá trị biến đầu ra Y.

- Bước 4: xác định các hệ số trong phương trình hồi qui

- Bước 5: đánh giá phương trình hồi qui thu được

- Bước 6: xác định chế độ thực nghiệm tối ưu

Mỗi bước có thể thực hiện phép lặp nếu chưa đạt yêu cầu về mục tiêu của công nghệ,sai số…Các bước 1, 2 và 4, 5 đã được trình bày ở phần trên về phương pháp thực hiện.Bước 3 được thực hiện ở phòng thí nghiệm, phụ thuộc vào trang thiết bị, dụng cụ thí nghiệm

và tay nghề của người làm thí nghiệm Bước 6 được tối ưu hóa theo mô hình tìm ra

Khảo sát phương pháp thực hiện bước 4 và 5 bằng phần mềm Microsoft Excel để sửdụng trong tính toán bằng các hàm:

- Nhân hai ma trận: MMULT(array1, array2)

- Tính định thức của ma trận: MDETERM(array)

- Tính ma trận nghịch đảo: MINVERSE(array)

- Tính ma trận chuyển vị: TRANPOSE(array)

- Tính giá trị trung bình các số hạng: AVERAGE(number1, number2,…)

- Tính tổng bình phương các số hạng : SUMSQ(number1, number2,…)

- Tính tổng bình phương độ lệch : SUMXMY2(array_x, array_y)

- Tính độ lệch chuẩn của mẫu : STDEV(number1, number2,…)

- Tra chuẩn số Student: TINV(p1, p2)

- Tra chuẩn số Fisher: FINV(α, p1, p2)

Lưu ý: để thực hiện các phép toán ma trận trong Excel, chúng ta phải chọn các phần

tử của ma trận cần tính (quét khối kích thước ma trận) và ấn giữ đồng thời ba phím Ctrl +Shift + Enter

Ví dụ 1: Tiến hành qui hoạch thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của 3 yếu tố Z1, Z2, Z3 lênhàm mục tiêu y với số liệu thu được như sau:

Hãy tìm mối quan hệ giữa y và các biến Z1, Z2, Z3 theo mô hình trực giao cấp 1?

- Giá trị mức thấp, mức cao của các biến thực lấy từ số liệu đã cho

- Z j0 : mức cơ sở, là trung bình cộng của mức thấp và mức cao nên ta nhập công thức ởcell D2 = AVERAGE(B2:C2)

Sau đó dùng draf kéo chuột xuống các hạng trong cột Zj0

Khoảng biến thiên ∆Z j được tính theo công thức trong cell E2 = (C2-B2)/2

Sau đó dùng draf kéo chuột xuống các hạng trong cột ∆Zj

Bước 2: lập bảng tính chuyển đổi các biến thực sang biến mã hóa: