Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Quang Minh Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành nhiệt tình giảng dạy cho kiến thức quý giá didactic toán Tôi xin chân thành cảm ơn tất bạn khóa; lãnh đạo đồng nghiệp Trường CĐSP Nha Trang nơi công tác; lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu thầy cô tổ Toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân yêu gia đình cho niềm tin động lực để học tập công tác tốt LÊ QUANG MINH MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong lịch sử phát triển toán học, hình học vectơ đời sau hình học giải tích (HHGT) Sự đời phôi thai từ ý tưởng Leibniz xây dựng hệ thống tính toán nội hình học, cho vừa khai thác công cụ đại số phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng yếu tố trực quan phương pháp tổng hợp nghiên cứu hình học Tuy đời sau, hình học vectơ HHGT hình thành theo cách thức hoàn toàn độc lập với Nhưng từ xuất vectơ việc xây dựng HHGT trở nên dễ dàng Có lẽ mà ngày hầu hết giáo trình môn toán, từ phổ thông đến đại học, khai thác vectơ để trình bày HHGT Đặc biệt, trước việc lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng giải theo cách thức phức tạp không trọn vẹn, đây, với xuất công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản nhiều Về vấn đề này, ta biết tồn cách tiếp cận khác, đặt phạm vi đại số tuyến tính Tuy nhiên, bậc phổ thông tiếp cận theo cách học sinh chưa nghiên cứu ngành toán học Trong trường hợp đó, đường thẳng, mặt phẳng tiếp cận nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệu cách tiếp cận khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh hưởng đến việc dạy học giáo viên học sinh? Một cách cụ thể hơn, tự đặt cho hai câu hỏi : - Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng vấn đề liên quan đến chúng tiếp cận ? - Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trường phổ thông, nội dung xuất sao? Công cụ vectơ khai thác việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng đến việc học HHGT học sinh? Đề tài Quan điểm vectơ dạy học hình học giải tích trường phổ thông mà theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi Về đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán áp dụng bậc trung học phổ thông (THPT), thấy có thay đổi quan trọng : trước kia, kiến thức vectơ không gian dạy lớp 12, sau quan hệ vuông góc (giữa đường thẳng, mặt phẳng) nghiên cứu lớp 11 phương pháp tổng hợp, đây, chương trình quy định sử dụng vectơ từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ Ghi nhận khiến quan tâm đến vai trò công cụ vectơ dạy học hình học THPT theo chương trình hành Nó dẫn đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không giới hạn nội dung HHGT dạy lớp 10 lớp 12, xem xét vai trò vectơ việc nghiên cứu quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng Ở đây, cần giải thích rõ phần HHGT dạy lớp 12 nội dung xem xét, theo chương trình cũ Vậy ? Phải câu trả lời nằm thích ghi sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc không gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn gàng hơn” Chúng cố gắng làm rõ câu trả lời luận văn Trong luận văn dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ công cụ để thiết lập kiến thức hình học liên quan đến đường thẳng mặt phẳng vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến Trong khuôn khổ luận văn, giới hạn xem xét hai vấn đề : - Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng xét vị trí tương đối chúng - Nghiên cứu quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng không gian Cũng điều kiện hạn chế thời gian, nghiên cứu việc dạy học hình học theo chương trình nâng cao Điểm qua công trình có liên quan Liên quan trực tiếp đến đề tài chúng tôi, tiếng việt, tìm thấy luận văn thạc sĩ Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán hoạt động công cụ vectơ hình học lớp 10 Luận văn ứng dụng công cụ vectơ việc xây dựng kiến thức giải toán hình học, cho thấy điểm giống khác cách trình bày SGK năm 1990 năm 2000 Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không khắc sâu học sinh phương pháp tổng hợp Công cụ vectơ sẵn sàng sử dụng số học sinh Khi thực bước giải toán công cụ vectơ, học sinh gặp sai lầm biến đổi biểu thức vectơ khó khăn việc chọn phép biến đổi thích hợp để đạt kết Luận văn nghiên cứu vectơ chương trình SGK hình học lớp 10 từ năm 2000 trở trước Ở đó, HHGT việc xây dựng quan hệ vuông góc không gian hoàn toàn không sử công cụ vectơ Vì vậy, tiếp tục nghiên cứu vai trò công cụ vectơ việc xây dựng kiến thức giải toán HHGT với quan hệ vuông góc không gian Khung lý thuyết tham chiếu Chúng đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết Didactic toán Cụ thể, sử dụng thuyết nhân học với khái niệm sau: 3.1 Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic) Trong nhà trường phổ thông, môn học, người ta dạy cho học sinh toàn tri thức có liên quan mà nhân loại tích luỹ suốt thời gian tồn địa cầu Hơn nữa, để tri thức môn trở nên dạy được, cần phải chọn lựa, xếp tái cấu trúc lại theo liên kết lôgic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác định Chuyển đổi didactic, nói cách đơn giản, trình biến đổi đối tượng tri thức bác học thành đối tượng tri thức dạy học Việc quy định đối tượng cần dạy thể thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi, Bộ Giáo dục Đào tạo, tiểu ban khoa học giáo dục tác giả SGK Khái niệm vận dụng nhằm xác định khoảng cách tri thức khoa học tri thức cần giảng dạy việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phảng Nó giúp nghiên cứu tính hợp pháp tri thức cần giảng dạy giải thích số ràng buộc thể chế dạy học phổ thông kiến thức nêu 3.2 Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học giúp làm rõ điều kiện ràng buộc cho phép tồn tiến triển đối tượng vectơ, đường thẳng mặt phẳng mối liên hệ chúng, Chevallard nói: “… Một đối tượng tri thức O không tồn độc lập thể chế mà có mối quan hệ trương hỗ thứ bậc với đối tượng khác thể chế Những đối tượng đặt điều kiện ràng buộc cho tồn thể chế Nói cách khác, đối tượng hợp thành điều kiện sinh thái cho sống đối tượng tri thức O thể chế xét.” 3.3 Quan hệ thể chế Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trò gì, tồn sao,… I? 3.4 Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao? Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt R(I,O) 3.5 Tổ chức toán học Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T,  ,  ,  ], T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  lí thuyết giải thích cho công nghệ  Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (TCTH) Việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I,O) thể chế I tri thức O, từ hiểu quan hệ mà cá nhân X trì tri thức O Nói cách khác, giúp bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi Q’2 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2 cụ thể hóa thành câu hỏi sau: Q1 Từ cách tiếp cận sinh thái học, thể chế dạy học hình học phổ thông, vectơ đưa vào thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ với vấn đề khác chương trình, đặc biệt với nội dung đường thẳng mặt phẳng? Q2 Phương trình đường thẳng, mặt phẳng thiết lập SGK hình học nâng cao lớp 10 lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic thực việc thiết lập đó? Đâu đặc trưng quan hệ thể chế công cụ vectơ nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng? Q3 SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc không gian vào nào? Công cụ vectơ khai thác việc thiết lập kiến thức thuộc phạm vi chương trình quan hệ vuông góc? Để phân tích chương trình, đặc biệt SGK, việc nghiên cứu khoa học luận đối tượng đường thẳng, mặt phẳng cần thiết Thế nhưng, điều kiện nghiên cứu tri thức luận đầy đủ thực thông qua phân tích lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý nảy sinh tri thức, toán mà cho phép giải quyết, vấn đề, quan niệm gắn liền với nó, …) Vì thế, nghiên cứu đặc trưng khoa học luận tri thức mà quan tâm qua việc phân tích giáo trình đại học Cách làm thường thừa nhận nhiều công trình didactic toán, với giả thuyết tri thức trình bày bậc đại học thường gần với tri thức bác học Chúng đặt cho câu hỏi cần phải trả lời trước xem xét câu hỏi Q1, Q2, Q3 Q0 Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng tiến hành bậc đại học? Quan điểm vectơ thể việc xây dựng đó? Câu hỏi cụ thể hóa câu hỏi Q’1 mà đặt từ đầu bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu luận văn Chúng phân tích giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0 Phân tích trình bày chương luận văn Qua phân tích đó, làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng vị trí tương đối chúng Chúng cố gắng đánh giá vai trò vectơ việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ đặc trưng đối tượng vectơ với tư cách công cụ HHGT Phân tích thực từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactique) Ngoài ra, để làm bật thấy rõ vị trí vectơ việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, điểm lại vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng, cụ thể cách xây dựng Fermat Chương (chương 2) dành cho nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2, Q3 Trong chương phân tích chương trình SGK Toán phổ thông Việt Nam để thấy vai trò công cụ vectơ đặc trưng nghiên cứu phương trình mối quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng Phân tích SGK lớp 10 lớp 12 ban nâng cao hành để làm rõ chuyển hóa sư phạm thực việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hành để nghiên cứu thêm vai trò vectơ việc thiết lập kiến thức giải tập quan hệ vuông góc không gian Để thấy rõ đặc trưng quan hệ thể chế mà quan tâm, đặt phân tích chương trình, SGK so sánh với thể chế khác Giả thuyết công việc thừa nhận : việc so sánh thể chế với thể chế cho phép làm rõ đặc trưng, điều kiện, ràng buộc mối quan hệ hình thành thể chế đối tượng tri thức xem xét Thể chế mà chọn để đối chiếu thể chế dạy học Hình học THPT Mỹ theo chương trình hành Như thế, trước phân tích SGK Việt nam, nghiên cứu hai SGK Mỹ Nghiên cứu trình bày chương giúp đưa giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q4, phần câu hỏi Q’2 mà đặt lúc đầu Q4 Cách trình bày SGK có ảnh hưởng đến việc học học sinh phương trình đường thẳng, mặt phẳng quan hệ vuông góc không gian? Giả thuyết cần phải kiểm chứng nghiên cứu thực nghiệm Chương cuối (chương 3) luận văn dành cho việc trình bày kết đạt từ nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu cấu trúc luận văn tóm tắt sơ đồ NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ (tham khảo) Quan điểm so sánh NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Giả thuyết ảnh hưởng thể chế NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Chương PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN 1.1 Vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng 1.1.1 Apollonius de Pergue người đưa “phương trình” đường thẳng hình thức “tu từ” không tượng trưng Ông cho tọa độ x y điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, x tăng số có tỉ lệ cho trước y, y = a(x + b), quỹ tích điểm M nằm đường thẳng 1.1.2 Fermat người đưa ra, hình thức tượng trưng, phương trình biểu diễn đường thẳng mặt phẳng Ông xuất phát từ việc cho trước phương trình xác định quỹ tích điểm liên kết với Bằng việc sử dụng đồng dạng tam giác Fermat : Nếu phương trình ax = by (a b số), quỹ tích đường thẳng phương trình c2 – ax = b, quỹ tích đường thẳng Chứng minh Fermat sau : I y N x Z M Hình Cho NZM đường thẳng, N điểm cố định Cho NZ đại lượng bất định x ZI đại lượng bất định khác y Nếu ax = by, điểm I vạch đường thẳng xác định Thật vậy, ta có b x x = , cho, góc Z Tam giác NIZ y a y xác định Vì điểm N vị trí đường thẳng NZ vị trí đường thẳng NI xác định Tiếp theo, Fermat nói đưa phương trình ax = by dạng y = ax + b mà a b không âm – tọa độ âm Fermat không muốn nói tới Để chứng minh điều đó, ông lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c2 dạng ad nhận phương trình b dx = Bằng cách đặt MN = d, d – x MZ, từ đó, ông a y nhận giá trị cố định cho tỉ lệ MZ ông kết luận chúng, chứng minh ZT đầu tiên, điểm I nằm đường thẳng cố định Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá tìm thấy tất quỹ tích đường thẳng mà mệnh đề Apollonius trường hợp Nhưng, sau chứng minh phương trình xy = a2 biểu diễn hyperbol tổng quát kết với tất phương trình chứa số hạng x, số hạng y, số hạng xy số, ông đến phương trình đường thẳng Fermat khẳng định quỹ tích tất phương trình tạo thành số hạng x2, y2 xy, số hạng số, đường thẳng Để chứng minh kết này, ông lấy trường hợp phương trình dạng x2 + xy = ay2 dẫn đến sau : Nếu tỉ số NZ2 + NZ.ZI ZI chứng minh cho vẽ đường song song OR nào, dễ dàng NO + NO.OR OR có giá trị với tỉ lệ cho trước Điểm I đường thẳng có vị trí xác định Bây nói điều mà Fermat chứng minh, tất phần tử đường thẳng NI xác định phương trình I R N O Z Hình Theo đánh giá nhà nghiên cứu, Fermat, trình liên kết phương trình đường thẳng tổng quát phương trình quỹ tích gặp hai khó khăn sau : Thứ nhất, gắn liền với tượng trưng hóa sử dụng, việc cách viết phương trình quỹ tích – đường thẳng – hay tất phương trình bậc – bậc hai chẳng hạn Điều dẫn đến chữ biểu diễn số dương, cách viết tính đến đồng thời hai phương trình ax – c = by ax + c = by +c –c thứ Khó khăn thứ hai, lập luận hình học hình cho phép giải trường hợp đặc biệt Sự lập luận tổng quát cho tất trường hợp hình vẽ Fermat giải lần trường hợp đặc biệt kết luận làm tương tự cho trường hợp khác Tuy nhiên, thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ Cũng theo nhà nghiên cứu, trường hợp Fermat, thiếu vắng trục cho trước làm phức tạp nhiều cho toán… Fermat xuất phát từ phương trình, xem xét điểm mà ông giả sử xác định phương trình – điểm xem xác định tiên nghiệm phương trình cho trước trục cho trước phương trình xem xét có tất nghiệm – tất điểm nằm quỹ tích xác định phương trình Để xác định quỹ tích điểm liên kết với phương trình, không cần phải chứng minh tất điểm đường cong xác định phương trình, Fermat làm mà phải chứng minh điểm xác định phương trình Ở đây, đụng đến quan niệm khái niệm số Fermat – số âm không xem xét, ông quan tâm đến đường cong nằm góc phần tư thứ (x  y  0) – việc xem xét lập luận tỉ lệ hình cho phép chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua đường thẳng NZ xác định phương trình với NI Nhưng, trình bày Fermat lại khác Trong đó, ông xuất phát từ việc cho trước phương trình ông xác định quỹ tích hình học tương ứng Điều dẫn ông đến chứng minh phương trình không cần thiết viết theo cách, rút lại thành đường hay đường khác, nghĩa người ta từ đường sang đường “sự thay đổi biến” – thay đổi tọa độ Từ phương trình xác định quỹ tích trường hợp rút cách viết khác phương trình để dạng chúng đơn giản (chứa số hạng có thể) Thật vậy, chẳng hạn phương trình c + xy = ax + by rút lại thành dạng xy = d phương trình c2 – 2ax – x2 = y2 + 2by rút lại thành dạng d2 – x2 = y Nhưng biến đổi – thay đổi tọa độ – cho phép so sánh phương trình có bậc, không cho phép thay đổi bậc phương trình Đó lí Fermat đưa phương trình c – ax = by phương trình ax = by không liên hệ với phương trình mà ông cho chúng biểu diễn đường thẳng x2 = y2 hay x2 + axy = by2 1.1.3 Với phát triển phương pháp giải tích cuối kỷ XVII đầu kỷ XVIII khó khăn mà Fermat gặp phải giảm bớt Sự áp dụng hệ trục tọa độ không phụ thuộc vào hình vẽ nghiên cứu việc xem xét tọa độ âm cho phép đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình xác định phương trình đường cong cho trước Vì vậy, nói đến phương trình phương trình đường Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đề cập tác phẩm Lagrange xuất năm 1770 Glaeser thêm hai SGK xuất năm đó, hầu tước L’Hospital Marie-Gaetana Agnesi, tác giả đưa ba phương trình đường thẳng: y = ax + b, y = – ax + b, y = ax – b Phương trình y = – ax – b không đề cập đường thẳng liên kết với không qua góc phần từ thứ Cuối kỷ XVIII, phương pháp xử lí giải tích đường cong mặt phẳng hay không gian phát triển đầy đủ để trình bày nhiều SGK chương trình phổ thông 1.1.4 Phương pháp xử lí giải tích khắc phục khó khăn cách xây dựng phương trình đường thẳng hình học Fermat yếu điểm khác phương pháp tổng hợp “Tuy nhiên, chuyển toán hình học thành toán đại số, với phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, mà không tận dụng yếu tố trực giác trình tìm tòi lời giải toán…” Từ đó, “ý tưởng xây dựng phương pháp để nghiên cứu hình học cho sử dụng phương tiện đại số lại phạm vi hình học” (Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học Hình học) Leibniz khởi xướng Khuynh hướng dẫn đến nhà toán học xây dựng nên lý thuyết không gian vectơ vào kỷ XIX Cho đến lúc này, tồn ba phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương pháp giải tích phương pháp vectơ Hai phương pháp sau nhằm mục đích đại số hóa hình học, tận dụng sức mạnh đại số việc giải vấn đề hình học Nhưng chất chúng không giống Trong lịch sử, lý thuyết vectơ HHGT xây dựng độc lập với Tuy nhiên, đời lý thuyết vectơ làm cho việc nghiên cứu HHGT trở nên dễ dàng hơn, vì, tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) phân tích, cách đặt vectơ vào hệ tọa độ, người ta tạo liên thông hai phương pháp vectơ giải tích Chính mà giáo trình toán ngày xây dựng HHGT sở không gian vectơ Dưới chọn giáo trình đại học để phân tích chi tiết nhận định Đó giáo trình Hình học cao cấp Nguyễn Mộng Hy, NXBGD, 2007 Phân tích nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q0 Cụ thể hơn, tìm hiểu vai trò vectơ việc : - xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng, - nghiên cứu quan hệ vuông góc vị trí tương đối chúng Hai phần chương dành cho việc phân tích vai trò vectơ hai nội dung 1.2 Về phương trình đường thẳng mặt phẳng 1.2.1 Đường thẳng, mặt phẳng không gian afin Đường thẳng, mặt phẳng m – phẳng đặc biệt Trong lý thuyết Hình học, phương trình tham số phương trình tổng quát m – phẳng tiếp cận từ không gian vectơ đại số tuyến tính Cho tập A khác rỗng mà phần tử gọi điểm, cho V không gian vectơ trường K cho ánh xạ f : A x A  V kí hiệu   f(M, N) = MN với điểm M, N thuộc A vectơ MN thuộc V Bộ ba (A, f, V) gọi không gian afin hai tiên đề sau thỏa mãn:    i) Với điểm M thuộc A vectơ u thuộc V có điểm N thuộc A cho MN = u    ii) Với ba điểm M, N, P thuộc A ta có MN + NP = MP Khi ta nói không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trường K gọi  tắt không gian afin A trường K Không gian vectơ liên kết V kí hiệu A , gọi không gian afin A (trang 5) Vì không gian afin xây dựng từ không gian vectơ nên khái niệm sau hình thành từ vectơ Chẳng hạn, hệ điểm độc lập gắn với hệ vectơ độc lập tuyến tính Mỗi mục tiêu afin liên kết với sở không gian vectơ theo đó, tọa độ điểm tương ứng với tọa độ vectơ phụ thuộc vào mục tiêu afin cho trước, tức phụ thuộc vào sở không gian vectơ liên kết Cũng mối liên hệ đó, phẳng không gian afin định nghĩa qua khái niệm không gian vectơ Phương phẳng không gian vectơ   Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A Gọi I điểm thuộc A α không    gian A Khi tập hợp điểm M thuộc A cho IM thuộc α gọi phẳng  afin α qua điểm I có phương α   α  M  A | IM  α    Nếu α có số chiều m α gọi phẳng m chiều (được gọi tắt phẳng m chiều) hay gọi m – phẳng Như vậy, – phẳng điểm, – phẳng đường thẳng, – phẳng mặt phẳng n – phẳng không gian afin n chiều An An Nếu dimA = n (n – 1) – phẳng gọi siêu phẳng không gian (trang 12) Trong cách xây dựng này, phương trình tham số m – phẳng xây dựng dựa vào tính chất không gian vectơ Một m – phẳng hoàn toàn xác định qua phương trình tham số (ma trận lập từ hệ số phương trình có hạng m) Trong An cho m – phẳng Am xác định m + điểm độc lập A0, A1,…, Am Giả sử mục tiêu {E0 ; Ei} cho trước, điểm Ai có tọa độ Ai = (ai1, ai2,…, ain)  với i = 0, 1, 2,…, m  X(x1, x2,…, xn)  Am  A X  V m      A X  t1 A A1  t A A   t m A A m Với t1, t2,…, tm thuộc trường K Ta có phương trình tham số m – phẳng Am dạng ma trận : [x] = [a0] + t1([a1] – [a0]) + t2([a2] – [a0]) + … + tm[am] – [a0]) Nếu viết dạng tạo độ ta có n phương trình sau: xi = a0i + t1(a1i – a0i) + t12a2i – a0i) + … + tm(ami – a0i) với i = 1, 2,…, n (trang 14) Điều kiện quan trọng cách xây dựng m – phẳng xác định m +  điểm A0, A1,…, Am độc lập, tức hệ m vectơ { A A i , i = 1,2,…, m} độc lập tuyến tính Phương trình tổng quát m – phẳng suy trực tiếp từ phương trình tham số cách khử dần tham số Mỗi m – phẳng không gian afin An biểu thị hệ phương trình tuyến tính với biến x1, x2,…, xn có hạng n – m Phương trình gọi phương trình tổng quát m – phẳng Ngược lại, hệ phương trình với biến x1, x2,…, xn có hạng n – m biểu thị m – phẳng hoàn toàn xác định An Với cách xây dựng định nghĩa ta giải thích phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng có phương trình tuyến tính bậc hai ẩn không gian có hai phương trình tuyến tính bậc ba ẩn Mỗi siêu phẳng An (ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng: a1x1 + a2x2 + … + anxn + b = hạng ma trận (a1, a2,…, an) 1, tức có  Trong không gian afin khái niệm vectơ pháp tuyến không xét đến quan hệ vuông góc Xét trường hợp n = n = Với n = 2, – phẳng đường thẳng siêu phẳng Khi đó, theo trình bày trên, phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng xây dựng sau: Giả sử đường thẳng d xác định hai điểm độc lập A, B có tọa độ A(a1; a2) B(b1; b2) Khi đó:   Điểm M(x; y)  d  AX  tAB , t   AB gọi phương đường thẳng d  x  a1  t (b1  a1 )  y  a2  t (b2  a2 ) Ta có phương trình tham số d :  Khử tham số t phương trình tham số ta có phương trình tổng quát d Với n = 3, – phẳng đường thẳng – phẳng mặt phẳng siêu phẳng Khi phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng xây dựng hoàn toàn trường hợp n = Chỉ khác phương trình tổng quát đường thẳng tạo từ hai phương trình tuyến tính bậc ba ẩn Như vậy, vectơ với vai trò công cụ việc thiết lập phương trình m – phẳng sử dụng theo tinh thần đại số tuyến tính 1.2.2 Đường thẳng mặt phẳng không gian Ơclit Không gian ơclit loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều Các định nghĩa có liên quan đến tích vô hướng hai vectơ :      1) a b = | a |.| b |cos( a,b )    2) | a |2 = a  | a | = 2 a     3) a  b  a b = (trang 87) Không gian ơclit ba chiều thông thường học chương trình toán bậc phổ thông kí hiệu E3 Trong không gian này, mặt phẳng ơclit không gian ơclit hai   chiều kí hiệu E2 Các không gian E3 E2 không gian vectơ tự ba   chiều hai chiều Tích vô hướng không gian E3 E2 định nghĩa sau:      a b = | a |.| b |cos( a,b ) Vì không gian ơclit loại không gian afin nên không gian ơclit phẳng có phương trình tính chất giống không gian afin Cái không gian ơclit gắn liền với tích vô hướng vuông góc phẳng Nhờ có quan hệ vuông góc mà phương trình phẳng lập theo cách khác, thông qua vectơ pháp tuyến Giáo trình tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày vấn đề ? Trong En giả sử mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng α có phương trình a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 =    Gọi α phương siêu phẳng α Ta xét vectơ n=  a1 , a , , a n  nhận thấy n trực giao với   α (…) Ta gọi n vectơ pháp tuyến siêu phẳng α (trang 98) Vectơ pháp tuyến định nghĩa trực tiếp từ phương trình siêu phẳng Từ định suy vectơ pháp tuyến vectơ trực giao với phương phẳng, tức trực giao với vectơ thuộc phương phẳng Từ suy ra, vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ vuông góc với vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ vuông góc với hai vectơ phương độc lập tuyến tính (không phương) mặt phẳng Với n = 2, tương ứng ta có phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng phương trình tổng quát mặt phẳng không gian sau:  a1x1 + a2x2 + a0 = vectơ pháp tuyến n   a1 ; a2   a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = vectơ pháp tuyến n   a1 ; a2 ; a3  Giáo trình không đưa cách viết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến – biết siêu phẳng có vectơ pháp tuyến qua điểm có tọa độ cho trước phương trình siêu phẳng viết ? Tuy nhiên vấn đề giải phần tập Chẳng hạn, tập 2.24 trang 139 với lời giải sách tập Hình học cao cấp tác giả trang 162: Trong E3 tìm điểm đối xứng điểm (1, 2, 3) a) (…) b) đường thẳng x1   x2    x3  Giải: b) Gọi  đường thẳng cho có phương trình: x1   x2  x3   1  Đường thẳng có vectơ phương a  (1,3, 1) Mặt phẳn R qua M(1, 2, 3) vuông góc với đường thẳng  nên có phương trình dạng: x1  3x2  x3  b  Vì MR nên ta có: + – + b =  b = - Vậy mặt phẳng R có phương trình là: x1  x2  x3   1.2.3 Kết luận : hai cách tiếp cận để giải toán lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng Phân tích cho thấy có hai cách tiếp cận phương trình m – phẳng : tiếp cận đại số tiếp cận hình học  Tiếp cận đại số Trong không gian An, phương trình tham số m – phẳng hệ m phương trình tuyến tính n ẩn x1, x2,…, xn, ma trận lập từ hệ số phương trình có hạng m Phương m – phẳng không gian vectơ m chiều không gian  An Phương trình tham số thiết lập dựa vào tính chất không gian vectơ Phương trình tổng quát m – phẳng suy trực tiếp từ phương trình tham số cách khử dần tham số Mỗi m – phẳng biểu thị hệ phương trình tuyến tính với biến x1, x2,…, xn có hạng n – m Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trò việc xác định phương chiều phẳng Khái niệm vectơ sử dụng đại số tuyến tính với nghĩa tổng quát khái niệm không gian vectơ - vectơ hình học trường hợp đặc biệt  Tiếp cận hình học Cách tiếp cận thực không gian ơclit hai chiều ba chiều ình học ơclit Ở phương đường thẳng mặt phẳng định nghĩa dựa vào đặc trưng định phương vectơ hình học Cách thiết lập phương trình đường thẳng mặt phẳng dựa vào điều kiện phương điều kiện trực giao hai vectơ Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan vectơ hình học đóng vai trò việc xác định phương đường thẳng, mặt phẳng Tuy nhiên, viết phương trình người ta hoàn toàn tính toán đại số toạ độ Như vậy, phương trình đường thẳng mặt phẳng có hai cách chuyển đổi didactique vận dụng dạy học hình học bậc phổ thông, theo cách tiếp cận đại số theo cách tiếp cận hình học Cụ thể a) Phương trình đường thẳng mặt phẳng: - Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng lập phương pháp vectơ (sử dụng vectơ phương, vectơ pháp tuyến) - Tiếp cận đại số: Lấy kết thu đại số tuyến tính, thừa nhận phương trình siêu phẳng (n – 1) – phẳng phương trình bậc n ẩn: a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = Khi đó, với n = 2, siêu phẳng đường thẳng với phương trình có dạng: ax + by + c = Như vậy, phương trình đường thẳng lập phương pháp đại số - từ phương trình bậc hai ẩn b) Phương trình mặt phẳng - Tiếp cận hình học: Phương trình mặt phẳng lập phương pháp vectơ (sử dụng vectơ pháp tuyến) - Tiếp cận đại số: Phương trình mặt phẳng lập phương pháp đại số - từ phương trình bậc ba ẩn: ax + by + cz + d = c) Phương trình đường thẳng không gian - Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng lập phương pháp vectơ (sử dụng vectơ phương) - Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng lập phương pháp đại số - từ hệ hai phương trình bậc ba ẩn: a1 x  b1 y  c1 z  d1   a x b y c z d      2 2 Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thiết lập phương trình tham số đường thẳng mặt phẳng mà chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số 1.3 Về vị trí tương đối gữa đường thẳng mặt phẳng Vị trí tương đối phẳng không gian afin không gian ơclit định nghĩa sau : Trong không gian afin An cho p – phẳng Ap có phương Vp q – phẳng Aq có phương Vq Ta giả sử p  q Căn vào phương chung Vp  Vq điểm chung Ap  Aq ta có vị trí tương đối hai phẳng sau :  a) Nếu Vp  Vq = { } :  Ap  Aq   Ap , Aq có điểm chung  Ap  Aq =  Ap , Aq gọi chéo (hoàn toàn) b) Vp  Vq = Vr với r > 0, ta nói hai phẳng Ap, Aq có phương chung (hay Ap phương với Aq )  Nếu r < p Ap  Aq   ta có giao chúng r – phẳng có phương Vr  Nếu r < p Ap  Aq =  ta nói Ap , Aq điểm chung có phương chung (có thể xem chúng chéo không hoàn toàn)  Nếu r = p tức Vp  Vq ta nói Ap phương với Aq Ap  Aq   ta nói Ap bị chứa Aq (Ap  Aq) Ap  Aq =  ta nói Ap song song với Aq p = q ta nói Ap Aq song song với (trang 19) Trong không gian ơclit có thêm quan hệ vuông góc định nghĩa:   Trong không gian ơclit n chiều En cho phẳng α có phương α phẳng β có phương β   Hai phẳng α β gọi vuông góc với nhau, kí hiệu α  β hai không gian vectơ α     β trực giao với (mọi vectơ thuộc α trực giao với vectơ thuộc β )    Hai phẳng α β gọi bù vuông góc với α β bù trực giao với En nghĩa      α  β = En (dim α + dim β = n) (trang 93) Với định nghĩa trên, không gian ơclit chiều E3 ta khái niệm chéo không hoàn toàn hai mặt phẳng vuông góc Khái niệm vuông góc hai mặt phẳng E3 dùng trường phổ thông không thỏa mãn định nghĩa vuông góc hai phẳng Đó vuông góc không hoàn toàn Khái niệm vuông góc đường thẳng mặt phẳng phổ thông bù vuông góc theo định nghĩa 1.4 Kết luận 1.4.1.Về vai trò vectơ việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng - Cách xây dựng phương trình đường thẳng hình học Fermat gặp nhiều khó khăn chưa giải triệt để Điểm phương pháp Fermat việc gán phương trình (đại số) đường - Với phương pháp giải tích nghiên cứu hình học hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, mà không tận dụng yếu tố trực giác trình tìm tòi lời giải toán - Với xuất vectơ khó khăn điểm yếu giải Việc nghiên cứu hình học sử dụng phương tiện đại số lại phạm vi hình học Phương trình đường thẳng, mặt phẳng tiếp cận hoàn toàn dựa vào không gian vectơ Như vậy, vectơ đóng vai trò công cụ tối quan trọng việc nghiên cứu hình học giải tích mà cụ thể phương trình đường thẳng, mặt phẳng 1.4.1.2 Về đặc trưng đối tượng vectơ cách tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng - Vectơ phần tử không gian vectơ thỏa mãn tiên đề không gian afin hay không gian ơclit - Phương trình m – phẳng tiếp cận theo tinh thần đại số tuyến tính Việc thiết lập vấn đề liên quan hầu hết phải sử dụng tọa độ Chính mà đặc trưng định hướng (phương chiều) đặc trưng độ dài vectơ tự việc xây dựng phương trình m – phẳng Ngoài ra, đặc trưng định phương đặc trưng độ dài vectơ tự hoàn toàn không sử dụng vấn đề xét vị trí trương đối phẳng quan hệ vuông góc chúng Công cụ vectơ để thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng xét vị trí tương đối chúng cấp độ tri thức khoa học hoàn toàn thể theo tinh thần vectơ đại số tuyến tính - Tuy nhiên, xét không ơclit hai chiều ba chiều phương trình đường thẳng mặt mặt tiếp cận hình học Ở đó, đặc trưng định phương vectơ hình học thể - Có hai cách trình bày phương trình đường thẳng, mặt phẳng : + Bằng phương pháp vectơ + Bằng phương pháp đại số [...]... phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán…” Từ đó, “ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học (Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học Hình học) đã được Leibniz khởi xướng Khuynh... cách chuyển đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông, một theo cách tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học Cụ thể a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng: - Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến) - Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận phương... quyết Việc nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận hoàn toàn dựa vào không gian vectơ Như vậy, vectơ đã đóng một vai trò công cụ tối quan trọng trong việc nghiên cứu hình học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng 1.4.1.2 Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp... khăn và chưa giải quyết triệt để Điểm cơ bản nhất trong phương pháp của Fermat là việc gán một phương trình (đại số) bởi một đường - Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán - Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải quyết Việc... nhà toán học xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX Cho đến lúc này, tồn tại ít nhất là ba phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương pháp giải tích và phương pháp vectơ Hai phương pháp sau đều nhằm mục đích đại số hóa hình học, tận dụng sức mạnh của đại số trong việc giải quyết các vấn đề của hình học Nhưng bản chất của chúng không giống nhau Trong lịch... phương pháp xử lí giải tích của những đường cong trong mặt phẳng hay không gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều SGK và trong cả chương trình phổ thông 1.1.4 Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm khác của phương pháp tổng hợp “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành bài... đại số tuyến tính đóng vai trò chính trong việc xác định phương và chiều của cái phẳng Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến tính với nghĩa tổng quát của khái niệm không gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là một trường hợp đặc biệt của nó  Tiếp cận hình học Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện trong không gian ơclit hai chiều và ba chiều của ình học ơclit Ở đó phương của đường thẳng và mặt... phẳng trong E3 dùng ở trường phổ thông không thỏa mãn định nghĩa ở trên về sự vuông góc của hai cái phẳng Đó là sự vuông góc không hoàn toàn Khái niệm vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ở phổ thông chính là sự bù vuông góc theo định nghĩa trên 1.4 Kết luận 1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng - Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của... c = by bởi vì +c và –c không phải cùng một thứ như nhau Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải quyết những trường hợp đặc biệt Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các trường hợp hình vẽ Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi trường hợp,... gian vectơ và theo đó, tọa độ của mỗi điểm tương ứng với tọa độ của vectơ và phụ thuộc vào mục tiêu afin cho trước, tức phụ thuộc vào cơ sở của không gian vectơ liên kết Cũng trong mối liên hệ đó, cái phẳng trong không gian afin được định nghĩa qua khái niệm không gian vectơ con Phương của cái phẳng chính là không gian vectơ con   Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A Gọi I là một điểm